CC BY
60
УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 4
А. А. Куликов, С. А. Назаров
СКОРОСТЬ ВЫСВОБОЖДЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ПРОДВИЖЕНИИ ТРЕЩИНЫ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ*
Рассмотрим плоское пьезоэлектрическое тело О с трещиной-отрезком Л, которая удлиняется за счет продвижения вершины О в положение Он, причем Н = \О — Он\ — малый параметр. Тензоры упругих деформаций е и напряжений а и векторы электрической напряженности Е и индукции Б связаны соотношениями
а%з = ач,рч еpq — Ъ^Е;, Би = Ърч^ет + си,;Е; (1)
(см., например, [1-2]). В (1) и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, принимающим значения 1 и 2,
где и = (и1,и2) и ф — вектор смещений и электрический потенциал. Тензор (а^^) упругих модулей и тензор (си;) диэлектрических проницаемостей обладают обычными свойствами симметричности и положительности, а для пьезоэлектрических констант выполняются равенства Ъ^^ = Ъ^и,. Предполагаем, что массовых сил и объемных электрических зарядов нет, на части Я границы дО заданы внешние нагрузка д и индукция О, равные нулю на берегах Л±, находящихся в условиях электрического контакта, а на остальной части Г = дО, \ удаленной от трещины, заданы внешние смещения £ и электрический потенциал 2. Лишь для упрощения формулировок считаем, что Г — непустая дуга. Потенциальная и и свободная £ энергии, а также работа внешних воздействий А имеют вид
Ы = £ - А, £ = \ ! + Вк Ек)с1х,
п
(3)
А = ! [ди ии — — J из (аз & — Бз 2^ ¿в.
уз \из Ч,г ^3 1
Е Г
Система уравнений равновесия и уравнение электростатики дд
^ -0ц{и, ср) = 0, ~-^—Бк{и,1р) = 0 в О, (4)
вместе с краевыми условиями и условиями электрического контакта берегов трещины ь'З а^ (и,ф) = дг, г = 1, 2, на Я, ии Би (и,ф) = О на Я \ Л±,
(5)
иг = г = 1, 2, ф =2 на Г, [ф] = [Б2(и, ф)] = 0 на Л
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03—01—00835) и франко-русского центра по прикладной математике и информатике им. А.М.Ляпунова (проект 00-01).
© А.А.Куликов, С.А.Назаров, 2004
формируют краевую задачу, оказывающуюся несамосопряженной из-за знака минус при втором слагаемом в (1). В (3) и (5) V = (^1,^2) —единичный вектор внешней нормали, [<] — скачок функции < на берегах Л±, а положительная полуось Ох1 декартовых координат х направлена вдоль продолжения трещины.
Все возникающие далее различия между пьезоэлектрической и чисто упругой задачами вызваны именно упомянутой несамосопряженностью. Сопряженная задача для (4), (5) выражается прежними соотношениями, но в определениях (1) нужно заменить тензор (Ъ^^) на (—Ъ^^). Нетрудно убедиться в том, что для решения {и,<} задачи (4), (5) поле {и, —<} оказывается решением сопряженной задачи с правыми частями д,£ и —О, —2. Поэтому для полей {и,<} и {у,ф}, обладающих конечной энергией и удовлетворяющих уравнениям (4), верна формула Грина
0-({и,<}, &,ф}; дО) := ! VI (а^(и,<^ + (и,<)^3,а —
дП
— J ч (V, ф)щ + (V, ф)<! ¿а = 0. (6) дП
Воспользуемся приемом [3] сведения пьезоэлектрической задачи к упругой задаче, возмущенной интегральным оператором. Именно «электрическая часть» задачи (4), (5), записанная в виде интегрального тождества
/ / р-ЬРЯ,кр^<1х+ (фСйа УфеН\^Т), (7)
} дхк дхг } дхк дх„ }
П П Е
имеет единственное решение < , допускающее представление
< = Ти + Ф, (8)
где Ф — 2 € Н1^!', Г), 2 и —подходящие продолжения с Г на И функций Н и ^ в классе Соболева НТ — непрерывный оператор: Н—> Н1^!', Г), а символ «■» и черта над О указывают соответственно на обращение функций в нуль на Г и отсутствие скачков на Л. Подставим (8) в «упругую часть» задачи (4), (5) и получим интегральное тождество
= ^ + / щь^ =
ПП
= I ь^^а- I ^.Ъы^-сЬ УуеН\П-,Г)2. (9)
Е П
В [3] проверено, что (и, и) — симметричная положительно определенная квадратичная форма на Н1 (И',Г)2. Поэтому при любых
¿еЯ1^)2, ЕеН1^) (Ю)
задача (9) имеет единственное решение и, для которого справедливы включение и — £ € Я^Г)2 и оценка \\и]Н1(П)\\ + Н1 (0,)\\ < о/У, где N — сумма норм функций (10),
а ф — комбинация (8). Подчеркнем, что в силу (7) и (9) {п,ф} —обобщенное (энергетическое) решение задачи (4), (5).
Решение пьезоэлектрической задачи для тела при прежних воздействиях, но с трещиной Лн, подросшей на малую длину Н > 0, обозначаем через {пн, фН}, а соответствующую потенциальную энергию — через ин. Для вычисления разности Ди = ин —и понадобится ряд объектов. Два степенных решения
X*(х) = г1/2Х* (в), з = 1, 2, (11)
модельной задачи на плоскости с полубесконечным разрезом можно подчинить условиям нормировки [4]
а2г(Х1; г, 0) = (2пг)-1/2^,З— , г,з = 1, 2. (12)
Здесь (г,в) —полярные координаты, г = \х\ и в € (—п,п), а 5рл —символ Кронекера. Решения (11) порождают корневые особенности напряжений, и согласно общим результатам [5] существуеют два «дуальных» степенных решения с корневыми особенностями смещений
Ук(х) = г-1/2Ук(в), к =1, 2, (13)
причем выполнены условия биортогональности
2(Х * ,Ук ;Т) = *, (14)
где Т — контур, соединяющий берега трещины и охватывающий вершину О. В силу формулы Грина (6) интеграл из левой части (14) не зависит от выбора контура.
Производная дХ*/дх1 (дифференцирование вдоль трещины) остается степенным решением модельной задачи, но приобретает особенность 0(г-1/2), а значит, раскладывается по базису (13):
дХ*/дх1 = —М*кУк. (15)
Результаты [4, 6], устанавливающие положительную определенность и симметричность 2 х 2-матрицы М = (М*к), относятся только к самосопряженным краевым задачам, однако благодаря сведению дифференциальной задачи (4), (5) к интегро-дифферен-циальной задаче (9), обладающей всеми нужными свойствами, сохраняют силу и для пьезоэлектрического тела. В доказательстве принципиален тот факт, что оператор Т из (8) не зависит от размера трещины ввиду электрического контакта ее берегов.
Весовые функции Zp = {гр,С,р} являются решениями однородной задачи (4), (5) с предписанным поведением вблизи вершины трещины Л
Zp(x)= Ур(х)+0(1), г ^ 0. (16)
В соответствии с общими результатами [5] весовые функции позволяют вычислять коэффициенты интенсивности напряжений (КИН)
Кр = 11ш(2пг)1/2а2,з-р(п,ф; г, 0), р = 1, 2, (17)
при помощи формул, вытекающих из (6), (14) и (16),
Кр = У (як + ССР) ¿8 — I V* (а* ^р) & + В*^р) Е) ¿8. (18)
Е Г
Отметим, что определение (17) соотнесено с условиями нормировки (12). В разложении
^ = км + КЕ
Kp = KM + KE, p =1, 2, (19)
КИН КМ порожден механическими воздействиями, а КИН КЕ — электрическими, т. е. в формуле (18) для нахождения КМ полагаем О = 0, 2 = 0, а для нахождения К Е полагаем д = 0, £ = 0.
Применим метод сращиваемых разложений по схеме из [4, 6, 7] и построим асимптотические приближения к решению ин задачи (4), (5) для тела с подросшей трещиной :
{ик, М1} - {и(О), м(О)} + Н1/2КрХр(Ы1 х1 - 1, Н-1х2),
(20)
{ик, М} - {и, м} + НКрИрЧ{г*, С}.
Соотношение (20)1 справедливо в непосредственной близости от вершины Он, а (20)2 — на удалении от нее. Согласование этих разложений, внутреннего и внешнего, произведено с учетом формул (11), (17) и (13), (15) (подробности см. в [4]), а оценки асимптотических остатков выводятся так же, как и в [8]. В правой части соотношения
1 ^ 1 /V ,н
Ш = Uh-U =- А) =J (gk (uhk-uk)~
s
-G (М- ¥>)) ds + lj Vi ((4 - ац) & - (D* - Dj) s)
г
заменим {uh,M} приближением (20)2 и в силу (18), (19) получим
Ш = Kp Mpq ( J (gk z\ -GCq)ds- J Vj (aijiZ")
s г
+ 0(h2) = -Ъ- Kp Mpq [KM ~ Kq) + °(h2)-
Итак, ввиду симметричности матрицы M справедливо равенство
= -1 (КМ МрЧ КМ - КЕ МрЧ К*). (21)
dU
dh
Если О = 0 и 2 = 0 в (5), то формула (21) превращается в классическую формулу Гриффитса для чисто упругого тела
dU
dh
h=0
= --KpMpqKq. (22)
Однако при наличии электрических воздействий формулы (22) и (21) имеют качественные различия. Во-первых, согласованной вариацией внешних механических и электрических воздействий величине (21) можно придать любое значение из сегмента [—Я, Я] при сохранении суммарных КИН (19) (—Я — правая часть (22)) и, следовательно, допускается возможность управления процессом разрушения пьезоэлектрических хрупких тел. Во-вторых, величина (21) не является локальной характеристикой, поскольку
нельзя произвести разложение (19), оперируя лишь с напряженно-деформированным состоянием в устье трещины. Таким образом, энергетический критерий разрушения хрупких пьезоэлектрических тел Гриффитса не эквивалентен силовым критериям Ирвина и Новожилова, локальным по своей природе. По той же причине инвариантный интеграл Черепанова—Райса для пьезоэлектрической среды не вычисляет скорость высвобождения энергии (21) при продвижении трещины.
Соотношение (21) вступает в противоречие с формулами, опубликованными в главе 6 [1], однако на стр. 296 этой книги обнаружены ошибки (лишний множитель 1/2 в определении работы внешних воздействий и неправильное интегрирование по частям), устранение которых приводит к результату (21).
Summary
A. A. Kulikov, S. A. Nazarov. Energy release rate due to the propagation of a crack in piezoelectric medium.
The formula for the increment of the potential energy due to propagation of a crack with the electric contact of the surfaces in a piezo-electric medium is essentially different from the classical Griffith' formula for a purely elastic medium. Owing to non-local attributes in the formula mentioned above, the energy fracture criterion cannot be equivalent with stress fracture criteria however it gives a resource for governing a fracture process by means of electric loading.
Литература
1. Партон В. З., Кудрявцев Б. А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988, 439 с.
2. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н. А. Механика связных полей в элементах конструкций. Киев: Наук. думка. 1989. 280 c.
3. Назаров С. А. Равномерные оценки остатков в асимптотических разложениях решений задачи о собственных колебаниях пьезоэлектрической пластины // Проблемы матем. анализа. Вып. 25. Новосибирск: Научн. книга. 2003. C. 99-188.
4. Назаров С. А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // Прикладная матем. и механика. 1998. Т. 62, №3. C. 489-502.
5. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. Bd 76. S. 29-60.
6. Назаров С. А. Весовые функции и инвариантные интегралы // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990. Вып. 1. C. 17-31.
7. Назаров С. А. Локальная устойчивость и неустойчивость трещин нормального отрыва // Механика твердого тела. 1988. №3. C. 124-129.
8. Назаров С. А., Полякова О. Р. Критерии разрушения, асимптотические условия в вершинах трещин и самосопряженные расширения оператора Ламе // Труды московского матем. общества. 1996. Т. 57. C. 16-75.
Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.
