Функция Грина задачио расщеплении упругой полосы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4

В. К. Лащенов

ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ О РАСЩЕПЛЕНИИ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ

Данная работа является второй, заключительной частью исследования, запланированного в работе [1] и посвященного решению динамической стационарной задачи расщепления упругой полосы, получению критериев разрушения, изучению процессов распространения волн и переноса энергии.

В первой части исследования при рассмотрении однородных задач о движении в упругой полосе центральной полубесконечной трещины отмечено, что в стационарных задачах теории упругости для волноводов, несмотря на наличие и принципа сохранения потока энергии, и формул [2], обобщающих формулу Ирвина [3] на динамический случай, известные методики изучения квазистатического развития трещин, например, методика Райса [4], не работают: энергия и инерция упругого тела на бесконечности неограничено велики и невозможно заранее предугадать, каков будет поток. Еще более существенным препятствием использования метода Райса является невыполнение условия стационарного развития трещины: в некоторых случаях перетекание энергии деформации по полосе происходит в обход трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), найденные в [1], как и КИН, полученные при решении аналогичных неоднородных задач (см., например, [5-7]), зависят от скорости распространения трещины, упругих постоянных материала, но в отличие от последних не зависят от ширины полосы. В [1] так же показано, что не существует стационарных решений, переходящих при стремлении скорости движения трещины к нулю в известные эласто-статические решения для задач, в которых к расщепленным частям на бесконечности приложены моменты и перерезывающие силы.

В настоящей работе рассматривается динамическая стационарная задача о распространении трещины, поддерживаемой произвольными сосредоточенными силами, приложенными к ее берегам. Построена функция Грина, найдены КИН, получены критерии разрушения.

1. Постановка задачи и форма решения. Пусть полоса —то < х\ < +то, — Н<у1 < к, обладающая упругими характеристиками X, ^ и плотностью р, движется с постоянной дорелеевской скоростью с относительно плоскости хОу в сторону, противоположную направлению оси Ох, т. е. х = Х1 — с£, у = у\, Ь —время.

Полоса расщепляется полубесконечной центральной трещиной х < 0, у = 0, вершина которой движется со скоростью с в направлении оси О\х\ и остается на месте в координатной плоскости хОу.

Благодаря зеркальной симметрии расщепляемой полосы исходная задача распадается на симметричную (задача А) и кососимметричную (задача Б). Эти задачи можно сформулировать в виде двух задач для верхней полосы —то < х\ < +то, 0 < у1 < к при следующих граничных условиях: для обеих задач

ау(х, к) = тху(х, к) = 0, —то < х < +то, (1-1)

© В. К. Лащенов, 2005

для задачи А

ay (x, 0) = -P1S(x + £), x< 0; v(x, 0) = 0, x> 0; (1.2)

Txy (x, 0) = 0, —то <x< +то, (1.3)

для задачи Б

Txy (x, 0) = P2S(x + £), x < 0; u(x, 0) = 0, x> 0; (1.4)

ay (x, 0) = 0, —то < x < +то, (1.5)

где u, v — составляющие вектора смещений, Txy, ax, ay —компоненты тензора напряжений; Pi > 0 и P2 > 0 — величины сжимающих нормальных и направленных против оси Ox касательных сосредоточенных сил, приложенных к берегам трещины в точке x = y = 0; S(x) —дельта-функция Дирака. Кроме того, ставятся условия непересечения берегов трещины v(x, 0) > 0, x < 0 и условие ограниченности энергии упругих деформаций в окрестности вершины трещины.

Решение строится при помощи функций Папковича—Нейбера в интегралах Лапласа [8]:

uk{x,y) = ^- j G{p)Uk{p,y)e^dp, к = 1,2,... ,5, (1.6)

L

где u 1 = u, U2 = v, U3 = Txy, U4 = ax, U5 = ay,

Uiiv, y) = p(A eos ару + В sin ару) Н—--- (—С sin Ъру + D eos Ъру),

a2 — о2 2

í/2(p, y) = api— ^4sin ару + В eos ару)-----(С eos Ъру + D sin Ъру),

a2 — о2

A, B, C, D,G — функции, определяемые граничными условиями задачи; L — контур интегрирования, параллельный мнимой оси или проходящий по ней и огибающий чисто мнимые полюсы подынтегральной функции слева или справа, в зависимости от способа факторизации; а = \Jl — с2/с2, Ъ = \Jl — с2/сс\ = \/(Х + 2ц)/р, = yfjjjp — скорости продольных и поперечных волн в изотропной среде. Функции Uk(p,y), к = 3, 4, 5 приведены в работе [1].

В соответствии с основными однородными граничными условиями коэффициенты, определяющие трансформанты Лапласа, имеют вид в задаче А

A =(1 + b2)(4ab — c+)p-1, B = (1 + b2)d-p-1, C = a(a2 — b2)d-,

D = a(a2 — b2)[c- + (1 + b2)2],

в задаче Б

A = —4bd+p-1, B = 4b[c- + (1 + b2)2]p-1, C = (a2 — b2)(1 + b2)(c+ — 4ab),

D = (a2 — b2)(1 + b2)d+,

где a± = [4ab ± (1 + b2)2]/2,

c± = a- cos(a + b)ph ± a+ cos(a — b)ph, d± = ±a- sin(a + b)ph — a+ sin(a — b)ph.

2. Симметричная задача. Задачу расщепления (1.1)—(1.3) разобьем на основную с граничными условиями (1.1), (1.3),

оу (х, 0) = —Р13(х + £), -то <х< +то (2.1)

и корректирующую, снимающую вертикальное смещение, вносимое основной задачей при х > 0, у = 0.

Решение основной задачи имеет вид

^y^-üj1-^^^ 1 .....(2-2)

Lq

Ni(p) = U5(p, 0) = Ацр[а2_ sin2 i (а + b)ph - а2+ sin2 i(a - b)ph].

Заметим, что Ni(0) = N'(0) = N('(0) =0 и уравнение Ni(p) = 0 распадается на два дисперсионных уравнения для собственных волн полосы ширины h — кососимметрич-ных на дорелеевском и симметричных на сверхрелеевском дозвуковом диапазонах [9]. Частота указанных тригонометрических волн существенно зависит от скорости движения трещины. Так, обозначив через ±2«во чисто мнимые простые нули функции Ni (p), отметим, что при возрастании скорости, например, от 0 до cr (cr — скорость волны Релея) величина во изменяется от нуля до бесконечности. Следуя работе [1], в рамках критерия квазихрупкого разрушения ограничимся дорелеевским диапазоном скоростей и построим решение симметричной задачи на контурах Li и L2: контур Lq, q = 1, 2, проходит по мнимой оси и огибает точки p = 0, p = ( — 1)q- 12«во слева, точку p = ( — 1)q2«во справа.

Согласно смешанным условиям корректирующей задачи

ay (x, 0) = 0, x< 0; v(x, 0) = —u2q(x, 0), x> 0

a+ (p) = G(p)Ni(p), v+(p)+v-(p)= G(p)N2(p), p e Lq, (2.3)

имеем

где

a+(p) = J °y(x,0)e-px dx, v-(p) = /v(x,0)e-pxdx,

0 -то

(p) = —J u2q(x, 0)e-pxdx, N2(p) = —a(1 — b2)d- (2.4)

V (р) = - J М

о

Верхние индексы + и — обозначают аналитичность функций в правой и левой полуплоскости соответственно.

Функция N2 (р) имеет на мнимой оси при движении трещины с любой дорелеевской скоростью только простой нуль р = 0, а при сверхрелеевской (дозвуковой) скорости — и пару простых чисто мнимых нулей, определяющих собственные симметричные волны полосы ширины 2к.

Соотношения (2.3) приводят к уравнению Винера—Хопфа

О+ (р)= К(р)^+ (p)+v-(p)], р е Ьч, (2.5)

К (р) = N (р)/N2 (р). 100

о

Общее решение однородного уравнения

(р) = К(р)н- (р), р е Ьч (2.6)

построено в работе [1]:

а+(р) = Аа+ (р), н- (р) = Ан- (р), (2.7)

а0а(р) = ЩЯ{Р)[Р ~ (—1)92г/?о] ехр{ —[ Л}, (2.8)

-гж

Я^-1 ^ _ Г(1/2 + р)Г(1/2 + р — 2г/?о)Г(1/2 + р + 2г/?о)

Од (

Г(1 +р)Г(1 — 2г/?о)Г(1 + 2г/?о)

К (р) 2иа-

К1(Р) = —гг^^тгр ^(р - + 2гД,), Нх =

Игр ь 1 ь 10 ь ^ ко/' 1 а(1 - Ь2)'

А — произвольная постоянная, г =1, Г(р) —гамма-функция.

Решение однородной задачи А (расслаивание полосы), полученное в работе [1], содержит возбуждаемые на —то незатухающие волны: полиномиальную (Р-волну) и тригонометрические, порожденные вычетами в нуле и точках р = ±2гво. При этом поток энергии Ер, переносимый Р-волной, связан с КИН нормального отрыва К1 соотношением

ЕР = ^К], (2.9)

совпадающим с формулой для потока энергии, вытекающего из вершины трещины при расщеплении упругой области в стационарном режиме [2].

Общее решение (2.7) однородного уравнения Винера—Хопфа (2.6) и соотношение (2.9), построенные в работе [1] при г = 1, остаются в силе при любом г е [0,1], но выбор г существенным образом влияет на величину потока энергии, переносимую, в частности, Р-волной.

Действительно, в классе решений с ненулевой ограниченной энергией упругих деформаций в окрестности вершины трещины

К,

ау(х,°)--ж^+0.

V 2пх

Тогда по теореме абелева типа [10]

р^то. (2.10)

С другой стороны, согласно (2.7)—(2.8) для любой выбранной скорости с е (0, сд) и любого г е [0,1] справедливо асимптотическое отношение [1]

(р) - АЩр-1/2, р ^то. (2.11)

Сопоставление (2.10)—(2.11) с учетом того, что в однородной задаче а+ (р) = (р), дает

= А/2АЩ, 0 < г < 1. (2.12)

Подставив КИН (2.12) в формулу (2.9) для потока энергии, имеем

Ер = А2 Н2г-1с.

Отсюда видно, что при скорости с достаточно близкой к скорости волны Релея поток энергии Ер при заданной амплитуде А может быть и сколь угодно большим (0 < г < 1/2), и ограниченным (г = 1/2), и сколь угодно малым (1/2 < г < 1).

Рассматривая стационарную задачу как предельный случай нестационарной, заметим, что выбор решения должен определяться предысторией процесса.

Обозначим через ат, т = 1, 2,..., комплексные и вещественные нули функции расположенные в первой четверти комплексной плоскости и пронумерованные в порядке возрастания вещественной части. Справедливо асимптотическое отношение [1]

пт

+ 0(1), то —> +оо,

т (а + Ь)Н

а—т ат.

Заменив в (2.5) коэффициент К(р) отношением а+(р)/у-(р), функцию у+(р) ее представлением

«+(р) = рЛ е

1

ат ) (а-т)

\ _ £т

р ат р ат

полученным разложением в ряд по вычетам контурного интеграла (2.2) входящего в (2.4) (Ьд замкнуты налево полуокружностями большого радиуса ^\(р) = М2(р)ер^/N1 (р); ет = 0, если 1т ат = 0, иначе ет = 1; д = 1, 2), придем к соотношению, из которого по обобщенной теореме Лиувилля, с учетом оценок (2.10) и (2.11), найдем решение уравнения Винера—Хопфа:

+ ! \ + / нп [ Р1(ат) (ат) а+(р) = а+ (р){Р![ ^ —---- + ———-— £т+

1г>0д(ат)(р-ат) Щд («т ) (Р ~ ат)

—1)92г/?о)(р — ( —1)92г/?о) ^ 1

Сд —произвольные постоянные; черта над символом обозначает комплексное сопряжение.

Подстановка (2.13) в (2.3), а затем в (1.6) дает решение корректирующей задачи:

пкд(х,у) = ¿т/ ^^ик(р,у)ерхг1р. (2.14)

ьч

Возьмем полусумму решений (2.2), (2.14), построенных на контурах интегрирования Ь\ и ¿2, предполагая С2 = С\, и входящие в них интегралы разложим в ряды по вычетам. В результате получим

пк+(х,у)=п°к+(х,у) + Ие( £

I п=+0 1(ап)

т

- Е

_0 н01 (ат )

Д к(а>п) Ик(а>п)

I _ £п

ап ат ап ат

+

ап ат ап ат

^01 (агтг)

-С\[Кк(ап) + >, А; = 1, 2,. .., 5.

_ ~г _ _ £п

^т]

(2.15)

Здесь

и0+(х,У)

Р1

м(1 — ь2)

у 4а2 — (1 + а2 )(1 + Ь2)

1+

+^а+1(0)Тш

^(ат) ("ш) ^ С*1

(®т) Л

+

х0+(х,у) = —

Р1

^(1 — Ь2)

1

ж + — I £г> а„

х + £ + Ие

Е

т=-0

^1(ат) ( , 1

' X +

атн01 (ат)

(2.16)

Ат1101 (ат) —С\Р1-1[а+1 (0)х + <(0)]

О

°01 (0) +

ат ) (а-т)

\ , , &Г,

а+1*(0) —

^ «0+(х,У)= «0+(х,У)= и0+(х,У) = 0,

а+(0) = гНгГ1/2с^, Нк(р) =

а±0 = ±2«в0! е±0 = 0, а = 4а2 — (1 + Ь2)2; звездочка обозначает дифференцирование по р.

Положив в (2.15) и (2.16)

С1 = Р1

— / ч "Г _ — \ I

(0)

(2.17)

приходим к решению, не зависящему полиномиально от х и у:

'1+(х,У) = «0+(х,У) = и°+(х,У) = и0,+ (х,У) = 0,

Р1

Е

(ат) (ат)

+ -

т=-0 \ату01(ат) ату01(ат)

£т СГ01(0)-

01

(0)

01

(0)

Найдем КИН К,. Из соотношения (2.13), с учетом (2.11) и (2.17) имеем а+ (р) - РЩр-1/2

(Дщ) ^(Дт)

— / \ _ — N

+

Л(( — 1)д 2гД,)

+

(—1)^0«°- (( —1)^0) ' <(0)]

р ^ то.

Полученные асимптотики и равенства У02(р) = у01(р), 002(0) = —<7^(0) позволяют

определить КИН нормального отрыва

КТ = \р!Р\ Щ Не

(Дщ) ^(Дт)

_ / \ — - ч £т т=_0 атн01 (ат ) атн01(ат )

(2.18) 103

т

Н

а

т

а

т

+

т

1

существенно зависящий от скорости движения трещины. Следует отметить, что поскольку величина Н входит в функцию V— в степени г — 1, правая часть (2.18) имеет множитель а_ (первой степени независимо от выбранного значения г), совпадающий с функцией Релея, обращающейся в нуль при с = сд. Что касается ряда в (2.18), то его первый член, хотя и зависит от величины во, неограниченно возрастающей при с ^ сд, представляет собой отношение двух функций, имеющих одинаковый порядок роста по во. Остальные члены ряда содержат убывающий на то экспоненциальный множитель, обеспечивающий быструю сходимость ряда при любой скорости движения трещины.

3. Кососимметричная задача. Решение задачи (1.1), (1.4), (1.5) ищем в виде суммы интегралов

= I С1(р)ик(р,у)еР^р+^- I С2(р)ик(р,у)егхс1р, к = 1,2,..., 5, (3.1)

Ьз Ьз

являющихся, как и интегралы (2.2) и (2.14) решением основной и корректирующей задачи. Контур интегрирования Ьз проходит, по мнимой оси, огибая точки р = 0, р = ±во, Р = ±2«во слева [1].

Для основной задачи (1.1), (1.5),

тху (х, 0) = Р23(х + £), —то <х< +то (3.2)

сопоставив условия (2.1) и (3.2), путем замены в (2.2) силы —Р\ на Р2 и ^(р) на М3(р) = и3(р, 0) = —2М\(р) находим

Решение корректирующей задачи определяется смешанными условиями тху(х, 0) = 0, X < 0; и(х, 0) = ^ ж > 0.

Ьз

Здесь М4(р) = П\(р, 0) = —26(1 — Ъ2)й+ и поскольку

аЪ(1 — Ъ2)2К1(2р)

лг4(р) = -

4^р^2(р)

на мнимой оси данная функция имеет только простые нули р = 0 и р = ±«во.

Повторяя рассуждения, используемые при построении решения корректирующей задачи (2.14), придем к формуле

г м - то+(р)

Функции

С2-Р2 у --+ _Р2^)_ £т

и0 (ат)(р-ат) и0(ат)(р ат )

(3.4)

-Кто

4(Р) = ЩСНр) + «Р \ [ ^^ Л > , (3-5)

о^ Г(1/2 + р — г/?о)Г(1/2 + р + г во) | 2тгг У Ь-р '' 1 ;

—гто

» =

яГУ+/?о2) Р2ТО+(-;Р)(Р2+4/^)'

где

Еетг(р ~ г/?0^тг(р + г/?р)ЛГ3(р) р ( ) = МеР«

Н = аЬ 1Н., 0 < г < 1, С2 —произвольная постоянная, являются решением однородного уравнения Винера—Хопфа, порожденного однородными условиями (1.1), (1.4), (1.5).

В работе [1] решение однородной кососимметричной задачи и, в частности, решение (3.5), полученые при г = 1, приводят к соотношению

Н2

II,

связывающему поток уединенной Р-волны, скорость движения трещины и КИН поперечного сдвига. Заметим, что последнее соотношение, как и соотношение (2.9), остается в силе для каждого значения г € [0,1].

Функции (3.3) и (3.4) подставим в (3.1) и полученные интегралы разложим в ряды по вычетам. В результате имеем

ии

п=+0

- Р2 Е

и— (ат )

N3 (ап)

(1+ £и)-

+ —

ап ат ап ат

Хтп ( •

(3.6)

Здесь

1 Ь2

и°1(х,у) =---{Р2

арН

■+с + Е (1+е™)Ее

т= — 1

^2(ат)

_ати0 (ат)

(х + —)г0+(0)+

+т0+* (0)

+ СЫт+ (0)х + т+* (0)]

и0 (х,у) = {(2а2 - Ь2 - 1)[уН—1 - (1 - Ь2) —1] - а2}Д(ар) —1, х 0 (х, у) = (х, у) = 0, и4(х, у) = -4(а2 - Ь2)Д(аН) —1,

(3.7)

Д = Р2 +

С2+Р2 £ (1+£т)Ке

ати0 (ат)

1

Н2Г аЬН

2 л/2

г0+(0),

1 и0 (ат )

n3 (р)

е+0 = 1; Хтп = 1, если оба нуля ат и ап —вещественные, в остальных случаях

Хтп 2.

и

2

т

т

0

а

Чтобы исключить полиномиальную зависимость решения от х и у, достаточно в (3.6)—(3.7) положить

C2 = - P2

Y, (1 + £m)Re

+

1

m=-1

amu0 (am

) r0+ (am )

Тогда

u

1(x,y) = -P2

1-62 а/h

e + r0+(0) £ (l+£m)Re f2(a.m).

amu0 )

(0)

m=-1

u2(x,y) = u3(x,y) = u4(x,y) = u0(x,y) = 0

КИН поперечного сдвига Kjj находится аналогично Kj

т+(0)

К и = V2Р2Я;

\ -Г, F2 (am) 1

(1 + em)Re-—-- + ——

m=-1 amu0 (am) T0+(0)

(3.8)

и, как и К, зависит от упругих постоянных, ширины полосы, скорости продвижения трещины, в частности, Кц ^ 0 при с ^ .

Используя обобщенный критерий разрушения Гриффитса [2] и формулы (2.18) и (3.8), получим соотношение, связывающее найденные КИН нормального отрыва и поперечного сдвига с предельной мощностью поглощения энергии. Поскольку возможность разрушения определяется некоторым конечным значением потока энергии, высоким скоростям близким к предельным (релеевским) будут отвечать достаточно большие разрывающие усилия, порядок роста которых сравним с порядком убывания функции Релея.

0

Summary

V. K. Laschenov. Green's function of splitting the elastic strip problem.

The dynamical steady-state problem of motion of crack in elastic strip is cosidered. A crack moves steadily under action of mobile arbitrary point forces applied symmetrically to the crack surface on fixed distance from the crack tip. Green's function is constructed, stress intensity factors are found, fracture tests are obtained.

Литература

1. Лащенов В. К., Нуллер Б. М. Стационарное движение трещины в упругой полосе (однородные задачи) // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 1, с. 167-181.

2. Костров Б. В., Никитин Л. В., Флитман Л. М. Механика хрупкого разрушения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. №3. С. 112-125.

3. Irwin G. R. Fracture mechanics // Structural Mechanics Proc. 1-th Symposium on Naval Structural Mech. Oxford etc.: Pergamon Press, 1960. P. 557-591.

4. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение / Под ред. Г.Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 204-335.

5. Гольдштейн Р. В., Матчинский М. О стационарном движении трещины в полосе // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. №4, с. 98-107.

6. Гольдштейн Р. В. Стационарное движение трещины в полосе. Предельная скорость трещины // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. №2. С. 76-87.

7. Симонов И. В. Стационарное дозвуковое движение разреза в упругой полосе // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. №6. С. 90-99.

8. Лащенов В. К. О стационарном движении упругих балок по границе изотропной упругой полосы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. №4. С. 163-175.

9. Гоголадзе В. Г. Дисперсия волн Релея в слое // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. Вып. 119. С. 27-38.

10. Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: Иностр. литер., 1952. 506 с.

Статья поступила в редакцию 12 апреля 2005 г.