CC BY
32
УДК 539.37
СИСТЕМЫ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СДВИГОМ КАРЛЕМАНА В ТЕОРИИ СКЛЕИВАНИЯ УПРУГИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Л.П. Римская
В работе исследуется система сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана. Данная система обобщает задачи о склеивании упругих поверхностей и классические краевые задачи Карлемана и Римана для аналитических функций.
Ключевые слова. Сингулярное уравнение, краевая задача, индекс системы уравнений.
Сингулярные уравнения и их системы широко применяются для моделирования процессов деформации упругих и пластических тел [4]. Наиболее сложные системы возникают при решении задач теории упругости для неоднородных тел, обладающих анизотропией [2]. В работе изучается система, обобщающая с одной стороны основные задачи теории упругости для анизотропных тел, с другой стороны классические многоэлементные задачи теории аналитических функций [1]. Уравнение будем рассматривать
на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера ( V) ). Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений Nщщ)(г) = а(г)[щ(г) + Тщ '(г) + щ(г)] + Ъ(г){щ[а(г)] +
—- г ,с (г) щ (г) + г щ '(г) + щ(г) ,
+а(гщ2 '[а(г)] + щ [а(г)]} + I -^-^^ йг +
л1 I г- г
, йх(г) ¡щ(г) + а(гщ2'(г) + щ(г)^ (1)
жг I г-а(г)
+1 К11 (г, г)Щ (г)йг + I К12^' г)щ2 (г)йг = §1 (г).
(Ы2щщ)(г) = а (г)[щ(!) + г щ '(г) - щ(г)] + Ъ (г){щ[а(г)] +
ЧтЛ-т (тЛ
йг +
—— ,Г , г , с (г) щ (г) + г щ' (г) -щ (г)
+а(гщ2' [а(г)] - щ[а(г)]} + I -^-^^
жг I г-г
! й2(г) гщ1(г) + а(гщ2,(г)-щ2(г)^ жг 1 г-а^)
+| К21(г ' г)щ1 (г)й г + I К22(г , г)щ2 (г)йг= §2 (г ),
Ь V
где а(1;) - сдвиг, подчиняющийся условию а[а(1;)] = ! и принадлежащий классу
И^ (Ь), а'(1) * О, К/,п(1, г) е Н(1)(Ь х Ь); а/(1), Ь/(1), 0/(1), ё/(1) е Н(3 - °(Ь); в /(1) е Н(1)(Ь) (/, п
= 1, 2), полагаем, что уравнения системы нормированы.
1. Пусть Ь - единичная окружность. Заметим, что в задачах практического содержания (см., например, [4], [2]) функция сдвига появляется в случае конформного отображения двух или более различных областей на внутренность или внешность единичного круга.
С учетом того, что на окружности выполняются соотношения t = —, получим
(N(охщ )(t) = a (t)( (t)+1 щ '(t)+щ (t)] + ь (t){( [«(t)] +
i с (t) P ((t)+1 (2 '(t) + (2 (t)
+-щ '[«(t)] + ([«(t)]} + -L(-) j-T-d- +
a(t) 2mi { t -1
+ j"!2- d- +j ^ii(t,r)«i(r)dr+f Ku(t,T)(2(T)dT = gi(t), (2)
i - «(t) i i
(N(щ )(t) = a (t)[( (t)+- щ '(t) - ( (t)]+b (t){( [«(t)] +
i C (t) f (i (-) + _ (2 '(-) - T2 (-) + — (2 '[«(t)] - (2[«(t)]} + -2(-) j-T---dT +
«(t) 2m f t-t
+ T(T) + ^<(t)-(2(T)- + -2(t)^dT +
2mi f T-«(t) 2mi f t-
+ ^ j ^TT d-+j K1X (t, -)( (-)d- + j K22 (t, -)(2 (-)d- = g 2 (t ). 2mi iT «(t) i i Введем новые функции
W (t ) = ( (t ) + - ( '(t) + Щ (t), W2(t) = ((t)+1®2 '(t) (2 (t).
(3)
Рассмотрим характеристическую часть системы (2). С учетом обозначений (3) получим
a(t )W (t )+b(t )W « )]+С® j ^+^ j WTT=11 ),
2mi i t-t 2mi i t-«(t)
L l (4)
/ЧТТ./Ч , /чтт.г /ЧТ - (t ) rW (-)d- d (t ) rW (-)d- ...
a2(t)W2(t) + ¿2(t^[«(t)] + j 2( ' + j 2( d = f2(t).
2mi 1 t -1 2mi JL t -«(t) Система (4) представляет собой два характеристических уравнения со сдвигом Карлемана. С учетом результатов, приведенных в [1], получим следующее утверждение.
Теорема 1. Для того, чтобы система (4) была нетеровой, достаточно выполнения условий
Aj,, (t) = (ск (t) - ak (t))— [«(t)] - ak[«(t)]) - (dk (t) - bk (t)) x (dk[«(t)] - bk[«(t)]) * 0, A2,k (t) = (-k (t) + ak (t))(-k [«(t)] + ak[«(t)]) - (dk (t) + bk (t)) x (dk[«(t)] + bk[«(t)]) * 0 (k = i,2) при сохраняющем ориентацию сдвиге «(t);
2) Ak (t) = -(bk (t) + dk (t))(dk [«(t)] - bk [«(t)]) + — (t) - ak (t)) x (ak[«(t)] + ск [«(t)]) * 0 при изменяющем ориентацию сдвиге «(t).
При выполнении условий нетеровости индекс системы сингулярных уравнений (4) вычисляется по формулам
nii A1Д (1 ) 1 ij A 2,, (t ) ^
если «(t) - прямой сдвиг;
2) -L {arg A 1(t)}L +-L {arg A2(t)}, (6)
¿ж ¿ж
если a(t) - обратный сдвиг.
Индекс системы (1) будет также определяться формулами (5), (6), согласно свойству нетеровых операторов.
2. Пусть D - произвольная область (не обязательно односвязная), ограниченная контуром L ( L е ). Проведем следующие преобразования (Nющ2 )(t) = a (t)[щ (t) + Т&2 '(t) + щ (t)] + b (t) [щ [a(t)] +
+a(t<2' [a(t)] + щ[a(t)]} + [
2mi J
, dl(t) ¡<(т) + <2 ' (т) + ®2(t)Jt , -l(t) f
"7 j
-l(t) (<!(т) + T<2 (т) + <2(т)
2m
i
r-a(t)
2mi
т-1
'д (t-T
dT +
дт1 T-1
<a2 (T)dT +
(7)
+
d1(t)
2mi
I
дт
a(t) -T T-a(t)
.(T)dt +1Kn(t, т)< (T)dt +1K12(t, Т)щ(T)dt - ^(t),
(N2co<2)(t) = a2(t)[<(t) + t щ' (t) -щ(t)] + b2(t){<al[a(t)] +
+a(t< '[a(t)] - <[a(t)]} + I
OTT! J
-2(t) i<l(T) + T<2 ' (Т) -<2(t)
+
2mi
d2 (t) f < (T) + T<2 '(T) -<2(T)df + —2 (t)
2mi
I
t - a(t)
2mi
)I
T-1
' д (t-T
dT +
дт1 T-1
<a2 (T)dT +
+
d2(t)
2mi
)I
дт
a(t) - t T-a(t)
<
(T)dт +1K2X (t, T< (T)dT +1K22(t, t)<2 (T)dT- §2 (tУ
Заметим, что характеристическая часть системы (7) такая же, как и для системы (2). Откуда следует, что теорема 1 и в случае произвольной области D остается справедливой.
Следует отметить, что ядра —
дт
f!-Т т-1
и
дт
a(t) - т T-a(t)
в общем случае не являются
вырожденными в отличие от случая области, ограниченной единичной окружности.
The system of singular integral equations with with Carleman's elation is studied in our work. This system summarizes the tasks about the gluing together the pliant surfaces and the classical Carleman's and Riemann's boundary value problems for analytical functions.
Key words: a singular equation, boundary value problem, index of the equations' system.
Список литературы
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М: Наука, 1977. 640 с.
2. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование процесса упруго-пластической деформации с использованием статической функции напряжения. Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013.№ 4 (28). [Сайт]. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/033-002.pdf
3. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. № 3. С. 482.
4. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 446 с.
Об авторе
Римская Л.П. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий и высшей математики ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА», lilirimska@yandex. ru
L
L
