CC BY
54
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Юденков Алексей Витальевич
д-р физ.-мат .наук, профессор, ФГБОУВПО «Смоленская ГСХА»
РФ, г. Смоленск E-mail: aleks-ydenkov@mail. ru
Римская Лилия Павловна
канд. физ.-мат .наук, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»
РФ, г. Смоленск E-mail: [email protected]
THE REGULARIZATION METHOD OF SYSTEMS OF SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS FOR BIANALYTICAL FUNCTIONS
Aleksey Yudenkov
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEIHPE “Smolensk State Agricultural Academy ”,
Smolensk, Russia
Liliya Rimskaya
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEI HPE “Smolensk State Agricultural Academy ”,
Smolensk, Russia
АННОТАЦИЯ
Предметом исследования являются системы сингулярных интегральных уравнений, характеристическая часть которых соответствует краевым задачам для бианалитических функций. Цель работы — разработка общего метода
Юденков А.В., Римская Л.П. Метод регуляризации систем сингулярных интегральных уравнений для бианалитических функций // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 6 (18) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2246
сведения сингулярных уравнений к уравнениям Фредгольма 2-го рода. Основные результаты: получен оригинальный общий метод регуляризации систем
сингулярных интегральных уравнений, подсчитан индекс системы, исследованы частные случаи, позволяющие получить решение уравнений в замкнутой форме.
ABSTRACT
The subject of research is systems of singular integral equations which characteristic part corresponds to boundary value problems for bianalytical functions. The aim of the article is to develop a general method of information of singular equations to Fredholm’s equations of the 2nd type. Main results: the original general method for the regularization of systems of singular integral equations is obtained; the index of the system is calculated; special cases are studied which allow receiving the solution of equations in a closed form.
Ключевые слова: системы сингулярных уравнений, уравнения Фредгольма, нетеровы операторы.
Keywords: systems of singular equations, Fredholm’s equations, noetherian operators.
В работе рассматриваются системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Первые работы, посвященные сингулярным интегральным уравнениям и их приложениям к задачам механики, принадлежат А. Пуанкаре и Д. Гильберту. В них новая теория опиралась на классические результаты, полученные при изучении уравнений Фредгольма. Дальнейшее развитие теория сингулярных уравнений получила в работах Т. Карлемана, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова и других отечественных и зарубежных математиков и механиков [3; 4]. При этом сингулярные уравнения рассматривались вместе с соответствующими им краевыми задачами. В основном это были задачи для аналитических функций и аналитических векторов. В последнее время появляется все больше оригинальных работ, в которых
классические краевые задачи и сингулярные уравнения рассматриваются на более широких классах функций. Например, на классе бианалитических функций.
Краевые задачи для бианалитических функций были поставлены Ф.Д. Гаховым как обобщение основных краевых задач теории упругости для изотропного однородного тела и классических краевых задач для аналитических функций [3]. На сегодняшний момент теория краевых задач для бианалитических функций достаточно развита (смотри, например, [2; 8]), изучены возможности ее применения в механике сплошных сред (смотри, например, [1; 7]). Соответствующие этим краевым задачам системы сингулярных уравнений изучались в работах авторов (смотри, например, [5; 6]).
В данной работе исследуется система сингулярных интегральных уравнений, соответствующая краевой задаче Римана для бианалитической функции. Эта система является базовой для изучения более сложных систем со сдвигами и сопряжением и многоэлементных краевых задач для бианалитических функций. В статье содержится подробная постановка задачи, общий метод сведения системы сингулярных интегральных уравнений к системе уравнений Фредгольма (регуляризация), частные случаи, дающие решение в замкнутой форме. В качестве примера применения полученных результатов решается первая основная задача теории упругости на окружности. Основные результаты сформулированы в виде теорем и следствий.
Будем придерживаться терминологии, введенной в работе [3]. В частности, под индексом системы уравнений будем понимать число, равное разности числа решений однородной системы уравнений и числа условий разрешимости неоднородной системы. Систему назовем нетеровой, если ее индекс — конечное число. Регуляризация — сведение сингулярного уравнения к уравнению Фредгольма. Под H(k)(L) будем понимать класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера вместе со своими производными до порядка k включительно.
Бианалитической функцией в некоторой области D (конечной или бесконечной) назовем функцию вида
F(z) = фо(г) + гф, (z).
Здесь ф (z) (k=1, 2) — аналитические функции в области D или аналитические
компоненты, z = x — iy .
Можно показать, что бианалитическая функция является решением дифференциального уравнения в частных производных следующего вида
д2F(z) _
5z2
Действительная часть бианалитической функции называется бигармонической функцией.
Пусть L — простой замкнутый контур класса C(^3) , ограничивающий
конечную область D+ . Внешнюю бесконечную область обозначим D .
Рассмотрим следующую систему сингулярных уравнений
(K Щ&2 )(t) = ^(t)[^ (t) + to2 '(t) + ю2 (t)] +
, di(t) гю1(т) + t^'QQ + ю2(т)dx + ra j x — t
+ j K12 (t? x)®2(x)dX = g,(t)
L
j Kn(t, x)®i(x)dx +
L
(K ®i®2 )(t) = a2(t)[roj (t) + to2 '(t) — ю2 (t)] +
+ p(x) + to2'(T)-Ш2(х)dx+r (t,x)^(x)dx +
ra * x — t *
+ j K22 (t, x)®2(x)dx = g 2 (t) t e L
L
(1)
где Kk,n(t, x) e H(1)(L x L); ak(t), dk(t)e H(3 k)(L); g k(t) e H(1)(L) (k, n = 1, 2). Будем полагать, что уравнения системы нормированы, т. е. a2 (t) — d2 (t) = 1.
Характеристическая часть системы (1) равносильна классической краевой задаче Римана для бианалитических функций
ф+'(t) + ty+'(t) + ф+(t) = G, (t)[ф—'(t) + ty—'(t) + ф—(t)] + Q,(t), Ф+ ' (t) + ' (t) — ф+ (t) = G2 (t)[ф— ' (t) + ty— ' (t) — ф— (t)] + Q2 (t),
(2)
где Gk(t) =
ak(t) - dk(t)
Qk(t) =
gk(t)
Фk (t) — граничные значения
ak(t) + dk(tK ak(t) + dk(t)
аналитических компонент Фк (z) в областях D1 соответственно.
Краевая задача (2) по своей постановке схожа с краевой задачей Римана для аналитического вектора, но ее исследование существенно затрудняется наличием неаналитической компоненты t . Это в полной мере можно сказать и о системе (1), обобщающей задачу (2).
Приведем систему (1) к системе уравнений Фредгольма второго рода.
Выполним предварительно следующие преобразования:
1 fto2'(x)dx_ 1 rx®2'(x)dx 1 г - ®2'(x)dx _ 1 rx®2'(x)dx
7-
miL Т-1
Г ТЮ2 (X )dX 1 г,- _ч
J 2 ( ) + - J (t-Т)
mi ^ x -1 mi *
+
x — t
mi
x — t
+1J
ТГ1 j
д (t - x ^
mi ^ |_dx^x-1 j
Заметим, что второе слагаемое в правой части равенств имеет разве что слабую особенность. Первое слагаемое представляет собой граничное значение сингулярного интеграла типа Коши.
С учетом этого систему (1) запишем в следующем виде:
ю2 (x)dx.
(K )(t) = ^(t)[^ (t) +to2 '(t) + ю2 (t)] +
d1(t) J Ю1(Т) + ТЮ2ЧТ) + ТЮ 2 (т) dx +
mi
x-t
+ J K11(t, Т)Ю1 (x)dx + J K1*2 (^ Т)Ю 2 (x)dx = g1 (tX
_ ,u ^ d2(t)r ю,(х) + тю2'(т) -ю2(х) ,
(K2юю )(t) = a2(t)[®!(t) +to2 (t) -ю2(t)] +------— I-----------------------dx +
(3)
mi
x -1
+ J K21(t? Т)Ю1 (x)dx + J K2*2(t, Т)Ю2 (x)dx = g 2 (t)
где Kk2(t, x) = Kk2 (t’ x) +
dk(t)
mi
J
д (t - x^
dx
x -1
dx (k = 1,2).
Введем вспомогательные функции
W (t) = ю (t) +tro2' (t) + ®2 (t), W2(t) = ю (t) +t®2 '(t) - ю (t).
(4)
L
L
L
L
L
L
L
L
Характеристическая часть системы (3) с учетом обозначений (4) примет вид:
a,(t)W,(t) + Ml f^<1^ = f,(t),
mi
т —1
a2(t)W2(t) +
d2(t) fW2(T)dT
mi
f
2' т — 1
= f2(t),
(5)
L
L
где
f1(t) = gl(t) — f K11(1, T)®1 (T)dT — f K1*2 (1, T)®2 (ТЖ
L L
f2 (1) = g2 (t) — f K21(1, Т)®1 (T)dT — f K22 (1, T)®2 (T)dT-
LL
Систему (5) можно рассматривать как систему из двух независимых характеристических сингулярных уравнений. Проведя регуляризацию системы (5) методом Карлемана, получим
® (1) + to2 '(1) + ю2 (1) + f Nn(1, т)® (T)dT + f N2(1, т)ю2 (T)dT = f*(1),
L L
®1(1) +1®2'(1) — ®2(1) + f N21(1, T)®1(T)dT + f N22(1, T)®2(T)dT = f2*(1),
LL
(6)
где Nk/t, т) (k = 1, 2; l = 1, 2) — известные ядра Фредгольма, f k (t) — известные функции. Преобразуем первое интегральное уравнение следующим образом:
®1(1) + f N11(1, тН(т)^ = Q1(1) (7)
L
где Q1(1) = —1®2'(1) — ®2(1) — f N12(1, т)®2(т)^ + f1* (1) .
L
Считая свободный член уравнения (7) известным, решим интегральное уравнение Фредгольма (7) относительно неизвестной функции ®1(t).
®1 (1) = Q1 (1) + f R(1, т)Ql (т)dт + ю0 (1), (8)
L
где ®0(t) — общее решение однородного уравнения (7), R(t, т) — обобщенная резольвента интегрального уравнения (7). С учетом выражения для функции Q1(t) получим
®i(t) = -tra2'(t) -®2(t) -J
L
+ J R(t, x)fi*(x)dx + ®0(t).
L
R (t, x) + -£■[x- R (t,x)]|®2(^)dx + f*(t) +
Подставим выражение (9) во второе интегральное уравнение (6), получим
®2 (t) + 1 J jN21(t, Х) - [^, Х) + ^ (Х- R(t, Х)] |®2 (X)dX =1 {. /;<t)- /;<t)-JR(t ,x) z»*-^ >]
L
(9)
(10)
Уравнение (10) является уравнением Фредгольма второго рода. В случае его разрешимости определим функцию ®2(t), подставим ее значение в уравнение (9). Из уравнения (9) можно определить функцию ®1(t).
Теорема 1. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностью Коши (1) равносильна системе сингулярных интегральных уравнений Фредгольма (6).
При доказательстве теоремы 1 был получен метод равносильной регуляризации. Заметим, что индекс системы (6) равен нулю. Поэтому индекс системы (1) полностью определяется суммарным индексом характеристических уравнений (5). Справедливо утверждение.
Следствие 1. Система сингулярных уравнений (1) нетерова. Индекс системы вычисляется по формуле
IndW = У Indak - dk
k=i ak + dk
Рассмотрим частный случай системы (1). Пусть контур L представляет собой единичную окружность. На единичной окружности выполняется условие
- 1
‘=? (11)
С учетом этого преобразуем систему характеристических уравнений,
соответствующих системе (1).
1
(K )(t) = ax (t)[®x (t) + - щ '(t) + щ (t)] +
t mi
di(t)
^ pW ^'W + X. ^ dT_
X -1
-гг \X~2®2(x)dx = gi(t)>
it *
mit
_ w ч . 4r 7 ч 1 ,7 4 7 XT d2(t) г ю1(х) + x-V'(x)-®2(x) , (12)
(K2 )(t) = a2(t)[roj (t) + -ю2 '(t) -ro2 (t)] н-I--------------------dx-
t mi
x-t
d2 (t) mit
|x-2®2(x)dx= g2 (tX
С учетом обозначений (4) получим
d1(t) r W1(x)dx
(t)W1(t) + ^ | ^^ = f1(t),
mi * x -1
f2 (t),
a2(t)W2(t) н d2(t) I
mi * x -1
(13)
где
f1 = ^ j^#dx + g1(t),
2mi * x f2 = ^ g2(t).
Система (13) представляет собой систему сингулярных интегральных уравнений с вырожденными ядрами. Решение такой системы сводится к последовательному решению двух характеристических уравнений и системы вырожденных уравнений Фредгольма 2-го рода. Система (13) регуляризируема, a,, - d,,
если х k = Ind
*-k
ak + dk
^ 0 . Если какой-либо из индексов системы меньше нуля
(например, индекс х2), то для равносильной регуляризации системы необходимо и достаточно потребовать выполнения условий ([3, с. 201])
П-
K22 (t> X) Л-1
L L L 2
Z2(t)
t dt
®2(x)dx = I^T^-1^ (l = 1’2’ -’ X 2 ) . LZ2(t)
L
L
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. В случае, когда контур L представляет собой окружность единичного радиуса, характеристическая система, соответствующая системе (1) разрешима в замкнутой форме.
Рассмотрим еще один случай, когда характеристическая часть системы (1) решается в замкнутой форме. Пусть Kn,m(t, т) = 0 (n, m = 1, 2), а^) = а2(^ = а^), bi(t) = b2(t) = b(t), тогда система (1) примет вид
a(t)[®x (t) +to2' (t) + ю2 (t)] + a(t)[®x (t) +to2' (t) - ю2 (t)] +
b(t) (• ю1 (т) +to2' (т) + ю2 (т) rci 1 т-1
b(t) г ю1(т) + 1ю2,(т)-ю2(т) rci l т-1
ат = gi(tX
dx= g 2(t)*
(14)
После несложных преобразований можно привести систему (14) к равносильному виду
a(t)ro2 (t) + b(1) lЮг(т) ат = f (t), rci т т-1
Л L т
a(t)^ (t) + I = f2 (t),
га * т-1
gl(t) - g 2 (t)
Л L т'
где
fl(t) =
(15)
2
f2 (t) = -a(t)t^2'(t) - l2 (т) ат+
rci * т -1
b(t) fWCO^., gl(t) + g2(t)
2
При решении системы (15) последовательно решаются два обычных характеристических уравнения. Следовательно, в рассмотренном случае система (14) решается в замкнутой форме.
Список литературы:
1. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование процесса упругопластической деформации с использованием статической функции напряжения // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 4 (28). — С. 4—9.
2. Габринович В.А., Соколов И.А. Об исследованиях по краевым задачам для полианалитических функций // Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 65-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д. Гахова. — Минск: Изд-во «Университетское», 1985. — С. 43—47.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 512 с.
5. Редкозубов С.А., Юденков А.В. Системы краевых задач и сингулярных интегральных уравнений для полианалитических функций в статической теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — С. 627—635.
6. Римская Л.П. Системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана в теории склеивания упругих поверхностей // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 31— 34.
7. Юденков А.В., Володченков А.М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала. // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 2 (26). — С. 14—17.
8. Юденков А.В., Володченков А.М. Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости изотропного тела // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 43—45.
