CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
То м V
197 4
№ 3
УДК 533.6.011
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ ОБТЕКАНИЯ ДВИЖУЩИХСЯ КОНУСОВ ПРИ ПАДЕНИИ НА НИХ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
Рассмотрена дифракционная задача о лобовом столкновении движущегося конуса с набегающей ударной волной. Численным методом определены параметры газа во всем поле течения. Приведены таблицы распределения газодинамических величин на поверхности конуса в зависимости от скорости движения конуса, его полуугла раствора и интенсивности падающей волны.
В задачах дифракции ударной волны с телом (особенно движущимся со сверхзвуковой скоростью) разностные схемы первого порядка искажают картину течения. Это объясняется сильным „размыванием* ударных волн в процессе счета. В работах [1, 2] приведены схемы сквозного счета, которые размазывают ударные волны на 4—9 точках сетки, а контактные поверхности практически совсем сглаживают. В связи с этим авторами [3—5] предложены более точные схемы второго порядка. Разностные схемы [3, 4] — явные разностные схемы сквозного счета. Они размазывают ударную волну на два-три счетных шага, но при этом могут возникать незатухающие колебания в решении задачи. Для уничтожения этих колебаний и обеспечения устойчивости счета в работе [4] используется искусственная вязкость. Схемы [3, 4] в процессе счета сохраняют контактные разрывы.
В работе [5] рассмотрен метод расчета обтекания затупленных тел с выделением ударной волны. Параметры за ударной волной и на поверхности тела находились с помощью трехмерных характеристик. Счет во внутренних точках поля осуществлялся по схеме Лакса — Вендроффа, представленной в [3, 4]. Подход к решению газодинамических задач, предложенный в работе [5], дает хорошую точность, так как счет ведется в области с гладким решением. Однако применение его к задачам, в которых встречается большое количество разрывов, практически невозможно. Здесь удобнее использовать схемы [3, 4].
1. В настоящей статье рассмотрен модифицированный вариант двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа для решения задачи о дифракции набегающей ударной волны на движущемся с постоянной скоростью конусе. Расчеты ведутся в прямоугольной системе координат х, у (фиг. 1). Поверхность тела проходит по диагоналям ячеек. Толщина конуса регулируется отношением координатных шагов Ду к Ьх.
Уравнения движения идеального газа в пространстве (л\ у, *) имеют вид
где компонентами вектора № являются плотность р, проекции импульса на оси х, у, энергия Е, отнесенная к единице объема:
Р. Я. Тугазаков
(1)
№ = (р, т, п, Е), т — рц, п = ри,
(2)
Фиг. 1
где и, V — компоненты скорости вдоль осей х, у соответственно.
Вектор 5(Н?) определяется
(*+«),
где И = (0, 0, 0, р).
В осесимметричном случае расстояние от оси симметрии отсчитывается по оси у. Величина давления р может быть выражена через известные величины и показатель адиабаты
. /п2 + П* '
р = (т-1)|£
= (Т — 1) ^
2 Р
Компоненты векторов / и £ в (1) определяются следующим образом:
т, '
/(да)
3 — 1(ж*
“2 Г
( 1 и2 \
+ (тг — 1)^£ —Т
1-т
■■
3 — 7 и2 2 р-
тп
Т ’
утЕ
т(т*+ и*)+ ;
п,
тп
Т ’
/ 1 /п* \
+ (Т_1)(£_Т-Т),
I — у 7т£
-у-1 я (т2 + я2) ■' -1---
(3)
Р
Разностная схема для решения уравнений (1) представлена в работе [6]. Оценим порядок точности ее на ударных волнах и гладком решении. Рассмотрим одномерное уравнение вида
Щ + “х = 0- (4)
Для данного уравнения разностная схема имеет вид
(, 1—8 Д* _ _
и1+1 = (у/_1 + 2и, + иг+1) + ^ (и^! - иг+, + и1_х - ц<+1), (5)
' где
_ 1 М
иі “ ~4~ (“/-1 + 2 “і + иі+1) + 2ДЗс (иі—і ~ и/+і^
В левой части (5) значения функций взяты в момент времени і. Если разложить члены уравнения (5) по координатам £ и х в ряд Тейлора, то в результате получим
1 — В Дх2 Щ + «*• = —4— “хх ~£Г + О (Д0) 4- О (Дл:2).
Следовательно, разностная схема (5) с такой точностью аппроксимирует уравнение (4). Когда р = 1 (течение газа без разрывов), схема имеет второй порядок точности по времени и координате. В случае р ф 1 (на сильном разрыве) разностная схема (5) сохраняет второй порядок по времени, а по координате — точность между первым и вторым порядком. Для одного из уравнений (1) разностная схема [6] дает
Р/ + (Рм.г) + (Р*>)у = 4 ^ ^Р** ~д7~ + Руу “д7"| + О (д^2) + О (Да:2) + О (Ду2).
Согласно результатам работы [3], схема Лакса—Вендроффа обеспечивает устойчивый счет при
М 1
Ах ^ (с +.у ц2 -|_ ]/"8 ’
где с — скорость звука. С введением в схему искусственной вязкости величину шага по времени можно несколько увеличить:
М 1
• Ах ^ (е + У и2 + и2)/6 '
В данной работе шаг по времени определяется согласно формуле
_Д* 0,85 .
Дх С + У и?-{-V2 '
Таким образом, введение коэффициента р в схему (что равносильно введению схемной вязкости на сильных разрывах) позволяет увеличить шаг по времени в два раза, уменьшая тем самым затрачиваемое машинное время во столько же раз.
м а Рпад — 2,5 4 6 8,5
и = 1,762 2,236 2,72 3,197 3,657
10° = 0,307 р= 1,790 0,388 3,050 0,472 4,991 0,555 7,598 0,630 10,87
р = 1,505 2,155 2,904 3,616 4,226
1, 3
и = 1,448 2,071 2,319 2,745 3,154
20° v = 0.F26 0,68 0,842 0,996 1,142
р = 2,52 4,408 7,362 11,44 16,61
р = 1,914 2,785 3,799 4,787 5,636
и — 2,56 3,03 3,516 3,99 4,46
10° v = 0,45 0,5262 0,612 0,691 0,773
р = 1,985 3,371 5,475 8,253 11,70
р = 1,617 2,306 3,088 3,815 4,438
и = 2,209 2,588 3,049 3,474 3,88
о 20° v = 0,8036 0,942 1,11 1,262 1,412
Z />=3,26 5,612 9,144 14,01 19,59
р =2,282 3,278 4,398 5,45 6,20
и = 1,6 2.17 2,633 2,975 3,328
30° v = 0,923 1,254 ' 1,519 1,718 1,922
р = 5,54 9,184 15,36 23,31 32,97
р = 3,273 4,581 6,294 7,84 9,141
и — 4,852 5,341 5.815 6,287 6,74
10° »=■ 0,852 0,9372 1,019 1,100 1,179
р = 2,792 4,637 7,289 10,71 14,81
р = 2,023 2,841 3,727 4,528 5.182
« = 4,391 4,722 5,118 5,577 6,024
4 20° « = 1,598 р = 6,612 1,719 10,52 1,863 16,13 2,030 22,93 2,192 30,90
р = 3,553 4,675 5,92 7,059 8,012
и = 3,461 4,24 4,524 4,894 5,314
30° і; = 1,996 2,447 2,612 2,825 3,068
р = 13,69 19,54 30,27 43,26 57,22
р = 4,966 6,272 8,256 9,919 11,20
2. По схеме, изложенной в работе [6], была рассчитана задача о внезапном начале движения конуса с конечной скоростью и падении на него ударной волны. На фиг. 1 и 2 представлены поля изобар и изохор, получающиеся при падении ударной волны интенсивностью (т. е. соотношением величин давления за ударной волной и перед ней), равной четырем, на конус с полууглом раствора, равным 16°, движущийся относительно покоящегося газа с числом М = 2. Начальный стационарный конический поток сохранился в концевой части конуса, куда еще не дошла ударная волна. В носовой части конуса после взаимодействия с набегающей ударной волной получается новое коническое течениег коничность которого нарушается в зоне маховского отражения падающей волны от поверхности тела. Для данного варианта полуугол раствора присоединенной волны на носке конуса значительно уменьшается. В точке, где падающая волна встречается с первоначальной головной волной, заметно сильное преломление последней. Это объясняется уменьшением или увеличением числа М набегающего потока. На фиг. 1 и 2М увеличивается на 23,5%. В случаях, когда число М не меняется, преломление волн оказывается слабым. При этом волны, взаимно проникая друг в друга, порождают в дифракционной области течение газа, мало отличающееся по величинам параметров от получаемого в носке конуса.
Более детальная картина (изобары) в области неконического течения показана на фиг. 3, где конус с полууглом раствора 20° движется относительно покоящегося газа с М = 2. Интенсивность падающей волны равна 6. Для удобства на фиг. 3 поверхность конуса АНйР совмещена с осью х. Пунктирной кривой ОЫН обозначен слабый контактный разрыв, АВ — граница, разделяющая; области конического и осесимметричного течений. Прямые ОК и Ьт — начальный головной скачок и падающая ударная волна соответственно, СЫЕ—слабая отраженная волна, £/г—маховская ножка. Сравнение результатов расчета с точными значениями для областей с простыми коническими течениями (см. фиг. 1—3) дает совпадение величин давления и плотности с точностью 1%. '
В таблице представлены результаты расчетов задачи при различных начальных данных. Для каждого варианта на оси х, у приведены компоненты скорости и, V, величина давления р и плотность р. Значения их взяты в области осесимметричного течения, где получаются наибольшие градиенты давления и плотности. Величины приведенных газодинамических параметров отнесены к параметрам в невозмущенном потоке. Анализ результатов показывает, что при столкновении движущегося конуса с ударной волной величина давления в области дифракции может превышать свое стационарное значение в носке на 25%, хотя в отдельных случаях она меньше своего стационарного значения или же равна ему. Это зависит от начальных параметров задачи и числа М результирующего потока.
Все приведенные результаты расчетов выполнены при 1=1,4. Для других значений 1 количественные различия в данной задаче могут быть существенны. Это было показано автором в случае падения ударной волны на движущийся, клин [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн. „Усп. матем. наук”, т. 12, вып. 1, 1957.
2. Русанов В. В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“ т. 1, № 2, 1961.
3. L а х P. D. and Wendroff В. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. Comm. Pure and Appl. Math, vol. 17, 1964.
4. Rubin E. L. and Burstein S. Z. Difference methods for the inviscid and viscous equations of a compressible gas. Journ. of Computational Physics, 1967, No 2.
5. M о t r e 11 i. A Time different comput. Method for blunt Body.
Flows. AIAA Journ., vol. 4, No 12, 1966.
6. Тугазаков P. Я. Нестационарная задача о внезапном
движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. .Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.
7. Тугазаков Р. Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. .Ученые записки ЦАГИ“, т. И, № 2, 1971.
Рукопись поступила 251X11 1973
