CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м XI 198 0
№ 4
УДК 533.6.011
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОНИКАНИИ ДВИЖУЩЕГОСЯ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ ТЕЛА В ГАЗ ДРУГОЙ ПЛОТНОСТИ
Р. Я■ Тугазаков
Численно решена нестационарная задача о проникании движущегося тела в газ другой плотности. Для тела, имеющего форму конуса с цилиндром и движущегося со сверхзвуковой скоростью, конечно-разностным методом установления рассчитаны нестационарные и стационарные картины обтекания. Получено распределение газодинамических параметров в поле течения идеального газа и на поверхности тела, определены безразмерные коэффициенты силы, действующей на тело в процессе проникания. Проведен анализ взаимодействия набегающего газа с головным скачком в начальный момент времени. Показано, что в зависимости от плотности набегающего газа реализуются разные схемы взаимодействия контактной поверхности и головного скачка
1. Рассмотрим задачу о проникании движущегося со сверхзвуковой скоростью плоского или осесимметричного тела в газ другой плотности. Решение данной задачи связано с рядом трудностей. Во-первых, задача нестационарная. Для нахождения решения ее необходимо рассмотреть уравнения газовой динамики, описывающие нестационарные процессы для плоских и осесимметричных течений газа. Во-вторых, для решения данной задачи нельзя использовать разностные схемы первого порядка точности [1, 2], так как они со временем размывают контактные разрывы. Использование же схем повышенной точности [3,4] требует разработки способов преодоления газодинамических разрывов, встречающихся в поле течения. Для этого в разностную схему обычно вводят члены с искусственной вязкостью, которые на разрывах сглаживают решения. Так, в работах [5 — 7] численными методами и их модификациями, изложенными в [1—4], были решены задачи по дифракции ударных волн на неподвижных телах.
Действие искусственной вязкости в разностных схемах в зависимости от алгоритма может проявляться в каждой расчетной точке поля [5 — 7] или же только в отдельных точках, где происходит сильный разрыв [8]. Последняя схема использовалась в работах [9, 10] для решения дифракционных задач на движущихся телах. В работе [II], посвященной изучению течения газа в ударной трубе, показано,что численная схема достаточно хорошо сохраняет поверхность контактного разрыва, которая образуется в потоке газа после раскрытия диафрагмы. Отмеченный факт позволил надеяться на успешное решение задачи о взаимодействии движущегося со сверхзвуковой скоростью тела с поверхностью контактного разрыва.
Трудностью, которая обусловлена сохранением в нестационарных течениях поверхности контактного разрыва, объясняется, по-видимому, отсутствие опубликованных решений задач такого вида. В линейной постановке задача о проникании конуса в жидкость со свободной поверхностью решена в работе (12). Но это решение нельзя сопоставить с результатами данной работы.
В то же время при движении в газе тело всегда может встретиться с областями пониженной или повышенной плотности, что в свою очередь вызовет изменение сил, действующих на тело. Изучению этого явления и посвящена данная работа. Размеры области газа с повышенной или пониженной плотностью предполагаются достаточно большими, т. е. в несколько раз превосходящими длину движущегося тела. В случае, когда размеры области набегающего газа одного порядка или меньше, чем длина тела, решение задачи не вызывает принципиальных трудностей.
2. Рассмотрим плоское или осесимметричное тело соответственно с поперечным контуром или образующей В' С' £>' Е' (рис. I). Пусть с сечением тела связана прямоугольная декартова система координат д-, у, ось х направлена по
Рис. 1
оси сечения тела. Все расчетное поле разбивается на прямоугольники, в вершинах (узлах) которых располагаются искомые газодинамические величины. Поле разбито на прямоугольники таким образом, что поверхность тела проходит по узлам. Сторона В1 С' проходит по диагоналям расчетных ячеек так, что, регулируя отношение величин Ау и Ддг, можно изменить полуугол раствора тела в = ак^Ду/Длг.
На контуре тела В' С', С'£>' и О'£'выполняются условия непротекания относительно компонентов скоростей V и и соответственно. На участках поля А' В и £' Р происходит симметричный снос данных из верхнего слоя в фиктивный. Так как в осесимметричном случае на оси тела имеется особенность, вызванная преобразованием координат, то для расчета параметров течения вдоль участков А В и Е' Г' применяются уравнения, в которых эта особенность раскрыта по правилу Лопиталя. Расчеты в точках В', С', й', Е' осуществляются по своим алгоритмам.
В общем случае, когда точка находится внутри расчетного поля, значения газодинамических параметров в ней рассчитываются по значениям девяти точек, окружающих ее. Расчетная точка с координатами (/, у) находится в центре прямоугольника размером 2Д.г2Ду (см. рис. I).
Геометрические размеры А' В', В'С', С П', Я„ Н3 можно менять, получая различные соотношения между размерами тела и расчетного поля. Здесь Я, соответствует высоте поперечного сечения тела, а /У5 является дополнением Я, до полной высоты расчетного поля. На рис. 1 вертикальной штриховой прямой схематически изображена граница области газа с другой плотностью, т. е. в начальный момент времени тело, движущееся со сверхзвуковой скоростью, начинает проникать в газ, у которого плотность отличается от плотности первоначально набегающего газа, а величина скорости и давления в нем такие же. Получаемая в этом случае нестационарная задача проникания тела в газ с другой плотностью решается конечно-разностным методом установления, являющимся модификацией метода Лакса — Вендроффа для разрывных решений. Описание метода дано в работе [8).
3. На рис. 2 и 3 представлены соответственно поля плотности и давления для осесимметричного тела с полууглом раствора при вершине конуса в = 20 и движущегося со скоростью, соответствующей числу М0=*2. На рисунках изображены первоначальные моменты времени, когда тело проникает в более плотный газ с плотностью р, = 4. На данных и последующих рисунках величины давления и плотности отнесены к величинам давления и плотности, взятых в пер
воначалыюм набегающем сверхзвуковом потоке. Штриховые прямые на рис. 2, 3 и 5 соответствуют следу первоначального головного скачка и положению поверхности контактного разрыва.
Из результатов расчетов видно, что до проникания носовой части конуса в более плотный газ в носовой части конуср реализуется коническое течение. Угол отхода волны равен 37,63, что близко к теоретическому значению. После проникания носовой части конуса в более плотный газ в носке конуса устанавливается новое коническое течение с числом М набегающего потока, равным М, = Мп VРі/?о- В данном случае р,/р0 = 4, и число набегающего потока М| = 4. Угол отхода волны значительно уменьшился и стал равным 26,8 (теоретическое значение 26,6°).
Из рис. 2 и 3 видно, что головной скачок при столкновении с более плотным газом сильно преломляется (участок волны ВС). Поверхность контактного
Рис. 4
разрыва после взаимодействия с головным скачком отражается от поверхности тела в точке £ ударной волной РВ, которая достаточно сильно .размазана*. В окрестности точки С, где сталкиваются сильный контактный разрыв и ударная волна, реализуются ударная волна ВС, поверхность контактного разрыва С/7 и волна сжатия СО. Это соответствует схеме взаимодействия волны и контактного разрыва, изложенной в [13], когда скорость звука во второй среде меньше, чем в первой, или когда ударные волны достаточно слабы.
На рис. 4 и 5 представлены поля давления и плотности для случая, когда тело проникает в газ с меньшей плотностью рх = 0,5. В этом случае скорость звука в газе, куда проникает головная ударная волна, меньше, чем за ударной волной. И в окрестности точки С реализуются ударная волна ВС, поверхность контактного разрыва СГ и волна разрежения СО. Волна разрежения, отражаясь от поверхности тела, взаимодействует с поверхностью контактного разрыва, искривляя ее. Так как течение в начальный момент автомодельное, то в системе координат, движущейся с точкой С, для данного варианта задачи течение после поверхности контактного разрыва в окрестности точки С является дозвуковым. Эта область ограничена криволинейным участком головного скачка ВС.
Пые таяао р-сопзі для Т*0 3
Рис. 6
0,2
•ї*0. Р,'05
•*--1, Рі '2
*‘Гі РГ0,5
Vі/ Рг-Ч
О
1
г
т /
Рис. 7
На характер течении в окрестности точки С влияют возмущения, исходящие от поверхности тела.
Таким образом, когла тело проникает в газ с меньшей скоростью звука (более плотный газ), в формировании нового головного скачка основную роль играет отраженная ударная волна. В этом случае поток сверхзвуковой, а после проникания носка конуса в более плотный газ число М потока увеличивается. Течение в окрестности точки С (см. рис. 2 и 3) сверхзвуковое, и на него не влияют отраженные от поверхности тела волны. Формирование нового головного скачка в этом случае происходит в результате пересечения волн в сверхзвуковом режиме.
В случае, когда тело проникает в менее плотный газ. число М потока после взаимодействия уменьшается, и в окрестности точки С реализуется дозвуковое течение.
Для сравнения были проведены расчеты для плоского тела, в плане совпадающего с осесимметричным (см. рис. 1), которое проникает в газ с плотностью р, =. 0,5. Картина течения качественно похожа на приведенные на рис. 4 и 5, только в случае плоского тела после контактного разрыва течение полностью дозвуковое. Новый головной скачок целиком искривлен, и в носовой части клина он перпендикулярен к оси симметрии тела. Отход скачка от тела не заметен, так как при данном режиме обтекания число М потока за скачком на теле = 0,98.
На рис. 6 приведено поле изохор для осесимметричного тела, проникающего в область менее плотного газа, в момент времени Г = 0,3. За единицу времени взято время, в течение которого частица невозмущенного газа пробегает расстояние, равное длине тела. Момент 7"=0 соответствует подходу тела к границе двух газов. Видно, что в головной части устанавливается коническое течение, которое разрушается при взаимодействии с волной разрежения, исходящей из точки С'. В кормовой части образуется застойная зона с обратными течениями газа. Немного ниже по течению от’точки £)' донной поверхности тела исходит контактный разрыв, который, размываясь, образует зону смешения газа. На рис. 6 виден также хвостовой висячий скачок, начало которого приходится на область, где к оси симметрии подходит линия нулевой скорости, исходящая из точки £>'. Если рассмотреть поле изобар данного течения, то на верхней границе зоны смешения изобары разворачиваются перпендикулярно оси симметрии, т. е. с большей точностью в донной части величина давления не зависит от координаты у. После прохождения телом поверхности контактного разрыва устанавли-
вается такая же стационарная картина обтекания, какая была до момента проникания носка тела в другой газ.
На рис. 7 приведены графики нестационарной силы Рх, действующей на движущееся со скоростью, соответствующей числу М0 = 2, тело при проникновении его в более или менее плотный газ. Величина силы Рх отнесена к скоростному напору первоначально набегающего потока и представляет собой безразмерную силу сопротивления, действующую на тело в направлении движения. На рис. 7 представлены результаты для клина (ч = 0) и конуса (■*= 1) с полу-углом раствора при вершине 20'. Величина плотности газа, в который проникает тело, указана на каждой кривой. Для времени 7'>3 устанавливается новая стационарная картина обтекания. Из рис. 7 видно, что когда осесимметричное тело проникает в менее плотный газ (*=1, Р1 = 0,5), то действующая на него сила сопротивления монотонно со временем убывает до какой-то величины. В случае же проникания осесимметричного тела в более плотный газ (>=1, р, = 2; 4) сила сопротивления вначале достигает максимального значения, которое на 15Н выше стационарного, а затем принимает постоянное значение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета раз-
рывных решений уравнений гидродинамики. .Математический сборник*, т. 3, № 47, 1959.
2. L а х P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and
their numerical computations. „Comm Pure and Appl. Math.*, vol. 7, N I, 1954.
3. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. ДАН СССР, т. 180, № 6, 1968.
4. Lax P. D., Wendroff В. Systems of conservation laws. .Comm
Pure and Appl. Math.*, vol. 13, N 2, 1960.
5. Колган В. П., Фонарев А. С. Установление стационарного обтекания при набегании ударной волны на сферу и цилиндр. .Изв. АН СССР, МЖГ\ 1972, № 5.
6. Фонарев А. С. Расчет дифракции ударной волны на профиле с последующим установлением стационарного сверхзвукового и трансзвукового обтекания. .Изв. АН СССР, МЖГ*, 1971, № 4.
7. Б е л о ш и ц к и й А. В., Крикунов В. В., Л и п н и ц-к и й Ю. М., Ляхов В. Н. Исследование различных газодинамических течений с помощью явных разностных схем сквозного счета. Труды НИИ механики МГУ, 1973, № 19.
8. Тугазаков Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 4, № 1, 1973.
9. Тугазаков Р. Я. Систематические расчеты обтекания движущихся конусов при падении на них ударной волны. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 4, № 3, 1974.
10. Тугазаков Р. Я. Нестационарная пространственная задача о падении ударной волны на движущееся плоское крыло. Труды ЦАГИ, вып. 1917, 1978.
11. Н а у м о в А. М., Тугазаков Р. Я. Расчет течения в ударной трубе вблизи раскрывающейся диафрагмы. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 7, № 2, 1976.
12. С а г о м о н я н А. Я.. Багдаев А. Г. Проникание конуса в жидкость со свободной поверхностью. .Вестник МГУ*, сер. матем.-мех., >& В, 1955.
13. К у р а н т Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М., Изд. иностр. лит ры, 1950.
Рукопись поступила 12jl/I 1979 г•
