СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013. № 1 (28)

УДК 684.511

© Б. Н. Лелянов, И. А. Смаль, Е. А. Шеленок, 2013

СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ1

Лелянов Б. Н. - канд. техн. наук, доцент кафедры «Автоматика и системотехника», e-mail: [email protected]; Смаль И. А. - магистрант кафедры «Автоматика и системотехника», e-mail: [email protected]; Шеленок Е. А. - канд. техн. наук, ст. преп. кафедры «Автоматика и системотехника», e-mail: [email protected] (ТОГУ)

Рассматривается решение задачи адаптивно-робастного управления нелинейным периодическим объектом, функционирующим при наличии априорной неопределенности и внешних возмущений. В качестве регулятора предлагается комбинированный контур, содержащий генератор периодических сигналов с настраиваемым коэффициентом.

The solution to the problem of an adaptive-robust control for nonlinear periodic object functioning in the presence of a priory uncertainty and external perturbations is considered. As a regulator the combined contour containing a generator of periodic signals with the adjusted coefficient is proposed.

Ключевые слова: периодический режим, комбинированный регулятор, априорная неопределенность, критерий гиперустойчивости, нелинейный объект.

Введение

На сегодняшний день задачи проектирования так называемых периодических систем управления (ПСУ) являются весьма актуальными и вызывают большой интерес исследователей в области теории автоматического управления. Разработано достаточно много принципов построения устойчивых систем управления, общим принципом которых является использование специального блока - генератора периодических сигналов (ГПС) позволяющего адаптироваться к периодическим задающим воздействиям и сформировать управляющий сигнал, компенсирующий действие внешних и параметрических возмущений циклического характера [1 - 17].

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг. в рамках проекта «Автоматические системы управления периодическими режимами априорно неопределенных, нелинейно-нестационарных динамических объектов» (регистрационный номер: 14.В37.21.1481).

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 1 (28)

В зависимости от класса управляемых объектов предложены всевозможные комбинации периодических регуляторов. В частности, для управления линейными стационарными динамическими объектами разработан так называемый двухрелейный регулятор [2] и периодический робастный контур управления [3]. При наличии в объекте управления нестационарных параметров, обусловленных особенностями его функционирования в работах [4-9] с помощью критерия гиперустойчивости получены адаптивно-периодические алгоритмы. В [10-17] синтезированы комбинированные нелинейные контуры управления, содержащие ГПС и робастную часть, позволяющие обеспечить стабильное функционирование нелинейно-нестационарных объектов, работающих в условиях априорной параметрической неопределенности и действия внешних возмущений. Следует отметить, что для управления объектами указанного класса разработаны и другие регуляторы [18, 19].

Для большинства реальных технических объектов помимо неизвестных параметров и внешних возмущений присуще явление запаздывания, которое может негативно сказаться на их работе. Поэтому, при разработке управляющей системы всегда необходимо учитывать данное обстоятельство.

В настоящей работе, используя результаты [10, 11, 16, 17], рассматривается задача комбинированного адаптивно-робастного управления нелинейным динамическим объектом с запаздыванием. Решение, аналогично [17], базируется на использовании автоматической настройки коэффициента периодической части регулятора.

Исходное математическое описание

Пусть динамические свойства нелинейного параметрически неопределенного объекта описываются уравнениями

dx(t) = Ax(t) + c(y, t) + by5 (t - t) + bu(t) + f (t), dt (1)

y(t) = LTx(t), x(q) = y/(q), q e [-t; 0],

где x(t) e Rn - вектор переменных состояния; y(t) e R - выход объекта; А -

стационарная матрица состояния, представимая в виде A = A0 + %0 b0LT ; А0 -

гурвицева матрица; Хо = const > 0; bT = [0, ... , 0, 1] - известный стационарный вектор; c(y,t) - нелинейная ограниченная по величине вектор-функция

Г 0 ^ 0

c( y, t) = b Cn (y, t) =

| cn (t, y)| < c0 = const > 0; (2)

V (У, <),

Ь = Ь0 - вектор управления; /(^) е Я" - вектор внешних возмущений следующей структуры

СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ВЮШК ТОГУ.Ж3. № 1(28)

В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

f (t) = bo fn (t) =

( 0 ^ 0

fn (t)

I fn (t) !=! fmp (t) + fnmp (t) !< fo = const > 0, (3)

n

L - некоторый вполне определенный вектор, формирующий выход объекта управления; т = const > 0 - известное запаздывание времени; y/(q) - ограниченная начальная функция, принадлежащая пространству ограниченных начальных функций Cq.

Условия априорной параметрической неопределенности рассматриваемого объекта представим соотношениями

A = A(g),

L = L(#),

с( y, t) = с^( y, t), (4)

f (t) = f?(t),

где неизвестный вектор ^eS определяет уровень априорной неопределенности; S - известное числовое множество.

Зададим структуру регулятора, аналогично [17], в виде робастно-периодической комбинации

u (t) = k(t)0(t) + u роб (t),

0(t) = 0(t - T) + z(t), (5)

d(s) = 0, s e [-T;0],

где k(t) - самонастраивающейся коэффициент регулятора; 0(t) - выходной сигнал генератора периодических сигналов; s - комплексная переменная; upo6(t) - робастная составляющая управляющего контура; z(t) - сигнал ошибки рассогласования между объектом (1) - (3) и определяющим требуемое качество его переходных процессов неявным периодическим эталоном [10, 17]

dx 0 (t)

= A0 x 0(t) + b()e()(t),

dt

y 0(t) = LTx 0(t),

A0 = A - Z0 b 0 L ,

где x 0 (t) e Rn - эталонные переменные состояния; в0 (t) = 90(t + T) - некоторый неявный периодический сигнал; y0 (t) e R - выходной сигнал эталона, совпадающий с периодическим командным сигналом r (t) = r (t + T).

Постановка задачи

Для объекта управления (1) - (3), функционирующего в условиях априорной параметрической неопределенности (4), требуется с использованием

TW.4 (6)

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 1 (28)

неявного периодического эталона (6) синтезировать явный вид алгоритма самонастройки k(t) и робастной части upo6(t) комбинированного регулятора (5) таким образом, чтобы в замкнутой системе управления (1) - (3), (5), (6) при любых начальных условиях х(0), любом уровне априорной неопределенности ^eS, любых внешних возмущениях f(t) были выполнены предельные целевые условия

lim | k(t) |< k0,

lim 0(t) = в (t) = 0{t + T), (7)

t ^w V '

lim | z(t) |= lim | r(t) - y(t) |<z o,

t -^w t^w

где k0 = const > 0, z0 = const > 0 - достаточно малые числа.

Алгоритмы регулятора системы управления

Для получения явного вида требуемых алгоритмов управления комбинированного регулятора (5), как и в [4 - 18], воспользуемся типовой схемой критерия гиперустойчивости.

Используя описание объекта управления (1) - (3), уравнения регулятора (5) и периодического эталона (6), а также пользуясь понятием ошибки рассогласования s(t) = x0 (t) - x(t), получим следующее эквивалентное математическое описание синтезируемой системы

ds(t)

dt

• = AoS(t) + boM(t),

z(t) = L s(t) = y0(t) - y(t), (8)

MO = -[k(t)0(t) - в (t)] - X0y(t) - f„enep (t) - upo6 (t),

где в (t) = в (t + T) = 0(t) + cn (t, y) + y 5(t - t) + fHenep (t) - периодический сигнал.

Если коэффициенты вектора L выбрать таким образом, что полином l(s) = lnsn -1 + ln _ 1sn-2 + ... + l2s + l1, li = const > 0 (i = 1, 2, ..., n) будет гурвицевым, то с помощью критерия гиперустойчивости, аналогично работам [16, 17], можно показать, что синтез алгоритма самонатсройки параметра k(t) и робастной составляющей регулятора в виде dk(t) = |«0e(t)z(t), V | z(t) |> <р, dt [0, V | z(t)<q>, ( )

u роб (t) = [«1|y(t)|^+«2] z(t), (10)

где a0 = const > 0, a1 = const > 0, a2 = const > 0, / = const > 1; ф = const > 0 -величина зоны нечувствиетльности; обеспечивает существование справедливого интегрального неравенства Попова

СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ВЮНЖ ТОГУ.2013. № 1(28)

В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

77(0, t) = -j ц(д)z(g)dg > -f02 = const, Vt > 0,

(11)

и выполнение требований вещественности и строгой положительности, накладываемых на линейную стационарную часть эквивалентной системы (8)

ЯС[Жлсч (®]> 0, V® е (-да;да).

А, поскольку для видоизмененной системы (8) выполнены требования (11), (12), то исходная система (1) - (3), (5), (6), (9), (10) будет являться гиперустойчивой в заданном классе априорной неопределенности и для нее с течением времени будут выполнены предельные целевые условия (7).

Пример работы системы

Для иллюстрации работы синтезированной системы (1) - (3), (5), (6), (9), (10) рассмотрим ее динамические характеристики при следующих матрицах и векторах объекта управления (1) - (3)

A =

(0 1 0 0 > ( 0 Л ( 0 Л

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 , b = b0 = , c(y, t) = 0

0

V a1 a2 a3 a4 v 1 У VC4(У, t)У

(

f (t) =

0 0 0

V f4 (t)

л

L =

(l Л

4

V11 У

C4 (y, t) = yr (t)dyv (t),

f4 (t) = f4nep (t) + f4пнеер (t),

finep (t) =| 1,2sin 0,4^t |я,

f^enep (t) =| sin 0,4* t |A V Sin 2t • COS 2t.

Уровень априорной неопределенности параметров представленных параметров объекта имеет вид

a- = -20 < a1 < 20 = ; a - = 2 < a2 < 20 = a2,;

a3 = -30 < a3 < 9 = a3 ; a4 = -15 < a4 < 5 = a4 ; l1- = 1 < l1 < 5 = l+; l2- = 2 < l2 < 7 = l2+; l3- = 2 < l3 < 15 = l3+; l4- = 0.5 < l4 < 2.5 = l4+; r -= 2 < r < 7 = r +; v -= 3 < v < 5 = v+; d- =-2<d <5 = d+; Я" = 1 <K6 = Л+;

(12)

l

3

l

2

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 1 (28)

и = 0,1 <v< 2,5 = v+. Определим задающее воздействие рассматриваемой следящей системы с помощью периодической функции

r(t) = r(t + T) = sin л t • [1,1 - 0,1cos 6t t], (13)

графическая интерпретация которой представлена на рис. 1.

r (t)

2 3 4 5 6 7 8

Рис. 1. Командный сигнал системы управления (13)

t,c

После нескольких этапов имитационного моделирования постоянные коэффициенты комбинированного регулятора были выбраны со значениями

а0 = 500000; а, = 12; а2 = 2; 0 1 2 (14)

/ = 1,5; <р = 0,001; Т = 2; ^ '

На рис. 2 - 4 представлены динамические характеристики системы при исходных данных

а1 =-15; а2 = 2; а3 = 5; а4 =-4; /1 = 1; ¡2 = 4; 1з = 2; /4 = 1; г = 3; V = 5; й = 0,2; Х = 3; и = 0,5; т = 3.

(15)

Ь (t)

i-V.....tJ

г

'0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 2. Ошибка регулирования при параметрах (15)

t,c

9

СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ВЕС1НИК ТОГУ.Ж3. № 1(28)

В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

к (г) ............. .............1............ .............Г............1............. ............. ............

| 1 1

2 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 3. Настройка коэффициента к(г) при параметрах (15)

г, с

в(г)

1

'О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 г,с

Рис. 4. Выход генератора периодических сигналов при параметрах (15)

Рисунки 5 - 7 иллюстрируют динамику системы управления со следующими параметрами

а1 = -15; а2 = 20; а3 = -30; а4 = -8;

1 = 2- 1 = 4- 1 = 5- 1 = 11 п 2 ' 13 ~ М _ 1з

г = 5; V = 3; й = 0,2; 1 = 3; и = 0,5; т = 3.

(16)

* (г ) !

у

V л

|

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 5. Ошибка регулирования при параметрах (16)

г, с

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 1 (28)

°0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 г,с Рис. 6. Настройка коэффициента к(г) при параметрах (16) -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

-0,02 -0,04

-°'°60 1 23456789 г,с Рис. 7. Выход генератора периодических сигналов при параметрах (16)

Из представленных рисунков видно, что применение предложенного комбинированного контура (5), (9), (10) в системе циклического управления нелинейным объектом с запаздыванием (1) - (3) при его различных параметрах позволяет обеспечить формирование требуемого периодического режима на выходе объекта с достаточно высоким качеством. В частности через 6 секунд работы величина ошибки регулирования оказывается пренебрежительно малой (рис. 3 и 5), что свидетельствует о точном слежении за командным сигналом (13). Кроме этого выполненными оказываются и остальные целевые условия (7) (см. рис. 3, 4, 6, 7).

Заключение

Рассмотрено решение задачи периодического управления априорно неопределенным нелинейным объектом с запаздыванием. Показано, что использование предложенного комбинированного контура управления позволяет обеспечить высокие качественные показатели работы системы управления при различных параметрах объекта управления, а также действии на него внешних гармонических и непериодических возмущений.

к (г) ............. ............. ............ ............. ............ ............. ............. ............

СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ВЕС1НИК ТОГУ.Ж3. № 1(28)

В ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

Библиографические ссылки

1. Repetitive Control System: A New Type Servo System for Periodic Exogenous Signals / Shinji Hara, Yutaka Yamamoto, Tohru Omara, Micho Nakato // IEEE Transactions on automatic control. - 1988. - Vol. 33, №7. - P. 659 - 668.

2. Generating Self-Excited Oscillations via Two-Relay Controller / Luis T. Aguilar, Igor Boiko, Leonid Fridman, Rafael Iriarte // IEEE Transactions on automatic control. -2009. - Vol. 54, №2. - P. 416 - 420.

3. Zhen Zhang, Andrea Serrani. Adaptive Robust Output Regulation of Uncertain Linear Periodic Systems // IEEE Transactions on automatic control. - 2009. - Vol. 54, №2. - P.266 - 278.

4. Еремин Е.Л. Нелинейные преобразования алгоритмов прямого адаптивного управления непрерывными объектами: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 1994.

5. Еремин Е.Л. Новый тип алгоритмов параметрической настройки адаптивных регуляторов для систем управления нестационарными Т-периодическими объектами. // Информатика и системы управления. - 2003. - №2 (6). - С.100 - 109.

6. Еремин Е.Л., Капитонова М.С., Чепак Л.В. Разработка алгоритмического обеспечения адаптивных систем автоматического управления циклического действия // Вестник АмГУ. Сер. «Естественные и экономические науки». Благовещенск, 2004. Вып. 25. С. 39 - 41.

7. Капитонова М. С. Адаптивное управление нестационарными объектами в периодическом режиме // Информатика и системы управления. - 2005. - № 1(9). - С. 136 - 141.

8. Еремин Е.Л., Капитонова М.С. Адаптивная система управления Т-периодическими нелинейными объектами // Проблемы управления. - 2007. - № 1. -C.2 - 7.

9. Система адаптивно-периодического управления мехатронным модулем подачи металлорежущих станков / Е.Л. Еремин, М.С. Капитнова, Л.В. Чепак, Е.А. Шеле-нок // Информатика и системы управления. - 2012. - № 2(32). - С. 150 - 159.

10. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Комбинированные алгоритмы системы робастно-периодического управления нелинейным объектом с запаздыванием // Информатика и системы управления. - 2009. - № 3(21). - С. 125 - 135.

11. Еремин Е.Л., Лелянов Б.Н., Шеленок Е.А. Дискретные алгоритмы робастного управления нелинейно-нестационарным объектом в периодических режимах // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2010. - № 1(16). - С. 45 - 54.

12. Шеленок Е. А. Гибридная система управления нелинейным скалярным объектом в циклических режимах // Информатика и системы управления. - 2010. - № 3(25). - С. 147 - 156.

13. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Циклический режим в системе робастного управления манипулятором Барретта // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2010. - № 3(18). - С. 23 - 32.

14. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Периодические режимы в схемах децентрализованного адаптивного и робастного управления // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2011. - № 1(Выпуск 35). - С. 108 - 116.

15. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Управление по выходу с компенсацией гармонических возмущений в условиях априорной неопределенности // Вестник Тихоокеан-

ВЕСТНИК ТОГУ. 2013 № 1 (28)

ского государственного университета. - 2011. - № 1(20). - С. 49 - 58.

16. Шеленок Е.А. Комбинированные алгоритмы нелинейных систем робастного управления в периодических режимах: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Хабаровск: Тихоокеанский государственный университет, 2011. - 20 с.

17. Шеленок Е.А. Адаптивно-робастная система управления нелинейными объектами периодического действия // Информатика и системы управления. - 2012. - № 4(34). - С. 128 - 137.

18. Xin Tang, An Luo, Chunming Tu. A nonlinear repetitive controller // J Control Theory Appl. - 2012. - № 10(1). - P. 50 - 55.

19. Optimal Repetitive Control Based on Two-Dimensional Model / Min Wu, Yong-hong Lan, Jinhua She, Yong He, Li Xu //International Journal of Innovative Computing, Information and Control. - 2012. - Volume 8, Number 3(A). - P. 1897 - 1905.