CC BY
62
ФИЗИКА
УДК 530.1:51-72 ББК 22.311 С 40
В.А. Лямкин, Р.О. Резаев, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов
Система Эйнштейна-Эренфеста типа (k, 1) для нелинейного уравнения Фоккера-Планка*
(Рецензирована)
Аннотация
Для уравнения Фоккера-Планка в пространстве Rn с переменными коэффициентами и нелокальной нелинейностью дано определение класса квазиклассических асимптотических решений, сосредоточенных на неполномерных многообразиях Д k пространства r«, k < n ■ Эволюцию моментов m -го порядка
решения данного класса описывает динамическая система Эйнштейна-Эренфеста типа (k, m), представляющая собой эволюционную относительно времени t систему интегродифференциальных уравнений. Получена в явном виде система уравнений типа (k, 1) , описывающая эволюцию многообразия
I k
Д t . Рассмотрены примеры систем типов (1,1) и (2,1) для уравнения Фоккера-Планка с оператором
квадратичным относительно пространственных переменных и производных.
Ключевые слова: уравнение Фоккера-Планка, квазиклассическое приближение, неполномерные многообразия, система Эйнштейна-Эренфеста типа (k,m).
V.A. Lyamkin, R.O. Rezaev, A.Yu. Trifonov, A.V. Shapovalov
Einstein-Ehrenfest system of (k, 1)-type for the nonlinear Fokker-Planck equation
Abstract
A definition of a class of the semiclassical approximation solutions concentrated on non half-number manifolds Д k of space Rn, k < n is made for the Fokker-Planck equation in space r« with variable coefficients and
nonlocal nonlinearity. The evolution of m-order moments of a solution of this class is described by Einstein-Ehrenfest dynamic system of (k, m)-type, representing the evolutionary, relative to time t, system of integro-
differential equations. The system of (k, 1)-type equations, featuring evolution of manifold Д kt is obtained in an
explicit form. The examples of systems of (1,1) and (2,1) types for the Fokker-Planck equation with an operator, quadratic relative to space variables and derivatives are considered.
Key words: the Fokker-Planck equation, semiclassical asymptotic approximation, non half-number manifolds, Einstein-Ehrenfest system of (k, m)-type.
Введение
В статистических задачах, возникающих в различных областях физики, требуется учет флуктуационных эффектов. Математическое описание флуктуаций в нелинейных системах, состоящих из взаимодействующих подсистем, дается в теории случайных процессов [1, 2].
Эволюция непрерывного многомерного случайного процесса x (t) может быть
описана стохастическим дифференциальным уравнением, в котором учитывается влияние регулярных и случайных воздействий на изменение во времени величины x(t) . В основе
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке АВЦП Министерства образования и науки РФ № 8470; 2.1.1/3436; Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту
№ 02.740.11.0238; гранта Президента РФ НШ-871.2008.2.
стохастического дифференциального уравнения лежит понятие стохастического интеграла. Общеприняты и наиболее разработаны трактовки стохастического интеграла в смысле Ито [3] и в смысле Стратоновича [4, 5]. В конкретных задачах анализ моделей, использующих формализм стохастических уравнений, наиболее удобно проводить методами численного интегрирования. Аналитические методы непосредственно к таким моделям, как правило, не применяются. Математически эквивалентным является описание стохастического процесса x (t) с помощью функции плотности распределения вероятностей u(x, t) случайной величины x (О Rn ) в момент времени t. Эволюция функции u(x,t) описывается уравнением Фоккера-Планка (ФП) [2, 6], для которого методы построения точных и приближенных решений в аналитической форме разрабатывались в теории дифференциальных уравнений. Стохастические процессы с нелинейной обратной связью также могут описываться уравнением ФП, однако в этом случае в уравнение ФП включаются нелинейные слагаемые [7]. Методы точного интегрирования нелинейного уравнения ФП с переменными коэффициентами малоэффективны, т.к. позволяют найти точные решения лишь в исключительных частных случаях, имеющих ограниченные физические приложения [8]. Исследования нелинейного уравнения ФП проводились в основном численно (см., например, [9-17]).
В приближении слабой диффузии асимптотические по малому параметру решения могут быть построены квазиклассическим методом [18-25] для многомерного уравнения ФП с малым параметром при производных и переменными коэффициентами как в линейном, так и в нелинейном случаях с различными типами нелинейности [8]. Нетривиальные приближенные решения строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Метод квазиклассических асимптотик позволяет дать оценку точности построенных асимптотических решений. Другим достоинством метода является то, что на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно отличающиеся по своей математической структуре.
Опишем кратко общую схему квазиклассического метода. Квазиклассическое приближение в качестве необходимого элемента включает в себя построение вспомогательной характеристической динамической системы, описывающей эволюцию моментов функции распределения u( x, t). Эту динамическую систему называют «классической» по отношению к исходному уравнению с частными производными, в нашем случае к нелинейному уравнению ФП. Термин «классический» заимствован из квантовой механики и указывает на аналогию взаимосвязи между квантовомеханическим (линейным) уравнением Шредингера и соответствующими ему уравнениями классической механики [26].
В фазовом пространстве характеристической динамической системы задаются k-мерные многообразия Д 0, k < n Динамическую систему моментов назовем системой
типа (k,m), где k — размерность многообразия, а m — порядок учитываемых моментов. С этой точки зрения система Власова-Гамильтона [23-25] является системой класса (n,1), а системы Гамильтона-Эренфеста (СГЭ) [27-29] порядка m имеют тип (0,m). Под действием фазовых потоков gt характеристической динамической системы начальное многообразие Д 0 эволюционирует вместе с заданными на нем функциями.
Многообразие Д k = gtД 0 неполномерно вследствие неравенства k < n и является областью локализации функционального класса, которому принадлежат
квазиклассические асимптотики. Проекцию функций, заданных на многообразиях Д k , на пространство асимптотических по малому параметру решений исходного уравнения с частными производными в каждый момент времени t позволяет найти канонический
оператор Маслова [19-20].
Задача построения такой «классической» динамической системы для нелинейных уравнений математической физики заведомо нетривиальна, поскольку оператор нелинейного уравнения зависит от решения уравнения и, следовательно, не имеет естественного «классического» аналога в традиционном квантовомеханическом смысле. В отличие от линейных уравнений, где всегда можно предположить, что характеристическая динамическая система связана с символом оператора уравнения, для нелинейных уравнений априори неизвестна какая-либо динамическая система, которую можно рассматривать в качестве кандидата характеристической системы, отвечающей в некотором смысле нелинейному уравнению.
В настоящей работе дано определение решений нелокального уравнения ФП, квазиклассически локализованных на неполномерных многообразиях Л к . Получена классическая динамическая система интегродифференциальных уравнений типа (к,1), к < п, описывающая эволюцию многообразий Л к . В качестве примера для п=3 рассмотрены системы типов (1,1) и (2,1) для уравнения ФП с оператором квадратичным по независимым переменным и частным производным.
1. Система моментов для уравнения Фоккера-Планка с потенциалами общего вида
Запишем многомерное уравнение Фоккера-Планка с квадратичной нелокальной нелинейностью,
и( = DD и + (С и,\Уг (х, 7) + к у Жг (х, у, 7) и (у, 7) dy]). (1)
R”
Здесь х О К”, 7 і 0 — время, к — вещественный параметр нелинейности, а величины V(х, 7), Ж(х, у, 7) — бесконечно гладкие по всем своим переменным функции, которые при |х| ® Г и \у\® Г растут вместе со всеми своими производными не быстрее, чем полином. Функция V (х, 7) имеет смысл потенциала регулярной силы, действующей на систему, а функция Ж (х, у, 7) характеризует внутреннее взаимодействие элементов
системы [7].
В пространстве К” зададим к-мерное многообразие Л к , к < п, системой уравнений х = X (7, ^), где X (7, s) — заданные функции, гладко зависящие от своих переменных, s О G М Кк . Функцию ф (х, 7) назовем квазиклассически сосредоточенной на поверхности Л к , если для любой бесконечно гладкой функции А(х, 7) справедливо
Нт( А = у А (X(7, s), 7) ds . (2)
Здесь обозначено
(А) = А(7,D) = у А(х,7)ф (х,t)dx . (3)
К'
Класс функций квазиклассически сосредоточенных на поверхности Л ( обозначим JkD (X(7, s)) . Решение уравнения (1) будем искать в классе функций JkD (X(7, s)) .
Отметим, что на функциях класса JkD (X(7, s)) справедливо
з|а и (х, 7) 0
11т-----1| = 0 (4)
|х|® г а х Ч ’ К )
где а = (а п) мультииндекс, р| - е а ] , 3 \ха = Х 3 X/ .
1=1 1 1 1 =1
Обозначим
о (і) = у и(X, і) d X.
Продифференцируем соотношение (5) по переменной 7 и подставим производную и{ (х, 7) из уравнения (1), получим
о = у (DA и + (С и,[ V- (х, 7) + к у Жх(х, у, 7) и(у, 7) йу])^х.
Яп Яп
Из теоремы Г аусса и (4) следует, что интеграл в правой части полученного равенства равен нулю и, следовательно, о (7) = о (0).
Выберем в качестве А(х, 7) в (3) вектор х, а в качестве ф (х, 7) возьмем решение
и(х, 7) уравнения (1) из класса JkD (X(7, s)) . Тогда уравнение (3) примет вид
(X) = X(і, D) = у Хи(X, і^Х .
Rn
Продифференцируем (6) по і и учтем уравнение ФП (1), тогда получим
d
d і
(Х) = - уЛx, і) +к т WЛX, у і) u(y, і) —у).
Переход в (7) к пределу с учетом (2) дает
— уX(і,з)ds = - уУг(X(і,s),і)ds - к уdsуЖу(X(і,s),X(і,р), і)dp
— і
(6)
(7)
(8)
Приравняв подынтегральные выражения, получим следующую систему интегродифференциальных уравнений:
^-X = - Vx(X(7, s),7)- к уdpWs(X(7,s),X(7,р), 7).
d і
(9)
Систему (9) будем называть системой Эйнштейна-Эренфеста типа (к, 1). Начальное условие
X(і,з)| і= о= Xo(s), sО G (10)
определяет задачу Коши для системы (9).
2. Уравнение Фоккера-Планка с квадратичными потенциалами
Рассмотрим систему Эйнштейна-Эренфеста для уравнения ФП с потенциалами
V (X, і) и Ж (X, у, і) в виде квадратичных функций координат
V (X, і) = 2 (X, AX),
Ж (X, у, і) = (X, Ву).
(11)
Подставим в уравнение (9) выражения (11) и, обозначив X(7,s) = 2(7,s)О Я3,
s О G М Як, к < 3, приведем систему Эйнштейна-Эренфеста (9) для уравнения (1) с учетом (11) к виду
2 (7, £) = А2 (7, £ ) + В у 2 (7, £У^£У
Начальные условия (10) для системы (12) принимают вид
2(і, з) = ад = (^(з), ВД, ад)т, £ О G М Rk .
(12)
Проинтегрируем уравнение (12), получим
п
п
К
п
К
d T Z (t, s) ds = Aj Z (t, s) ds + Bj d sj Z (t, sy) dsy. (14)
dtG G G G
Обозначим
4C(t) = j Z (t,sy) dsy, (i5)
где k = dim G . Тогда из (14) найдем
4c(t) = ArC(t) + a B zk(t) = (A + a B)Гк(t),
G
где а = у Щ . Для простоты выберем параметризацию 3 области О так, чтобы а = 1,
о
тогда
3(0 = (А + В) 3(0. (16)
Решение системы (16) дается формальным выражением
,кУЧ-, ,к (0) где <
3(0 = е(А+ В) %с(0), где ^ (0) = у 20(з) ^ . (17)
О
С помощью (17) систему Эйнштейна-Эренфеста (12) приведем к линейной неоднородной системе следующего вида:
2(7, з) = А2($, з) + ВгДО = А2(7, з) + 7(7) , 7 (7) = В^ЧО. (18)
Решение однородного уравнения
2 (7, з) = А^% (7, з)
запишем с помощью матрицианта и (7) системы (18),
2 (7, з) = и (7 )2(з). (19)
Матрициант и (7) определяется задачей Коши
и (7) = Аи (7), и (0) = 1, (20)
формальное решение которой дается выражением
и(7) = еА. (21)
Представим частное решение неодн ородной системы (18) в виде
2 (7) = и (7) V (7), (22)
тогда из (18), (20) получим
V (7) = и-1(7) 7 (7 ),
откуда
у(1) = |и-‘(X)7(X)dX. (23)
Объединив (19), (22), (23), найдем решение задачи Коши (18), (13)
2(7,з) = и(7)2„(*) + -Гидо-'({)7(X Щ . (24)
0
С помощью (21) решение (24) примет вид
2(7,з) = еА'2 „(3) + уеА<-х <7(X Щ .
0
Подставим из (17), (18) явный вид вектора 7 (7), получим
I
2(7,з) = еА720(з) + уеА(^)Ве{А+В)* у20(з)Щз . (25)
"0'
G
3. Пример
Проиллюстрируем влияние размерности носителя решения уравнения (1) на эволюцию объектов в фазовом пространстве, определяемую соотношением (25). Для этого рассмотрим решения уравнения (1), локализованные на многообразиях Л k при k = 1,2.
В качестве начального многообразия Л О выберем окружность, заданную уравнением
Л О = {f|f = Z(О,s) =(coss,sins,0)T, sО [0,2p ]} , (2б)
а в качестве Л О - полусферу:
Л О = нf|f = Z(О,s1,s2) = (coss1 sins2,sins1 sins2,coss2)T, s1 О [0,2p], s2О [О, — ]э .(27) О 2 ю
В этом случае соотношение (15) примет вид
2p 2p p /2
3(0) = т Z(О,s)ds =(О,О,О)T, f2(О) = т т Z(О,s1,s2)ds1ds2 =(0,0,1)Т. (28)
О О О
Матрицы А и В в соотношении (11) выберем в виде
жО О О ц ж ЗО - 3 ц
A = З О О О Ч, B = З - 7 2 7 Ч. (29)
U О О О Ш U 5 - 1 - 5 Ш
Собственные значения матрицы B являются чисто мнимыми
11 = V3i, 12 = - ТЗі, і З = о.
Предложенный в (29) выбор матриц А и В позволят наглядно проиллюстрировать влияние размерности многообразия на его динамику. Для этого на многообразии Л ^ выберем замкнутую кривую (будем обозначать ее ) таким образом, что в момент времени t=0, кривая Г 0 совпадает с кривой Л 0, определяемой соотношением (2б) (см. рис. 1). Эволюции кривых Л 0 и Г 0 представлены на рис. 2 - 9. Кривая Л j является
стационарной, то есть Л | = Л 0 (на рис. 2 - 9 кривая Л ) изображена пунктиром),
поскольку в выражении (25) вектор 3(0) и матрица A являются нулевыми согласно (28) и (29). В то же время, эволюция кривой Г 0 определяется как матрицей A, так и матрицей B (поскольку вектор 3 (0) ненулевой), следовательно, кривая не является стационарной. Характер эволюции в рассматриваемом случае определяется собственными числами матрицы B, которые могут быть вещественными или комплексными. Собственные числа матрицы B (29) являются чисто мнимыми, поэтому кривая Г t изменяется во времени периодически (на рис. 10 пунктиром показано движение геометрического центра кривой ).
0.8 > □ 6 ч
0.4 0.2 -0
Рис. 1. Кривая Г 0, выделенная на полусфере, совпадает с кривой (кривая изображена сплошной линией в основании полусферы)
Рис. 2. Кривые л ^ и в момент времени 7=0 совпадают
■2 -2
-2 -2
Рис. 4. Кривые л | и в момент времени 7=1,5 (пунктиром изображена кривая Л1)
-2 -2
Рис. 5. Кривые Л | и в момент времени 7=2 (пунктиром изображена кривая Л |)
■2 -2
-2 -2
Рис. 7. Кривые Л | и в момент времени 7=3 (пунктиром изображена кривая Л ])
-2 -2
Рис. 8. Кривые Л | и в момент времени 7=3,5 (пунктиром изображена кривая Л|)
-2 -2
Рис. 10. Сплошной линией изображена кривая Г 0, пунктиром - движение геометрического центра кривой Г (
Таким образом, данный пример показывает, что эволюция одной и той же кривой различна в зависимости от размерности начального многообразия, которому она принадлежит. Это различие определяется нелинейным слагаемым в уравнении (1), которое пропорционально параметру к (в данном примере к = 0,25).
Заключение
В работе получена динамическая система Эйнштейна-Эренфеста, позволяющая изучать некоторые свойства нелинейного уравнения Фоккера-Планка без явного построения решений уравнения. Это особенно важно, поскольку не известны общие методы построения решений нелинейного уравнения ФП в многомерном пространстве с внешними полями. Существование стационарных решений динамической системы Эйнштейна-Эренфеста связано с существованием стационарных решений уравнения ФП. Полученная нелокальная динамическая СГЭ типа (£,1), ^0 описывает эволюцию
объектов, распределенных в фазовом пространстве. Исследование таких объектов представляет самостоятельный интерес в различных задачах.
Примечания:
1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965. 160 с.
2. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. М.: Наука, 1976. 568 с.
3. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Иностр. лит., 1968. 354 с.
4. Стратонович Р.А. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. 558 с.
5. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 354 с.
References:
1. Gihman I.I., Skorokhod A.V. Introduction in the theory of casual processes. M.: Nauka, 1965. 160 pp.
2. Evlanov L.G., Konstantinov V.M. Sistems with casual parametres. M.: Nauka, 1976. 568 pp.
3. Ito K., Makkin G. Diffusion processes and their trajectories. M.: Inostr. Lit., 1968. 354 pp.
4. Stratonovich R.A. The selected questions of the theory of fluctuations in a radio engineering. M.: Sov. Radio, 1961. 558 pp.
5. Gihman I.I., Skorokhod A.V. The differential equations. Kiev: Naukova dumka, 1968. 354 pp.
6. Risken H. The Fokker-Planck equation: Methods of Solution and Applications. N.Y.: Springer, 1989. 472 p.
7. Frank D. Nonlinear Fokker-Plank equations. Fundamentals and applications. N.Y.; L.: Springer: Verlag, 2005. 407 p.
8. Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu., Masalova E.A. Nonlinear Fokker-Planck Equation in the Model of Asset Returns Sym // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2008. Vol. 4, № 038. P. 1-10.
9. Shiino M. Free energies based on generalized entropies and H-theorems for nonlinear Fokker-Planck equations // J. Math. Phys. 2001. Vol. 42. P. 2540-2553.
10. Drozdov A.N., Morillo M. Validity of basic concept in nonlinear cooperative Fokker-Planck models // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 33043313.
11. Martinez S., Plastino A.R., Plastino A. Nonlinear Fokker-Planck equations and generalized entropies // Physica A. 1998. Vol. 259. P. 183192.
12. Frank T.D., Daffertshofer A. Exact time-dependent solutions of the Renyi Fokker-Planck equations and Fokker-Planck equations related to the entropies proposed by Sharma and Mittal // Physica A. 2000. Vol. 285. P. 129-144.
13. Frank T.D., Daffertshofer A. Multivariate nonlinear Fokker-Planck equations and generalized thermostatistics // Physica A. 2001. Vol. 292. P. 392-410.
14. Frank T.D., Daffertshofer A. H-theorem for nonlinear Fokker-Planck equations related to generalized thermostatistics // Physica A. 2001. Vol. 295. P. 455-474.
15. Kaniadakis G. Non Linear Kinetics underlying Generalized Staistics // Physica A. 2001. Vol. 296. P. 405-425.
16. Pedron I.T., Mendes R.S., Malacurne L.C. N-dimetional nonlinear Fokker-Planck equation whith time-dependent coefficient // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. Iss. 5.
17. Frank T.D. A note on the Markov property of stochastic process described by nonlinear Fokker-Planck equations // Physica A. 2003. Vol. 320. P. 204-210.
18. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.
19. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.
20. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука,
6. Risken H. The Fokker-Planck equation: Methods of Solution and Applications. N.Y.: Springer, 1989. 472 p.
7. Frank D. Nonlinear Fokker-Plank equations. Fundamentals and applications. N.Y.; L.: Springer: Verlag, 2005. 407 pp.
8. Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu., Masalova E.A. Nonlinear Fokker-Planck Equation in the Model of Asset Returns Sym // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2008. Vol. 4, No. 038. P. 1-10.
9. Shiino M. Free energies based on generalised entropies and H-theorems for nonlinear Fokker-Planck equations // J. Math. Phys. 2001. Vol. 42. P. 2540-2553.
10. Drozdov A.N., Morillo M. Validity of basic concept in nonlinear co-operative Fokker-Planck models // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 33043313.
11. Martinez S., Plastino A.R., Plastino A. Nonlinear Fokker-Planck equations and generalised entropies // Physica A. 1998. Vol. 259. P. 183192.
12. Frank T.D., Daffertshofer A. Exact time-dependent solutions of the Renyi Fokker-Planck equations and Fokker-Planck equations related to the entropies proposed by Sharma and Mittal // Physica A. 2000. Vol. 285. P. 129-144.
13. Frank T.D., Daffertshofer A. Multivariate nonlinear Fokker-Planck equations and generalised thermostatistics // Physica A. 2001. Vol. 292. P. 392-410.
14. Frank T.D., Daffertshofer A. H-theorem for nonlinear Fokker-Planck equations related to generalised thermostatistics // Physica A. 2001. Vol. 295. P. 455-474.
15. Kaniadakis G. Non Linear Kinetics underlying Generalized Staistics // Physica A. 2001. Vol. 296. P. 405-425.
16. Pedron I.T., Mendes R.S., Malacurne L.C. N-dimetional nonlinear Fokker-Planck equation whith time-dependent coefficient // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. Iss. 5.
17. Frank T.D. A note on the Markov property of stochastic process described by nonlinear Fokker-Planck equations // Physica A. 2003. Vol. 320. P. 204-210.
18. Maslov V.P. Excitation theory and asymptotic
methods. M.: Moscow State University
Publishing House, 1965. 549 pp.
19. Maslov V.P. Operator methods. M.: Nauka, 1973. 544 pp.
20. Maslov V.P., Fedoryuk M.V. Semiclassical approximation for the equations of quantum mechanics. M.: Nauka, 1976.
i976.
21. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. М.: Наука, i988. 3i2 с.
22. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, i977. 384 с.
23. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.: Наука, i976. i92 с.
24. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Современные проблемы математики. i978. T.ii. С. i53-234.
25. Маслов В.П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование. М.: Изд-во ИКИ, 200i. 384 c.
26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, i974. 752 с.
27. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: I. High order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type // Ann. of Phys. i996. Vol. 246, № 2. P. 23i-280.
28. Belov V.V., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. The Trajectory-Coherent Approximation and the System of Moments for the Hartree Type Equation // J. Math. and Math. Scien. 2002. Vol. 32, № 6. P. 325-370.
29. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теор. Мат. Физ. 2002. ТЛ30, № 3. C. 460-492.
21. Maslov V.P. Asymptotic methods and the excitation theory. M.: Nauka, 1988. 312 pp.
22. Maslov V.P. Complex method of phase integrals (method VKB) in the nonlinear equations. M.: Nauka, 1977. 384 pp.
23. Maslov V.P. Complex Markov chains and continual integral of Feynman. M.: Nauka, 1976. 192 pp.
24. Maslov V.P. The equations of the self-coordinated field // Modern problems of mathematics. 1978. Vol.11. P. 153-234.
25. Maslov V.P. Quantization of thermodynamics
and ultrasecondary quantization. M.: IKI
Publishing House, 2001. 384 pp.
26. Landau L.D., Lifshits E.M. The quantum mechanics. M.: Nauka, 1974. 752 pp.
27. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics I. High order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type // Ann. of Phys. 1996. Vol. 246, No. 2. P. 231-280.
28. Belov V.V., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. The Trajectory-Coherent Approximation and the System of Moments for the Hartree Type Equation // J. Math. and Math. Scien. 2002. Vol. 32, No. 6. P. 325-370.
29. Belov V.V., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Quasiclassical trajectory-coherent approximation for the equation of Hartree type // Theory of Mat. Phys. 2002. Vol.130, No. 3. P. 460-492.
