Квазиклассическое приближение для одномерного двухкомпонентного реакционно-диффузионного уравнения с нелокальной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531/534.01:51-72 ББК 22.314.1 Л 38

Левченко Е.А.

Техник лаборатории математической физики кафедры высшей математики и математической физики физико-технического института Томского политехнического университета тел. (3822) 4189-13, e-mail: [email protected] Трифонов А.Ю.

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики и математической физики физико-технического института Томского политехнического университета, тел. (3822) 41-89-17, e-mail: [email protected] Шаповалов А.В.

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики Томского государственного университета, тел. (3822) 52-98-43, e-mail: [email protected]

Квазиклассическое приближение для одномерного двухкомпонентного реакционно-диффузионного уравнения с нелокальной нелинейностью^"

(Рецензирована)

Аннотация

Для одномерной системы из двух уравнений реакционно-диффузионного типа с квадратично нелокальной нелинейностью и слабой диффузией развит формализм построения квазиклассически сосредоточенных асимптотических решений на основе комплексного метода ВКБ-Маслова. Формализм существенно использует систему моментов решения исходных уравнений реакционно-диффузионного типа (систему Эйнштейна-Эренфеста) и линейную систему уравнений в частных производных, ассоциированную с исходной нелинейной системой. С помощью развитого формализма построено асимптотическое решение задачи Коши в классе траекторно-сосредоточенных функций. Найден нелинейный опера. .

Ключевые слова: Системы типа «реакция-диффузия», квазиклассическое приближение, система Эйнштейна-Эренфеста, траекторно-сосредоточенные функции, задача Коши, оператор эволюции.

Levchenko E.A.

Technician of Mathematical Physics Laboratory of High Mathematics and Mathematical Physics Department of Physical-Technical Institute of Tomsk Polytechnic University, ph. (3822) 41-89-13, e-mail: leww @sibmail.com

Trifonov A.Yu.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of High Mathematics and Mathematical Physics Department of Natural Sciences and Mathematics Faculty, Tomsk Polytechnic University, ph. (3822) 41-8917, e-mail: [email protected]

Shapovalov A.V.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Physics Faculty at Tomsk State University, ph. (3822) 52-98-43, e-mail: [email protected]

Semiclassical approximation for the one-dimensional two-component reaction-diffusion equation with nonlocal nonlinearity

Abstract

The semiclassical asymptotics formalism is developed for a one-dimensional two-component system of reaction-diffusion equations with quadratic nonlocal nonlinearity and weak diffusion. The formalism is based on the WKB-Maslov method of complex germ. The formalism uses momentum system of the reaction - diffusion equations (the Einstein-Ehrenfest dynamical system) and the linear system associated with the nonlinear reaction-diffusion system. In the framework of the developed formalism asymptotical solution of the Cauchy problem

^ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке АВЦП ФАО Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» по контрактам № 02.740.11.0238 и П691.

is constructed in the class of trajectory concentrated functions. The nonlinear évolution operator is found. General formalism is illustrated by example.

Key words: «Reaction-diffusion» systems, semiclassical approximation, Einstein-Ehrenfest system, trajectory concentrated functions, Cauchyproblem, evolution operator.

Введение

Системы двух уравнений реакционно-диффузионного (РД) типа описывают динамические диссипативные структуры (ДС) во взаимодействующих двухкомпонентных средах, пространственное распределение которых определяется диффузией. ДС могут реализовываться в виде диссипативных солитонов (автосолитонов) в активных средах [1-3], в полупроводниковых системах [4]. Математическое моделирование нелинейных двухкомпонентных РД-систем дало объяснение одного из сложных биологических явлений - морфогенеза [5, 6]. В популяционной биологии уравнения РД-типа описывают динамику формирования популяционных структур в колониях микроорганизмов [7] и популяционных волн [8].

Теоретическое изучение ДС существенно использует решения систем уравнений РД-типа. Ввиду математической сложности подобных уравнений их решения строятся, как правило, методами компьютерного моделирования. Точные решения в аналитической форме удается построить в частных случаях [9, 10] методами теории симметрии дифференциальных уравнений [11]. В [9, 10] симметрийный анализ применялся к двухкомпонентным РД-системам дифференциальных уравнений, в которых нелинейные взаимодействия в системе локальны.

В ряде биологических популяционных систем взаимодействие носит нелокальный характер и описывается нелокальными (интегральными) членами в РД-уравнениях [12]. Применение стандартных методов теории симметрии дифференциальных уравнений к таким интегродифференциальным системам уравнений РД-типа сталкивается с принципиальными трудностями. Для систем уравнений РД-типа с квадратичной нелокальной нелинейностью метод квазиклассических асимптотик [13, 14] позволяет строить в явной аналитической форме классы приближенных асимптотических решений, а также находить решение задачи Коши в специально введенном классе функций.

В [15] развит формализм квазиклассических асимптотик для одного уравнения РД-типа с нелокальной квадратичной нелинейностью, что позволило найти в явном аналитическом виде счетный набор квазиклассических решений, оператор эволюции.

Целью данной работы является разработка формализма квазиклассических асимптотик для одномерной системы из двух уравнений РД-типа следующего вида:

^=d д ^( )+dxV ( x1 )u( xt )]+А( x1 )и( x *)

x „ x (1)

- rB(x, t)u(x, t) J<b(x, y, t), u(y, t)>dy,

где D - малый асимптотический параметр; к - параметр нелинейности;

А( x t) =||ajk ( ^ t )||2х2 , А( x t )=У ajk ( ^ t) ||2х2 , B( x t )=h bjk ( ^ t) | |2x2, u = (u (1), u ,

b(x y, t) = (b1(x, y, t), b2(x, ^ t))T , ajk (x, t), bjk ( x, t ), bj ( x, y, t ) и V ( x, t ) - заданные бесконечно гладкие функции, растущие при | x |,| y |^^ не быстрее, чем полином, а

V. ( x, t ) = .

dx

Система (1) обобщает известное уравнение Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова (ФКПП) [16, 17]. Развитый формализм использует результаты работы [15] и описывает динамику «узких» начальных распределений.

1. Траекторно-сосредоточенные двухкомпонентные функции

Перейдём к описанию класса двухкомпонентных функций, в котором мы будем искать локализованные асимптотические решения уравнения (1). Функции этого класса сингулярно зависят от малого параметра В и регулярно зависят от произвольной траектории х = X(¿, В) е Я1, t е Я1, и вещественнозначной функции Я(¿, К) (аналога

классического действия в линейном случае при к = 0). Функции этого класса сосредоточены при В ^ 0 (см. ниже) в окрестности точки, движущейся вдоль заданной кривой в конфигурационном пространстве х = X (^ ,0), и названы траекторно-сосредоточенными функциями.

Двухкомпонентная функция у(х, t) называется траекторно-сосредоточенной

функцией класса ]1В = ]1В(X(¿,В),Я(I,В)), если ее можно представить в виде у( х, t) = $^, В )Ф( х, t), где ^(¿, В) - двухкомпонентная вектор-функция, зависящая от

переменной t, а функция Ф(х,t) является траекторно-сосредоточенной: Фе РВ .

Класс функций Р'(В (X (^ В), Я (^ В)) определяется следующим образом [15]:

Р,° = Р,°(X(I, О), 5(/,О)) == \ Ф : Ф(г, I, О) = ф

( Дх ^ " 1

уу/0 у ехр —5 (I, О) . О _

(2)

где вещественная функция ф(п, I, О) принадлежит пространству Шварца Б по переменной пє К, гладким образом зависит от I и регулярно зависит от \[О при О ^0. Здесь Дх = х-X(I,О), а вещественные функции 5(I,О) и X(I,О), характеризующие класс Р° (X (I, О), 5 (I, О)), регулярно зависят от л/О в окрестности О = 0 и подлежат определению.

Можно показать [15], что для функций класса ]1° справедливы следующие асимптотические оценки:

|| рк || = о (к+1 )/2 )

1|и|| ( Л (3)

||[Од, + X(I,О)Одх -5(I,О)]и|| = ' '

|| и ||

где обозначено р = Одх. В частности, из (3) следуют оценки операторов

€=(0(40), Дх = 0(70 ).

2. Система Эйнштейна-Эренфеста

Предположим, что для нелинейной системы (1) существуют точные (или отличающиеся от них на величину 0(О™)) решения в классе траекторно сосредоточенных функций с начальным условием и(х, О) є ]0 . Обозначим через

аи1 (t)

V°и2 (t)у

(4)

где

)= | и1(х, )dх, аu2(t)= | и2(х, t)Лх

- моменты функции нулевого порядка. Аналогично для начальных и центральных моментов высших порядков

хщ (t)' V XU2(t) у

)(t)

кащ)(t ^

(5)

где

1 ^ 1 ^

хu1(t) =----Iхи1(^ t№ хu2(t) =-------^ Iхи2(х, t№

1 аu1(t) -1 2 °и2^) -1

1 1 1 1

а<Щ ^ ^) =------ С (Ах)и1 (х, t)Лх, аЩ ^ ^) =------ [ (Ах)^ и2 (х, t)Лс.

1 ^0) -1 2 °и20) -1

Разложим функции Ух (х, t), вектор-функцию Ь( х, у, t) и матрицу А( х, t) в ряд Тейлора по Ах = х - X^) и Ау = у - X^). Подставим полученные разложения в уравнение (1). Тогда с учетом обозначений (5) запишем

ди( х, t) д2 и( х, t) д -1.. чк , ч

^ > >. = в-------+ — У (Ах)к и(х, Г)

х

дt

х 2

к=0

1 дкУ, (I) к! дхк

+У

к=0

(Ах)к дкA(t)

1 д"Б(() , ,^(Ах)к+" ок+/Ь(1 ),Л(1)аЩ>(/»'

"=0

"! х "

/=0

к!1!

дхкду1

к! х к

+ 0(В(м+1)/2),

и(х, t)

(6)

где

Л0) = ^), аи2 (t)).

Обозначим

Л д ■ д

— = — + X ^) —

Л дt дх

и потребуем, чтобы траектория х = X ^) определялась уравнением

X = -ух (X, t).

Тогда с учетом оценок (3) запишем

'(Ах)1 дк¥х()

к=]

(7)

ёи(х, ^ = в д2и(х, ^ + д У Л дх2 дху

к! дхк

и(х, t)

м

+у

к=0

(Ах)к д кА(})

^^.м 1 д"Б(г) ( ,^ (Ах)к+" ок+'Ь(/),Л(<)а</V)>'

-л.." и(х,1) ^

"=0

"! дх"

/=0

к!/!

дхкду1

к! дхк

+ 0(В(м+1)/2).

и( х, t) -

(8)

со

Эволюция средних (4), (5) с учетом оценок (3) определяется соотношениями

м

а=£

к =0

IЭ-Ш Лк) -к£ 1 дм а+")£"_1_<дк+1 b(t),ла))'

к! дхк и £"! дх" и £ к!/! дхкду/

+ 0(В(м+1)/2), (9)

м

-Е

к=1

1 э+к* (t)

к! дх

Ла,(к>

ки

Х <д к+1 Ь(г),ЛаЩ11)

1 к! /! дхкду/

м

+Е

к=0

м

+1

к=0

1Ла) - кЕ 1 д"Б"^1 лО-+")

к! дхк и "! дх"

Х

э+а (t)

к! дх

Ла

,(к+1)

м"

ки

"=0

к

д "Б(t) "! дх"

ЛаЩк+"+1) Х

% к! /! дхкду1

/

-Л~1Лхи + 0( В(м+1)/2),

(10)

м - ] +1

°а) =-1 Е

к=1

к! дхк

м - у

+ Е

к=0

Х

Хм^ <дк+/ b(t), ЛаЩ1))

к!/! дхкду1

С учетом (7) запишем

м

а = Е

к! дх и "=0"! дх"

+ В] (] - 1)аЩ]-2) - ]Ха(и]-1) -ЛЛи1) + 0(В (м+1)/2). (11)

к =0

1 дкл(') Ла<к)-ку 1 дБО 1 <зк+' ь(' )Лк))

и ^ я! дх" и ^

к! дх

/=0 к!/! дхкду'

+ 0(В(м+1)/2), (12)

м

хи =

-1

к=1

1 тй Ла)

к! дхк

м

+1

к=0

к! дхк

1 д") Л(а(к+")X + О'к+"+1))мт 1 ^дк+'b(t),Ла(') ^

^"! дх" и и ^

/=0 к!/! дхкду'

м - ] +1

би) =-] Е

к=0

1д ‘у. (‘) Лб«+у -

к! дх

м - ]

+ Е

к=0

1 дк A(t)

Лб (к+]) - к

Л~Лхи + 0(В(м+1)/2), (13)

м - ]

Е

:(к+]) „V 1 Т!Й(к+п+])

-Лб (к+”+"х

му" А- <д к+/Ь^), Лб и}) Х ^ к!/! дхкду/

к! дх и "=0"! дх"

+Ву( ]-1)аи]-2) -Л'Лаи1) + 0(В(" *‘»'2). (14)

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных X, х и а( \ 1 = 1, м ,

X = -V, (X, t) ,

м

а-I

к =0

IдкА(/)л0+ к) К 1 дБ(0Лак+„)I <дЬ(/),Ла(/))

к! дхк 1"! дх" 1 к!/! дхк ду/

(15)

хи =

х=-£

к=1

I д % «)

к! дхк

ЛО

к)

+ 1

к=0

дк А^) к! дхк

Л(О к) X + а( к+1)) -

(/) N

-к]Г ± Л(0к+"> X+Ок *" *») <д к+' Ь(^°() >

"! Эх" ' к!/! дхкду/

-Л 1Л

(17)

а

(}) -

м -1+1

1 X

к=0

1 д% (0 Ла(к+1 -1)

к! дхк

м -1

+ 1

к=0

1 д к A(t)-Ла(k +1)

к! дхк

к-1 ^ Э"в(£) Ла(k+я+])м^.]_n 1 (д^ШЛО >

^ "! дх" ^

к!/!

дхк ду/

+ В1 (1 -1)01 -2) - Л^ЛатВ). (18)

Начальные условия для системы (16)-(18) определим соотношениями

и.. ^ ^

а I/=0= а.

% 0

V 0 °ф2V

(19)

, Л0 =

аФ1 = | .1( х)dх, 2 = Л0 | Ф 2 (х)Лх

— 1 —1

1 1 х ^=0 = хф = J хФ(х В)Лх X ^=0 = 2 (хФ1 + хФ2 )

— 1

1

а<к)и= афк)= Л-1 \(х-х.)+ф(х,вуъ, к = 1м.

Систему уравнений (16)-(18) будем называть системой уравнений Эйнштейна-Эренфеста типа (0,м для системы РД-уравнений (1). Решение этой системы будем обозначать

дфм)(! ) = ( X. (0,стф" )(1), хфм»((),аф‘-м )(0,аф2м 1(1),...,афмм )т (20)

Общее решение системы (16)-(18) будем обозначать

д(м )(t, С) = (X ^, С), а( м )(t, С), х(м )(t, С), Ом С), О2м )(t, С),..., а(м,м )(t, С)), (21)

где С - набор констант интегрирования. Необходимо отметить, что в силу

определения моментов должно выполняться тождество

ащмЧ< ) = хим Ч() - Ки ((). (22)

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Решения системы Эйнштейна-Эренфеста х.^ ^, В) и

б фк,м ^ В), к = 1, м, порядка м и средние (4), (5) связаны соотношениями

х„ (I, В ) = хфм '(г, В) + 0( В <м+||/2),

О, в/, В) = стф"»(!, В) + 0( В1 м

О)В1,в) = афк,м)В1,в)+0(В(м+1)/2), к = 1,м.

где и = и(х, I, О) - квазиклассически сосредоточенное решение системы (1) с

Т в '0

начальным условием ф(хо)є /О3.

3. Ассоциированное линейное уравнение

В уравнение (6) вместо средних <уи (I, О) и а о ) вида (4), (5) подставим решения системы Эйнштейна-Эренфеста типа (0,М вида (16)-(18). В результате получим вспомогательное уравнение на функцию V (х, !,С):

О МхО = О2 + О А У (Дх)к г(х, I)

дl дх2 дх У ^ ^ '

, .х,

к=0

1 ЭкУ_, (I)

к! дхк

1 д п B(I) ^ 1 <дк+1 b(l ),Л(I )а( )(I, С))>

+О У

к=0

1 ^^-(Дх/ v(х, I) -

х, I )У^^ »КЧ^КЧ» (Ах)к+”

П=0 п! дхп к!1! дх ду1

к! дхк + 0(0(м+1)/2) .(24)

С учетом оценок (3) справедливо утверждение:

Утверждение 2. Если квазиклассически сосредоточенные решения уравнений (1) и (24) удовлетворяют одному и тому же начальному условию

и I=0= V I=0= Ф(х, В), Ф(х, В) е Jo, (25)

то решения этих уравнений связаны соотношением

и( х, t) = V(м}(х, t, Сф) + 0( В(м+1)/2), (26)

где постоянные Сф определяются из условия

д(м )В1, С) = дфмV). (27)

Уравнение (24) будем называть ассоциированным линейным уравнением Фишера-Колмогорова порядка м .

С учетом оценок (2) уравнение (24) представим в виде

[ Йм) (д(м} (I, С)) + 4БЁм) (д(м} (I, С)) + В$м) (д(м} (I, С)) +.. .> = 0, (28)

где

Щ ’(д(-м )В1 , С))=Вд, - В +X- в/) Вд х - В |-а% в/ ) - в[А(/)-ав)<ь(/)Ьм ь, с)>],

дх дх

л/В^ )(д(м )(1, С)) = В Йх (Ах)2 2 +ВАх[А х (I)-кВ. (1)<Ь(1),а<м )(|, С)> -

-*Б(| )Ь (г),о<" |((, С)>]-кВБШЬу в/),Л<г)а<|-м )(г, С», (29)

В&м ) (д <м) (/, С))= В А (Ах)31 +В<Ах)2[ Ах (г)-аБ „ (г Ш ),а<м ’(г, С)> -

дх 6 дх 4

-к )<Ь » (I), м(м) (I, С)> - 2 К х (I )<Ь х (I), м(м) (I, С))] - ОКх[В х (I )<Ь у (I), Л(I )а(1м) (I, С)> + + 2 )(Ьху (I \А(і )*(1,м-(I, С))]-кОБ^ )(Ьуу (I ),Л(I )*(2,м-(I, С)>,

Из оценок (3) следует, что л1в+¿¡к (д<м) (I, С)) = (0<Вк12+1).

Траекторно-сосредоточенные решения уравнения (28) (v(х, I, В) е ) будем

искать в виде

V(х, I, С,В) = V<0) (х, I, С, В) + ^¡DvВ1)(х, I, С,В) + Вv<2)(х, I, С, В) +..., (30)

где функции V<к)(х,I,С,В)е ^(х(м)(1,С),Я(I,В)) .

Подставим (30) в (28) и приравняем слагаемые, имеющие одинаковую оценку по В в смысле (3). Получим следующую рекуррентную систему уравнений:

€м )(д(м -(I, С)> ^=0,

3^ )(д(м -(|, С)> (1) + §М )(д(м -(I, С)> (0) = 0,

$м )(д(м-(|, с))у (2) + §м )(д(м-(I, С)> (1) + ,4м )(д(м-(|, С)> (0) = 0,

(31)

Решение первого уравнения (31) будем искать в виде

V (0)( х, I, С) = м( м ^ С)у( х, I, С).

(32)

Подставив (32) в (31) для определения функции ^( х, I, С), получим уравнение

д2 д

ОдI + X(I)Одх - О -2 - О — ДхГхх (I) дх дх

у = 0

(33)

Уравнение (33) является линейным одномерным однокомпонентным уравнением Фоккера-Планка. Функция Грина уравнения (33) имеет вид (см., например, [15])

О(0)(х,у,1,5,П (м^,С)) = Здесь

2пОм2 (1,5)

ехр

Ml(1,5) -(Дх2 -мъ(и5)Ду2)

2 0м2 (1,5)

(34)

м (I, 5) =

м^, 5) м2^, 5) м2 (I, 5) мз(l, 5)

матрицант системы в вариациях

м = Н УаГ (I) м, Н УаГ (I ) =

1 0

0 1

— I

(35)

V 2 Уха (I),

Обозначим через $ <0) (I, д<м) (I, С)) оператор, ядром которого является функция G(0) (х, у, I, д <м) (I, С)). Тогда для функции

и(0)(х,I) = и(0)(1,д<м)(г,С))и(х) = ам)(г,С))о(0)(х,у,I,д<м)(г,С)) |с=сф ^(у¥у, (36)

где и(х) е ]В , справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Функция и<0)(х, I) (36) является асимптотическим решением

уравнения (1) порядка 0( В ) с начальным условием

и \г=0= ф<х), ф<х) = $0¥0<х), ¥0<х)е Р0В, $0 е Я - (37)

а оператор и <0)(г, д<м }(1, С)), действующий по правилу (37), является приближенным

3/2

(с точностью 0( О )) оператором эволюции уравнения (1).

4. Пример

В уравнении (1) положим

V (х, 0 = 0, А =

-1 0

V 0 - 2 У

Б =

3 - 2

V 4 1 У

Ь =

ґ і \

V Л)

Тогда уравнение (1) примет вид

V 0 -2 У

' 3 -2 \

и(х,I) - к 1 и(х,I) |Ц(у,I) -м2(у,О^у, (38)

V -4 1 У

ди(х, I) = в д и(х, I) + дг дх2

Система уравнений (16)-(18) примет вид

X = 0,

а = АЛа - кБЛаф, Ла),

х = АЛ( Xа+а(1)) - кБЛ( Xа+а(1) )<Ь, Ла) - Л_1Л,

аВ) = АЛаВ1} - кБЛаи)(Ь,Ла) -Л_1Ла(1\

Для уравнения (1) поставим задачу Коши

и \/=0=У (0)¥0<х),

где

у( х, I ) =

ехр

0,

V

4 - х2

х є (0,2),

х й (0,2).

С учетом (39) уравнение (33) примет вид

¥г = В¥ хх.

(39)

(40)

(41)

Начальные условия (39) ведут к следующим начальным условиям для уравнения (41):

¥ \/=0 = ¥ 0 <х).

Решение уравнения (41) можно записать в виде

1

¥< х1) = 10< х у, 1 )¥ 0 < у) ^,

(42)

где G( х, у, I) - функция Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности:

О (х, у, I ) =

1

2ау[П

ехр

Система дифференциальных уравнений (17), соответствующая уравнению (38), примет вид

а, = -о„ + 3м2 - 5о„о„ + 2м2

|о„. = -2а„ - 4м2 + 5о„.о„. -м2 .

М1 М1 М2

Для системы (44) поставим задачу Коши

(0) = 2, аи2(0) = 3.

Решение уравнения (38) определяется соотношением (см. рис. 1)

1

и(х, г) = а(г) 10(х, у, г)¥0 (у)Лу.

(44)

(45)

(46)

Рис. 1. Кривые и1<х, I) и и2<х, I) в моменты времени I = 0 <а); I = 0,5 <о) и I = 1,5 <в) (шлиховой линией изображена кривая и2 <х, г))

5. Заключение

2

В работе развит формализм квазиклассических асимптотик для одномерной двухкомпонентной системы реакционно-диффузионных уравнений с нелокальной нелинейностью, обобщающих известное популяционное уравнение Фишера-Колмогорова-

Петровского-Пискунова. Формализм квазиклассических асимптотик включает динамическую систему моментов решения исходных РД-уравнений.

В отличие от однокомпонентного уравнения [15], для системы уравнений (1) каждый момент представляет собой двухкомпонентную функцию времени. С помощью динамической системы Эйнштейна-Эренфеста типа (0,M) из нелинейной системы (1) получается параметрическое семейство линейных уравнений ассоциированных с исходной нелинейной системой. Связь решений линейной и нелинейной систем устанавливает утверждение 2. Эта связь позволяет также построить приближенный нелинейный оператор эволюции для нелинейной реакционно-диффузионной системы (1) с помощью функции Грина ассоциированной линейной системы. Приведенный пример иллюстрирует практическое применение общего формализма в частном случае.

Развитый в работе формализм построения квазиклассических асимптотик открывает дополнительные возможности исследования диссипативных структур в широком классе физических, химических и биологических систем реакционнодиффузионного типа.

Примечания:

1. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных системах // Успехи физических наук. 1990. Т. 160, № 9. С. 1-73.

2. Bode M., Purwins H.-G. Pattern formation in reaction-diffusion systems - dissipative solitons in physical systems // Physica D. 1995. Vol. 86, No. 1. P. 53-63.

3. . . // . 2000. . 170,

№ 4. C. 462-465.

4. Астров Ю.А., Берегулин E.B. Полиморфизм конденсированной фазы диссипативных солито-нов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36. Вып. 13. С. 96-102.

5. Turing A.M. The Chemical Basis of Morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1952. Vol. 237. P. 37-72.

6. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. 512 с.

7. Fujikawa H., Matsushita M. Bacterial fractal growth in the concentration field of nutrient // J. Phys. Soc. of Japan. 1991. Vol. 60. P. 88-94.

8. - - / . . , B.H. Бикташев, Дж. Бриндли [и др.] // Успехи физических наук. 2007. Т. 177, № 3. С. 275-300.

9. . . - //

технологии. 1998. Т. 3, № 4. С. 87-94.

10. . . // -

ское моделирование. 1995. Т. 7, № 3. С. 107-115.

11. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

12. Fuentes M.A., Kuperman M.N., Kenkre V.M. Nonlocal interaction effects on pattern formation in population dynamics // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 158104-1-158104-4.

13. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

14. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. матем. физика. 1988. Т. 92, № 2. С. 215-254.

15. Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Одномерное уравнение Фишера-Колмогорова с нелокаль-

// , . 2009. . 52,

№ 9. С. 14-23.

16. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Annual Eugenics. 1937. Vol. 7. P. 255-369.

17. Колмогоров A.H., Петровский Н.Г., Пискунов H.C. Исследование уравнения диффузии, со-

, // Бюллетень. МГУ. Сер. А. Математика и Механика. 1937. Т. 1, № 6. С. 1-16.