CC BY
40
К : ¿4[X,. -X,.(К)] = 0, 1 = 1,п . (3)
,=1
После преобразования уравнение (3) примет
вид: Ик : Во , ,= ЦП , где Во =-¿АХ(К) .
, ,=1
Аналогичным образом получают уравнения /и гиперплоскостей, проходящих через все граничные точки области работоспособности. Рассматривая полученные уравнения как й-конъюнкции [10, 13] и, следуя методу касательных гиперплоскостей, можно получить аналитическое описание границы области работоспособности в виде линейной аппроксимации всех ее граничных точек. Предложенный способ получения аппроксимирующих область работоспособности гиперплоскостей исключает необходимость анализа условия нахождения граничных точек по одну сторону каждой гиперплоскости. Это, в свою очередь, приводит к существенной экономии машинного времени и повышению быстродействия предлагаемого алгоритма по сравнению с известными алгоритмами [7, 8].
Количество гиперплоскостей (неравенств), получаемых для аппроксимации области работоспособности данным методом, зависит от количества граничных точек N линейным образом. Время про-
верки выполнения условий работоспособности сокращается на порядок по сравнению со временем проверки условий работоспособности для областей аппроксимируемых методом гиперплоскостей. Объем памяти ЭВМ, который требуется при использовании этого метода, уменьшается более чем на два порядка по сравнению с известными методами. В докладе рассматривается алгоритм, реализующий рассмотренный метод линейной аппроксимации граничных точек.
Вывод. Рассмотренные методы назначения допусков на параметры ТС предполагают линейную аппроксимацию области работоспособности и характеризуются малыми затратами времени. Достоинства метода линейной аппроксимации граничных точек существенно возрастают с ростом размерности пространства первичных параметров и при п> 30 становятся решающими при выборе данного метода. Полученное аналитическое описание области работоспособности позволяет, используя свойства й-функций, сформировать такую целевую функцию, которая обеспечивает возможность использования любого известного метода направленного поиска для решения задачи параметрической оптимизации ТС по критерию запаса работоспособности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саушев А.В. Области работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев. - СПб.: Политехника, 2013. - 412 с.
2. Абрамов О.В. Некоторые особенности задачи оптимального параметрического синтеза / О. В. Абрамов // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2011. - С. 3 - 5.
3. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов. - М.: Наука, 1974. - 416 с.
4. Милов Л.Т. и др. Вопросы контроля управляющих динамических систем. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 4, 1972. - С. 41-50.
5. Jarvis R.A. On the identification of the convex null of a finite set of points in the plane. Information processing letters, 2, № 1, 1973. - С. 18-21.
6. Дегтяр В.У., Финкельштейн М.Я. Алгоритмы классификации, основанные на построении выпуклых оболочек. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 2, 1974. - С. 17-22.
7. Дятлов В.А., Кабанов А.Н., Милов Л.Т. Контроль динамических систем. - Л.: Энергия, 1978. -88 с.
8. Диго Г. Б., Диго Н. Б. Реализация параллельного алгоритма аппроксимации области работоспособности выпуклым многогранником // Информатика и системы управления. 2006. № 1 (11). С. 167-174.
9. Саушев А.В. Планирование эксперимента в электротехнике: СПб. СПГУВК, 2012. - 272 с.
10. Саушев А.В. Аналитический метод назначения допусков на параметры динамических/ Информатика и системы управления, №3(33), 2012. - С. 120-131.
11. Саушев А.В. Параметрический синтез технических систем на основе линейной аппроксимации области работоспособности// Автометрия. - 2013. - Т.49, № 1. - С. 61-67.
12. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. - М.: Академия, 2009. - 206 с.
13. Горячев Н.В. К вопросу реализации метода автоматизированного выбора системы охлаждения / Горячев Н.В., Кочегаров И.И., Юрков Н.К. // Алгоритмы, методы и системы обработки данных. 2013. № 3 (25). С. 16-20.
14. Кочегаров И.И. Алгоритм выявления латентных технологических дефектов печатных плат методом оптического контроля / Кочегаров И.И., Ханин И.В., Лысенко А.В., Юрков Н.К., Алмаметов В.Б. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2013. № 3 (27). С. 105114.
15. Саушев А. В. Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество» : в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2014. - С. 120 - 123.
УДК 621.396 Саушев А.В.
ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова», Санкт-Петербург, Россия
СИНТЕЗ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Введение. Оптимизация технических систем (ТС) на этапе параметрического синтеза предполагает решение двух основных задач - определение номинальных значений внутренних параметров системы и допустимых пределов их изменения. Внутренние параметры - это параметры элементов ТС, которые характеризуют состояние и свойства самой системы. При проектировании они определяют вектор X управляемых (варьируемых) параметров. Математическая функциональная модель ТС представляет собой алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах внутренних параметров X и внешних параметров V. Внешние параметры характеризуют свойства внеш-
ней по отношению к ТС среды и оказывают влияние на ее функционирование. Выходные параметры характеризуют свойства ТС, интересующие потребителя. Они представляют собой параметры-функционалы, т.е. функциональные зависимости фазовых переменных ТС и параметры, являющиеся граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность системы. К выходным параметрам на стадии параметрического синтеза относятся показатели назначения, параметрической надежности и экономичности [1, 2].
Показателем параметрической надежности при ограниченных статистических данных о законах
распределения внутренних параметров ТС во времени является запас работоспособности [1, 3, 4]. Область работоспособности G=PПM определяет множество допустимых значений внутренних параметров, при которых выполняются все требования, предъявляемые к выходным параметрам ТС [5].. Эта область определяется условиями работоспособности, которые в случае двухсторонних ограничений на параметры имеют следующий вид:
Yjmn * Yj = Fj(X) < Yjmax, j =
< x,. < i = ГП '
(i)
где
Yj max (Xi max ) ' Yj min ( Xi min )
соответственно
j тах V I тах / ' ^ п
максимально и минимально допустимые значения 3-го выходного У3 (1-го внутреннего Х±) параметра; ¥ - оператор, устанавливающий связь между внутренними и выходными параметрами; В и Р - допус-ковые области, определяемые соответственно первым и вторым неравенствами (1). При этом области В в пространстве внутренних параметров будет соответствовать допусковая область М.
Трудность решения задач параметрического синтеза обусловлена тем, что эти задачи приходится решать в условиях многокритериальности [1, 6]. Кроме того, область работоспособности, определяющая допустимые пределы изменения внутренних параметров, имеет, как правило, достаточно сложную конфигурацию.
В статье рассматривается поисковый метод оптимизации, который предполагает, что каждая из функций-ограничений неравенства (1)
Yjmaх — Fj(X) > 0 и Fj(X) — > о аппроксимирована конечным множеством линейных гиперповерхностей Вз, и допусковая область М задана в виде следующей системы неравенств:
2т п
XЛ (X) > о , ^(X) = ^о + X > о .
j=1 1=1
Методы аппроксимации области работоспособности системой линейных неравенств рассмотрены, например, в работах [5, 6]. В отличие от известных методов оптимизации [6] предлагаемый метод позволяет сформировать такую целевую функцию, для которой возможно применение любого известного алгоритма поисковой оптимизации. При этом достигается максимально возможный или заданный запас работоспособности ТС.
Выбор целевой функции. Рассмотрим методологические аспекты выбора целевой функции при оптимизации ТС. В основу методологии положен аксиоматический принцип.
Постулат 1. Основополагающим постулатом методологии является констатация того факта, что любая ТС характеризуется двумя обобщенными параметрами - эффективностью (полезностью) и затратами (платой за полезность). Постулат логически вытекает из фундаментального философского закона диалектического единства противоположностей. Следствием постулата является формулировка двух критериев оценки ТС - эффективности (01) и цены (02). Критерий цены характеризует ТС значением параметра 02 при фиксированном значении параметра 01, а критерий эффективности - значением параметра 01 при фиксированном значении параметра 02.
Постулат 2. Обобщенные параметры ТС 01 и 02 могут быть представлены в виде функциональных зависимостей от ее выходных и ресурсных параметров, под которыми понимаются параметры системы, определяющие величину затрат и характеризующие потребление различных ресурсов при ее создании и эксплуатации.
Постулат 3. Два варианта Бц. и Б2 решения задачи оптимизации считаются равно эффективными 01(51) = 02(Б2) лишь в том случае, когда равны попарно их соответствующие выходные параметры Уз(Б1) = Уз(Б2). На основе постулата 3 функция Й.(У) конкретизируется в форме вектора.
Постулат 4. Ресурсы ТС тождественны товарам. При этом любой товар, как экономическая катего-
рия, принципиально имеет цену, и она может быть установлена. Следствием постулата является конкретизация функции цены в форме 02 = ЪЬТ , где Ь - стоимость (цена) единицы ресурса (товара) Т. Эта формула по своей сути принципиально отличается от похожей по форме аддитивной функции записи обобщенного показателя качества, которую вводят с целью сведения к скалярной векторную оценку ТС [6, 7].
Задача оптимизации критерия цены налагает на обобщенный параметр 01 условие его постоянства. Единственно возможным способом удовлетворить это требование является фиксирование всех выходных параметров ТС, т.е. задание определенных потребительских свойств системы. При этом само выражение и, следовательно, методология оптимизации, инвариантны относительно величины фиксированного значения цели системы и определяют лишь форму ее задания.
Задача оптимизации критерия эффективности 01 предполагает нахождение его максимума. Вместе с тем, операция оптимизации вектора не имеет смысла. Единственным логически возможным способом разрешения этого противоречия является фиксация всех компонент вектора, кроме одного, который и подлежит максимизации. При этом:
где д - нефиксиро-
Qi = (Yq'Yj = const)'j =j * ^ ,
ванный выходной параметр ТС.
Выражение для критерия 01 накладывает на параметр Уз, з Ф д, только требование фиксирован-ности, но оставляет полную свободу в выборе его конкретных значений.
Анализ литературных источников показывает, что для большинства ТС на первое место выдвигается требование высокой надежности. Применительно к решаемой задаче это означает, что в
качестве параметра
Yq целесообразно выбрат
q
вероятность безотказной работы или запас работоспособности системы.
Непосредственное использование важнейшего показателя параметрической надежности - вероятности безотказной работы в качестве целевой функции при оптимизации внутренних параметров системы не всегда эффективно вследствие его малой чувствительности [6] вдали от границ области работоспособности и большой трудоемкости вычислений. Кроме того, при отсутствии статистических данных о распределении параметров элементов ТС, вероятность безотказной работы принципиально не может быть использована в качестве такой функции.
Целевой функцией при решении задачи параметрической оптимизации ТС предлагается выбрать запас работоспособности X(X) или минимальный запас работоспособности Xi (X) , т.е. min Xi (X) .
Эти критерии позволяют получать в отличие от других известных критериев оптимизации любое Парето-оптимальное решение [6, 8, 9].
Доказано, что для разных законов распределения выходных параметров максимизация выбранной целевой функции, т.е. максимум минимального запаса работоспособности
X(X0) = maxX(X) = max min X,(X) , (2)
X £ G X £ G j £[1,m ] J
дает близкую к максимальной вероятность безотказной работы системы [6].
Решение, получаемое по алгоритму (2), является единственным и в максимальной степени обеспечивает выполнение всех условий работоспособности (1). При этом автоматически учитываются показатели назначения ЭТС, стоимость ее изготовления и, кроме того, чувствительность и возможные уходы выходных параметров, связанные с вариациями параметров комплектующих элементов в процессе изготовления, хранения и эксплуатации системы.
Для некоторых ЭТС в силу специфики их работы, в качестве целевой функции целесообразно выбрать не запас работоспособности X(X) или
его минимальное значение
Л (X),
какой-либо
показатель назначения. Однако при этом одним из критериев, на которые накладываются ограничения, как правило, должен быть требуемый уровень запаса работоспособности.
Формирование целевой функции. В пространстве
К" внутренних параметров введем метрику 1, которая является функцией координат двух любых точек этого пространства, например точек А и В. При этом
1 = (X, (А) - X,- (В)) ,
где X, (А), X, (В) - координаты векторов точек А
и В соответственно; ц - нормирующий множитель по 1-ой координате параметров X. Если одна из точек, например точка А, является граничной точкой области работоспособности, а точка В находится внутри этой области и ее координаты характеризуют состояние ТС в рассматриваемый момент времени, то данная метрика будет определять запас работоспособности системы и служить критерием определения координат оптимальной точки.
Для формирования целевой функции представим область работоспособности в виде единого аналитического выражения. С этой целью введем в рассмотрение и воспользуемся свойствами логических Я-функций [5].
Пусть У = ¥ (X) есть функция, определенная всюду в пространстве Яп. Согласно определению Я-отображения [5] данная функция является Я-функцией, если в каждой из областей Hj(j = 1, 2, ..., 2п) она сохраняет постоянный знак.
При этом область Hj представляет собой совокупность всех точек пространства Яп, для которых хотя бы одна координата Х± равняется нулю. В результате использования Я-функций область работоспособности может быть задана следующим неравенством:
а
с = ((...(((ф1 л*а1 щ) а %а ■■■) <(,-1) V = V >0
,=1
(3) ,
где ая, , = 1, а - величины, принадлежащие интервалу ая е [-1; 1] .
В том случае, когда все ограничения (1) ляются двухсторонними 6 = 2(ш+п). При этом
яв-
V =щ(X) = fj(X), g = / = 1,2т .
X,тах - X, > 0
Функции-ограничения X, - X¡mm > 0 описываются гиперплоскостями
-щ2
щ(Х) = ^(Х), 8 = 2т, а, г = 1,2" .
Для построения Я-конъюнкции удобно воспользоваться формулой [9, 10]:
% ла %=0,5 (%+%
где Я(ф1, ф2) - функция, обеспечивающая наличие к производных Я-конъюнкции.
В том случае, если не требуется, чтобы Я-конъюнкция была дифференцируема, формула (3) может быть упрощена. Принимая а = 1, получим:
- 2арр2)К(р,
V), (4)
Ф1 л%2 = 0,5 (р+Щ |).
(5)
В формуле (3) могут быть опущены скобки, и конечный результат не будет зависеть от последовательности свертки.
На основании использования свойств Я-функций можно записать:
С = М лкаР> 0 .
Принимая значение а = 1, а также следуя формулам (3) и (5), получим аналитическое описание области работоспособности в виде следующего рекуррентного соотношения:
6=0,5(М+Р-М+Р|>0; (6)
М = М 2т =0,5( М 2т-1
■Ф2т) - М2т-1 - Рт)
М2т-1 = 0,5 (М2т-2 + Рт-1 - |М2т-2 - %т-\); м, = 0,5(М,-1-| М,-1 );
М2 = 0,5(М1 + р2 -|М1 -р21); М1 = р.
Допусковая область Р описывается аналогичным образом, только функции ограничения будут иметь
вид V = %(X) = у (X) .
В случае если т=п=2, 6=2(т+п), а внутренние параметры заданы в относительных единицах, причем X1шin = X2mm =-1 , X1max = X 2тах = 1 , области М и Р запишутся в виде следующих неравенств:
М = 0,25(^1тах + У2тах - У1тт - У21
-|2F2(X1,- У2тах - У2тт| - |У1тах +-I2min - у1тт - у2тах ' +12F1(X1,X2) - У2тах - У2тт | - |Щ^Ъ^2) - У1тах - У1тт||) > 0;
Р = 0,5(2 -X1\-|X1\XI -^Ц) > 0 .
Используя основное свойство Я-функций, заключающееся в том, что логические операции и простейшие арифметические операции над Я-функциями образуют новую функцию, которая также принадлежит к классу Я-функций, можно заключить, что аналитические описания областей М, Р и О также будут являться Я-функциями.
Получим уравнение границы области О1, расположенной эквидистантно области О и внутри нее. При этом множество граничных точек областей О и О1 , будут располагаться относительно друг друга по направлению градиента к функции О на одну и ту же величину 1.
Рассмотрим две граничные точки N е у/(X) еМ
и Nце УЦ(X) е М1 . Координаты точки N ц ляются выражением:
у2тш У1тах У1тт|
+ У . -у . -у +
' 0 ттп 1 ТТ11Т1 0 тя\г '
опреде-
(дЛ (XV дX¡) I да
\grad да
-Л ,
(X) = (хуах,) .
Откуда: ф/^) = fj(X) - ,гаа .
(7)
Уравнение границы области М, на основании использования свойств Я-функций, примет следующий вид:
Мц = ф'2т (X) = 2тЛ-1{0,5( У1fj(X) ^./1fj+l(X) - У1fj(X)-У^да!)} = 0
fl1o(X) = flЦ(X) . (8)
В том случае, если граничная точка принадлежит области Р, координаты точки Ым определяются
выражением: X1 =X, ±/ . Аналитическое описание
областей Р и О производится аналогично описанию областей Р и О по формуле (6).
Доказано, что при любом числе Я-функций
V (X), , = й
значение Я-функции О, аналитически описывающей границу области работоспособности в виде конъюнкции этих функций, для любой внутренней точки области определяется значением функции фр (X), которое является наименьшим сре-сех других Я-функций (X) . Кроме того, всех точек, определяющих линейную гиперпо-
ди для верхность
/
области О , вычисленное значение
Я-функции О есть
еличина постоянная
6]
От-
и
сюда следует, что функция С принципиально может быть использована в качестве целевой функции при параметрическом синтезе ТС по критерию запаса работоспособности. Недостатком такой целевой функции является невозможность использования поисковых методов оптимизации, поскольку для произвольной точки, принадлежащей границе области работоспособности, функция С1 не является постоянной, а принимает значение из множе-
ства возможных значении
(fA fm, l}.
Построим й-функцию, которая будет принимать единственное значение для любой точки, находящейся на одинаковом расстоянии от границы области работоспособности, т.е. от любой гиперповерхности Вз. С этой целью, на основании (6),
сформируем R-функции вида:
tf (X) = fj(X)/|grad fj (X)| .
Легко видеть, что полученные й-функции обладают требуемым свойством, причем для любой внутренней точки области работоспособности, находящейся на одинаковом расстоянии от ее ближайшей граничной точки, вычисленное значение функции будет равно 1. При этом искомая функция будет иметь следующий вид:
G¡' = 0,5 (ы1 + Р," — \ы 1 + Р1
где
Pf= P ,
M f = А
- {о,5(^(X) + ^+1(Х) — (X) — ^+1(Х)|) = о} 9^о(Х) ^ ^Г(X) .
Таким образом, функция G^ может являться целевой функцией при оптимизации ТС на максимум запаса работоспособности, причем для вычисления
координат оптимальной точки по критерию тах G¡' может быть использован любой поисковый метод оптимизации. Кроме того, при поиске исключается зацикливание алгоритма в независимости от формы границы области работоспособности. Важным свойством полученной функции является возможность
распознавания состояния ТС. Если вычисленное значение функции положительное, то система находится в работоспособном состоянии. Если результат окажется отрицательным, то система находится в неработоспособном состоянии. В том случае, если значения внутренних параметров выражены в относительных единицах, вычисленное в любой внутренней точке области работоспособности значение функции будет характеризовать относительное значение запаса работоспособности ТС, принадлежащее интервалу [—1; 1].
При использовании для оптимизации градиентных методов, характеризующихся наибольшим быстродействием, при построении функции G^ следует использовать формулу (3), которая позволяет осуществлять операции дифференцирования.
В докладе рассматривается пример практического применения синтезированной целевой функции.
Вывод. Выбор оптимальных значений внутренних параметров ТС по критерию максимального или заданного запаса работоспособности обеспечивает работоспособное состояние системы на предстоящий период времени. Это особенно актуально для ТС водного транспорта, большинство из которых характеризуются параметрической нестабильностью. В том случае, если известна информация о границе области работоспособности, заданная в виде системы линейных ограничений на значения ее внутренних параметров, возможно построение целевой функции, обеспечивающей поиск оптимума на основе известных алгоритмов. При этом исключается зацикливание в процессе поиска, а полученный результат в относительных единицах характеризует запас работоспособности системы. Аналитическое описание области работоспособности на основе использования логических й-функций, позволяет достаточно просто идентифицировать текущее состояние ТС и решать задачи прогнозирования. Рассмотренный метод был апробирован при решении задач параметрического синтеза электротехнических систем и устройств объектов водного транспорта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саушев А.В. Основы управления состоянием электротехнических систем объектов водного транспорта. СПб.: ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова, 2015. - 222 с.
2. Саушев А. В. Структура процесса управления состоянием сложных электротехнических систем / А. В. Саушев // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 3. - С. 23 - 30.
3. Абрамов О. В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности / О. В. Абрамов. - М.: Наука, 1992. - 176 с.
4. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования / И. П. Норенков. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 336 с.
5. Саушев А. В. Области работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев. - СПб.: Политехника, 2013. - 412 с.
6. Саушев А. В. Параметрический синтез электротехнических устройств и систем / А. В. Саушев. -СПб.: ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова, 2013. - 315 с.
7. Саушев А. В. Параметрический синтез технических систем на основе линейной аппроксимации области работоспособности / А. В. Саушев // Автометрия. - 2013. - Т.49, № 1. - С. 61-67.
8. Саушев А.В. Планирование эксперимента в электротехнике. - СПб.: СПГУВК, 2012. - 272с.
9. Артемов И.И. Дислокационная модель фреттинг-усталости в условиях вибрационного нагружения металла / Артемов И.И., Кревчик В.Д. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 5. С. 4245.
10. Саушев А. В. Структура, метод и алгоритмы оптимального параметрического синтеза динамических систем // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1 - Пенза : ПГУ, 2013. - С. 214 - 217.
11. Артемов И.И. Экспериментальные исследования разрушения листовой рессоры транспортных средств / Артемов И.И., Келасьев В.В., Генералова А.А. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2009. № 2. С. 145-155.
12. Саушев А. В. Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности // А. В. Саушев // Труды международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1 - Пенза: ПГУ, 2014. - С. 120 - 123.
УДК 519.816
Сафронов В.В., Северов А.А. , Батраева И.А., Попов А.Н., Тетерин Д.П. ОАО «КБ Электроприбор», Саратов, Россия
ВЫБОР ЭФФЕКТИВНЫХ ВАРИАНТОВ СРЕДСТВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ БОРТОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МЕТОДАМИ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ
Введение. Бортовая система управления (БСУ) одна из основных подсистем летательного аппа-
рата (ЛА), во многом определяющая его основные характеристики. При подготовке ЛА к непосредст-
