Метод синтеза многопараметрических динамических систем на основе информации о границе области работоспособности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396 Саушев А.В.

ФГБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова» Санкт-Петербург, Россия

МЕТОД СИНТЕЗА МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИИ О ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

Введение. Состояние динамической системы (ДС) в любой фиксированный момент времени характеризуется некоторым набором или вектором параметров, среди которых можно выделить:

входные параметры u = (uj, М2,к, uk ,...,ue) , характеризующие задающие воздействия u(t) и наблюдаемые

на входах системы;

параметры внешних условий

V = (vb V2,..., vp,..., Vf )

характеризующие возмущающие воздействия на сис-

тему;

внутренние параметры Х = ( у, Х 2,к, Х i,..., Х п)

характеризующие состояние элементов ДС и называе-

мые также первичными параметрами. На примере электромеханических систем к ним относятся величины сопротивлений, индуктивностей, емкостей, масс, моментов инерции, жесткостей упругих связей, коэффициенты усиления, постоянные времени, геометрические размеры элементов;

внутренние параметры

zu = ( zu, zu,..., zvg,..., zu)

характеризующие фазовые переменные на выходах

устройств, входящих как элементы U = 1,h , h - число элементов, в состав ДС;

выходные параметры Y = (Yi,Y2,...,Yj,...jm), характеризующие различные функциональные зависимости

фазовых переменных на выходах ДС от времени или частоты. Эти параметры характеризуют свойства ДС, интересующие потребителя и представляют собой параметры-функционалы, а также параметры, являющиеся граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность системы.

Проектирование ДС на этапе параметрического синтеза сводится к решению двух основных задач -определению номинальных значений первичных параметров системы и допустимых пределов их изменения. При проектировании эти параметры определяют вектор X управляемых (варьируемых) параметров.

К выходным параметрам на стадии параметрического синтеза относятся показатели назначения, параметрической надежности и экономичности [1] . Показателем параметрической надежности при ограниченных статистических данных о законах распределения внутренних параметров ДС во времени может являться запас работоспособности [1, 2, 3].

В общем случае следует выделять внешние и внутренние условия работоспособности, которые устанавливаются при проектировании ДС [4, 5].

Под внешними условиями работоспособности будем понимать условия, выполнение которых необходимо для того, чтобы ДС функционировала с требуемыми показателями качества. Эти условия определяются заданными соотношениями между выходными параметрами ДС и техническими требованиями к этим параметрам .

Под внутренними условиями работоспособности будем понимать условия, при которых элементы ДС, способны выполнять возложенные на них функции, сохраняя при этом работоспособное состояние. Эти

ZV

и их допустимыми

значениями, а также между первичными параметрами X и их предельными значениями.

Условия работоспособности могут быть односторонними и двухсторонними и для второго (более общего) случая имеют вид:

Yjmin < Yj = Fj (X) < Yj maxJ = 1 m

Zjmin < Z) = FJ (X) < Z^, J = 1h (1)

Ximin < X i < X imax, i = 1,n,

где Yj max ( Zjjmax ) , Yj min ( Zjjmin ), Yj ( Zj ) - соответственно максимально и минимально допустимое

значения j-го выходного Yj (внутреннего Z'j ) параметра; F(X) - оператор связи первичных параметров с внутренними ZJ и выходными Y параметрами; Xi min и Xi max - предельно допустимые значения первичных параметров.

Первое неравенство в системе неравенств (1) является внешним условием работоспособности и оп-

m

ределяет допусковую область Dy=1 Dj пространства выходных параметров, которая имеет вид m-

j=1

мерного гиперпараллелепипеда (бруса) евклидова пространства Rm . Каждой области Dj значений выходных параметров соответствует область Mj значений первичных параметров. Это соответствие может

быть

этом

записано в виде отображения Fyx '■ Dy ® My множества каждое неравенство ( Fj ( X)-Yj min ) ' (Yj max - Fj ( X)) ^ ^ j=1,m

mm

Dy=1 Dj в множество My =1 Mj . При

j =1 j =1

в n-мерном евклидовом пространстве

Rn первичных параметров определяет область Mj .

Второе неравенство в системе неравенств (1) является внутренним условием работоспособности и

m __

определяет допусковые области DZ=1 Dj , J = 1,h пространства внутренних параметров ZJ , кото-

j=1

рые по виду соответствуют области Dy . Каждой области Dvz , согласно отображению • Dj ® Mj , в

пространстве Rn соответствует область Mvz . Объединение областей Mvz определяет допусковую об-

h __

ласть Mz = 1 Mj , n = 1,h .

Третье неравенство в системе неравенств (1) также является внутренним условием работоспособности и определяет допусковую область Dx , которая, как и области Dy и Dj , имеет форму бруса:

Dx ={X Є Rn\Xtmn < X,. < X,.max, і = 1,n} .

Область G = Dx ПMz ПMy , которая является пересечением областей Dx , Mz и My , называют областью работоспособности. Эта область определяет множество допустимых значений первичных параметров, при которых выполняются все требования, предъявляемые к выходным и внутренним параметрам системы. Форма области работоспособности может иметь весьма сложную конфигурацию.

Для решения задачи назначения допусков на значения первичных параметров большинство известных методов с целью упрощения реальную область допустимых изменений параметров (область работоспособности) заменяют некоторым ортогональным гиперпараллелепипедом (брусом) S оптимальным в том или ином смысле [2] . Допустимые пределы изменения устанавливаются при этом независимо на каждый первичный параметр. Однако такая замена приводит к большой методической погрешности, которая нелинейно возрастает с ростом числа первичных параметров. Кроме того, для не односвязных областей работоспособности известные методы не всегда имеют однозначное решение [1, 5]. Для повышения точности аппроксимации области работоспособности используют также эллипсоидальную функцию [б]. Однако и в этом случае методическая погрешность аппроксимации для многопараметрических систем, остается недопустимо большой [5] . Таким образом, актуальной является задача разработки более точных методов аппроксимации области работоспособности и назначения допусков на параметры элементов ДС. В работах [5, 7, 8] рассмотрен общий подход к решению этой задачи. Известные алгоритмы, как правило, основаны на линейной аппроксимации выпуклых областей работоспособности. Они требуют больших затрат времени на вычисления и малопригодны для ДС, состоящих из большого числа первичных параметров.

Для параметрической оптимизации ДС, характеризующихся параметрической нестабильностью, в качестве целевой функции предлагается выбрать минимальный запас работоспособности, который необходимо максимизировать. В случае оптимизации по одному из показателей назначения, например, по времени переходного процесса или по интегральному показателю качества, запас работоспособности следует учитывать как ограничение, обеспечивая при синтезе его требуемое предельное значение. Методологическое и математическое обоснование выбора предлагаемой целевой функции приводится в работах [1, 3, 9]. В работах [10, 11] изложен метод параметрического синтеза ДС по критерию запаса работоспособности .

Для сложных ДС, характеризующихся большим числом первичных параметров, с целью сокращения временных затрат для рассмотренных выше задач, требуется разработка специальных, быстродействующих алгоритмов .

В докладе рассматриваются алгоритм назначения допусков на первичные параметры многопараметрических ДС, характеризующийся низкой методической погрешностью, а также алгоритм параметрического синтеза по критерию запаса работоспособности.

Алгоритм назначения допусков на первичные параметры ДС

Будем предполагать, что в результате использования известных методов [5] получено множество граничных точек области работоспособности. На основе данной информации требуется получить аналитическое описание области работоспособности, которое будет определять допустимые пределы изменения первичных параметров ДС.

Учитывая, что область работоспособности представляет собой пересечение конечного числа гиперповерхностей fg , g = 1,2,...,d; d = 2(m + h + n) , определяемых неравенствами (1) и представленных в

одном из следующих видов Fj(X) - Yjmin > 0 , Yjmax - Fj(X) > 0 , Fj (X) - zvJmin > 0

zn

j max

Fj (X)>0 ,

X,. - X,._ > 0 , X,._ - X,. > 0 , можно записать:

і , min , max і

G = fl A f2 A ... Л fg Л ... Л fd .

Для существенного повышения достоверности математического описания областей работоспособности предлагается аппроксимировать каждую из гиперповерхностей fg в отдельности. В том случае, если

функции fg принадлежат к классу ^-функций можно воспользоваться их свойствами и перейти от логической к аналитической форме записи [4].

Пусть У = F (X) есть функция, функцией. если в каждой из Q [ F (х„ X 2,..., Xn)] = j = const. При

определенная всюду в пространстве Rn . Данная функция является R-

она сохраняет постоянный знак, т. е.

областей Hj (j = 1,2,K,2n)

этом область Hj представляет собой совокупность всех точек про-

странства Rn , для которых хотя бы одна координата X, равняется нулю.

Для построения R-конъюнкции удобно использовать следующую формулу [12]:

fg Aka fg+1=0,5( fg+fg+1 -J fg+fl+1 - 2afgfg+,)R (fg, fg+1),

где R(fg,fg+i) - функция, обеспечивающая наличие k производных R-конъюнкции, ає [-1; 1] - параметр преобразования, fg=fg (X) уравнение g-ой гиперповерхности области работоспособности G.

В том случае, если не требуется, чтобы R-конъюнкция была дифференцируема, эта формула может быть упрощена. Принимая коэффициент а = 1 , получим

fg A fg+i = °,5(fg + fg+i ~\fg - fg+i\)■

Последовательно используя рассмотренное выше преобразование можно получить аналитическое выражение аппроксимирующее область работоспособности, которое с высокой достоверностью будет определять допустимые пределы изменения первичных параметров ДС.

Рассмотрим вопрос получения математического описания для гиперповерхностей fg .

Для сложных ДС, характеризующихся высокой размерностью пространства первичных параметров, аппроксимировать гиперповерхности fg , заданные множеством граничных точек, предлагается регулярными кривыми, зависящими от небольшого фиксированного числа параметров. Наиболее точную аппроксимацию позволяют получить гиперэллипсоиды. Однако, как показал анализ тестовых примеров, для аппроксимации достаточно использовать частный случай эллипсоидов - сферическую функцию. Предлагаемый подход позволяет, с одной стороны, существенно упростить аналитическое описание области работоспособности, а с другой стороны, гарантировать низкую методическую погрешность такой аппроксимации.

Запишем уравнение сферы в декартовых прямоугольных координатах в пространстве Rn первичных параметров системы:

n

2 (X, - ХУ = г2 ,

i=1

где X, , i = 1,n - координаты, определяющие центр гиперсферы; r - параметр, определяющий ее ра-

диус. Перепишем это уравнение в следующем виде:

n n

2Xi +2aiXi + a° = ° ,

i=1 i=1

n 2

где ai=-2X°, a° = 2 (X°) - r2

Получим расчетные формулы для определения неизвестных коэффициентов в уравнении (2), воспользовавшись для этой цели методом наименьших квадратов:

N

2=2

к=1

2 x,2( Rk) + 2 aiXi (Rk)+a°

.i=1 i=1

= mm ,

-i2

n

n

где Rk , к = 1,N - массив граничных точек для аппроксимируемой гиперповерхности fg .

Для минимизации суммы квадратов отклонений, приравняем к нулю частные производные по коэффици-

ентам о, , i = 0,n . Для упрощения записи вместо Xi(Rk) будем писать X^ :

Э2

После

получить

N n n

22

2 Xki+2 aiXki+a°

■ Xki = ° , i = °,n .

k=1_ i=1 i=1 _

преобразований получим систему линейных искомые коэффициенты a°,o^,...,an :

N

a0 N + ■■■ + ai 2 Xki + ■■■ + an

k=1

N N n

2 Xrn+22 Xki=°

r=1 k=1 i=1

алгебраических уравнений

решая которую можно

a°2Xki+■■■+ai2Х+■■■+an2XkiXkn+22Xl=° . (3)

k=1

""i ki

k=1

“~n 1 kiy kn 1 ki

k=1 k=1i=1

N N N N n

a° 2 Xkn + ■■■ + a, 2 XkXkn + ■■■ + an 2 Xkn + 22 X^kn = °

k=1 k=1 k=1 k=1 i=1

Представим полученную систему уравнений в матричной форме записи:

(FTF)A = Q ,

где F - матрица базисных функций по всему множеству заданных граничных точек Rk ; A - матрица

N

N

Nn

искомых неизвестных коэффициентов эффициентов. При этом

' 1 X11 Xi1 • Xn1 ■

F = 1 X1k • • Xik • • Xnk

1 X1 N XiN ■ XnN _

FT - транспонированная матрица F; Q

Nn

-22 xi 1

k=1 i=1

Q =

Nn

■22 x2 ■ x

k=1 i=1

ki .

Nn

-22 xl ■ Xkn

k=1 i=1

матрица постоянных ко-

Матрица произведения FrF= Ф определяет матрицу известных коэффициентов в системе уравнений

(3) при неизвестных коэффициентах a0,al5...5an .

Решение системы уравнений в матричной форме записи имеет следующий вид: A = Ф-^ = (Frf)-1 Q . (4)

Это решение может быть без труда получено с помощью специальных встроенных функций в различных системах программирования. При этом, достаточно часто, для удобства программирования в системе уравнений (3) первое уравнение следует записывать последним и счет начинать не с нуля, а с единицы .

После определения координат центра гиперсферы и ее радиуса, необходимо вычислить методическую погрешность аппроксимации, которая рассчитывается по следующей формуле:

} =і

rN

EJE (

і

)2

\

J

Вычисленное значение } должно быть меньше допустимого значения }доп , определяемого заданной погрешностью аппроксимации. Для большинства ДС }доп є[0,05;0,1] при задании значений первичных пара-

метров в относительных единицах.

В том случае, если множество граничных точек неизвестно, уравнение, описывающее гиперповерхность f можно получить на основе использования методов планирования эксперимента [13].

Алгоритм оптимизации системы по критерию запаса работоспособности

Задание области работоспособности в виде единого аналитического выражения, а также использование для описания этой области поверхностей гиперсфер позволяют получить выражение для целевой функции при оптимизации ДС по критерию максимизации запаса работоспособности.

В пространстве Rn первичных параметров введем метрику 1, которая является функцией координат

двух любых точек этого пространства

например точек A и B. При этом l =

Em (x,. (A) - x (B))2

i=1

где

Xi(A) , Xt(B) — координаты векторов точек A и B соответственно; — нормирующий множитель по i — ой координате параметров X. Если одна из точек, например точка A, является граничной точкой области работоспособности, а точка B находится внутри этой области и ее координаты характеризуют состояние ДС в рассматриваемый момент времени, то данная метрика будет определять запас работоспособности системы и служить критерием определения координат оптимальной точки. Перепишем выражение в формуле (2) в следующем виде:

n n n 2

fo (X) = Ex,2 - 2Ex°x,+E(x0) - r2

n

E (x - xo) - r2.

i=1

Выразим координату x, через радиус гиперсферы r и метрику 1

собности ДС. При

0

x, = x. + r -1

этом:

характеризующую запас работоспо-

Подставляя значение x, в выражение для функции f (X), получим:

f (X) = (r -1)2 - r2 .

Откуда

l = r Xr2 +f0(X) .

Из определения Д—функции следует, что полученное выражение для 1 относится к их классу. Воспользуемся свойствами R—функций:

1 = 0,5(L + Dx -\L-Dxj),

где L — свертка R—конъюнкций 1, определяющих расстояние от внутренней точки области работоспособности до соответствующей гиперповерхности fg .

В работе [1] доказано, что при любом числе R-функций fj(X) , j = 1,m значение R—функции G, аналитически описывающей границу области работоспособности в виде конъюнкции этих функций, для любой

внутренней точки области определяется значением функции fp(X), которое является наименьшим среди

всех других R—функций fj (X) :

"R(X) є G, fm (X) = G = fp [ R(X)] ,

где fp [ R(X)] = inf fj [R(X)], j = 1,...p,..., m .

Таким образом, функция L, по аналогии с функцией G, может быть использована в качестве целевой функции при параметрическом синтезе ДС по критерию запаса работоспособности.

Если область работоспособности является односвязной областью, для оптимизации может быть использован любой метод одномерного поиска, включая разработанный автором модифицированный алгоритм симплексного поиска [5] . В самом общем случае, когда область работоспособности является не односвязной, возможно использование метода статистических испытаний с генерацией точек на основе псевдослучайной последовательности ЛПт—поиска [14, 15] .

В том случае, если при параметрическом синтезе запас работоспособности является лишь ограничением, а оптимизация ведется по другому критерию, вначале определяется допусковая область Gi , в

пределах которой запас работоспособности ДС больше или равен заданному значению 1. описывающее область О, , будет иметь следующий вид:

О = 0,5(M, + Dx -\M, -Dx\)

Ml = Ml2m = 0,5(Ml2m-1 + j2m - |Ml2m-1 - j2m |); Ml2m-l = 0,5(Ml2m-2 + j2m-1 - |Ml2m-2 - j2m-l|);

Уравнение,

M,j=0,5( Mu-l + jj- \Mu-i- j|);

Ml2 = 0,5(Ml1 + j2 - |Ml1 - j21);

M„ = j

n n n 2

j = 2X,2 -X°Xt + Z(X°) -(ri -1)2 .

, = 1 , = 1 , = 1

Рассмотренные в докладе алгоритмы решения поставленных задач доведены до программного обеспечения и апробированы на тестовых примерах и реальных электротехнических системах. В качестве примера, для наглядности, рассматривается относительно простая техническая система, условия работоспособности которой определяются тремя неравенствами, а число первичных параметров равно двум.

Заключение. Предложенные алгоритмы параметрического синтеза ДС позволяют существенно повысить достоверность аппроксимации области работоспособности, что особенно актуально для сложных систем, характеризующихся большим числом первичных параметров. Полученное выражение для целевой функции позволяет достаточно просто решить задачу параметрической оптимизации системы по критерию запаса работоспособности. Следует отметить, что разработанные алгоритмы целесообразно использовать при большой размерности пространства первичных параметров. В этом случае единственной альтернативой остается аппроксимация области работоспособности вписанным в нее гиперпараллелепипедом. Однако при таком подходе к назначению допусков на параметры системы методическая погрешность аппроксимации становится недопустимо большой. Это является следствием того, что при больших размерностях пространства первичных параметров основной объем области работоспособности сосредоточен в непосредственной близости от ее границы.

Рассмотренные алгоритмы были апробированы на тестовых примерах и при решении задач параметрического синтеза разнообразных электротехнических систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саушев А.В. Методы управления состоянием электротехнических систем. СПб.: СПГУВК, 2004. -126 с.

2. Абрамов О. В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М. : Наука, 1992. - 176 с.

3. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования.- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

- 336 с.

4. Саушев А. В. Математическое описание областей работоспособности электромеханических систем // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - № 6. - С. 7-13.

5. Саушев А.В. Области работоспособности электротехнических систем.- СПб.: Политехника, 2013.

- 412 с.

6. Катуева Я.В., Назаров Д.А. Аппроксимация и построение областей работоспособности в задаче параметрического синтеза // Труды межд. симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1 - Пенза: ПГУ, 2005. - С. 130 - 134.

7. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Использование эллипсоидов для описания области работоспособности // Информационные технологии. - 2008. - № 1 (15). - С. 9-16.

8. Саушев А.В. Аналитический метод назначения допусков на параметры динамических/ систем // Информатика и системы управления. - 2012. - №3(33). - С. 120-131.

9. Саушев А. В. Методы линейной аппроксимации граничных точек областей работоспособности технических систем // Журнал университета водных коммуникаций. - СПб. СПГУВК, 2013. - Вып. 3 (19) . -

С. 41-51.

10. Саушев А.В. Метод и алгоритмы параметрического синтеза электротехнических систем по критерию запаса работоспособности // Информационные технологии. - 2012. - №12. - С. 24-29.

11. Саушев А.В. Параметрический синтез технических систем на основе линейной аппроксимации области работоспособности // Автометрия. - 2013. - Т.49, № 1. - С. 61-67.

12. Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. - Киев: Техника, 1967. - 213 с.

13. Саушев А.В. Планирование эксперимента в электротехнике. - СПб.: СПГУВК, 2012. - 272 с.

14. Соболь И.М., Статников Р.В. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями.-М. : Дрофа, 2006 . - 176 с.

15. Саушев А. В. Структура, метод и алгоритмы оптимального параметрического синтеза динамических систем // Труды межд. симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Т. 1. - Пенза: ПГУ, 2013. - С. 214 - 217.