CC BY
45
УДК 519. 61 А. Е. КАРЕЛИН
А. В. МАЙСТРЕНКО А. А. СВЕТЛАКОВ С. А. ХАРИТОНОВ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники,
г. Томск
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск
СИНТЕЗ МЕТОДА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ, ОСНОВАННОГО НА КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
В статье предложен новый подход к синтезу методов автоматического регулирования объектов, основанный на использовании концепции обратных задач динамики. Рассмотрена сущность ПИД-регулирования объектов и причины, обусловливающие необходимость поиска методов автоматического регулирования, являющихся альтернативными ПИД-регулированию, и изложен названный выше подход к синтезу методов автоматического регулирования объектов.
Ключевые слова: автоматический регулятор, ПИД-регулирование, обратная задача динамики, производная.
1. Введение. Цель данной работы заключается в том, чтобы изложить подход к синтезу методов автоматического регулирования объектов, основанный на использовании концепции обратных задач динамики. Как это и есть на самом деле, в соответствии с данной концепцией всякое изменение поведения регулируемого объекта рассматривается как следствие, причиной которого является то или иное изменение управляющего воздействия, формируемого и подаваемого на управляемый объект автоматическим регулятором. При этом задача формирования управляющего воздействия и{ в каждый момент времени I (на каждом ^ом такте регулирования поведения объекта) формируется как обратная вычислительная задача, т.е. как задача отыскания неизвестной причины (в нашем случае значения и(), исходными данными которой являются заданное (желаемое) значение у1+1 регулируемой переменной У управляемого объекта в последующий момент времени í+l и разностное уравнение, связывающее ее значения у(+1, у(, У(-1 — , со значениями и , и(1, и 2,....
Ниже рассматриваются сущность ПИД-регулирования объектов и причины, обусловливающие необходимость поиска методов автоматического регулирования, являющихся альтернативными ПИД-регулированию, и излагается названный выше подход к синтезу методов автоматического регулирования объектов.
2. Сущность ПИД-регулирования объектов. Как известно из многочисленных источников [1—3], одним из типов автоматических регуляторов, наиболее широко используемых в автоматических и авто-
матизированных системах управления различными технологическими процессами (АСУТП), являются так называемые ПИД-регуляторы. Основная идея, обусловившая и оправдывающая название данного типа регуляторов, заключается в том, что значение и( управляющего воздействия и на регулируемую переменную У управляемого технологического процесса (УТП) в каждый момент времени I формируется в соответствии со следующим равенством (законом регулирования):
о= = сг Ау+ + c2j АууХх + с3с{ {Ау,)У/.
(1)
Здесь Ау — отклонение фактического значения у1 регулируемой переменной У в момент времени I от заданного знучуния у данной переменной (значения уставки регулятора), вычисляемое согласно равенству вида
АУ< = у I - уа
(2)
с1, с2 и с3 — настраиваемые параметры (коэффициенты) ПИД-=еуул+тора; + — момент начала ]зугу-лирования УТП; т — перем=нная .интегрирования, все значения =оторо = у22влетв оряют соотношению те1 , где — интервал времени, описываемый соотношением
I =[-оЛ
(3)
Важнейшим достоинстуом ПИД-регуляторов, обусловивши и вбусловливающих их популярность
и широкое использование в автоматизации самых разнообразных технологических процессов (ТП), является наличие в реализуемо м ими законе регулирования (1) настраиваемых параметров с , с2и с . Наличие в (1) данных параметров позволяет в каждом конкретном случае подбирать их численные значения (настраивать ПИД-регулятор) так, чтобы значения и, t=1, 2, 3,..., вычисляемые согласно равенству (1), обеспеч ивали в ыполнение последовательности равенств вида
У, и ул , , и 1,2,3,.
(4)
Здесь, как и в рв венстве (2), у' — заранее заданное (желаемое) значение переменной У в момент времени t. В своей совокупыости равенстыа (1) и (4), означают, очевидно, что управляющие воздействия и{ на регулируемую переменную У должны обеспечивать изменение (,) начений во времени в соответствии с заранее заданным (желаемым) законом ее изменения.
3. Две проблемы, связанные с практическим применением ПИК-рекуляткров. Практически необозримое множество теоретических и экспериментальных исследоиан ий ПИД-регуляторов [1—3], а также более чем вековая практика их применения в автоматизации самых разноо—разных ТП [1 — 4] выявили две актуальные проблемы, существенно затрудняющие и ограничивающие возможности практического использовкния данных регуляторов. Первой из них является проблема настройки ПИД-регуляторов, сводящався, как уже отмечено выше, к определению и заданию таких численных значений параметров к[Г с4 и с3 в законе регулирования (1), реализация ко то вз1х ы вз выляве в вем есеяв, управляющие воздействкя и(,обе ипеиивающие выполнение равенств а (4). Определение да нных параметров является дазеко нетривиильной задачей и ее решение оказывается доступным лишь для высококвалифицированных специалистов и не только в области автоматизации ТП, но и в области УТП.
Вторая проблема, ограничивающая возможиосзе практического использования ПИД-регуляторов, обусловливается нр личием в законе регулирования (1) производной М(ре,)/ Мь отклонения Реь. -Рек известно [5, 6], вычисление производной любого сигнала (дифференцирования сигнала) является одним из классических примеров так наз ыв аемых некорректно поставленных задач. Характерная особенность данных задач состоит в том, что их решении окызыывютые чрехмерео чувствительными к малейшим изменениям их исходных данных. Применительно к з идачв диф X ерынцироввные еткло не -ния ре,, решение м и исходным и данн ыми которой являются, соответственно, производная М (Ыз,)/Мь и отклонение ре,, отмеченная выше особенность некорректно поставленных задач означает, что в случае, когда значения у,, t= 1,2,3,... задаются не точно, вычисляемое и используемое в (1), значение производной может оказаться сколь угодно далеким от ее истинного значения. Как видно из (1), в любом подобном случае, неизбежно дале- -ким от истинного значения, окажется и вычисляемое в соответствии с ним значение и . Учитывая отмеченное, а также то, что в реальных условиях значения у{ являются результатом измерения регулируемой переменной У тем илииным датчиком или каким-либо другим измерительным устройством и, следовательно, содержат в себе погрешности измерения, можно видеть, во-первых, ечто
и процесс регулирования переменной У с применением ПИД-регулятора в целом неизбежно оказывается неустойиииым. Во-втыеых, вемвопричиной неустойчивости данного проц есс а является использование в ПИД-регуляторе производной по времени отклонения ре,.
4. Две возможности устранения проблем практической реализации ПИД-регуляторов. Если задаться целью избавиться от неустойчивости ПИД-регуляторов и тем самым расширить возможности их практиче кого применения и учесть при этом изложрннов вр1шв, то мереувно видеть, что для до-стижи ния дзнной целе можно либо регуляризиро-вать операцию дифференцирования отклонения Ыз, , воспользовавшисьприэтомтем или иным методом регуляризации некорректно поставленных задач[6, 7], либоотказаться отиспользования ПИД-регулирования и заменить его каким-либо аналогом, в котором не используется производная регулируемой величины.
Первая из отмеченных выше возможностей реализована нами в работе [8]. При этом регуляризация дифференцирования регулируемой переменной обеспечивается 1использованием скользящей квадратичной аппроксимации изменения данной переменной и аналитического дифференцирования алгебраических полиномов 2-го порядка. Представленные в работе результаты показывают, что предлагаемый в ней ПИД-регулятор обладает более высокой помехоустойчивостью и обеспечивает более высокую точность регулирования.
Вторая из отмеченных выше возможностей совершенствования методов автоматического регулирования процессов и повышения ихэффективности реализуется в данной работе. На основе использования отмеченной выше концепции обратных задач динамики в ней предлагается метод автоматического регулирования ТП, являющийся альтернативой методу ПИД-регулирования и другим методам автоматического регулирования процессов, основан-нымнаиспользовании производных регулируемых переменных. При этом в качестве математической модели, описывающей связь между значениями у, ,= 1,2,3. регулируемой переменной У и значениями и( управляющего воздействия и, используются ,,разностные уравнения 2-го порядка. Применительно кданному случаю синтезируется численный алгоритм вычисления управляющих воздействий и, , = 1,2,3..
5. Синтез метода автоматического регулирования объектов, основанного на использовании разностных уравызныв и комцыхциы обратных задач.
Учитывая отмеченн ,н, выше основные положения концепции обратных задач динамики, синтезируем метод автоматического регулирования объектов. Для ыупрощения последующих рассмотрений при этом будым счисать, что:
1. Значения у,+ 1, у, У,-1, У,-2 регулируемой переменной У объекта управления (ОУ) в моменты времени ,+ З, ,, 1 — 3 Е , — 2 связаны между собой исо значениями и, и—1 его входа и (управляющих воздействиЫ) разностным уравнением вида
н, ыи и КЗ, ы в—н, с1 ы ад с— ы К4, ы вт4, с-,
(5)
коэффицзкэты а,-а5, козорого являются некоторы-мипостоянными числами, не зависящими от значений и, и в хода и ОУ и от значений у, у(1 и у2 его выхода У.
2. ,За я, н жела, м я, (необходимый) закон изменения во вуемени значений у регулируемой переменной У объекта управления, определяемых ра-венсувами
у,=Т(В),3 = 1,2,3...,
(6)
где т(,) - некоторая заданная функция времени t.
3. Значения и управляющих воздействий должны выбиратьсятак, чтобы значен[ия у выхода У ОУ в каждый момент в ре мени í удовлетворяли равенствам
у = у, ^иД.
(7)
^Л + а2у,-1 + <а^у,-2 + Ы— + а5Н-1 = у о
(8)
31= 1,2,3,.
(9)
о° =А2(/а4, 3 = 1,ОД.
(10)
4. Пруверяем соотвеостоие вычисленного значения и( уеловиям его физической °>еализуемости, предстаопоыыым ооотношинием вида
х Т — L.Bin „.пав I 0 е/, = [в , вз \,
(11)
чения ии вычисление последнего осущесевляен в соотвевствин с равонстоом
О 3)
Здесь и неното °ые заданные функции о ре мв ви t твви =, что оПт о о'Вж . В простейшем случае данные функции определяются равенствами о™" = овш
и =
гое с_ш и иш
. екоторые заданные
постоянные числа, удовлетворяющие неравенству
ит
1 < ит
и при этом вьшч унялось равенство (о).
Исходные даотге, прeдстaгyeуныe рав-н-твими (5) — у!), яв=яюосв необходимым и достаточным условием длясинто з= ин тер ес^ояцего нас метода ав-томатичеуАуся рогулирования процессов. В самом деля, равенство (с) свжыоает в каждый момент времени /А унаую-уя у1^ у, у _ регулируемой переменно й = со звaченоеми и( а _г_ учравуяющего и, и, таким образом, иппользуя данн=е равенство и рсвенссюо (5), выти2ления желаемых значений ил, t = 1,я,3..., мопвно состовивв, аноние от-носитвввно уаиз^ггетнох'о оиачониу и:
Вхууящие уз зОзеиЕ^ну^е cpгннeнee значения у,, у_1, у,_2 и у , а такжу зночение о_1 нам известны и, как нвнocpeдствннн= ни]що из (8), уев^авустаым здеаь яалуется оолько интересующее нас значение и . Перенуся изтесеные с-агачмые бгу3,ыc(c3_1lы3;з3_;l и ы5о3-1 в =го пу)(^вуео часта, пyeдставим данное уравнение о .золен компактном и традиционном в линейной ом'еррт :нлгт^<I^l
Зетаь ^ = у^+г - Ыу , - ыcУ(-l - Ы(Уlо1 - ■ ролу-ченное уравнение является простейшим линейным алгебруи^^^екзо^ рротн+ниян+ oтнocиттльнo искомоу го значения ц,.
Его решение опроделяеосч -ледующим очевидным равенство вт:
где о0"п и о™ — некоторые заданные числа, выбираемые с учетом физинеских ограничений, налагаемых в момент времени 0 на зоачения управляющих воздействий и..
Если вычисленное значение и{ удовлетворяет данному соотношению, то полагаем, что оно является желаемым управляющим воздействием и , и, соответственно, понаг аем
(12)
В противном случае, т.е. если вычисленное значение и{ данным соотношениям не удовлетворяет, то используем его для вычисления желаемого зна-
В завершение синтеза предлагаемого метода автоматического регулирования объектов приведем следующие комментарии, более полно раскрывающие его сущность, особенности и возможности практической реализации.
1. Ка = нeпoлpедственно видно из равенств (5) — (10), ни в одном из них не фигурирует производная У(Ау3)ВУз отклонения Ау3, определяемого равенством (2), и, таким образом, в предлагаемом методе отсутствует основная причина, обусловливающая неустойчивость как ПИД-регулирования, так и других законов регулирования, в которых данная производная используется.
2. Изложенный выше синтез предлагаемого метода автоматического регулирования объектов осуществлен применительно к частному случаю управляемого ;объекта, когда 3связь между значениями регулируемой переменной и значениями управляющих воздействий описывается разностным уравнением (5). Однако вполне очевидно, что совер-шенноаналогичными рассуждениями и действиями можно синтезировать подобный метод регулирования и для других как более, так и менее сложных управляемых объектов, связи между регулируемыми переменными и управляющими воздействиями которых описываются разностными уравнениями [9, 10]. Отличаться от рассмотренного выше данные
2 случаи синтеза регулятора будут только использу-..емыми разностными уравнениями и прежде всего числом слагаемыхсо значениями регулируемойпе-ременной и управляющих воздействий, входящих в используемое разностное уравнение. Общая же вычислительная схема, реализующая синтезируе-мыйметод регулирования,остаетсяво всех случаях неизменной.
о3в33. В настоящее время известен целый ряд способов преобразования обыкновенных дифференци-вальных уравнений, наиболее часто используемых в современной теории и практике автоматического управления, в разностные уравнения.
Поэтому, как это и сделано выше, при синтезе того или иного метода автоматического регулирования всегда можно считать,что связь между значениями регулируемой переменной и управляющих воздействий описывается каким-либо разностным уравнением.
6. Заключение. Резюмируя изложенное выше, отметим следующие основные результаты:
1. Изложена сущность концепции обратных задач динамики применительно к задаче автоматического регулирования объектов.
2. Рассмотрены основные положения ПИД-регулирования объектов, являющегося в настоящее время одним из наиболее популярных законов регулирования, и выявлены проблемы его практического использования, обусловленные неустойчивостью вычисляемых управляющих воздействий
отве о1 Я о1
етве о3 > о
о* - и.
к ошибкам измерений регулируемой переменной управляемого объекта.
3. Синтезирован метод автоматического регулирования объектов, основанный на концепции обратных задач динамики и разностных уравнений, описывающих связи между значениями регулируемой переменной объекта и управляющих воздействий, формируемых регулятором.
4. Показано, что предложенный метод синтеза автоматических регуляторов является достаточно универсальным и позволяющим синтезировать регуляторы для всех объектов управления, функционирование которых может быть описано как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и разностными уравнениями различных порядков.
Библиографический список
1. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: БХВ-Петербург, 2016. 560 с. ISBN 978-5-9775-3717-9.
2. Ротач В. Я. Расчет настройки реальных ПИД регуляторов // Теплоэнергетика. 1993. № 10. С. 31 — 35.
3. Майстренко А. В., Светлаков А. А., Старовойтов Н. В. Цифровое дифференцирование сигналов с применением многоточечных методов в системах автоматического регулирования процессов // Доклады ТУСУР. 2009. № 2 (20). С. 86-89.
4. Майстренко А. В., Светлаков А. А. Косвенное измерение расхода жидкости, перекачиваемой насосными агрегатами // Доклады ТУСУР. 2014. № 4 (34). С. 215-220.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 286 с.
6. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. № 6, т. 13. С. 1383-1389.
7. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 163, № 3. С. 591-594.
8. Майстренко А. В., Светлаков А. А., Старовойтов Н. В. Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2006. № 7 (43). С. 106-108.
9. Харитонов С. А. Электромагнитные процессы в системах генерирования электрической энергии для автономных объектов: моногр. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. 536 с.
10. Левин А. В., Мусин С. М., Харитонов С. А. [и др.]. Электрический самолет. Концепция и технологии: моногр. Уфа: УГАТУ, 2014. 388 с.
КАРЕЛИН Алексей Евгеньевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Компьютерные системы в управлении и проектировании» Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). Адрес для переписки: [email protected] МАЙСТРЕНКО Андрей Васильевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Компьютерные системы в управлении и проектировании» ТУСУР. Адрес для переписки: [email protected] СВЕТЛАКОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Компьютерные системы в управлении и проектировании» ТУСУР.
ХАРИТОНОВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Электроника и электротехника»; директор института силовой электроники Новосибирского государственного технического университета. Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.05.2017 г. © А. Е. Карелин, А. В. Майстренко, А. А. Светлаков, С. А. Харитонов
Книжная полка
Серков, Н. Точность многокоординатных машин с ЧПУ. Теоретические и экспериментальные основы / Н. Серков. - М. : Ленанд, 2015. - 304 с. - ISBN 978-5-9710-1678-6.
Книга посвящена точности многокоординатных машин с числовым программным управлением (ЧПУ), характерными представителями которых являются многоцелевые станки с ЧПУ, промышленные роботы и координатные измерительные машины (КИМ). Методы исследования точности движения основаны на модели (матричной и имитационной) образования отклонений исполнительных органов машины. С использованием имитационной модели проводятся анализ точности (определения баланса точности) и синтез алгоритма коррекции. Для практической реализации коррекции необходимы соответствующие методы и средства измерения первичных отклонений и объемной точности механизмов несущей системы машины с ЧПУ, которые подробно рассмотрены в отдельных разделах. Представлен и проведен анализ обширного экспериментального материала исследования влияния квазистатических возмущающих факторов (веса, температуры) на первичные отклонения, а также влияния инерционных сил на точность воспроизведения пространственной траектории. Экспериментальный материал получен на технологическом оборудовании с ЧПУ ОАО НИАТ (многоцелевые станки с ЧПУ параллельной и последовательной структур, лазерные установки, несущие системы виброударного оборудования, и др.). Результаты анализа экспериментальных данных вылились в методику калибровки и диагностики точности многокоординатной машины при ее сборке. Приведены примеры диагностики.
Книга предназначена для специалистов в области теории механизмов и машин, научных работников и инженеров, создающих и эксплуатирующих современное прецизионное технологическое оборудование с ЧПУ, а также аспирантов и студентов старших курсов технических университетов.
