Синтез фильтров для обработки изображений с фрактальной структурой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИИ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

В.Х. Багманов, АХ.Султанов

Уфимский государственный авиационный технический университет

Аннотация

Рассматриваются методологические подходы к построению оптимальных фильтров для оценки сигналов на фоне помех, имеющих стохастическую масштабно-инвариантную структуру. Предлагаемые подходы могут быть использованы при обработке спутниковых изображений.

Введение

Одним из подходов к обработке изображений является подход, основанный на преобразовании изображений (двумерных сигналов) в одномерные сигналы с помощью рекурсивных квазинепрерывных разверток типа Пеано-Гильберта [1]. В ряде работ [2, 3, 4] показано, что существует класс изображений, имеющих стохастическую фрактальную (масштабно-инвариантную) структуру. К данному типу изображений относятся в частности спутниковые изображения земных ландшафтов и их одномерные аналоги - развертки.

Целью данной работы является разработка мето-логических подходов к синтезу оптимальных фильтров для обнаружения и оценки сигналов на фоне помех со стохастической фрактальной структурой.

1. Фильтр на основе приближения Кирквуда

Рассмотрим постановку задачи, связанной с оценкой и обнаружением сигналов на случайном фоне.

Пусть задана развертка изображения в виде совокупности дискретных значений {гп }, п = 1, N, являющихся адаптивной смесью сигнала £ и шума £ п :

2п = £п + £п

(1)

Оптимальной оценкой сигнала $п будет оценка

Е £п = ^ Чп . (2)

Предположим, что заданная последовательность {£п}, представляющая собой фон, на котором необходимо обнаружить и оценить сигнал , имеет фрактальную структуру. В соответствии с представлением (2), задача оценки неизвестного сигнала сводится к задаче оценки фона. Значение фона £п оценим в условиях, когда считаются известными п-1 предшествующих значений £п-1,£п-2,...,£ . Опти-

л

мальной статистической оценкой £п случайной величины £п в данном случае является условное среднее [5]:

£ п = {£пР(£п|£п-1, £п - 2,., ))п .

Квазиоптимальной оценкой по стратегии максимума апостериорной вероятности служит величина

£п = а^шах {р((

п-1 > ^п-2 > • • • > £1)}.

(4)

В выраженИЯх (3) и (4) р(£п |£п-1, £п-2 ,. • •, £1 ) -

условная плотность вероятности события £п, при условии, что осуществилась доступная измерению совокупность событий £п-1, £п-2,..., £1.

Для определения вероятностных характеристик многообразия {£п} рассмотрим применение идеи подхода, используемого в статистической физике. А именно, введем в рассмотрение бинарные функции распределения р(£ £ ^) и определим совместную

многомерную плотность вероятности событий £п, £п-1, £ п-2,., £1 в конфигурационном приближении Кирквуда [6]

р((, £2,., £п )=^ • П И( £;1

(5)

1=1,}=1,1> }

где П - знак произведения, выполняемого по всевозможным бинарным связям 1 ^ ], 1 > ], общее

п (п + 1)

число которых равно М = —---,

с - константа,

обеспечивающая условие нормировки

{Р(£1,£2,.,£п...ё£п = 1.

(6)

Используя приближение (5), определим условную плотность вероятности на основании теоремы Байеса:

р( п |£ п-1, £ п-2,., £1 )= Р(( £

, £ п)

Р((, £ 2,., £ п-1) В результате найдем

Р(£п|£п-1, £ п-2,., £1 )= «-ПР((п £ 1 ).

(7)

Здесь а - постоянная нормировки. Выразив в (7) совместные бинарные плотности вероятностей через условные р(£г| £ ^),

(3)

р(£ £)=р(£,| £;) р(£ ),

(8)

п

1=1

где Р(|) - плотность вероятности случайной величины |, с учетом условия нормировки

Е | р( - 2,..., | )) = 1,

получим следующее выражение для постоянной а

a =

П p(i i )

Из соотношений (7), (8), (9) следует

Р( ^ - l )) РЦ li ).

(9)

(10)

Как показано в работах [1, 4], разности (| 1 -| ^)

для широкого класса изображений подчиняются Га-уссовскому распределению:

4 i -l j )=

1

л/2П(

-expi

па ¡,

(l i-l j )2 2а 2

(11)

В случае фрактального процесса дисперсии ст^, удовлетворяют скейлинговому соотношению [7]

ст2 =ст2 (- ])2Н, (12)

где Н - показатель Херста, определяющий фрактальную природу изображения, ст2 - дисперсия разностей соседних элементов развертки. Вопросы, связанные с практическим определением показателя Херста Н для изображений, рассматривались в работах [3, 4], как правило, этот показатель для спутниковых изображений изменяется в диапазоне 0,6 ^ 0,7.

В силу выполнения условий нормировки

i<4-i j k J4 i-i j k j

=1,

при фиксированных значениях | ^ можно положить

р(1г| I; Ь<4 -I; )

и представить условную плотность вероятности (7) в форме

Р( Цп-!, |„-2,., | )=П ®(|„ -I ). (13)

Используя соотношения (11), (12), (13) и вычислив интеграл (3), для решения экстремальной задачи (4) можно найти, что оптимальная статистическая оценка случайной величины |п в данном случае совпадает с квазиоптимальной оценкой по максимуму апостериорной вероятности (4) и равна

(

in =

lk

Л

V k=1'

,2H

f

1

V

=1 k

Vk=1

2H

(14)

В случае бесконечного числа наблюдений п = да , оптимальная оценка будет определяется соотношением:

1 ад

1

_

Z(2H)£ k2

(15)

где ) - дзета-функция Римана [8].

Фрактальные фильтры, задаваемые выражениями (14) и (15), могут быть применены не только для разверток изображений, но и непосредственно к самим изображениям. В этом случае фильтр будет иметь, следующий вид:

in =

I

l.

k

^2

VkeM "kn У

I

1

VkeM dkn У

где суммирование выполняется по некоторой маске М, состоящей из пикселей, окружающих пиксель с номером п; ¿кп - расстояние в Евклидовой метрике от пикселя п до пикселя к, принадлежащего маске М.

2. Фильтры на основе вейвлетных разложений

Рассмотрим более общий подход к решению задачи оценки сигнала на случайном фоне с фрактальной структурой.

Пусть |(/) - случайная функция, описывающая развертку изображения (случайный фон). Предположим, что |(/) - фрактальная функция и, следовательно, допускает представление в форме интеграла по траекториям винеровского случайного процесса м>^):

!(()=}(( - t)dw(t').

(16)

Представим |(/) в виде вейвлетного разложения

|(0=И ¿к Ч,к ((), (17)

] к

где Т]к (/) - какая-либо система ортогональных

вейвлетов [9].

Докажем следующее утверждение: коэффициенты вейвлет-разложения фрактальной функции являются масштабно-инвариантными случайными величинами.

Действительно, согласно [9], коэффициенты вейвлетного разложения определяются соотношением:

где

йц = {|(( ((,

-да

Тк (()= 22 Н - к). Из (16) и (18) следует

**=?}(( - ^ ')Н - 12 ^ к ((№.

(18)

(19)

(20)

i=1

-1

i =1

i= 1

ад 0

Произведем в интеграле (20) замену переменных t = т • 2-1, t' = т'-2-1 и, учитывая масштабные свойства винеровского гауссовского процесса, выражаю-

1

щееся соотношением ^^) = а2 ), можно получить представление

йк = 2

А н+т

|£(т)^0,к (т)йт.

(21)

Из соотношения (21) следует свойство масштабного самоподобия вейвлет-коэффициентов

А = 2

А н

0,к ■

(22)

Равенство (22) следует понимать в статистическом смысле, а именно, любые статистические моменты случайной величины й *к на масштабном

уровне) масштабно-самоподобны (самоаффинны) и выражаются через соответствующие моменты на некотором исходном масштабном уровне ]=0. В частности, для дисперсий, из соотношения (22) следует равенство:

Ы 2 \ = ^2к)

\а1,к/ = 2 а(2Н+1)

(23)

где - знак усреднения по статистическому ансамблю.

Равенство (23) показывает, что при переходе на более детальные уровни, то есть с увеличением , флуктуации вейвлет-коэффициентов уменьшаются.

Вейвлет-разложение (17) можно трактовать, как разложение случайной функции по системе некор-релирующих случайных процессов £*,к (), определяемых равенством

£1А, к (( )= dlА ,к А,к (( ).

Некоррелируемость следует из предположения об эргодичности процессов £*к (() и ортогональности системы вейвлетов к (). В предположении об

эргодичности, можно отождествить усреднение по ансамблю реализаций усреднением по позиционной координате t. В результате, в силу ортогональности системы вейвлетов, получим

1 т

£ ()£ ()) = т /1 • й^йт =

= й.,й. 8 8, .

А,к 1,т 1,1 к ,т

Полагая, что коэффициенты й 1,к подчиняются

Гауссовскому распределению, для многомерной плотности вероятности системы случайных процессов £ а к ((), получим:

М (()}=

с • ехр

й2

уу а1* У У 2{й 12,к)

(24)

где с - нормировочная константа.

Как следует из выражения (24), распределение ю не зависит от координаты. Используя данный факт, для оптимальной оценки случайного процесса, не нарушая общности, выберем в качестве исходной точки t=0.

Пусть, как и ранее, множество {£ п}, п = 1, N представляет фон с фрактальной структурой. Будем считать, что множество {£п} - результат дискретизации процесса ) на масштабном уровне 1=0 и положим £(0) = £п. Задача состоит в оптимальной

оценке £(0) случайной величины £(0) на основе реализовавшихся значений {£ }, 1 = 1, N -1.

Алгоритм оценки состоит в следующем.

1. Инициируем процесс дискретного вейвлет-преобразования, положив

X 0, =£, 1 = .

2. Определим совокупность коэффициентов й0к с помощью преобразования

й0,к = V2 У 8т - к Кк ,

т

где 8} - коэффициенты фильтра, соответствующие выбранной системе вейвлетов {р * к }.

3. Произведя статистическую обработку массива {й0, к } к = 1, N, определим дисперсии коэффициентов й0,к равные ^к).

4. С помощью масштабного соотношения

2 1(2Н+1)/

(йI) = 2а(2Н+1)(й0,к), А = 1,3

(25)

определим дисперсии на всех оставшихся масштабных уровнях, включая максимально возможный уровень, равный 3 и N.

Следует заметить, что на масштабном уровне I массив {й3 к} составляет единственный элемент, и

статистическим методом дисперсию определить невозможно. В этой связи, установленное соотношение (25), играет принципиальную роль и дает возможность находить соответствующие дисперсии. 5. Присваивая оцениваемой величине £п некоторое начальное числовое значение

£п =£,

произведем быстрое дискретное вейвлет-преобразование, формируя совокупность коэффициентов {й]к } с помощью рекуррентных соотношений

Х А+1,т = ^2 У Ик-2т Х а,к

йА+1,т = V2 У 8к-2тХ А,к ' к

6. Определяем квадратичную форму ф(£), как функцию параметра £

к

Ф5)=Ц-

d

j,k

id м)"

7. Решаем экстремальную задачу:

5* = arg min ф(5)

и находим значение 5*, доставляющее минимум квадратичной форме ф(5).

8. Определяем оптимальную оценку величины 5(0), положив

5(о) = 5*. (26)

Оценка (26) является квазиоптимальной в силу того, что она соответствует максимальному значению плотности вероятности ю{е,jk }, задаваемой соотношением (24).

Заключение

В данной работе излагаются общие подходы к фильтрации сигналов во фрактальных шумах, что является типичной ситуацией при обработке широкого класса изображений, включая спутниковые. Вопросы, связанные с выбором вейвлетных функций, на основе которых синтезируются фильтры остаются открытыми. Задача поиска оптимальных вейвлетных функций

связана с характером оцениваемых сигналов и требуют отдельного рассмотрения.

Благодарность Работа выполнена при поддержке гранта ШТАБ

№ 04-77-7198.

Литература

1. Александров Р.В., Горский И.Д. Представление и обработка изображений: Рекурсивный подход // Л.: Наука, 1985. 102 с.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

3. Потапов А.А., Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки // М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

4. Багманов В.Х., Султанов А.Х., Мешков И.К. Экспериментальное исследование масштабно-инвариантной структуры данных спутниковых систем наблюдения // Материалы IV МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» Уфа. 2005. С. 96-98.

5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника // М.: Радио и связь. 1982. 624 с.

6. Исихара А. Статистическая физика // М.: Мир. 1973. 471 с.

7. Федер Е. Фракталы // М.: Мир. 1991.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.Л. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений // М.: Наука. 1971. 1108 с.

9. Дремин И.М., Иванов У.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН. 2001. Т.171. №5. С. 465-501.