CC BY
43
ИНФОРМАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА ДАННЫХ ОПТИЧЕСКИХ СПУТНИКОВЫХ СИСТЕМ НАБЛЮДЕНИЯ НА ОСНОВЕ СИСТЕМНОЙ ИНТЕГРАЦИИ
МУЛЬТИМАСШТАБНЫХ КОНЦЕПЦИЙ
В.Х. Багманов
Уфимский государственный авиационный технический университет
Аннотация
Предложен методологический подход к обработке и анализу данных оптических систем дистанционного зондирования Земли. Подход основывается на системной интеграции четырех концептуальных идей: фрактальных множеств; рекурсивных разверток; непрерывных вейвлет-преобразований; дискретных вейвлет-преобразований и позволяет повысить эффективность обнаружения аномальных сигналов в сложной фоноцелевой обстановке
Введение
В основе разрабатываемой информационной технологии обработки данных спутниковых систем наблюдения, целью которой в конечном итоге является обнаружение и оценка сигналов на случайном фоне, лежат несколько компламентарных конструктивных идей, связанных с понятием мультимас-штабности. Основополагающим методологическим принципом мультимасштабных концепций и подходов является принцип последовательного уточнения или наоборот огрубления информации о чем-либо при переходе от крупного масштаба к мелкому или наоборот. Многомасштабный анализ дает возможность определить структурную организацию объекта исследования на уровне взаимосвязи частей и целого в процессе последовательного уточнения по мере продвижения вдоль "оси масштабов".
Разрабатываемая информационная технология с методологической точки зрения представляет собой интеграцию четырех мультимасштабных концепций: концепции фрактальных множеств (фракталов), концепции непрерывного вейвлет-анализа, концепции дискретного вейвлет-анализа и концепции рекурсивных разверток многомерных пространств.
Концепции мультимасштабного анализа сигналов
Концепция рекурсивных разверток состоит в редукции многомерных пространств в одномерные на основе взаимно однозначного соответствия, устанавливаемого с помощью заполняющих пространство кривых Пеано-Гильберта [1].
При построении рекурсивных разверток используется масштабное самоподобие, которое в данном конкретном случае заключается в итерационном применении одного и того же принципа построения на разных пространственных масштабах.
Суть подхода состоит в следующем. Пусть В" -"-мерный гиперкуб. Произведем иерархическое разбиение области В" на одинаковые ячейки (кванты) так, что каждая сторона гиперкуба будет разбита на к равных частей. Величина к называется основанием
развертки. При этом гиперкуб будет разбит на к" квантов. Обозначим кванты данного разбиения первого иерархического уровня через
д^ ), где ¡1 = 0,к" -1. Далее каждый квант первого уровня еще раз разобьем на к" квантов. В результате получим разбиение на кванты второго уровня, которые обозначим через д(112). Произведем процедуру разбиения т раз. В результате гиперкуб В" будет разбит на кванты так, что образуется дискретное п-мерное пространство
{д((2 ■■Ам) ь = °к", 1 =1 м }
вм =
"м
состоящее из N = к квантов.
Любой точке х е В" будет
х.
одно-
значно будет соответствовать последовательность вложенных друг в друга квантов д(ь1 )з д(/1/2)з ... з д(/1/2 ..Лм), каждый из которых содержит точку х. Таким образом, каждый из
"м "
к квантов пространства Вм окажется пронумерованным и в системе исчисления с основанием к
будет иметь номер, определяемый к" -ичным числом
= 1 к
"(м-1)
• 1,
(1)
1=1
С номером, определяемым выражением (1), может быть связана позиционная координата
= 1 к -
1=1
определяющая положение некоторой точки в одномерной области Вм1 = [0,1) так, что кванту д(г1 ...1м) будет соответствовать отрезок [мк~"м, (м + 1)к~"м ], принадлежащий кванту более высокого уровня д(/1.. .'м-1).
Если считать, что закон нумерации 2(",к) квантов при первом разбиении совпадает с законом разбиения кванта д(1 ...1м-1) на к" квантов д(/1 ..Лм), то в результате будет получено взаимнооднозначное отображение многомерного пространства в одномерное
'1'2 .--'м
"I
Фм = впт ^вхт.
Отображение фт при заданном законе 2(п,к) можно рассматривать как рекурсивную развертку многомерного пространства в одномерное.
Важным свойством рекурсивных разверток является их квазинепрерывность. Это свойство показывает, что две точки 9 и 92, близкие в пространстве
Бт, имеют прообразы х^ и Х2 , близкие в От, так, что
< к(29 + п _ 1))-
1/ п
где
ы =
19
|=1
Х1 = Фт' (1 ),
Х2 =Фт' (92 )-
Свойство квазинепрерывности, переходящее при т ^ да в непрерывность, позволяет анализировать корреляционные свойства многомерных сигналов по их одномерным образам.
Концепция фрактальных множеств [2] - базовая конструктивная идея, лежащая в основе разрабатываемой информационной технологии. Фрактальное самоподобие, то есть статистическая однородность строения многообразий на различных пространственных масштабах, - ключ к описанию масштабно-инвариантных случайных структур с самых общих позиций. Основная функциональная роль данной концепции - моделирование фоноцелевой обстановки при решении задач обнаружения сигналов. Обзор работ в области использования фрактальных свойств изображений при обработке данных дистанционного зондирования можно найти в монографии [3]. В работе [4] проведены зкспериментальные исследования фрактальных свойств спутниковых изображений и установлено, что их квазинеприрыв-ные развертки являются масштабно-инвариантными структурами. Методология синтеза оптимальных и квазиоптималных фильтров для оценки сигналов на фоне помех, имеющих стохастическую масштабно-инвариантную структуру изложена в работе [5].
Механизм формирования космических изображений обуславливается либо процессом рассеивания, либо процессом излучения электромагнитных волн поверхностями различного рода объектов. Статистические характеристики изображений в конечном итоге определяются статистическими характеристиками неровностей поверхностей наблюдаемых объектов. Неровности поверхностей формируются под воздействием большого числа случайных факторов, связанных с различными механизмами (техническими, тепловыми и так далее).
Для описания статистической структуры изображений используются различные модели рассеивающих или излучающих поверхностей от одно-масштабных, имеющих в среднем одинаковый масштаб неровностей, до многомасштабных (двух и более). Одномасштабные поверхности характеризуются одним превалирующим радиусом корреляции, многомасштабные - несколькими. С ростом числа масштабов описание усложняется.
Выходом из ситуаций подобного рода является идея фрактально-самоподобной структурной организации природных образований.
Пусть Е(х) - развертка изображения. Будем считать, что Е(х) является суперпозицией иерархических уровней каждый из которых соответствует некоторому пространственному масштабу, определяемым соответствующим радиусом корреляции
= & (х).
(2)
|=1
Каждому иерархическому уровню ; соответствует определенная статистическая упорядоченность, характеризуемая корреляционной функцией
(Ец (х1 )Е I (х2)). Предположим, что корреляции на
уровне I являются гауссовскими
& (х1 )Е1 (х2 ) = еХР
_ (х1 х2 )
Р|
(3)
где С; - дисперсия, р; - радиус корреляции.
Радиусы корреляции pi определяют масштаб (размер) зоны влияния Е (х) компонента. В соответствие с общей идеей масштабной инвариантности многоуровневых релаксационных процессов, можно предположить, что величины с; и р; в зависимости от масштабного уровня | подчиняются
скейлинговым законам
С С0
С к =
1 к
Рк =Ро •Ь .
(4)
(5)
но
Для целого ряда природных процессов с иерархической организацией наблюдается разграничение зон влияния на разных уровнях так, что можно предположить справедливость соотношения
Р|_1 <<Р| << Р|+1,
из которого следует независимость разномасштабных корреляций
(Е| (х1 )Е; (х1 )) = 0, I * ].
В соответствие с выражениями (2)-(5) корреляционная функция представляется в виде
х1 х2
9
2
Ж*2 ) = eXP
(xi x2)
2
Pi
(6)
Если преобразовать сумму в правой части (6) в интеграл и учесть скейлинговые законы поведения параметров рг- и стг-, получим представление
(?(x1 Mx2 J) = ° 0 { eXP(- xP)eXP
(xl x2 )
2
P 0
XP(— xy)
dx
Асимптотически оценка данного интеграла при
x1 — x2 = р ^ да имеет вид
№ )^2 )),
Vpo J
где а = 1п a / 1п Ь .
Степенной характер поведения асимптотически корреляционной функции связывается с фрактальной структурой многообразия.
Концепция непрерывных вейвлет-
преобразований [6] в разрабатываемой технологии используется как математическая основа анализа аномальной структуры сигналов по отношению к окружающему фону. Данную технику можно считать некоторым расширением техники Фурье-преобразований и Фурье анализа. Непрерывный вейвлет-анализ, состоящий в разложении сигналов по функциям, хорошо локализованным как в пространственной, так и частотной областях, имеет большую по сравнению с Фурье-анализом возможность в выявлении структурных особенностей сигналов. Действительно, Фурье-анализ сигналов производится с помощью функций, имеющих наилучшую 5-образную локализацию в частотной области (импульсном пространстве) и очень плохо локализованных в пространственной области. Непрерывный вейвлет-анализ в данном аспекте представляет собой компромиссное решение, так как производится на основе разложения сигналов по функциям, похожим по форме на волновые пакеты - всплески, хорошо локализованным как в пространственной, так и в частотной областях. Помимо этого, если преобразование Фурье взаимно однозначно осуществляет отображение функции одного переменного Д(х) в
фурье-образ Д(м>), также являющейся функцией одного переменного, то непрерывное вейвлет-преобразование производит отображение функции Дх) на плоскость, то есть преобразует одномерный сигнал в двумерный ЖД(а,х). Непрерывное вейвлет-преобразование, как отображение (переход) от одномерного координатного представления х к двумерному в масштабно-координатную плоскость (а,х)
{х} —> {а, х},
имеет огромную информационную избыточность, расширяющую функциональные возможности дан-
ного вида преобразования по сравнению с преобразованием Фурье при анализе сигналов, в особенности нестационарных.
Кроме отмеченных выше фактов, непрерывное ЖТ производится на основе идеи масштабной инвариантности с помощью разложения сигналов по функциям - вейвлетам вида
1 ^ х - Ь
образуемым из исходного материнского вейвлета ¥( x) с помощью аффинных преобразований
x — b
x ^-,
a
где b - параметр сдвига, a - масштабный параметр сжатия пространства.
Разложение по самоподобным (самоаффинным) функциям математически наиболее адекватно соответствует представлению сигналов, обладающих самоподобной мультимасштабной структурой, то есть сигналов, обладающих свойствами фрактальных многообразий.
Концепция дискретных вейвлет-преобразований, возникновение которых связано с именем Добеши [6], в разрабатываемой технологии используется как весьма эффективный, с точки зрения сложности вычислений, математический аппарат цифровой обработки сигналов, основанный на идее разложения по самоафинным функциям. Несмотря на то, что непрерывное и дискретное WT имеют общий генезис, тем не менее, принципиальное отличие состоит в следующем. Непрерывное вейвлет-преобразование является информационно избыточным, поскольку переводит одномерный сигнал в двумерный. Дискретное WT наоборот является наиболее экономным представлением сигналов, поскольку для дискретного сигнала, заданного двумерным массивом NxN, в процессе преобразований разложения и свертки требуется линейное число операций O(aN), в то время как быстрое Фурье-преобразование имеет сложность O(N log N). Дискретное вейвлет-преобразование является наиболее экономным представлением сигналов, делающим его эффективным средством цифровой обработки, превосходящим быстрое преобразование Фурье.
Мультимасштабное обнаружение сигналов неизвестной формы
Мультимасштабная структура данных, допускающая представление в виде суммы по масштабному иерархическому индексу вида (2), имеет особенность в отношении корреляционных свойств. Данную особенность можно сформулировать в виде следующего утверждения.
Утверждение. Если случайный процесс допускает мультимасштабное представление (2), так что
i=0
a
a
x0 ^да
1
fa (x fa (y )) = Se
(7)
то межмасштабные корреляции доминируют над внутримасштабными корреляциями.
Под представлением процесса (2) на масштабном уровне m понимается представление (масштабная аппроксимация)
fa(m) (x)=£fa, (x).
Межмасштабные корреляции, т.е. корреляции между представлениями процесса на уровнях m и m+1 в силу условия (7) имеют вид
(Е« (х)Е(т+1) (х))=£ Е2 (х) .
|=_да
Внутримасштабные корреляции определяются корреляционной функцией ^т) (х)<Е(т) (х + Дх, которая в соответствие с условием (7) равна
да
ет) (х)Ет) (х+дг)) = х(е(хшх+ дх)).
|=_да
В силу неравенства Коши-Шварца [7] Е(х )Е(х + дх )<(е2 (х),
что и доказывает утверждение о доминировании межмасштабных корреляций над внутримасштаб-ными, то есть
(^т) (х)-^т+1)(х+дх)) =(^т) (х)-^т)(х+дх)). (8)
Данное утверждение определяет структурную особенность алгоритмов обработки, основанных на использовании корреляционных свойств данных, например, в задачах обнаружения аномальных сигналов. Особенность состоит в том, что в силу неравенства (8) алгоритмы, основанные на межмасштабных корреляциях, более эффективны по сравнению с алгоритмами на основе внутримасштабных корреляций.
Одним из факторов, стимулирующих исследования в области развития технологий обработки данных космических систем наблюдения, является обнаружение сигналов неизвестной формы. В качестве априорной информации используются данные о характерных масштабах (размерах объекта или аномального явления). Перевод проблемы обнаружения в пространство вейвлетовских коэффициентов позволяет повысить эффективность обнаружения в случае выбора оптимальной системы вейвлетовских функций. Данный вопрос детально рассмотрен в работе [8].
Рассмотрим мультимасштабное обнаружение сигналов на основе дискретных ШТ.
Используя модель смеси сигнала и шума: г(() = е(() + ns((), п = 0,1,
где ) - реализация, ) - фрактальный шум, s(t)
- сигнал, и переводя, проблему обнаружения в область ШТ коэффициентов найдем:
¿з к (г ) = аз,к () + па] к ( ),
fa-fa
dhk djk (fa;
L=jk
Для отношение правдоподобия L можно получить следующее выражение:
a(djk,H(n = 1))= ex 2djkk(s)djk(z)-dj2k(s) 4(, H (n = 0) ^ j '
Статистическая оценка по максимуму правдоподобия будет иметь вид:
d jkk (s) = arg max (l) ,
dj ,k (s)
где ra(d; k, H (n = 1)) - функция распределения djk при гипотезе H(n=1) (присутствие сигнала в реализации), rad ,k, H (n = 0)) - функция распределения djk при гипотезе H(n=0) (сигнал отсутствует).
При использования для обнаружения сигналов критерия Неймана-Пирсона для WT коэффициентов будет справедливо пороговое соотношение:
djk (s) = Th[dhk (z)]
0,
q < qn
d,,k(z), q ^ qn
где q-параметр обнаружения на масштабном уровне j, определяемый соотношением:
q =
|dj ,k (z) (d м (z )12
qn - порог обнаружения определяемы соотношени-
ем:
Рпс =ф[ф-1 (1 _ Рлт )_ 9п I ф(х) - интеграл вероятности, рпс - вероятность пропуска сигнала, рлт - вероятность ложной трево-
ги.
Заключение
В работе изложены концептуальные, методологические и теоретические основы информационной технологии обработки данных спутниковых систем наблюдения. Подход базируется на системной интеграции мультимасштабных концепций: фрактальных множеств, квазинеприрывных разверток, непрерывного и дискретного вейвлет-анализа. Подход позволяет повысить эффективность обнаружения сигналов в условиях априорной неопределенности.
Рис.1. Обнаружение скрытых сигналов неизвестной формы на основе мультимасштабной селекции. Условия обнаружения: отношение сигнал/шум (в/"<1), соотношение масштаб аномалии/пространственное разрешение Ь/К >> 1, Ь=2 км, спектральный диапазон 0,5-1,1 мкм. Исходные данные (а): КА "Ресурс-01"МСУ-Э (К=45 м), территория г.Туймазы РБ. Выходные данные (б): оптическая плотность газоаэрозольного загрязнения атмосферы
Данный подход был апробирован при обнаружении скрытых атмосферных загрязнений на спутниковых изображениях в условиях малого отношения сигнала к шуму (Рис.1).
Благодарности
Работа выполнена при поддержке гранта ГЫ-ТЛ8 № 04-77-7198.
Литература
1. Александров Р.В., Горский И. Д. Представление и обработка изображений: Рекурсивный подход // Л.: Наука, 1985. 102 с.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.
3. Потапов А. А., Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки // М.: Университетская книга, 2005. 848 с.
4. Багманов В.Х., Султанов А.Х., Мешков И.К. Экспериментальное исследование масштабно-инвариантной структуры данных спутниковых систем наблюдения // Материалы 6-ой МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций», Уфа, 2005. С.96-98.
5. Багманов В.Х., Султанов А.Х. Синтез фильтров для обработки изображений с фрактальной структурой // Компьютерная оптика, Самара-Москва, 2005. Вып. 28. С. 156-159.
6. Дремин И.М., Иванов У.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН, 2001. Т.171. №5. С 465-501.
7. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника // М.: Радио и связь, 1982. 624с.
8. Багманов В.Х. Мультимасштабный подход к фильтрации сигналов с фрактальной структурой на основе вейвлет-преобразований // Вестник УГАТУ, Уфа, 2004. Том 5, №2 (10). С. 209-212.
