Синергетический метод обработки и защиты информации на основе реконструкции системы типа Ресслера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

Д.А. Деменков

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОБРАБОТКИ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ РЕКОНСТРУКЦИИ СИСТЕМЫ ТИПА РЕССЛЕРА

В последние годы возник интерес к новому научному направлению, основанному на изучении процессов самоорганизации в нелинейных системах с динамическим хаосом. Подобные системы характеризуются так называемыми «странными» аттракторами, которые могут применяться в качестве гибких информационных процессоров, эффективно обрабатывающих информацию.

К генераторам информации - аттракторам - предъявляются следующие основные требования: во-первых, большая емкость памяти и, во-вторых, способность к значительному сжатию информации. Известно, что регулярные аттракторы типа Ван дер Поля, Релея, Пуанкаре и др., имеющие размерность 1, малоэффективны как модули для хранения информации, но практически идеальны как устройства для сжатия информации [1]. Однако в нелинейной динамике были обнаружены хаотические («странные») аттракторы, обладающие с информационной точки зрения универсальными свойствами: с одной стороны, они имеют значительную информационную размерность, а с другой - являются «компрессорами» информации. Хаотические аттракторы, например аттрактор Ресслера, осуществляют процессы обработки информации путем уменьшения числа степеней свободы в фазовом пространстве - процесс сжатия фазового пространства.

В статье предложен метод обработки и защиты информации, основанный на глобальной реконструкции динамической хаотической системы типа Ресслера с использованием синергетического наблюдателя.

В последнее время в литературе был предложен ряд способов скрытой передачи информации, основанных на применении в качестве несущего сигнала широкополосных колебаний генератора хаоса [2, 3]. Исходя из идеологии глобальной реконструкции [2-4], в данной статье предлагается динамический метод обработки информации, основанный на текущем вычислении параметров ** (?) с помощью

синергетического наблюдателя [5,6].

Методику и синтез динамического наблюдателя проиллюстрируем на конкретном примере ХГ, представленного моделью Ресслера [2, 4]:

х(?) = - у - г; у (?) = х + ау; Г(/) = Ьх + хг - сг, (7)

здесь х = (х, у, г) - вектор переменных состояния, ш0 = (а, Ь, с) - вектор постоян-

ных (номинальных) параметров.

Сначала преобразуем модель (7) к виду (5), для чего используем замену переменных [3]:

X = х; У = — у - г; Z = х + ау.

В результате получим новую систему:

X (?) = У; У (?) = г; ^ (?) = / X, у , г, т0 ) (8)

где

/(X, У, г, т0 )= ЬХ + X(Х - 2 - У) - с(Х - 2 - У). (9)

аа

Итак, рассмотрим новый управляющий параметр генератора Ресслера:

с Х) = с + иХ) . (10)

Для этого будем полагать, что в канал связи передается сигнал Z (t), сгенерированный системой (8-10). Примем следующие допущения: модулирующий сигнал является кусочно-постоянным, т.е. осуществляется передача цифровой информации; параметры a, b известны, а параметр c(t) > 0 является модулируемым параметром.

Покажем процедуру построения наблюдателя за параметром c на принимающей стороне для системы (8). Для этого, согласно [5-7], неизвестный параметр необходимо заменить его динамической моделью, отражающей эволюцию этого параметра. В нашем случае это может быть модель вида w(t) = 0, поскольку решением этого дифференциального уравнения является w(t) = const, что и отражает скачкообразное изменение во времени параметра c(t). На этом основании сформируем следующую расширенную систему:

X - 7

X (t) = Y; Y (t) = 7; 7 (t) = G1 - c(-Y); w (t) = 0, (11)

a

X - 7

где Gi = bX + X(-Y), w - переменная состояния динамической модели

a

параметра с.

Как видно, в системе (11), в отличие от (8), параметр c заменен переменной состояния модели w. В системе (11) наблюдаемыми (известными) являются переменные X, Y, 7 , а ненаблюдаемой (неизвестной) переменной - w . Пусть w

- искомая оценка параметра c, т.е. w = c. Для построения оценки этого параметра введем макропеременную

/ = w - w (12)

и запишем уравнение редукции

w = Q(x , Y, 7 ) + v1, (13)

где Q(X, Y, 7 ) - неизвестная функция от наблюдаемых переменных состояния системы (11), v - переменная состояния динамического наблюдателя. Тогда производная по времени уравнения редукции принимает вид

dw = dQ(X, Y, 7) dX dQ(X, Y, 7) dY dQ(X, Y,7) d7 dv1 (]4)

dt dX dt dY dt d7 dt dt

Согласно [6-8], макропеременная (12) должна удовлетворять функциональному уравнению

/ (t) + L(X, Y, 7 )/ = 0, (15)

где L(X, Y, 7) - неизвестная функция, обеспечивающая устойчивость уравнения (15).

Производная по времени макропеременной (12) имеет вид

d/ _ dw dw dt dt dt

Тогда, подставив в это уравнение соответствующие выражения (11)-(14), получим

dQ(X, Y, 7) Y dQ(X, Y, 7) 7 dQ(X, Y, 7) fG1 - w^^ - Y) 1-

dX dY д7 I a ) ,лг.

(16)

- dV1 + L(X, Y, 7 )w - iw) = 0. dt

Поскольку уравнение наблюдателя не должно содержать в себе ненаблюдаемые переменные состояния, то необходимо выписать из уравнения (16) все слагаемые, содержащие ненаблюдаемую переменную Н:

Это равенство выполняется при условии

[ЩР) ^ - >-) +)) = 0.

при условии

(£._£ - г)+цх, у, л )=о,

(17)

так как н Ф 0 . Тогда из (17) следует соотношение

дб(Х, У, Л ) 1(Х, У, Л )

д1

X -1

-У

проинтегрировав которое, получим

о( , Г, 1 )= /(Х -Г ■1> 1

X - л

-У

(18)

С учетом полученного соотношения, примем

ь(х, У, 1 )= аХ 2, (19)

здесь а > 0 - постоянный коэффициент, задающий динамику (скорость) оценивания неизвестного параметра с . Тогда из (18) и (19) имеем

е(х, У, 1 ) =

а

X -1

-У

X 21.

(20)

Теперь, зная 0(Х, У, 1) (20) и Ь(Х, У, 1) (19), мы можем из (16) выписать уравнение динамической составляющей наблюдателя возмущения:

^ = -деСхУ!) г - д°(х.г.г)0_ - их у у у 1) =

&

дХ

X -1

- У

1

д1

[

У-

X -1

-У

X

Ог -аК2

X -1

а -X 21 + у,

-У

V V “ у /

дO(X, У, 1) А так как ------------ = 0 .

дУ

Кроме того, имеем выражение для оценки параметра с :

(21)

X -1

а X21 + V!.

-У

(22)

Таким образом, синтезированный синергетический наблюдатель параметра Г состоит из двух составляющих: во-первых, динамической, заданной дифференциальным уравнением (16), и, во-вторых, статической, заданной выражением (18). Теперь из соотношения (10) найдем реконструированный на принимающей стороне информационный сигнал:

№реконстр. ^) = с - с , (23)

который равен разности оцененного параметра и его номинального значения.

а

а

а

а

а

а

Таким образом, в статье предложен новый метод динамической обработки и защиты конфиденциальной информации, базирующийся на применении в качестве несущего сигнала широкополосных колебаний генератора хаоса и методе глобальной реконструкции динамки системы с использованием синергетического наблюдателя. Синтезированное уравнение синергетического наблюдателя обеспечивает достаточно точную реконструкцию информационного сигнала.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. НиколисДж. Динамика иерархических систем / Дж. Николис. - М.: Мир, 1989.

2. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б. Нелинейные эффекты в хао-

тических и стохастических системах. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

3. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и ста-хостических систем. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1999.

4. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., Yanson N.B. Reconstruction of dynamic systems as applied to secure communications // Technical Physics, 1998. -Vol. 43(12). - Рр. 1401-1407.

5. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. - М.: УРСС/Комкнига, 2006.

6. Колесников А.А. и др. Современная прикладная теория управления. Ч. II: Синергетический подход в теории управления. - Москва-Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

УДК 621.306

А.А. Строцев, С.В. Синицын, А.А. Жадько

МЕТОДИКА ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ АЛГОРИТМА КОНТРОЛЯ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ СМЕШАННОГО РАСШИРЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Эффективность функционирования сложной системы (СС) зависит от качества алгоритмов ее контроля. Методы оптимизации алгоритмов контроля можно классифицировать относительно информационных условий выработки решения, принятых в теории принятия решений: определённости, риска и неопределённо-сти.

Периоды приработки и старения СС характеризуются повышенными значениями интенсивности отказов Aft), которые носят неопределенный характер. В [1] рассмотрена теоретико-игровая оптимизация алгоритмов контроля на основе моделей матричных игр, позволяющая учесть неопределенность возникновения неисправностей СС. Однако в предложенных моделях отсутствуют ограничения на процесс контроля технического состояния, которые могут быть обусловлены как спецификой самого объекта контроля, так и применением средств и методов контроля. Такие ограничения, например, могут быть связаны известными вероятностями возникновения ряда неисправных состояний, а также с требованиями эксплуатационной документации на применение отдельных алгоритмов контроля. Таким образом, рассмотрение вопросов построения теоретико-игровых моделей с ограничениями для оптимизации алгоритмов контроля в условиях сочетания случайных и неопределённых факторов является актуальной задачей.

Рассмотрим процесс контроля функционирования СС с условной остановкой алгоритма контроля. Будем полагать заданными:

- множество всех состояний системы E={ej}, j = 1,m , где {e1}=E1 -исправное состояние СС и соответствующее ему множество; {e2,e3,...,em}=E -