Симметрии пространства-времени и равновесные распределения заряженной жидкости. Уравнения состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 3

Физико-математические пауки

2006

УДК 530.12:531.51

СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

P.A. Даишев

Аннотация

В работе рассмотрены пространства-времена V4, допускающие группы гомотетиче-ских преобразований Hr, источниками которых служит заряженная жидкость. Предполагалось. что вектор скорости такой жидкости коллипеареп времепиподобпому вектору Y = ^гЗг алгебры Ли этой группы. Показано, что при условии (р + 3p) = 0, где р - плотность энергии, а p — равновесное давление жидкости, этот вектор является вектором алгебры Ли, соответствующий изометрическим преобразованиям группы, и порождает времениподобный идеал алгебры Ли группы Hr. Среди всех пространств-времен V4 с группами гомотетических преобразований выделены пространства-времена, допускающие группы с указанными свойствами. Уравнения (Tг + Ег ) | k = 0 полностью проинтегрированы и пайдепы все возможные уравнения состояния исследуемой жидкости. Оказалось, что уравнение состояния жидкости практически однозначно фиксируется симметрией прострапства-времепи, а давление, плотность энергии жидкости и плотность электрических зарядов выражаются исключительно через «полевые» величины: Ak£k и , гДе Ak — 4-потенциал электромагнитного поля.

Введение

Из кинетической теории газов известно [1 3]. что если число частиц, равно как и энтропия газа как целого, сохраняется, равновесное распределение идеального газа заряженных или незаряженных частиц с ненулевой массой покоя возможно только в случае, если пространство-время допускает группу изометрических преобразований с времеииподобиым вектором Киллинга, а макроскопическое движение газа происходит в направлении этого вектора. В случае же частиц с нулевой массой покоя равновесное распределение возможно только тогда, когда пространство-время допускает группу конформных преобразований, при этом макроскопическое движение газа происходит в направлении временииодобного вектора алгебры Ли этой группы. В обоих случаях тензор энергии-импульса газа имеет структуру тензора энергии-импульса идеальной жидкости, причем давление и плотность энергии газа выражаются определенным образом через функцию распределения такого газа. Если мы отвлечемся от связи давления и плотности энергии жидкости с функцией распределения и будем трактовать их чисто феноменологически, мы придем к задаче исследования гравитационного поля, создаваемого жидкостью, вектор скорости которой коллипеареп времеииподобиому вектору или группы изометрических, или группы конформных преобразований. Распределение такой жидкости естественно, на наш взгляд, назвать равновесным распределением.

В работах [4 6] исследованы конфигурации жидкости, в которой могут происходить процессы рождения частиц. В общем случае показано, что рождение частиц возможно только в случае, когда тензор энергии-импульса жидкости отличен от

тензора энергии-импульса идеальной жидкости. Оказалось, что тензор энергии-импульса такой жидкости может, в частности, иметь структуру тензора энергии-импульса идеальной жидкости, но, в отлично от неё, давление жидкости должно состоять из двух частей: равновесной, с р > 0 и неравновесной П < 0, которая связана с производством энтропии (идеальная жидкость характеризуется условием П = 0). Вектор же макроскопической скорости такой жидкости не должен быть коллиноарон вектору Киллинга. Если вектор скорости коллиноарон вектору изометрического движения, рождение частиц отсутствует. Дальнейшее исследование в этих работах проводилось в случае, когда пространство-время допускает группу конформных преобразований, а вектор скорости жидкости коллиноарон времени-подобному вектору алгебры Ли этой группы. Состояния такой жидкости авторы назвали обобщенно-равновесными состояниями.

В работе [7] рассмотрена динамика жидкости, находящейся в состоянии обобщенного равновесия в пространствах-временах, допускающих группы гомотетичо-ских движений. В этой работе исследованы некоторые термодинамические свойства жидкости и указано возможное уравнение состояния такой жидкости.

Пространства-времена с группами гомотетичоских преобразований достаточно подробно изучены в общей теории относительности как с математической, так и с физической точки зрения (см., например, впечатляющий обзор в [8]). Их исследование вызывает несомненный интерес, поскольку пространства-времена, допускающие группы гомотетичоских преобразований, являются одним из простейших обобщений хорошо изученных полей тяготения с группами изометрических движений, и кроме того, они играют важную роль в описании асимптотических свойств более общих моделей. Свойства жидкостей в пространствах-временах с группами гомотетичоских движений изучены также достаточно полно [9, 10]. Однако свойства заряженной жидкости в полях тяготения с снмметрнямн более сложными, нежели симметрии изометрических групп, исследованы значительно меньше. В то же время, исследования в области космической плазмы зачастую приводят к необходимости рассматривать материальные среды с тензором энергии-импульса заряженной жидкости, например, идеальный газ заряженных частиц.

В данной работе рассмотрены пространства-времена У4, допускающие группы гомотетических преобразований Нг, источниками которых служит заряженная жидкость. Предполагалось, что вектор скорости такой жидкости коллиноарон времениподобному вектору V = алгебры Ли этой группы.

Статья является продолжением предыдущей работы [11], в которой были исследованы поля тяготения, допускающие простотранзнтнвные группы гомотетичоских преобразований и предложен метод нахождения точных решений самосогласованной системы уравнений Эйнштейна Максвелла. Оказалось, что в таких пространствах-временах можно найти все возможные точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна Максвелла с заряженной жидкостью в правой части. Поля же тяготения, допускающие группы низшей подвижности, не могут быть исследованы указанным выше методом. Тем не менее, инвариантно-групповой подход н в этом случае позволяет выявить некоторые существенные особенности пространств-времен, создаваемых равновесными распределениями заряженной жидкости.

1. Динамика заряженной жидкости и уравнения состояния.

Самосогласованная система уравнений Эйнштейна-Максвелла имеет вид

И/.к — -Щгк — —п(Тгк + Е^к),

(1)

Fjfc = J 4 = aU (2)

Ftf = 0, (3)

где Tik = (p + p)UiUk + pgik - компоненты тензора энергии-импульса жидкости, {U'Ui = —1), a Eik = gabFaiFbj — jFabFabgik компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля, а - плотность электрических зарядов. Здесь и далее вертикальная черта обозначает ковариантную производную.

Для того чтобы пространство-время допускало группу гомотетических движений Hr с векторами алгебр ы Ли Ха = £i3i, (а = 1, 2,..., г), необходимо и

а

достаточно, чтобы были выполнены уравнения:

LXgij = С ijj + ji = Vagij , (4)

а а а

где <ра = const = 0.

Производная Ли от тензора Эйнштейна в направлении вектора Ха группы Hr равна нулю: CXGij = 0. Следовательно, производная Ли от тензора энергии-

импульса в направлении этого вектора также должна быть равна нулю: LX(Tij +

+Eij) = 0. Согласно [12], это равенство означает, что LXTij = 0, LXEij = 0. В [12] показано, что из первого равенства следует:

LX Р + PVa = 0, (5)

LX Р + PVa = 0, (6)

£х Ui = \ицра, (7)

тогда как второе равенство эквивалентно соотношению

£-X.Fik = -tpaFik + фаЁк, (8)

где фа — скаляры. Если при этом вектор Ui не является собственным вектором тензора Eik, то

Lx а + Vaa = 0, (9)

фаа = 0, (10)

и фа = const. Если же век тор Ui является собственным векторо м тензора Eik , то выполнено соотношение

LX(a cos а) + <раа cos а = 0, (11)

где а - некоторый скадяр, удовлетворяют;ий условиям LXa = фа, , Ui дцфа = 0.

Если к тому же а = 0, то фа = const.

Предположим, что вектор скорости жидкости направлен вдоль временпподоб-ного вектора Y = Cidi алгебры Ли Hr

U'1 = , ц , (12)

Y

циентами всех векторов алгебры Ха: Y = ааХа, аа = const, по повторяюгцимся

индексам подразумевается суммирование. Возьмем производную Ли от уравнения (12) в направлении вектора Ха алгебры Ли группы Нг. С помощью уравнения (4) и уравнения структуры группы

е- г ^ = е (13)

а в в а 7

эта производная может быть записана в виде

LxU i

1

v/45

(14)

где = аа£г, (££) = (£k£k) и COg - структурные постоянные алгебры Ли. Из

а

соотношений (7) и (14) следует

ав С^ = aT аа(15)

а а

где ат = (aaCaa£j)/(££)• Покажем, что aT = const. Для этого ковариантно

а

продифференцируем (15) по xk и просимметрируем получившееся выражение по индексам in к; используя (4) и хорошо известную для любых групп конформных преобразований формулу C*a^a = 0, получим a^ = 0. Отсюда следует, что aT =

т

= const

Вследствие линейной независимости векторов Ха равенство (15) может быть выполнено тогда и только тогда, когда равны друг другу коэффициенты при компонентах векторов в правой и левой стороне равенства (15), то есть

ав С*в = aT аа. (16)

Ха

[ХаХв] = С^вXY. Свернем коммутационные соотношения с ав; вследствие (16) получим [Хт Y] = aT Y. Отсюда следует, что вектор Y порождает идеал алгебры Ли группы гомотетических преобразований Hr. Не каждая алгебра Ли обладает

Y.

с группами гомотетических движений должны будем выбрать только такие V4, которые обладают указанным свойством.

Равенство нулю ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса (Tik+ +Eik)|k = 0 с учетом уравнений Максвелла (2) и (3), может быть записано в виде следующих двух равенств:

PliUi + (р + РЩ = 0, (17)

(р + p)U{kUk + (UiUk + gik) Pik = aFikUk. (18)

Уравнение (17), вследствие нашего предположения о векторе скорости (12), можно переписать в виде:

CYp+^(p + p)aa<fa = 0. (19)

Свернем соотношение (5) с постоянными аа. Сравнивая результат с (19), получим, что (р + 3p) • аа^а = 0.

Предположим, что (р + 3p) = 0, тогда аа^а = 0. Свернем теперь уравнение (4) с постоянными аа, получим gij = 0. В исследуемом случае это означает, что Y

образованиям группы Hr. Тем самым, согласно [6], сделанное выше предположение

ограничивает наше внимание лишь изучением такой жидкости, в которой отсутствуют креативные процессы, и мы можем рассматривать нашу жидкость как идеальную. Исследование жидкостей, обладающих уравнением состояния (р + 3p) = 0 и допускающих процессы рождения частиц, предполагается провести нами впоследствии. Отметим здесь, что из равенств (5) и (6) следует, что

Ly р = 0, Ly p = 0, (20)

то есть плотность энергии р и равновесное давление p жидкости сохраняются вдоль траекторий движения жидкости. Хорошо известно, что компоненты тензора электромагнитного поля Fik могут быть разложены на электрическую Ei и магнитную Hi составляющие:

Fik = UiEk — Uk Ei — nikim U lHm

или эквивалентно

Ei = Fik Uk, (21)

Hi = Fik Uk. (22)

Покажем, что вследствие предположения Ui ~ вектор электрического поля пропорционален градиентному вектору:

Ei = -^-di(Ake), (23)

где Ak - 4-потенциал электромагнитного поля. Для этого воспользуемся условием сохранения 4-тока: Ji = (aUi)|i = 0. Вследствие предположения Ui ~ ^ это условие легко привести к виду

LYa = 0, (24)

что означает сохранение плотности зарядов а вдоль траектории движения жидкости. Производная Ли от уравнения (18) ввиду (20) дает LYEi = 0. С другой стороны, из уравнения (8) следует, что LYEi = ф ■ Hi = 0. Отсюда или ф = 0, или Hi = 0; в обоих случаях LYFik = 0. Заметим, что верно и обратное: если выполнено последнее равенство, то из уравнения Максвелла (2) легко видеть, что также выполнено и равенство (24). Следовательно, выполнение равенства (24) является необходимым и достаточным условием выполнения LyFik = 0. Это условие эквивалентно условию Ly Ai = 0. Свертка равенства Fik = diAk — dk Ai с вектор ом Ui легко приводит к требуемому формулой (23) результату.

Уравнение (18) в силу равенства (23) и условия LYp = 0, может быть записано в виде:

(р + p) ■ di£ + dip — р ■ diA = 0, (25)

где введены следующие обозначения £ = 1п \]£,к£,к, А = Ак£,к, р = <т/\/—£,к£,к-Покажем, что если р, p и р - дифференцируемые функции, то условия интегрируемости уравнений (25) приводят к функциональным связям p = p(£, A), р = р(£, A), Р = р(£, A). Действительно, дифференцирование уравнения (25) по xk и альтернация результата по индексам г и к дают:

d[k(р + p) ■ + d[ip ■ dk] A = 0. (26)

Свернем (26) с dx% выразим dip из свертки и подставим его в (26). Полученный результат может быть записан в следующем виде:

¿(р + p) dA d£ det | $(р + p) diA di£ |=0. dk (р + p) dk A dkC

Равенство нулю приведенного выше определителя эквивалентно равенству нулю якобиана трех функций от трех переменных, что является необходимым и достаточным условием функциональной зависимости (р + p), А и £. Рассуждая аналогично, имеем, что р = р(А, £), p = p(A, £), а следовательно, и р = р(А, £).

Далее необходимо рассматривать два случая: А и £ функционально независимы или А = А(£). Рассмотрим сначада первый случай, и пусть p = 0. Подстановка Р = p(£, А) в уравнение (25) дает:

(р + p + p^) ■ + (pA - м) ■ diА = 0. (27)

Вследствие функциональной независимости А и £ это уравнение может быть выполнено тогда и только тогда, когда удовлетворены равенства (р + p + p^) = = (pA — м) = 0 или

р = —p — p^, (28)

(29)

Прямыми вычислениями легко проверить формулу = ат + Ьфт- Свернем

(25) с компонентами произвольного вектора XT. Используя (6) и полученную выше формулу, имеем

«т + -Ut ) Р+ ( ат - ) р = цСхА. (30)

1°. Предположим, что вектор и1 не является собственным вектором тензора энергии-импульса электромагнитного поля Е^ и выполнены равенства (9) и (10). Далее мы везде будем предполагать, что плотность электрических зарядов не равна нулю: а = 0, тогда равенство (10) означает, что фа = 0. В этом случае из уравнения (8) следует, что £ХЕ® = 0. С помощью равенства (23) это последнее условие приводится к виду:

С*А= (аг + ^г^А. (31)

Пусть (ат + 7><рт) 0 (в противном случае из (30) и (31) следует, что р = 0; эту ситуацию мы рассмотрим позже). Подставляя (31) в (30), получим уравнение состояния идеальной заряженной жидкости:

Р=кр + А^=, (32)

где

(33)

+ 2ат

Поскольку коэффициент к (33) в уравнении состояния жидкости не может зависеть от индекса т, то среди всех допускаемых групп следует выбрать только те, у которых отношение ат /<рт те зависит от индекса т при любом значении этого индекса.

Используя уравнение состояния (32), из уравнений (28) и (29) получим явный вид функций р, р и а :

УчГ (fc+1)

) V4Z

(35)

Здесь Ф [А/а/—££) произвольная положительная функция указанного в скобках аргумента, штрих означает дифференцирование по аргументу.

В альтернативном случае, кргда А и £ функционально связаны, то есть А = А(£), рассуждая аналогично, имеем, что р = р(£), р = р(£), ^ = Принимая

во внимание эти зависимости, из (5), (6), (9) и (31) легко получить, что

Р = Р0-[у/, (37)

, (38)

/ .- X -(&+1)

<г = <го- ЫЧС) , (39)

А = А0 • v7^, (40)

где ро, po, ao и Ao - постоянные, удовлетворяющие условию

ро = kpo + aoAo. (41)

Если мы имеем дело с заряженной пылью и полагаем p = 0, то из уравнения (25) следует р = р(£), A = A(£), что означает справедливость формул (37)-(41) при po = 0.

2°. Предположим теперь, что вектор U1 является собственным вектором тензора энергии-импульса электромагнитного поля Eík. Сначала рассмотрим случай, когда A и £ функционально независимы. Согласно [12] Fík = Tík cos а + fík sin а, где rifc - простой бивект ор, a fj = щы тkl - дуальный бивектор, удовлетворяющий условию fjUj = 0. № этой формулы легко получить: Eí = y^í, где y = —tgа. В терминах векторов Eí и Hí уравнения Максвелла (2) и (3) имеют вид:

Eíí — U íEí + 2WíHí = а, (42)

H|íí — UíHí — 2WíHí = 0, (43)

Uj (Ej — Ej|) + j UkHiij + j Uj UkHi = 0, (44)

Uj (Hj — Hj|) — j Uk Ei|j — j Uj UkEi = 0, (45)

где приняты обычные обозначения для вектора ускорения Uí = Uj Uj и вектора вращения w® = T¡ifiklUjUkг линий тока жидкости. Вследствие равенства (23) первые два слагаемых уравнения (44), содержащие Eí, равны нулю, для оставшихся имеем

Hí|k — Hk|í + Uk Hí — UíHk =0. (46)

Прямыми вычислениями легко показать, что

U í = a¿e (47)

С помощью (47) уравнение (46) может быть записано в виде: —

—дг{\/—ЦНи) = 0, откуда следует, что градиентный вектор. Следовательно. можем записать

Нг = (48)

где Н - скаляр. В силу (23) и (48) уравнения (44) и (45) выполнены тождественно.

Из (23) и (48) следует, что д4Н = 7д4А. Дифференцирование этого выражения по и альтернирование результата по индексам г и к дают д^7 • д^А = д&7 • д^А. Это равенство означает, что 7 = 7(А), и, следовательно, а = а(А); это дает возможность представить скаляр Н в терминах А: Н(А) = — / tg а(А) ¿А. Используя (8), легко показать, что £ХЕ = Н». Подставим в это выражение Е из равенства (23), а затем возьмем производную Ли от результата. Принимая во внимание коллинеарность векторов Е^ и Н¿, получим: йг(£хА) = (ат + + \фт)дгА.

Условие интегрируемости этого уравнения показывает, что = (А). Поскольку ^Ха = то £ХА = /а^. Подставляя это выражение в уравнение (30) и

обозначая /[а^(^т + 2ат)] = /(А), получим уравнение состояния жидкости в исследуемом случае:

р = кр + /(А)^=. (49)

С помощью этого уравнения состояния мы можем проинтегрировать уравнения (17) и (18):

и^гмт

Vv7^? J'

(51)

,52,

где

Если A и £ функционально зависимы, то есть если A = A(£), то рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что

Р = Ро- (v7^ J , (54)

P=P0-[viZti) , (55)

(56)

cos a = A^ exp(—£). (57)

Постоянные po, po и ao связаны между собой условием

po = kpo + ao. (58)

Здесь, как и прежде, k = (ут — 2aT)/(у>т + 2aT). Как и в предыдущем случае, из всех допускаемых групп мы должны выбрать лишь те, у которых отношение aT/ут не зависит от индекса т.

В случае незаряженной жидкости, когда а = 0 и A® =0, для жидкости выполнено баротропное уравнение состояния р = kp, где р и p имеют вид (37) и (38). Существует интересное следствие этих формул. Рассмотрим равновесное распределение газа частиц (например, газа фотонов) с уравнением состояния р = 3p. Согласно кинетической теории простого релятивистского газа, равновесная температура газа равна Т = 1 / При подстановке к = 3 и этого выражения в равенство (37), получим p = p0T4 - хорошо известную формулу Стефана для давления чорнотолыгого излучения.

Таким образом, нами доказана

Теорема 1. Если пространство-время V4 с идеальной заряженной жидкостью как источником допускает группу гомотетических преобразований Hr, макроскопическое движение заряженной жидкости происходит в направлении времениподобного вектора Y алгебры Ли группы Hr, (р + 3p) =0, то:

1. вектор Y является вектором изометрического движения;

Y группы Hr;

3. earn вектор скорости жидкости не является собственным вектором тензора энергии-илтульса электромагнитного поля, то при условии, что величины А = Ak£k и £ = In а/—чч функционально независимы, давление р, плотность

ра уравнению состояния (32) и выражаются в терминах A и £ формулами (34)-(36). В случае же, если A = A(£), выполнены равенства (37)-(41);

4. если вектор скорости жидкости является собственным, вектором тензора энергии-илтульса электролшгнитного поля, то вектор электрического поля кол-линеарен вектору магнитного поля; давление p, плотность энергии р жидкости

а

и выражаются в терминах A и £ согласно формулам (50)-(53) при условии, что A и £ функционально независимы. В случае же, если A = A(£), то выполнены равенства (54) (58).

2. Времениподобные идеалы алгебры Ли группы Нг

Согласно только что доказанной теореме, времениподобный вектор У порождает идеал алгебры Ли группы Нг гомотетических преобразований. Поскольку не каждая группа обладает алгеброй Ли с вромониподобным идеалом, дальнейшая наша задача заключается в том, чтобы среди всех пространств-времен У4 с группами гомотетических движений выбрать такие пространства-времена, которые бы допускали группу с указанными свойствами. В этой связи воспользуемся результатом, общим для всех групп конформных преобразований [13], что группа Ог конформных преобразований размерности г < 5, допускаемая неконформно-плоскими пространствами-временами У4, является группой изометрических движений в пространствах-временах У4, конформных к У4 :

¿Б2 = е2Л^2. (59)

Группа конформных преобразований, действующая в конформном пространстве-времени как группа изометрических движений, называется «трнвналыюй конформной группой». Таким образом, для того чтобы исследовать тривиальные конформные группы, мы можем воспользоваться известной [13] классификацией пространств-времен по группам изометрических движений Ог.

В качестве примера исследования рассмотрим два случая. Первый случай это группа 6*4 V с подгруппой действующей транзитивно на У3. Коммутационные

соотношения алгебры Ли этой группы и её базис имеют вид

[Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = Х2, [Х3Х1] = -Х1,

(60)

[Х1Х4] = Х2, [Х2Х4] = -Х1, [Х3Х4] = 0.

Х1 = 52, Х2 = дз, Хз = Х3д2 - 51 + жздз, Х4 = ж2дз - жзд2. (61)

Наша цель - найти аст и ат, используя условие (16). Необходимым и достаточным условием того, что уравнения (16) имеют нетривиальные решения, является условие ёе^був — ат= 0 при каждом а = 1, 2, 3,4. Из равенства нулю этих детерминантов найдем ат. При каждом а, решая уравнения ав(б^ — ат) = 0, найдем ав : а = а2 = 0, аз = —1, 04 = 1, и а1 = —а2 = 1, а3 = а4 = 0. Элементом идеала алгебры является вектор V = Х1 — Х2 = 52 — дз, а компоненты вектора £г = (0,1, — 1, 0) являются компонентами вектора Киплинга, коллинеар-ного вектору и\ Метрика пространства-времени, в котором группа действует как группа изометрических движений, имеет вид

= а11(йж1)2 + а22е2х1 [(¿ж2)2 + (¿ж3)2] + е4(йж4)2, (62)

где а^ = а^(ж4), е4 = 1, или — 1. Легко видеть, что требование (ее) = а22е2х < < 0 нарушает сигнатуру метрики, а переход к конформной метрике, очевидно, не меняет ситуацию. Это означает, что исследуемая идеальная заряженная жидкость не может служить источником такого пространства-времени.

Другой пример - группа С4У/2 с подгрупп ой С3, действующей транзитивно па У3. Коммутационные соотношения алгебры Ли таковы:

[Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = 0, [Х3Х1] = 0,

(63)

[Х1Х4] = Х2, [Х2Х4] = —Х1, [Х3Х4] = 0.

Базисные векторы алгебры имеют вид

Х1 = 52, Х2 = дз, Хз = —51, Х4 = ж2дз — ж3д2, V = Хз = —дь (64)

Исследование, аналогичное приведенному выше, показывает, что компоненты вектора ег = (0,0, 0, — 1) являются компонентами вектора Киплинга, коллинеар-ного вектору скорости и\ Метрика, конформно-соответствующая исследуемому пространству-времени, имеет вид

й^2 = а11(йж1 )2 + а22 [(¿ж2)2 + (¿жз)2] + е4(йж4)2, (65)

где а^ = а^ (ж4), е4 = ^юш —1. Условие (ее) < 0 приводит к требованию а11 < 0, ж1

класс хорошо известных пространств-времен с плоской симметрией.

Такое исследование позволяет выделить все пространства-времена, допускающие группы изометрических движений, алгебры Ли которых имеют идеал с времеииподобиыми элементами. Далее, перейдем к конформно-соответствующим пространствам-временам, где данная группа действует как группа гомотетпческпх преобразований, и воспользуемся при этом теоремой Киебельмана [14] о том, что любая группа гомотетпческпх движений Нг содержит подгруппу Сг-1 изометрических движений. (Вектор Киплинга, времениподобный в , будет также времениподобным и в .)

Группа #1. В этом случае существует единственный вектор алгебры, в направлении которого происходит макроскопическое движение жидкости. Очевидно, что этот вектор должен быть вектором алгебры Ли, соответствующим изометрическому преобразованию группы (вектором изометрического движения).

Группы #2. Существует две возможности: группа #2/ с коммутационным соотношением [Х1Х2] = 0 (па самом деле, конечно, коммутационным соотношением её алгебры Ли) и группа #2// с коммутационным соотношением [Х1Х2] = Х1.

Группа #2/: [Х1Х2] = 0. В этом случае алгебра Ли - абелева, и без потери общности элементом идеала алгебры Ли можно выбрать вектор У = Х1 = а Х2 = $2 - вектором алгебры Ли, отвечающим преобразованию гомотетии группы #2/ (вектором гомотетии). Пусть д^ - компоненты метрического тензора пространства-времени, конформного данному и допускающего #2/ как группу изометрических движений: д^к = е2Хдгк. Хорошо известно [13], что скаляры и величина А формулы (59) связаны равенством

(66)

Интегрирование этого уравнения в случае группы Я2/ дает А = +С(х3, х4 )). Следовательно, компоненты метрического тензора д^к имеют вид

= „(^2 х2 + С(х3, х4)) ( дав(х3, х4) 0

Угк 1 0 е4

где а, в = 1, 2, 3; е4 = +1 или — 1. Вид матрицы тензора д^к приведен в [13]. Поскольку ат = 0, то к = 1. Уравнение состояния жидкости р = р + / (А)х

Аналогичное исследование необходимо провести во всех остальных случаях.

Группа #2//: [Х1Х2] = Х1. В этом случае имеем У = Х1 = а1 = 0, ал = —1, Х2 = х1д\ + до гомотетический вектор, А = ^(^о ж2 + С(ж3, ж4)). Жидкость имеет уравнение состояния с к = (да + 2)/(да — 2).

Группы #з. Следующие группы имеют алгебры Ли с времениподобными идеалами. Оказалось, что допускаются только группы Я3, действующие на трехмерных поверхностях У3 трапзитивпо.

Группа #3/. Коммутационные соотношения - [ХаХв] = 0, (а, в = 1, 2, 3), У = а®Х4, ат = 0, (т = 1, 2, 3). Без потери общности вектор У = а1Х1 + а2Х2 для всех а1, а2 может быть выбран в качестве элемента идеала алгебры Ли этой группы, а Х3 как вектор гомотетии. Тогда А = ^даж3. Жидкость имеет уравнение состояния с к =1.

Группа Яз//: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = Хь [Х3Х1] =0, У = Х1, ат = 0, (т =

= 1, 2, 3). Без потери общности вектор Х3 может быть выбран как вектор гомотетии, тогда А = — ^даж3. Жидкость имеет уравнение состояния с А; = 1.

Группа #3///: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = 0, [Х3Х1] = —Х1. Существует две возможности.

1°. (Х1; Х2) — векторы изометрического движения, а Х3 - вектор гомотетии; А = — тгдаж3. Необходимо рассмотреть два под случая:

У = Х1 , а1 = а2 = 0, а3 = —1 состояния с к = (да + 2)/(да — 2).

Ь) Если V = Х2, то ат =0 (т = 1, 2, 3), и жидкость имеет уравнение состояния с к =1.

2°. (Х1; Х3) — векторы изометрического движения, Х2 — вектор гомотетии; Л = = Хх, ал = 0. Поскольку 922 ф^ 0, жидкость имеет уравнение

состояния с к =1.

Группа Я3/У: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = Х1 + Х2, [Х3Х1] = -Х1. (Х^) -

векторы изометрического движения, а Л"з вектор гомотетии: Л = — ^-¿х3, V = Х1, «1 = «2 = 0, «3 = -1. Жидкость имеет уравнение состояния с к = (< + 2)/(<3 - 2).

Группа #3^: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = Х2, [Х3Х1] = -Х1. (Х1; Х2) - векторы изометрического движения, Хз вектор гомотетии: Л = — ^953ж3; V = о1Х1+о2Х2 для всех а1, а2, «1 = «2 = 0, «3 = —1. Жидкость имеет уравнение состояния с к = (< + 2)/(<3 — 2).

Группа #3^/: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = 9Х2, [Х3Х1] = — Хь (Х1; Х2) -векторы изометрического движения, Хз вектор гомотетии: А=— ^-¿х3. Существует две возможности:

1°. V = Х1, «1 = «2 =0, «3 = —1. Жидкость имеет уравнение состояния с к = (< + 2)/(<3 — 2).

2°. V = Х2, «1 = «2 = 0, «3 = —д, д = 0; 1. Жидкость имеет уравнение состояния с к = (<3 + 2д)/(<3 — 2д).

Компоненты метрического тензора пространства-времени имеет в ид д^ = = ^, где ^ - компоненты метрического тензора пространства-времени Т4,

допускающего группу #3Т/ как группу изометрических движений. Эта группа действует транзитивно па трехмерных поверхностях Т3.

Все другие группы, не упомянутые выше, такие, как #3V// - #3/Х, к примеру, равно как и группы, действующие на двумерных поверхностях транзитивности Т2 или на двумерных изотропных поверхностях , и т. д., или обладают алгеброй Ли без идеала, или требование временииодобности вектора алгебры Ли, порождающего идеал, нарушает сигнатуру метрики.

Группы #4.

#4

Прямыми вычислениями легко убедиться в том, что группы #4, обладающие алгебрами Ли с времеииподобиым идеалом, могут быть только группами изометрических движений.

В. Группы #4, действующие транзит и вно па Т4.

Все эти группы имеют алгебры Ли с времеииподобиым идеалом. Пространства-времена, допускающие такие группы, полностью изучены памп в статье [11], где найдены все возможные точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла с заряженной жидкостью в правой части.

3. Динамика заряженной жидкости и ее уравнения состояния в пространствах-временах, допускающих группы изометрических движений

Рассмотрим пространства-времена, допускающие группы изометрических движений. В этом случае в уравнении (4) следует положить <а = 0, после чего урав-

нения (5) (8) принимают вид:

% Р = = 0, (67)

¿X и = 0, (68)

¿хРгк = Фа^к , (69)

но здесь уже нет никаких условий на скаляры фа. Мы сохраним далее наше предположение (12) относительно вектора скорости и®. Легко проверить, что условие (16) наличия идеала в алгебре Ли, равно как и условие градиентности (23) и (48) векторов Е® и Нг останутся такими же, как и в случае пространств-времен с группами гомотетических движений. Также сохранятся уравнения (25) и (26), функциональные зависимости р = р(е, А), р = р(е, А), р = р(е, А), и, как следствие, будут выполнены равенства (28), (29). Имея в виду то обстоятельство, что (р + р) и р являются функциями е и А, уравнение (26) может быть переписано в виде [(р + р)А + Р^] • (5®е5кА — дкед®А) = 0, штрих означает дифференцирование по указанному аргументу. Очевидно, что необходимо рассматривать два случая:

(р+р)А + Ре = 0. (70)

д®е дкА — дке д®А = 0. (71)

Пусть выполнено уравнение (70). Поскольку ¿х(р + р) = 0, получим:

(р + р)е •¿хе +(р + р)А •¿хА = 0. (72)

Свернем уравнение (25) с вектором Хт. Вследствие (67) эта свертка приводится к виду:

(р + р) -¿Xе — Р •¿ХА = 0. (73)

Рассматривая (72) и (73) как однородную алгебраическую систему уравнений по отношению к ¿х^ и ¿хА, видим, что существуют две возможности: или детерминант этой системы равен нулю, или эти величины по отдельности раны нулю, то есть нлн

(р + р)е-р +(р+р)А- (р+р) = 0, (74)

¿х е = 0, ¿х А = 0. (75)

Пусть выполнено уравнение (74). С помощью равенства (70) это уравнение может быть проинтегрировано. Получим

(76)

где /(А) - произвольная функция от А. Используя получившееся решение (76), уравнение (73) перепишем в виде

¿хе = /(А) • ¿хА, (77)

а уравнение (72) с помощью (77) - в виде (р + р)^ • /(А) + (р + р)А = 0. Решение этого дифференциального уравнения в частных производных таково:

(о + ),, = Ф'Ш)' (78)

где

F(A) = e( f(A) dA),

штрих означает дифференцирование по аргументу. С помощью (78) уравнение (25) может быть проинтегрировано:

Пусть теперь выполнены равенства (75). Первое из них означает, что ат = 0, и как следствие условия (16) получим [XTY] = 0. Это равенство означает, что вектор Y является вектором центра алгебры Ли группы Gr. Исследование уравнения (25) показывает только, что p = p(£, A), р = р(£, A), а = а(£, A).

Рассмотрим теперь случай, когда выполнено уравнение (71). Это равенство означает, что все якобианы двух функций от четырех переменных равны нулю, что является необходимым и достаточным условием функциональной зависимости A и £: A = A(£), и, следовательно, p = p(£), р = р(£). Вследствие условий (67) имеем: р^ • £ = 0 и p^ • £ = 0. Если р^ = 0 и p^ = 0, то £ = 0 - условие того,

Y Gr

показывает только, что р = р(£), p = p(£) • Легко видеть, что это - частный случай ситуации, рассмотренной нами выше. Если р = const, p = const, то уравнение (26) дает только, что A = A(£).

Таким образом, нами доказана

Теорема 2. Если пространство-время V4 с идеальной заряженной жидко-

Gr

макроскопическое движение заряженной жидкости происходит в направлении

Y

1. вектор Y является элементом алгебры Ли группы Gr, порождающим вре-

p, р

а

A£

Y

Gr, то давление p, плотность энергии р жидкости и плотность электрических зарядов а удовлетворяют только условиям p = p(£, A), р = р(£, A), а = а(£, A).

Легко видеть, что более жесткое ограничение на допускаемую группу наличие временииодобного центра приводит к значительно более мягким условиям на уравнения состояния жидкости.

Для того чтобы завершить исследование, мы должны привести список прост-раиств-времен, допускающих группы изометрических преобразований, обладающих алгеброй Ли с времениподобным идеалом. Поскольку список допускаемых групп гомотетических преобразований Hr для размерностей r < 3 совпадает (с темп лишь небольшими изменениями, которые касаются только выделения вектора гомотетии)

Gr

(79)

ра

(80)

(81)

вышеупомянутому списку добавить список групп изометрических движений высшей подвижности.

Группы G4. Следующие группы имеют интересующие нас алгебры Ли:

А. Группы G4, действующие па трехмерных поверхностях транзитивности. Алгеброй Ли с времеииподобным вектором идеала обладают следующие группы:

Группа G4///: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = Xi, [Х3Х1] = 0, [Х1Х4] = 0, [Х2Х4] = = Х3, [ХзХ4] = -Х2. Y = Х1 = д2, ат = 0, (т = 1, 2, 3,4).

Группа G4V/2: [Х1Х2] = 0, [Х2Х3] = 0, [Х3Х1] = 0, [Х1Х4] = Х2, [Х2Х4] = = -Х1, [Х3Х4] = 0, Y = Х3 = -51, ат =0, (т =1, 2, 3,4).

Группа G4V///: [Х1Х2] = Х3, [Х2Х3] = Х1, [Х3Х1 ] = Х2, [Х1Х4] = 0, [Х2Х4] = 0, [Х3Х4] =0, Y = Х4 = д3, ат = 0, (т = 1, 2, 3, 4).

G3 G4

сти. Только две группы имеют алгебры Ли с временииодобными векторами, порождающими идеал этой алгебры. Это группа G4V// и группа G4 V///. Пространства-времена. допускающие эти группы, это хорошо известные пространства-времена со сферической и псевдосферической симметриями. Метрики этих пространств-времен таковы:

dS2 = a11[(dx1)2 + cos2 x1(dx2)2] + a33(dx3)2 + e4(dx4)4, (77)

Х1 = d2, Х2 = cosx2 d1 + sinx2 tgx1 d2, Х3 = -д2Х2, Y = Х4 = d3. (78) dS2 = a11[(dx1)2 + chV(dx2)2] + a33(dx3 )2 + e4(dx4)4, (79)

Х1 = d2, Х2 = chx2 d1 - shx2 thx1 d2, Х3 = д2Х2, Y = Х4 = d3. (80) В обоих случаях aij = aij (x4), а условие (СС) < 0 приводит к требовапию a33 < 0,

x3

С. Группы G4 трапзитивпо действ уют па V4. Все эти группы обладают алгебрами Ли с временииодобными идеалами. Пространства-времена, допускающие такие группы были полностью изучены памп в работе [15].

Summary

R.A. Daishev. The space-times symmetries and equilibrium distributions of the charged fluids. The equations of the state.

Space-times V4, admittings a groups of homothetic motions Hr with charged fluid as its source are discussed. It is assumed that the vector of macroscopic velocity of the fluid is collinear to the time-like vector Y = iidi of the group's Lie algebra. We prove that if (p + p) = 0, the vector Y is the vector of the Lie algebra, corresponding to isometric transformations of the

Hr Hr

V4,

Equations (Ti are integrated entirely, and all possible equations of state of

investigated fluid are presented. It is founded that equation of state of the fluid practically uniquely fixed by the space-time's symmetry and pressure, energy density as well as electrical charges expressed solely through "field" quantities: Ak£k and ikik, where Ak is the 4-potential of an electromagnetic field.

Литература

1. Черников Н.А. Релятивистский газ в гравитационном поле. Препринт Л' 1027. Дубна: ОИЯИ, 1962.

2. Черников Н.А. Равновесное распределение релятивистского газа. Препринт

1159. Дубна: ОИЯИ, 1962.

3. Stewart J.M. Non-equilibrium relat.ivist.ic kinetic theory. Berlin: Springer-Verlag, 1971.

4. Zimdahl W., Triginer J., Pawn D. Collisional equilibrium, particle production, and the inflationary universe // Pliys. Rev. D. 1996. V. 54. No 10. P. 6101 6110.

5. Zimdahl W. Reacting fluids in the expanding universe: a new mechanism for entropy production // Mon. Not.. R. Astron. Soc. 1997. V. 288, No 3. P. 665 673.

6. Zimdahl W. Cosmological particle production and generalized thermodynamic equilibrium // Pliys. Rev. D. 1998. V. 57, No 4. P. 2245 2254.

7. Daishev R.A., Zimdahl W. On homot.liet.ic cosmological dynamics // Class. Quantum Grav. 2003. V. 20, No 23. P. 5017 5024.

8. Burd A., Culey A.A. Viscous fluid cosmology//Class. Quantum Grav. 1994. V. 11, No 1. P. 83 105.

9. Carr B.J., Culey A.A. Self-similarity in general relativity // Class. Quantum Grav. 1999. V. 16, No 7. P. R31 R71.

10. Carut J., Sintes A.M. Homot.liet.ic perfect, fluid space-times // Class. Quantum Grav. 1997. V. 14, No 5. P. 1183 1205.

11. Даигиев P.А., Карин В.А. Равновесные распределения заряженной жидкости в пространствах-временах с простотрапзитивпыми группами гомотетических движений // Уч. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, Кп. 2. С. 37 53.

12. Wainright J., Yaremuviez Р.А.Е. Killing vector fields and Eist.ein Maxwell field equations with perfect-fluid source // Gen. Rel. Grav. 1976. V. 7, No 4. P. 345 359.

13. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука. 1966. 495 с.

14. Knebelman M.S. Homot.liet.ic mappings of the Riemann spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9, No 6. P. 926 927.

15. Даигиев Р.А. Однородные решения уравнений Эйнштейна с идеальной заряженной жидкостью // Изв. вузов. Физика. 1984. Л' 12. С. 74 79.

Поступила в редакцию 21.09.06

Даишев Ринат Абдурашидович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теории относительности и гравитации физического факультета Казанского государственного университета. Е-шаП: Rinat.DaishevQksu.ru