CC BY
34
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.76
РЕКУРРЕНТНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО ПОЧТИ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
© А.Р. РУСТАНОВ1, С.В. ХАРИТОНОВА2 1Московский Педагогический Государственный Университет, кафедра теории и истории социологии e-mail: [email protected] 2Оренбургский Государственный Университет, кафедра геометрии и топологии e-mail: [email protected]
Рустанов А. Р., Харитонова С.В. — Рекуррентные нормальные локально конформно почти косимплектические многообразия // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 207—213. — Получены критерии рекуррентности и конформной рекуррентности нормального локально конформно почти косимплектического многообразия.
Ключевые слова: почти контактные метрические структуры, тензор кривизны, тензор конформной кривизны
Rustanov A. R., Kharitonova S. V. — Recurrent normal locally conformal almost cosymplectic manifolds // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 207—213. —
We obtain criterions for normal locally conformal almost cosymplectic manifold to be recurrent and conformal recurrent.
Keywords: almost contact metric structures, curvature tensor, conformal curvature tensor
1. Предварительные сведения.
Пусть М2п+1 - гладкое нечетномерное многообразие размерности свыше трех; СТО(М) - алгебра гладких функций многообразия М2п+1; Х(М) - СТО(М)-модуль гладких векторных полей на М2п+1.
Почти контактной структурой на многообразии М называется тройка (п, С, Ф) тензорных полей на этом многообразии, где п — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры; С — векторное поле, называемое характеристическим; Ф — поле тензора типа (1;1), называемое структурным эндоморфизмом модуля Х(М). При этом
1) п(С) = 1; 2) п о Ф = 0; 3)Ф(С)=0; 4) Ф2 = —Л + п ® С;
Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = (•, •}, такая, что
(фх, фу} = (х,у} - п(хУп(У); х,у є х(м),
то четверка (п, С, Ф, g) называется почти контактной метрической (короче, AC-) структурой.
Тензор П(Х, Y) = g(X, ФY) кососимметричен и называется фундаментальной формой AC-структуры.
Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим (AC-) многообразием.
AC-структура называется нормальной [1], если тензор Нейенхейса Nф ее структурного эндоморфизма Ф удовлетворяет тождеству 2N,^ + dn <8> С = 0, где
N$(X, Y) = 1([ФХ, ФY] + Ф2[X, Y] - Ф[ФХ, Y] - Ф[Х, ФY]).
Конформным преобразованием AC -структуры S = (п, С, Ф, g) на многообразии M [2] называется переход от S к AC-структуре S = (П, С, Ф, з), при этом П = п, С = е°"С, Ф = Ф, g = е-2стg, где a -определяющая функция соответствующего конформного преобразования. Если a = const, конформное преобразование называется тривиальным, или гомотетией.
AC-структура S на многообразии M называется локально конформно почти косимплектической, короче IcACs-структурой, если сужение этой структуры на некоторую окрестность U произвольной точки p є M допускает конформное преобразование в почти косимплектическую структуру. Назовем это преобразование локально конформным.
Многообразие, на котором фиксирована lcACs-структура, называется lcACs-многообразием.
Напомним [3], [4], что почти контактная метрическая структура S = (п, С, Ф, g) называется почти косимплектической структурой, если 1) dn = 0; 2) d^ = 0.
Нормальная почти косимплектическая структура называется косимплектической.
2. Рекуррентные многообразия.
Определение. Почти контактное метрическое многообразие M2n+1 называется рекуррентным, если
VR = t <g) R, (1)
где R - тензор кривизны Римана-Кристоффеля, t - ковариантный вектор на M.
На пространстве присоединенной G-структуры равенство (1) выглядит следующим образом:
Rijkl,m tm ^ Rijkl. (2)
Поскольку R - тензор типа (3,1), его ковариантные компоненты на пространстве расслоения реперов удовлетворяют соотношениям:
dRijkl Rsjkl^i Riskl^j Rijsl^k Rijks^l Rijkl,t^ . (3)
Пусть M2n+1 - нормальное IcACs-многообразие размерности больше 3. В работе [5] были получены
выражения для компонент тензора кривизны нормального IcACs-многообразия на пространстве присоединенной G-структуры:
1) RiL = -2s#a°°;
2) R6“cd = AOcd - Sc“Sbda3; (4)
3) R0b0 = -a00s° - a°sa,
остальные компоненты равны нулю.
Расписывая соотношения (3) на пространстве присоединенной G-структуры с учетом (4) и свойств симметрии тензора римановой кривизны, получим ненулевые компоненты ковариантной производной тензора Римана-Кристоффеля:
!) R0a0b,0 = — 2а°а°0^а 5
2) R0abc,d = -а0(АаЬ + ст00^а);
3) R0abc,d = a0^00^da!
4) Rabcd,0 = -2a00^0^ad; (5)
5) Rabcd,e = -Aade;
6) Rabcd,e = -^ad6;
7) Rabcd,c = 2^0(Aad + ^GG^d^b)-
Сравнивая компоненты тензора кривизны и компоненты его ковариантной производной, приходим к выводу: чтобы нормальное IcACs-многообразие было рекуррентно, необходимо обращение в нуль компонент (52) и (5з) ковариантной производной. То есть одновременно должны выполняться соотношения:
ff0(ACab + ^00^ <У =0; V0*00STa = 0-
Что равносильно выполнению одного из условий:
1) Ст0 = 0;
cd ab
2) AOd = 0 Л aoo = 0. (6)
Первое означает, что нормальное IcACs-многообразие является косимплектическим многообразием [5],
S 02
второе - локально симметрическим многообразием постоянной неположительной кривизны к = —а° [6].
Это и есть необходимые условия рекуррентности нормального 1е-многообразия. Теперь распишем (2), с учетом (4) для случаев (61,4-7). В случае (51) имеем
2ст0аоо^ = ^0(^00^“ + а°£“).
Свернем полученное равенство по индексам а и 6, тогда
2а0а00 = ^о(а00 + а0)!
то есть
2aoaoo
t0 — і 2 . (7)
aoo + a°
В случае (54) имеем
2^00^0^ = 2^“^°.
Свернем полученное равенство по индексам а и с, затем по индексам 6 и й, тогда получим
Ст00ст0п(п — 1) = ^а°п(п — 1).
Для многообразия размерности больше 3 это равенство верно, если выполняется одно из условий:
1) со = 0, т. е. имеем косимплектическое многообразие;
2) to = ^. С учетом (Т) получим
aoo 2aoaoo
ao aoo + a0
aoo(a0 - aoo) ao(a0 + aoo)
0.
0
Отсюда, возможны варианты:
а) Ст00 = 0, ^0 = 0, то есть ao = const, £0 = 0;
б) a00 = a2 =0, значит t0 = a0 .
В случае (5б) имеем
Aade = te(Abadc - SCSada2).
Сворачивая это равенство сначала по индексам a и 6, а затем по индексам с и d, получим
Aab A
AOb-
Аналогично при условии (5б) получим
Теперь рассмотрим случай (57), когда
Ob - nao
л abe t _____ Aab
^e —
2
AOb - na0 •
2^^ + а^Ь) = — *0(Л“ — 6“ ^а°).
Сверенем полученное равенство сначала по индексам а и 6, а затем по индексам с и й, тогда получим
2а0(А“Ь + «Ою)
t o = -
Aab- na0
Итак, в случае выполнения (71) получим:
даЬ лаЬе
л. _ п л. _ аЬе х ____ аЬ
= 0, ге = , = .
АаЬ АаЬ
А в случае выполнения (7°) будем иметь:
£0 = £е = Vе = 0.
Последнее в силу (1) равносильно локальной симметричности многообразия [8].
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 1. Рекуррентное нормальное 1с АС^ -многообразие размерности больше 3 является либо косим-плектическим многообразием, либо локально симметрическим многообразием.
С учетом теоремы 3.10 доказанной в работе [7], теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.
Теорема 2. Рекуррентное нормальное 1с АС^ -многообразие размерности больше 3 является либо косим-плектическим многообразием , либо косимплектическим многообразием с локально симметрической ке-леровой составляющей, либо многообразием постоянной неположительной кривизны к = —а2.
то есть
3. Конформно рекуррентные многообразия.
Определение. Почти контактное метрическое многообразие М2п+1 называется конформно рекуррентным, если
уш = г ® ш, (8)
где Ш - тензор Вейля конформной кривизны, г - ковариантный вектор на М.
На пространстве присоединенной О-структуры равенство (8) выглядит следующим образом:
= гт ^ Ш'г^к1- (9)
Поскольку Ш - тензор типа (3,1), его ковариантные компоненты на пространстве расслоения репе-
ров удовлетворяют соотношениям:
dWijkl — Wsjkl - ШгвкІ^ — Ш^ві - ШщкяШі! = Wijkl,t^t■ (10)
В работе [7] получены ненулевые компоненты тензора конформной кривизны для нормальных
lcA.Cs-многообразий на пространстве присоединенной О-структуры:
1) ^й-Ьы = ПСЇІ-Т) + б^п - 5»А-п - б^п + Ле^);
2) ^ = ЩйЪ)(2п2ласг - л^п - б^п - б^п + Ле^б*);
1 / /іе^а лас
г(2п-1)^ЛеК Ь ЛЬс
3) ^аоьо = пга(Лейба - Ласп). (11)
С учетом (10) получим компоненты ковариантной производной тензора Вейля конформной кривизны нормальных 1е АС в-многообразий на пространстве присоединенной С-структуры:
1) а) ^0Ь0,С = (21 ^А^ — «Ааеес);
п(2п — 1)
6) Wa°ь0,& = (21 ^(6^ — пАаес);
п(2п — 1) 1
С) Шаоьо.о = (/ 1) (5ьаЛЄЙ - пЛае); п(2п - 1)
2) Шоаьс, = та* + 25{аЛЫЙ - (2п - 1)ЛаЬ);
3) Ш ; (12)
3) ^аЬс.д = 2п - 1 ; (12)
4) а) Ш-Ь . = ^^---(б“5Л^а - 4пб[[аЛ51е );
> > аЪсй,д п(2п — 1] 9 [с Ь]ед^
Ь) Ш-Ь, - = — --------------Лб^Л'ід - 4п5[алЬіед);
' aЬcd,g п(2п — 1) С“ е* [с Ь]е /’
с) Ш-Ьсь,о = п(-2-ї) (бм - 4n5!:лdi:);
5) а) ШаЬсЬ,д = п(2гг - 1) (п(2п - 1)ЛаСд - п5:ЛьЄ9 - п5г^Ла<ед + ^^^екд);
б) = п(2п1—1) (п(2«—^—п^Аг—п^ае*+);
с) ^,0 = п(—п2—01) (2п°АаСг — п26саА£ — п2^ + 6са^Ае£).
Сравнивая компоненты тензора Вейля и компоненты его ковариантной производной, приходим к выводу: чтобы нормальное ^АС^-многообразие было конформно рекуррентно, необходимо обращение в
нуль компонент (122) и (12з) ковариантной производной. То есть должны выполняться условия:
1) а) а0 =0 V 6) 6САа^ + 26[аАС(/г — (2п — 1)АааЬ = 0;
2) а) а0 = 0 V 6) 4^ = 0. (13)
Условия (131а) и (132а) говорят о том, что нормальное ^еАС^-многообразие является косимплекти-
ческим [5].
Рассмотрим условие (131ь). Свернем это соотношение по 6 и с, получим:
Следовательно,
где Л - некоторая функция.
Свернем (132ь) по а и с, получим:
59лей - плаї = 0.
лаі = п 59 лей = Л59,
л9е(п -1) = 0.
деУ
Поскольку рассматриваем многообразия размерности больше 3, последнее соотношение равносильно
Тогда из (13іь) получим что и
ЛЬдее = 0.
лаь = о.
А это условие равносильно тому, что нормальное -многообразие является конформно плоским [7].
Таким образом, условия (13) равносильны одному из следующих условий:
2) ЛаЬ = 0. (14)
1) О0 = 0;
\ аЬ *-cd
Теперь распишем (9) с учетом (11) и (12) для случаев (121). В случае (121а) имеем:
°а леН _ плае = V (°аАеЙ _ пАае)
°Ь АеНс пАЬес = ЪС(0Ь АеН пАЬе ).
Свернем полученное равенство по индексам а и 6, тогда
0 = гс ■ 0.
Аналогично в случае (121Ь) получим
0 = ^ ■ 0.
А при (121с) будем иметь
£0 = —2а0. (15)
Рассмотрим (124а)
^Нд — 4n°[[cаAd]]eeg = £д (°с1АеЙ — Н^р.
Свернем последнее соотношение сначала по 6 и й, потом по а и с:
Йе Йе
АНед = гд АНе.
Следовательно,
Аналогично из (124b) получим
tg = -її. (16)
л he9
Ц = -hr. (1Т)
Aab Aabe
Aabe ; + __ Aab
Aab ’ e Aab ,
Aab Aab
а из (124c) снова получим выражение (15).
Рассматривая (125) и проводя подобные рассуждения, мы последовательно получим соотношения (16), (17), (15).
Итак, при условии (61) получим:
£0 0; £е
а при условии (62) —
£0 = —2a0, te, £е - некоторые функции.
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 3. Конформное рекуррентное нормальное lcACs-многообразие размерности больше 3 является либо косимплектическим многообразием, либо конформно плоским многообразием.
С учетом теоремы 3.9 доказанной в работе [7], теорема 3 может быть переформулирована следующим образом.
Теорема 4. Конформное рекуррентное нормальное lcACs-многообразие размерности больше 3 является либо косимплектическим многообразием, либо многообразием постоянной отрицательной кривизны k = —a2 (<70 = const).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sasaki S., Hatakeyama Y. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II //Tohoku Math. J. 13. 1961. P.281-294.
2. Кириченко В.Ф., Баклашова Н. С. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 3. С.347-360.
3. Goldberg S. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds // Pacific J. Math. 27. 1968. No 2. P.275-281.
4. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structures // Pacific J. Math. 31. 1969. No 2. P.373-382.
5. Харитонова С. В. О геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 1. С.126-138.
6. Харитонова С. В. Конформные преобразования почти косимплектических многообразий // Труды VII Международных Колмоговских чтений: сборник статей. Ярославль: ЯГПУ, 2009. - С. 151-157.
7. Харитонова С. В. Локально конформно почти косимплектические многообразия / Дисс. канд.физ-мат.наук. М. 2009. 94с.
8. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М.: Мир. 1964. 536с.
