Сильно нелинейный ионно-звуковой солитон с релятивистскими электронами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9.01

СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ СОЛИТОН С РЕЛЯТИВИСТСКИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ

Д. Н. Габышев1, А. А. Рухадзе1'2

В модели плазмы с холодными ионами рассмотрен одномерный нерелятивистский ионно-звуковой солитон, способный захватывать релятивистские электроны, которые описываются распределением Максвелла-Юттнера. Показано, что полученные решения занимают промежуточное положение между солитоном Р. З. Сагдеева (1964) и солитоном А. В. Гуревича (1968).

Ключевые слова: : ионно-звуковой солитон, распределение Максвелла-Юттнера.

Введение. Профиль нелинейной уединённой ионно-звуковой волны в неизотермической плазме впервые был рассмотрен Р. З. Сагдеевым в 1964 г. [1], ас учётом захвата электронов - А. В. Гуревичем в 1968 г. [2]. Предположим, фактор Лоренца y для уединенной волны близок к 1. Нерелятивистские уравнения двухжидкостной гидродинамики неизотермической плазмы с холодными ионами Te ^ Ti в одномерном случае

[1,3]:

dni dui v д 2Ф

+ =0, ТГ^" = 4ne(Ue - Ui),

dt дх дх2

dv dv е дФ (еФ

^—+ v— =---—, ne = n0 exp ——

дt дх M дх' У \Te

где Te,ne и Ti,ni - температура и концентрация, соответственно, электронной и ионной компонент плазмы, n0 - равновесная концентрация, M - масса ионов, v - скорость потока массы вещества, v||x. Ионы однократно ионизованы (кратная ионизация рассмотрена А. И. Ахиезером [4]). Потенциал поля Ф считаем функцией от автомодельной переменной £ = х — ut, где u = const. В рамках приближения холодных ионов система (1) дополняется предельными условиями:

v = 0 и ni = n0 при Ф = 0. (2)

1 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].

2 Московский физико-технический институт (Государственный университет), МФТИ, 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

Система (1) с условиями (2) сводится к одному дифференциальному уравнению:

¿2Ф

= 4пепо

/еФ\ и

еХР V П) - ^ и2 - 2еФ/М

Введём безразмерные переменные Ё == еФ/Те, п == £/гое, и параметр д == и/ь3 > 1.

Учитывая, что скорость звука равна у3 = л/Те/М, а дебаевский радиус электронов тВе = л/ Те/4пе2по:

¿2Ё 1

¿п2

еР-

Ё

1 - 2 ^ д

А. В. Гуревич [2] учёл захват электронов и получил модификацию уравнения (3):

¿Ё ¿п2

еР-

1

2Ё

1 -

АП

По '

где поправка к концентрации электронов, распределённых по Максвеллу, равна:

— = еРег£ —Ё -—= —Ё По л/П

4 Ё3/2 1 + 2 Ё + — Ё2 +

3—п V 5 35

(5)

Техника сведения (3)-(4) к уравнению Кортевега-де Вриза (КдВ) с решением в виде уединённой волны проработана детально в слабо нелинейном пределе 1 - 1 < 1 [3, 5]. Получить точное решение (4) в случае сильной нелинейности можно численно из уравнения:

¿п

\

еР — е

^т д2

1 2Ё - д2 -

1

2Ё

1

--Ап ¿Ё'

По

Р

Р т

def

где Ёт == Ё|п= 0 - максимальное (амплитудное) значение поля. В (6) учтено ¿Ё/^п|п=о = 0. Само же выражение (6) с точностью до множителя -Те/(е • Где) определяет напряжённость электрического поля в одномерном солитоне, экстремум которой будет наблюдаться, очевидно, в тех точках, где равна нулю левая часть уравнения (4).

Захват релятивистских электронов. Чем выше электронная температура, тем больше доля достаточно энергичных электронов, для которых неприменимо распределение Максвелла. В этом случае надо использовать распределение Максвелла-Юттнера, учитывающее релятивизм [6], но только его одного недостаточно. В этом

2

2

д

распределении требуется учесть больцмановское распределение электронов во внешнем силовом поле еФ:

1 /-^-. 1

¡ы.1Б(р) = поА ехр ^Г - 1 ■ л/1 + (р/ше)2^ , где А =

в у ^ ' ^ 4п(ше)3вК2(1/ву

где К2 - модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда), в = Те/ше? - безразмерная температура, ш - масса электрона.

Кинетическая энергия электронов, захватываемых солитоном, очевидно, лежит в пределах 0 < Екин < еФ, потому импульс таких электронов лежит в диапазоне

0 < ш <, (1 + ^У2 -1.

ше ше2

Следовательно, вместо поправки к концентрации электронов (5) следует брать

рт ах рт ах

Дп = J ¡ы.Б¿р = J ¡И.Б(р)4пр2(!р, оо

/ЁЧЩ

т + *2

Дп = в2ер Г = в2ер Г 1_

по К2(1/в) ] Лв К2(1/в) ] ХЧХ в2е ^

где в = р/шев, а г2 = в2 + 1/в2 - удобная подстановка. Интеграл (7) аналитичен, когда одновременно в ^ 1 и Г ^ 1/в. Когда амплитуда солитона мала Г ^ 1/в, тогда имеем примерно

Дп в2 (1 Г) [Г Р12 1/О в3/2е_"О (1 Г) ( Г Г2 ) г-

Д7 « КШ\ 1 + V пе = КШ (?+ 2)Ч1+ 2+ Т + -) /Г.

И тогда аналитически вычислим интеграл от поправки к концентрации в (6):

^ I ДК'Г' « Й/) {/Г7е*[в(Г' " 3> + 2] + г/2П (1 " 3в) етГ ('Ут

Далее, как и в нерелятивистском случае [2], задачу можно решить только численно из (6). Разложение (4) и (7) по степеням Г в нулевом приближении даёт КдВ-подобное уравнение:

§ = Г (1 - ?) + В ^ где В = к/й, е- ^ £.

Рис. 1: Решения уравнения (6) с поправкой (7) при q =1.3 (сплошные) и q = 1.5 (пунктиры): в = 0.1 - тёмно-серые кривые, в = 0.8 - светло-серые кривые.

Рис. 2: Зависимости q от Fm, сверху вниз от черного к светло-серому: солитон Гуре-вича [2]; в = 0.1; в = 0.8; солитон Сагдеева [1]. Пунктир - qcr(Fcr).

Солитон в плазме с релятивистскими электронами. Уединённые решения (6) (рис. 1) на бесконечности ограничены ¿Е/йг11п^±сх = 0 и, более того, выходят на нуль Ё= 0. Поэтому из (6) находим связь между д и Ёт (рис. 2):

eFm(cr) - 1 + _L 0 AndF' j

q2 \ Fm )

2 |^(Сг) - Ёт - 1 + / Аиё.Ё'1

Как и в нерелятивистском случае [1, 2], здесь число Маха д принимает не любые значения. Критическая амплитуда (и соответствующее ей число Маха) с учётом (8) находится из условия

о

еФсг = Ми-, у3 = л/Те/М ^ ерт(сг) - 2ЁСГ - 1 + — [ АиАЁ1 = 0. 2П0

Рсг

В отличие от нерелятивистского случая, теперь критическое число Маха (рис. 3) и поправка к концентрации электронов (7) параметризованы температурой в, то есть со-литоны с одинаковым д, но разной в уже не конгруэнтны друг другу (рис. 1). Нетрудно

Рис. 3: Зависимость критического числа Маха «сг от электронной температуры в.

Рис. 4: Зависимости от Ёт, от черного к светло-серому: солитон Гуревича [2]; в = 0.1; в = 0.8; солитон Сагдеева [1]. Пунктир - ).

заметить, что фактор

-1/2 ' тв ^1/2

7

1 - 2

с

1 - м«2

при «сг в водородной плазме, даже если в =10, отличается от 1 менее чем на 1%. Следовательно, сделанное вначале предположение о близости 7 к 1 оправдывает запись (1).

Разделяя переменные и численно интегрируя (6), не составляет большого труда построить графики зависимости эффективной ширины солитона , взятой на половине амплитуды от Ёт (рис. 4), и сравнить их с результатами [1, 2].

Выводы. В модели плазмы с холодными ионами свойства точно рассчитанного ионно-звукового солитона радикально различаются в присутствии классических и релятивистских электронов. В последнем случае два солитона с одним и тем же числом Маха « являются подобными, если и только если одинакова электронная температура в в их плазмах. При этом от в зависит критическое значение «сг (рис. 3). Другим отличием от классического случая [2] является тот факт, что связь между « и Ёт становится аналитической лишь при малой амплитуде солитона Ёт ^ 1/в, либо когда одновременно в ^ 1 и Ё ^ 1/в. Пучок графиков д(Ёт) расположен в области между решениями А. В. Гуревича [2] и Р. З. Сагдеева [1] (рис. 2). Повышение в при фиксированной амплитуде солитона Ёт приводит к обеднению солитона электронами. В то же время, в

ультрарелятивистском пределе чем выше в, тем менее точна система (1), и графики q(Fm) не могут слиться с найденным Р. З. Сагдеевым.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Р. З. Сагдеев, Вопросы теории плазмы. Выпуск 4. Под ред. М. А. Леонтовича (М., Атомиздат, 1964), с. 20.

[2] А. В. Гуревич, ЖЭТФ 53(3), 953 (1968).

[3] А. Ф. Александров, А. А. Рухадзе, Лекции по электродинамике плазмоподобных сред (М., Изд. МГУ, 1999), с. 320, 325.

[4] А. И. Ахиезер (ред.), Электродинамика плазмы (М., Наука, 1974), с. 406.

[5] А. Ф. Александров, А. А. Рухадзе, Лекции по электродинамике плазмоподобных сред: Неравновесные среды (М., Изд. МГУ, 2002), с. 205.

[6] F. Jüttner, Annalen der Physik 339(5), 856 (1911).

Поступила в редакцию 9 марта 2016 г. После переработки - 2 декабря 2016 г.