О возможности существования ударных волн в неизотермической плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

О ВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

А. А. Рухадзе1'2, Т. Г. Самхарадзе2'3

В работе теоретически исследуется возможность существования ударной волны в неизотермической плазме с Te ^ Ti, в которой существует изотермический ионный звук, Te = const. Показано, что в такой плазме возможно распространение только возмущения плотности в виде нелинейной уединенной волны (солитона). В уединенной волне плотности происходит разделение зарядов электронов и ионов с образованием двойного электрического слоя с сильным электрическим полем. Найдены форма потенциала поля волны, ее амплитуда и ширина фронта.

Ключевые слова: ударная волна (УВ), структура фронта УВ, дебаевский радиус, уединенная волна (солитон).

Введение. Возможность существования скачков (ударных волн) в газе существенным образом связана с возможностью распространения в газе звуковых волн. Собственно, скачок в газе есть нелинейное обострение фронта звуковой волны [1]. Плазма - это одноатомный газ, состоящий из электронов и ионов. Мы ограничиваемся рассмотрением сильно ионизованной плазмы, в которой наличием нейтральных частиц (атомов и молекул), также как и парными столкновениями частиц, в первом приближении можно пренебречь. В такой плазме звуковые возмущения существуют только если плазма неизотермическая и Te ^ Ti, причем все возмущения в ней протекают изотермически, т.е. при Te = const.

В случае обычного газа изотермический скачок возможен только при высокой температуре и высокой теплопроводности (напр., лучистой). При этом необходимо выпол-

1 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].

2 МФТИ, 141700 Россия, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

3 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (МГТУ), 105005 Россия, Москва, 2-ая Бауманская ул., 5, стр. 1.

нение условия Рэлея [1]:

Р = Щ. >7+1, (1)

Р щ 3 - 7'

где 7 - постоянная адиабаты (для одноатомного нейтрального газа 7 = 5/3), а Р\,и\ и Р2,п2 - давление и плотность частиц до и после скачка, соответственно. Для одноатомного газа 7 = 5/3, отношение (1) достаточно велико (Р2/Рг > 2), и ударную волну можно считать сильной.

В заключение раздела обсудим структуру ударного скачка в обычном газе. Этой проблеме посвящено большое число работ, в основном относящихся к слабым разрывам. Первая работа принадлежит И. Е. Тамму, и была выполнена в 1947 году, но опубликована только в 1965 году [2]. Для слабой ударной волны им были получены следующие формулы для ширины фронта волны:

Р + Р

& = Р2 + в1 5,5 = 1.28/, (2)

Р2 — Р1

где / - длина свободного пробега частиц газа. Как видно из (2), ширина фронта волны больше длины пробега частиц, и с ростом отношения Р2/Рг величина & ^ 1.28/, т.е. приближается к длине пробега частиц. В случае сильной ударной волны (Р2/Р1 ^ 1), ширина фронта волны, полученная в [2], равна:

& = 0.503/1 = 2.012/2. (3)

Здесь /1 и /2 - длины пробега частиц до и за фронтом волны, соответственно. В работе [2] полученные в гидродинамическом приближении результаты были подтверждены с использованием уравнения Больцмана, т.е. в кинетическом рассмотрении. Правда, при этом учитывались только упругие столкновения частиц в модели твердых шариков.

Возможен ли разрыв в неизот,ермической плазме? Ионно-звуковая волна в сильно неизотермической плазме как раз и является изотермической волной со спектром частот [3]:

^ = щ, V = ,/- = */-е. (4)

" в р V м v у

Здесь ш - частота, а к - волновой вектор волны, Р = пеТе - давление, а р = пеМ - плотность плазмы (М - масса иона), наконец, V - скорость ионно-звуковой волны. Из выражения (4) следует, что для ионно-звуковой волны в неизотермической плазме 7 = 1, а не 5/3, как это имеет место в одноатомном газе из нейтральных частиц (хотя сильно ионизованную плазму следует считать одноатомной). Следовательно, плазма не совсем обычный газ и вопрос: возможен ли разрыв в плазме? - вполне закономерный.

И мы покажем ниже, что нет, не возможен!

Для описания формы ионно-звукового возмущения в неизотермической плазме с Те ^ Т выпишем нелинейную систему уравнений низкочастотной динамики электронно-ионной плазмы [4]:

дщ дщу д2 Ф

-ттг + -гг- = 0, ^ТТ = 4пе(пе - п*), щ = По, дЬ дх дх2

ду ду е д Ф . ^ /ГТ1.

дь + УдХ = -мдХ, П = Поехр(еФ/Т)- (5)

В слабо нелинейном пределе из этой системы уравнений, используя разложение по степеням еФ/Те ^ 1, получаем [4]:

ТЛе *2ф_ % (1_ V. ) ф + 1ф2 = 0. (6)

2e d£2 e V u ) 2

Здесь £ = x — ut, rDe = \JTe/4ne2n0 - дебаевский радиус электронов, v - скорость движения газа (скорость поршня), а u - подлежащая определению скорость слабо нелинейной ионно-звукового солитона, практически совпадающая со скоростью ионно-звуковой волны.

Уравнение (6), является модификацией уравнения Картевега-де-Вриза (КдВ) и имеет точное решение в виде уединенной волны (солитона):

Ф

ф = фтах (7)

ch2 (£/А):

где

Vs еФтах еФтах nrDe „ i

1--= ^F~ ^ ^ = ^ 1

u nie Te А2

Таким образом, в неизотермической плазме не происходит опрокидывание фронта нелинейной волны, и никаких разрывов в такой плазме нет. В такой плазме может распространяться только уединенная волна (солитон). Скорость фронта такой уединенной волны согласно (8) близка к скорости ионного звука в плазме (чуть больше). Ширина же фронта волны 2Д определяется дебаевским радиусом, причем с ростом амплитуды волны ширина фронта уменьшается.

Задним числом сказанное выше очевидно, поскольку уравнения бесстолкновитель-ной плазмы в самом общем виде вместе с уравнениями Максвелла для самосогласованных полей являются гамильтоновскими (недиссипативными), т.е. сохраняют энергию в системе, а поэтому они не допускают существование разрывных решений. В такой плазме возможно существование лишь распространения уединенных волн - солитонов.

Обсуждение результатов и выводы. Формулы (7) и (8) являются точными в условиях их применимости и точно описывают структуру уединенной волны. При атмосферном давлении газа и температуре электронов порядка потенциала ионизации атомов газа, Te & & 10 eV & 105 K, дебаевский радиус электронов порядка rDe & 7 • 10-7 cm. Среднее же расстояние между электронами плазмы rav & 3 • 10-7 cm, т.е. условие применимости плазменного описания (rav < r^e) выполняется. Согласно (8) амплитуда электрического поля солитона растет с уменьшением А, и при А2 = 6rDe (это требование следует из второго неравенства (8)) оказывается равной Emax < 5 • 108 V/cm. Существует еще другое ограничение на применимость формул (7) и (8), а именно, малое возмущение плазмы полем солитона, т.е.

E > J4nneTe & 3 • 107 V/cm, (9)

которое при А = rDe совпадает с условием применимости формул (6)-(8). При нарушении неравенства (8) происходит разрыв плазмы, электроны отрываются от ионов и ускоряются полем. Эта стадия, однако, выходит за рамки нашего анализа и требует отдельного рассмотрения.

Из проведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:

1. В неизотермической сильно ионизованной плазме с горячими электронами разрывных решений типа слабых ударных волн система уравнений динамики плазмы не дает.

2. В такой плазме возможно существование слабо нелинейных уединенных волн типа солитона.

3. Солитон обладает колоколообразной шириной, превосходящей дебаевский радиус электронов, причем ширина волны уменьшается с ростом амплитуды.

4. В плазме атмосферного давления амплитуда электрического поля в солитоне может достигать величины порядка Emax & 107 V/cm.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика (М., Наука, 1988).

[2] И. Е. Тамм, Труды ФИАН 29, 239 (1965).

[3] В. П. Силин, А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы и плазмопо-добных сред (М., Атомиздат, 1961).

[4] А. Ф. Александров, А. А. Рухадзе, Лекции по электродинамике плазмоподобных сред. Т. 1 (М., Изд. МГУ, 1999).

Поступила в редакцию 17 ноября 2014 г.