Штормовые нагоны - диссипативные солитоны Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ

Штормовые нагоны — диссипативные солитоны

С. А. Арсеньевa, Н.К. Шелковниковb

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: a [email protected], b [email protected] Статья поступила 24.04.2013, подписана в печать 21.07.2013.

Построена нелинейная теория штормовых нагонов. Результаты сравниваются с данными наблюдений.

Ключевые слова: катастрофические штормовые нагоны, длинные волны в океане и атмосфере, солитоны, микросейсмы.

УДК: 551.465. PACS: 92.10.-c, 92.10.hb.

Введение

Штормовой нагон — это подъем уровня океана у берега, возникающий при сильном шторме. Известно очень много катастроф, вызванных штормовыми нагонами. Например, в Голландии, зимой 1953 г. штормовой нагон разрушил 30000 зданий, погибли приблизительно 2000 человек. Эта катастрофа стимулировала развитие численных методов расчетов штормовых нагонов, которые в настоящее время доведены до стадии практических гидрометеорологических прогнозов [1-5]. В настоящей работе основное внимание уделено анализу физической сущности этого явления природы, которая остается скрытой при использовании формальных численных методов. Здесь мы покажем, что штормовые нагоны представляют собой длинную волну возмущения уровня океана, вызванную действием ветра и атмосферного давления. Эта волна оказывается диссипативным солитоном, поскольку она локализована в пространстве и во времени и существует достаточно долго, несмотря на потери энергии из-за турбулентного трения и диссипации. В последнее время диссипативные солитоны активно изучаются в физике, особенно в лазерной оптике [6] и гидродинамике [7], а также в геофизике в связи с построением теории и методов расчета торнадо и шквальных бурь [8-11]. Они существуют в открытых диссипативных системах с трением, далеких от состояния равновесия, потому что энергия (и/или масса) может втекать в систему через границы. В настоящей работе мы получим все основные соотношения, определяющие солитоны штормовых нагонов, в частности важные для практики аналитические формулы для расчетов максимального подъема уровня и длительности штормового нагона в зависимости от величины скорости ветра, атмосферного давления и глубины шельфа. Мы также проведем сравнение результатов теоретических расчетов по полученным формулам с наблюдениями штормовых нагонов во время тропического урагана Бхола в Бенгальском заливе и во время урагана Кэрол у Атлантического побережья США [12].

Постановка задачи

Рассмотрим задачу определения нестационарных течений и рельефа поверхности баротропного океана,

в котором плотность воды р является постоянной величиной (из-за сильного турбулентного перемешивания). Учтем поле ветра над океаном, турбулентный обмен импульсом в вертикальном и горизонтальном направлениях, трение о дно и наклоны поверхности океана, обусловленные сгонами и нагонами вод. Уравнения динамики запишем в виде

ди д

1 dp

р dx

dTz

x

dz

д2и

•дХ2'

„ KJ и,

+ Al — ,

ди dw 0 dx dz

gp =

dp dz'

(1) (2) (3)

Здесь и и w — составляющие скорости течения вдоль декартовых осей x и z, p — давление, g — ускорение силы тяжести, р = const — плотность морской воды, Txz — турбулентное напряжение трения по вертикали, Al — коэффициент горизонтального обмена количеством движения. Начало координат расположим на невозмущенной поверхности океана, ось z направим вертикально вниз, ось x — вдоль направления ветра, его величину на стандартной высоте 10 м от невозмущенной поверхности океана z = 0 обозначим как W. Возникающие под действием ветра W морские течения направлены вдоль оси x, так как мы пренебрегаем силой Кориолиса, рассматривая сгоны и нагоны в шель-фовой зоне, где глубины H имеют порядок 100 м и менее. Таким образом, поперечные течения вдоль оси y в уравнениях динамики (1), (2) отсутствуют. Дополним их граничными условиями

dZ dZ W = dt + U dx при z = C

0

Tz = T

Tx = Tx

u = w = 0

при z = Z, при z = H,

(4)

(5)

(6)

где ( — возмущение уровня поверхности океана, Т° — турбулентные напряжения, вызванные ветром.

Проинтегрируем уравнение (2) по вертикали от уровня г = ( до уровня г = Н .В результате получим

dZ = dS dt dx

я

где 5 = | udz — полный поток. При выводе (7) мы учли

С

граничные условия (4)-(6).

Уравнение (3) нужно проинтегрировать от поверхности океана z = ( до текущего уровня z. В результате получим

Р = Ра + ёР^ - 0, (8)

где ра — атмосферное давление на поверхности океана z = (. Гидростатический закон (8) позволяет исключить из уравнения (1) давление. Дифференцируя (8) по х, получим

1 др р дх

1 дРа

р дх

- ё

А

дх

(9)

Уровень океана ( удобно представить в виде суммы статической ^ и динамической составляющих: ( = + . Статические наклоны уровня поверхности океана ^ уравновешиваются градиентами атмосферного давления

1 дРа = д^

р дх ё дх '

Обычно это соотношение записывают в конечно-разностной форме и, сокращая на Дх:

(10)

Д& =

ДРа ёР

(11)

говорят: «изменение давления на 1 гПа вызывает изменение уровня на 1 см». Это закон обратного барометра [1], который позволяет легко вычислить изменения статической составляющей уровня, обусловленной изменениями давления воздуха Ра .

Закон (10) позволяет записать уравнение (9) в виде

1 др = -ё дк р дх дх'

(12)

Подставляя (12) в (1) и опуская индекс а (в дальнейшем рассматриваются динамические наклоны уровня), найдем

ди

дС

дг ё дх

дТг дz

л д2 и

+А дхи.

(13)

Проинтегрируем уравнение (13) по z в пределах от z = ( до z = Н. Получим

д5 ёН д^ Тн + То + А 928 т = ёНдх - Тх + Тх+ А~дх2'

(14)

Система двух уравнений (7) и (14) относительно уровня поверхности океана ( и полного потока 5 замкнута, если известны турбулентные напряжения на поверхности моря Тх0 и на дне ТхН (или их связь с величинами 5 и ().

Решение задачи

Для напряжения трения на дне можно принять известный в теории длинных волн закон

Тх0 = /5 (15)

Частоту трения /* можно оценить по формуле [1]

3 А

Н2(1 - а)2'

где а = z0/H и z0 — высота выступов шероховатости на дне, А — коэффициент вертикальной турбулентной вязкости.

Напряжение трения на поверхности воды связано со скоростью ветра V нелинейным законом

Тх0 = СйМ2,

(17)

где Сё — коэффициент сопротивления. В формуле (17) напряжение трения отнесено к плотности воздуха.

Скорость ветра можно связать со скоростью течения на поверхности воды и0 соотношением [13-15]

и0 = кМ, (18)

где к — ветровой коэффициент. Полный поток 5 можно выразить через скорость и0, если задаться определенным законом убывания течения по глубине (логарифмический, параболический или какой-нибудь другой закон). В теории длинных волн часто используется модель плиты (з1аЬ-тоёе1), в которой все части движутся с одинаковой скоростью и = и0, за исключением тонкого придонного пограничного слоя, где скорость течения резко убывает до нуля на дне и выполняется закон (15). Для модели плиты 5 = иН, и формулы (17), (18) можно переписать в виде

Т0 = ' V

С

ё 52.

к2Н2

(19)

Подставим соотношения (19) и (15) в уравнение (14). Получим

§ = ёН| - ,5 + ^ + AL0.

где

Сё

а =

(20)

(21)

к2Н2

Будем искать решение поставленной задачи в виде прогрессивной волны, бегущей со скоростью V, т.е. в виде 5 = Р (х), где х = х -VI — бегущая координата. Тогда

д5 =Рх = , дх5 =Рхх, (22)

где индекс х при Р обозначает производную по х, например: Рх = йР/ах, Рхх = й2Р/йх2, ... .Из формул (22) и уравнения (7) следует

д( = дБ = = 1 д5 = д /Б

д = дх = х = -У ~Ы = - д

(23)

Отсюда, интегрируя по времени г, получим

5 = -{V,

так как 50 = 0, (0 = 0 при г = 0.

Формула (23) позволяет исключить уровень ( из уравнения (20). В результате получим

I --V I / + а* + А**. (24)

Подставляя в уравнение (24) соотношения (22), найдем

АьРхх + аР2 - /*Р + V (1 - V1 )Рх = 0.

(25)

Бегущие импульсы в диссипативной среде с турбулентным трением могут распространяться только со

скоростью длинных линейных волн V = (¿И)1/2. Поэтому уравнение (25) упрощается:

АЬРХХ + аР2 - ¡*Р = 0. (26)

Уравнение (26) — это уравнение нелинейного осциллятора. Оно легко решается умножением на Рх. Имеем

Ак±

2 йх

'йР\ Ах)

а йР2

+ 3 Ж

2 йх

= 0.

Интегрируя по х, найдем

у/3Аь/(2а)] Рх = Рл/в—Р,

(27)

где

= 3 = 9к2А в = 2 а = 2Сё(1 - и)2'

и мы учли здесь формулы (21) и (16) для а и [*. Константа интегрирования в (27) обращается в нуль, так как Р ^ 0, Рх ^ 0 при х ^ .

В уравнении (27) переменные разделяются:

йР

Ру/в-Р=Ч ЗА •

Отсюда, интегрируя еще раз, получим

ЛгШ (у (в - Р)/в) = х^М)/^),

или

у/(в - Р)/в = - \ху/(ав)/(6Аь)

22 Имеет место тождество Ш у = 1 - зееЬ у. Следова-

тельно,

в - Р Таким образом,

=1

8ееЬ2 (х^М)/^)) . (28)

5 = Р = в 8ееЬ2(х/Д),

и = (в/И) 8ееЬ2(х/Д),

С = - \в/(яИ)1/21 зееЬ2(х/Д)

(29)

(30)

(31)

Здесь

Д = ^(АЖ = И(1 - и)^(4А1)/(3 А) (32)

— ширина солитонов (29)-(32).

Подчеркнем, что формулы (29), (30) определяют именно солитоны, так как содержат функцию 8ееЬ2у = 1/еЬ2у, типичную для солитонов Буссинес-ка-Рэлея и Кортевега-де Фриза на поверхности идеальной (невязкой) жидкости, находящейся в поле сил тяжести. В отличие от них полученные здесь соли-тоны (29), (30) являются диссипативными солитона-ми, поскольку их амплитуды зависят от величины коэффициента сдвиговой вертикальной турбулентной вязкости А , а ширина Д зависит также и от величины коэффициента сдвиговой горизонтальной турбулентной вязкости А1. Подобные солитоны могут существовать в среде с трением и диссипацией при наличии открытых границ, через которую происходит вток энергии, компенсирующий потери на вязкое трение.

Используя решение (31) и гидростатический закон (8), находим изменение давления в толще воды при нагоне

в , 2 ( х \

Р = Ра + ёРг - ёР—^И 1ду .

(33)

Время продолжительности нагона можно оценить по формуле

Ъ = С^Д) = СИ(1 - и)^(4Аь)/(3АёИ),

(34)

и мы использовали здесь соотношение (16). Коэффициент Ct в формуле (34) зависит от уровня, на котором мы берем ширину солитона Д. Оптимальное значение этого времени имеет место, если мы выберем Ct = 20.

Максимальная амплитуда нагона находится из решения (31) и формулы (28)

с 9^А (35)

Стах= ^И = 2Сё(1 - и)2^й (35)

Коэффициент турбулентной вязкости А в формуле (35) может зависеть от скорости ветра V и глубины И. Эта зависимость была найдена А. И. Фельзенбаумом [15]:

А = С^И, (36)

где Ср — коэффициент, который мы выберем равным

С=

2Сё(1 - и)2 9к "

(37)

Подставляя формулы (36), (37) в соотношение (35), найдем максимальный уровень моря при нагоне

Стах = кУ? ^ЙТё. (38)

Он оказывается пропорциональным скорости ветра V и растет с глубиной, как И1/2.

Сравнение с наблюдениями

Формула (38) позволяет легко оценивать максимально возможную величину подъема уровня воды при шторме, зная лишь скорость ветра V и среднюю глубину шельфа И, не прибегая к процедуре сложного численного решения уравнений геофизической гидродинамики. Необычный на первый взгляд вывод о том, что величина нагона увеличивается вместе с возрастанием глубины шельфа, который следует из формулы (38), действительно подтверждается наблюдениями. Например, из всех островов Курильской гряды наибольшие нагоны наблюдаются на небольшом острове Матуа, имеющем самый глубокий шельф. Как отмечается в работе [5], закон обратного барометра (11) здесь не выполняется. Это означает, что доминирует динамическая составляющая уровня моря, определяемая решением (31), (35), (38), а статическая составляющая ^ мала.

Статическая составляющая уровня моря становится существенной при подходе к берегу глубоких циклонов, таких как тропические ураганы, где в центре давление может упасть очень сильно, а градиенты атмосферного давления по радиусу велики. Рассмотрим в качестве примера тропический ураган Бхола с давлением в центре 940 гПа и скоростью ветра до 62 м/с, который 12 ноября 1970 г. атаковал северную часть Бенгальского залива в Индийском океане. Принимая за нормальное атмосферное давление значение Ра = 1013 гПа,

2

находим Дра = (1013-940) гПа = 73 гПа. Подставляя это значение в закон (11) и принимая ё = 9.81 м/с2 и р = 1.02 г/см3 = 1.02 • 103 кг/м3, находим = 73 см. Динамическую же состав-

ляющую нагона находим по формуле (39), принимая к = 0.02, V = 62 м/с и Н = 68 м. Имеем (тах = 3.27 м. Суммарный нагон Ь оказывается равным Ь = ( = О+0 = 2.27 м+0.73 м = 4 м. Катастрофа разразилась после того, как этот нагон сложился с трехметровым сизигийным приливом и общий подъем уровня океана достиг 7 м. В результате погибли 300 тыс. человек. На совещании Всемирной метеорологической организации 21 мая 2008 г. в Женеве подчеркивалась необходимость улучшения прогнозов штормовых нагонов и систем оповещения о них населения.

Длительность нагона в Бенгальском заливе можно найти, подставляя в формулу (35) соотношения (37), (38) для коэффициентов А и С^. Имеем

Сг ^(6кАь)/(ёСёМ).

(39)

Эта формула содержит коэффициент горизонтального турбулентного обмена АЬ , который можно оценить с помощью закона 4/3 Колмогорова-Обухова [16]

АЬ = 0£1/3 М4/3, (40)

где М — масштаб длины области, охваченной нагоном; £ — скорость диссипации турбулентной энергии, которая в теории турбулентности Колмогорова-Обухова считается совпадающей со скоростью поступления в океан энергии (на единицу массы и в единицу времени). Постоянная с в формуле (40), по данным исследований верхнего слоя океана [13, 14], оказывается равной 0.113.

При £ = 0.1 см2/с2 (условия шторма [13, 14]), М = 500 км (типичный размер тропического урагана) из формулы (40) получим АЬ = 109 см2/с = 105 м2/с. Подставляя это значение АЬ в формулу (39), найдем при к = 0.02, ё = 9.81 м/с2, Сё = 2-10-6 и V = 62 м/с, что г* = 17.44 ч при Сг = 20.

Из формулы (39) также видно, что чем сильнее ветер, тем быстрее происходит нагон. Поэтому ураганные

45е

40е

35е

30е

80° 75° 70°

Рис. 1. Путь центра урагана Кэрол вдоль Атлантического побережья США [12]

ветра особенно опасны. Они также вызывают сильные течения, способные уничтожать растительность на затапливаемых соленой водой сельскохозяйственных землях. Подставляя формулы (36), (37) в решение (30), определяем максимальную скорость течения

и0 = в/Н = (9к2А)/[2Сё(1 - а)2Н] = кМ.

Она оказывается пропорциональной скорости ветра в точном соответствии с формулой (18). При к = 0.02 и V = 62 м/с находим и0 = 1.24 м/с. При такой скорости морские течения способны смывать не только растительность, но и дома.

Полученное решение позволяет не только легко определять амплитуду и длительность нагона и время его действия, но и вычислять по формулам (31), (32) кривую роста и спада уровня моря при нагоне. В качестве примера рассмотрим тропический ураган Кэрол, который прошел вдоль восточного побережья США 29-31 августа 1954 г. [12]. Траектория центра движения урагана показана на рис. 1. Ураган двигался параллельно берегу со скоростью около 16 м/с и в 9 ч 31 августа пересек побережье штата Коннектикут в районе Нью-Лондона. Изменения уровня воды у берега показано для различных пунктов на рис. 2.

Как видим из рис. 2, в Чарлстоне, Морхед-Сити и Хамптон-Роудсе, которые находятся слева от центра урагана, реакция уровня на ветер носила в основном статический характер, который легко вычислить с помощью закона обратного барометра (11). Учитывая, что минимальное давление в центре урагана было 982.77 гПа, найдем Дра = 1013.25-982.77 = 30.48 гПа, что соответствует повышению уровня на 1 фут. В Атлантик-Сити и на мысе Сенди-Хук наблюдались постепенное повышение уровня до прихода центра шторма и отклик колебательного типа после его прохождения. Это объясняется тем, что волна нагона при средней глубине шельфа Н = 53 м двигалась со скоростью V = (ёН)1/2 = 22.78 м/с, т.е. опережала ураган, который двигался со скоростью 16 м/с. Колебания уровня в этих пунктах носят резонансный характер из-за наличия заливов. Волна нагона возбудила здесь собственные колебания типа сейш. В точности на пути урагана оказались два пункта наблюдений — мыс Монток (Лонг-Айленд) и Бостон (штат Массачусетс). В Монтоке максимальный уровень в 2.16 м был достигнут в 10 ч 30 мин 31 августа. А в Бостоне (где находится Вудс-Хольский океанографический институт США) уровень превысил 8 футов, после чего мареограф сломался. Этот нагон (и некоторые другие интересные примеры) описан в работе [12].

На рис. 3 показан результат расчетов уровня поверхности океана в Монтоке: Ь = + по полученным в настоящей работе формулам. Из наблюдений задавались только три основные величины: средняя глубина шельфа Н = 53 м, средняя скорость ветра V = 40 м/с и минимальное давление в центре урагана 982.77 гПа. Совпадение результатов расчетов с наблюдениями оказалось отличным. Рассчитанная длительность штормового нагона равна 12 ч, что также совпадает с наблюдениями. Максимальная скорость течений достигла 80 см/с. Для удобства расчетов начало координат х = 0 располагалось в Монтоке, а время начала нагона было

"Карол"

Бостон

45° (зап.)

0

Чарлстон

16 20

0

12 16

20

0

Рис. 2. Колебания уровня поверхности воды в различных пунктах побережья [12]

-40000 -20000 0

г = {Т- 37800), с

20000

Рис. 3. Расчет изменения уровня поверхности океана в Монтоке во время штормового нагона от урагана Кэрол (толстая кривая). Точки — наблюдения [12]

смещено в точку, соответствующую максимуму нагона 37 800 с = 10 ч 30 мин. Поэтому, для того чтобы перейти от расчетного времени г к реальному времени Т,

нужно воспользоваться формулой t = (T — 37 800) с, указанной на графике. После 13 ч 31 августа (на рис. 3 это примерно при t > 10000 c) ветер изменил направление и нагон сменился сгоном вод от берега. Поэтому при t > 10000 c наблюдаемый уровень падает быстрее, чем это предсказывается теорией.

Воздействие нагона на литосферу

Найдем давление, оказываемое нагоном на дно океана. Из гидростатического закона (8) имеем в толще воды p = pa + gpz — gp(Zs + Zd). Статический уровень Zs находится из закона обратного барометра (10), (11) pa = gpZs. Следовательно, p = gpz — gpZd. В частности, на дне океана при z = H имеем pH = gpH — gpZd. Переменная часть этого давления

-gpCd = gp

ß

VgH

sech2 f 1

(1)

максимальна при x = 0 и равна

ß

Pmax = gP

VgH'

(41)

Максимальный подъем уровня океана в Монтоке при нагоне от урагана Кэрол составил 2.16 м (рис. 2). Нетрудно подсчитать, что величина ртах здесь достигает 21 168 Па, что составляет 21% от величины атмосферного давления р = 101 325 Па.

Найдем величину деформаций дна, соответствующую этим колебаниям давления. Для этого воспользуемся обобщенным законом Гука [17]

4 = (1 - то)(\1в6ц + 2А2вц + аКрбц). (42)

Здесь &в■ — эффективные напряжения, т0 — равновесная пористость осадочных пород, а1 — коэффициент объемного сжатия твердой матрицы осадочных пород, (1 — т0)А1 — первый коэффициент Ламэ пористой среды, (1 — т0)А2 — второй коэффициент Ламэ, К = А1+(2А2/3) — модуль всестороннего сжатия, в = вц$¡1 — первый инвариант тензора деформаций вц. Из (42) легко найти

= _ _ 01 = K(1 - mo) I 3 Jp-

(43)

Переменной части деформаций соответствует второй член в (44), т.е. вблизи дна

ai

ezz = gp

ß

3ЬГ VgH

sech2 f 1

(i )■

(44)

Максимальная амплитуда деформаций достигается в начале координат при х = 0

р = _ 01

р — 3 pmax*

(45)

Подставляя в (45) значения g = 9.8 м/с2, а1 = = 10-11 Н/м2, р = 1000 кг/м3 и ртах из (41), находим |Е | = 7 • 10-8. Относительную деформацию Е можно представить в виде А/г, где Д — относительная деформация, Z — базовое значение длины. Если деформация измеряется лазерным деформографом с плечом Z = 52.2 м [17], то величина максимума абсолютной деформации, вызываемая штормовым нагоном с ам-

плитудой Z0 = 2.16 м, достигает 3.65 мкм. Несмотря на малость, подобные деформации от океанских волн вызывают сильный сейсмический шум. Он хорошо виден на записях сейсмостанций при прохождении над океаном тропических ураганов и тайфунов [18].

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в настоящей работе.

1. На основе уравнений геофизической гидродинамики получено решение задачи о расчете штормовых нагонов по заданным из наблюдений значениям скорости и направления ветра, средней глубине шельфа и давлению воздуха в центре циклона, который вызывает нагон.

2. Решение, описывающее изменение уровня океана, средней скорости течения и давления воды в океане, имеет вид диссипативных солитонов, зависящих от значений коэффициентов сдвиговой турбулентной вязкости, скорости ветра и средней глубины шельфа. Показано, что максимальный нагон пропорционален скорости ветра W и увеличивается с ростом глубины H как H1/2. Длительность нагона увеличивается с ростом горизонтальных размеров генерирующего циклона и уменьшается с ростом скорости ветра. Для слабых ветров амплитуда нагона невелика и растянута в пространстве и во времени. В случае сильных ветров длительность нагона сокращается, а амплитуда нагона резко возрастает, что увеличивает неожиданность и опасность возникающих наводнений.

3. Проведено сравнение результатов расчетов с данными измерений. Теория объясняет имеющиеся наблюдения.

Список литературы

1. Арсеньев С.А., Шелковников Н.К. Динамика вод шельфов. М., 1989.

2. Численные методы расчета штормовых нагонов: Сб. ст. / Под ред. М. С. Грушевского. Л., 1964.

3. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане: В 2 т. М., 1981.

4. Любицкий Ю.В. // Метеорология и гидрология. 2000. № 5. С. 86.

5. Шевченко Г.В. // Цунами и сопутствующие явления. Южно-Сахалинск, 1997. С. 106.

6. Диссипативные солитоны: Сб. ст. / Под ред. М. Ахмето-ва, А. М. Аникевича. М., 2008.

7. Петвиашвили В.И. // Нелинейные волны / Под ред. А. В. Гапонова-Грехова. М., 1979.

8. Арсеньев С.А. // Изв. секции наук о Земле РАЕН. 2010. № 19. С. 107.

9. Arsen'yev S.A., Shelkovnikov N.K. // Moscow University Phys. Bull. 2010. 65, N 5. P. 412.

10. Arsen'yev S.A. // Geoscience Frontiers. April 2011. 2, N 2. P. 215.

11. Арсеньев С.А., Шелковников Н.К. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2011. № 5. С. 70 (Arsen'yev S.A., Shelkovnikov N.K. // Moscow University Phys. Bull. 2011. 66, N 5. P. 480).

12. Redfield A.C., Miller A.R. // Meteorol. Monographs. 1957. 2, N 10. P 1.

13. Арсеньев С.А., Фельзенбаум А.И. // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1977. 13, № 10. С. 1034.

14. Арсеньев С.А. // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1977. 13, № 12. С. 1325.

15. Фельзенбаум А.И. Теоретические основы и методы расчета установившихся морских течений. М., 1960.

16. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика: В 2 т. СПб., 1992.

17. Arsen'yev S.A., Shelkovnikov N.K. // Moscow University Phys. Bull. 2009. 64, N 6. P. 638.

18. Ebeling C.W. // Adv. in Geophys. 2012. 53. P. 1.

Storm surges are dissipative solitons S. A. Arsen'yeva, N. K. Shelkovnikovb

Department of Marine and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

In this article the non-linear theory of storm surges and their interaction with lithosphere is constructed. Results are compared with observed data.

Keywords: catastrophic storm surges, long waves in ocean, solitons, microseisms. PACS: 92.10.-c, 92.10.hb. Received 24 April 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2013). Сведения об авторах

1. Арсеньев Сергей Александрович — доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник; тел.: (495) 911-34-09, е-mail: [email protected].

2. Шелковников Николай Константинович — доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник; тел.: (495) 411-09-46, e-mail: [email protected].