CC BY
15
ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ
Солитонная теория шквальных бурь
С. А. Арсеньев0, Н. К. Шелковников6
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а [email protected], b [email protected]
Статья поступила 01.10.2009, подписана в печать 22.04.2010
Построена теория шквальных бурь. Результаты сравниваются с наблюдениями. Ключевые слова: тропосфера, шквальная буря, солитон, температурная инверсия, длинные гравитационные волны, турбулентное перемешивание, ураганный ветер.
УДК: 551.510. PACS: 92.60.Qx, 92.60.Fm, 92.60.Gn, 92.60.hk, 47.35.Fg.
Введение
Шквальная буря, по определению, — это кратковременное и сильное увеличение средней скорости ветра без вращения в районах тяжелых штормов или при прохождении быстрых циклонов, несущих облачность и дожди [1]. На рис. 1 показан пример шквальной бури: на фоне слабого юго-западного ветра появляется сильное солитонное возмущение в виде северо-западного ветра с максимумом скорости 31 м/с. Ветровой солитон очень узок, за 10 мин скорость ветра возрастает от 3 до 31 м/с, а затем в течение 15 мин падает до 2 м/с. Общее время существования бури = 25 мин. Характерное для смерчей и торнадо вращение воздуха отсутствует [1, с. 147].
22 час.
Рис. 1. Изменение направления (вверху) и скорости (внизу) ветра при прохождении шквальной бури [1, рис. 80]
Шквальные бури приводят к катастрофам на море. Например, в марте 1878 г. английский фрегат «Эв-ридик» был опрокинут шквальной бурей и практически мгновенно затонул вместе с экипажем. Такая
же участь постигла и русский броненосец «Русалка» 19 сентября 1893 г. в Балтийском море, погибли 178 моряков [1]. На суше шквальные бури могут разрушить легкие строения и создать бурелом в лесу. Например, в Подмосковье 29 мая 1937 г. ураганная шквальная буря со скоростью ветра до 35 м/с и длительностью всего 10 мин вызвала значительные разрушения дачных поселков: деревья опрокидывались вместе с корнями, срывались крыши с домов, сносились заборы, были разбиты стекла в окнах [1], вращения ветра не было. В Сан-Франциско 21 ноября 1910 г. шквальная буря атаковала укрепленные городские дома. Они устояли, хотя и наблюдалось их сильное дрожание. Длительность бури составляла всего 2 мин, причем скорость ветра достигала 100 км/ч. Д. В. Наливкин [1, с. 148] отмечает: «Как будто над городом пронеслась одна громадная, длинная и узкая воздушная волна».
Характерной чертой швальных бурь является наличие облаков, на нижней границе которых имеется тонкий слой инверсии. Внутри инверсии температура растет с высотой, а выше и ниже нее температура с высотой падает (рис. 2). Возникновение инверсии несколько выше уровня конденсации, т. е. немногим выше нижней границы облаков, связано с тем, что внутри облака температура увеличивается за счет выделения
Z= 0
z=#
СТ N.
С ^
НПСА
ПЗ Т
Рис. 2. Система координат и температура воздуха в нижнем пограничном слое атмосферы и в средней тропосфере. Положение слоя инверсии обозначено линией С
скрытой теплоты парообразования. Существенно, что инверсия обладает запирающими свойствами. Объем воздуха, поднявшийся снизу в слой инверсии, оказывается холоднее окружающего воздуха и выталкивается силами Архимеда вниз. Аналогично выталкивается обратно наверх более теплый воздух, поступивший в инверсию сверху. Это позволяет моделировать инверсию поверхностью тока £(х,у). Здесь могут существовать горизонтальные скорости ветра и, и, а вертикальная скорость ш подчиняется условию непротекания [2]: при
* = С
^с , 9С , ас
w ■■
dt ' U дх V~dy'
(1)
Кроме того, вертикальные турбулентные напряжения на инверсии должны быть непрерывны: при 2 = £
rpz_ 'тО 'TZ_ 'тО
' X J X ' * у ' у ■
(2)
Здесь Т~, Т~ — турбулентные напряжения в нижнем пограничном слое атмосферы (НПСА), Ту — турбулентные напряжения на нижней границе средней тропосферы (СТ), С — возмущение уровня поверхности инверсии, ось 2 направлена вниз от невозмущенного уровня 2 = 0, поверхность Земли (ПЗ) находится на уровне г = Н (рис. 2).
Если инверсия в каких-либо местах оказывается разрушенной очень сильными восходящими движениями, то условие (1) места не имеет и воздух стекается к этим пятнам, образуя мощные грозовые облака СЬ [3]. Если же вертикальные движения недостаточны для разрушения инверсии, то условие (1) выполняется и на поверхности инверсии возникают гравитационные волны. Задачу об изучении этих волн на поверхности раздела с разными температурами и скоростями ветра впервые поставили еще в XIX в. Кельвин и Гельмгольц. Полное решение этой задачи с учетом сжимаемости воздуха и изменчивости температуры получил в 1947 г. Д. Л. Лайхтман [4] — оно описывает внутренние волны в тропосфере. Однако основная мода, соответствующая гравитационным волнам в однородной по плотности атмосфере, в этом решении пропущена. Между тем она появляется при анализе приливных уравнений Лапласа в атмосфере [5], и учет движений в НПСА, связанных с этой модой, является практически важной задачей. В настоящей работе эта задача решается для длинных гравитационных волн, для которых имеет место условие статики атмосферы
ёР-
др dz'
(3)
(5)
ции, которая практически совпадает с уровнем 2 = 0 (рис. 2). Поскольку нас интересуют движения внутри НПСА при влиянием влажности мы в дальней-
шем пренебрежем. Прологарифмируем (4) и возьмем от результата производную по 2. Получим
1 dp 1 dp 1 dT
р dz р dz Т dz'
Подставляя в (5) давление р из (4), а градиент dp/dz из (3), найдем
g 1 dp 1 dT TRC p dz T dz'
Отсюда находим закон, определяющий изменение плотности с высотой
1 dp 1 . . }id~z = T(70
(6)
Для этих волн длина волны А значительно превышает толщину Я (А 3>Я).
Постановка задачи
Входящие в уравнения (3) плотность р и давление р воздуха изменяются с высотой. Для того чтобы найти эти изменения, надо привлечь уравнение состояния
Р = ЯСРТ, (4)
где Яс = 287 м2/с2К — удельная газовая постоянная сухого воздуха. Эффекты влажности не имеют значения в НПСА на высотах ниже уровня конденса-
где 7 = dT/dz, 70 = g/Rc = 3.42 • 10^2 °С/м — постоянная величина. Она имеет смысл градиента температуры в однородной по плотности атмосфере, так как dp/dz = 0 при 7о = 7-
При 7 > 7о плотность воздуха растет с высотой dp/dz < 0. Эта ситуация наблюдается редко, например при интенсивном прогреве НПСА в дневное время летом. Она соответствует неустойчивому состоянию атмосферы, так как тяжелый воздух находится наверху, а легкий внизу и 7 > 7о > 7а> гДе 7а = Ю^2 °С/м — сухоадиабатический градиент температуры. При охлаждении НПСА в штормовую погоду j = j0, что соответствует однородной по плотности атмосфере. Случай 7>7о, когда плотность воздуха убывает с высотой, наблюдается наиболее часто, например выше НПСА в CT практически всегда. Он соответствует устойчивой стратификации, когда тяжелый воздух находится внизу. В дальнейшем мы будем рассматривать случай при котором стратификация внутри НПСА неустойчива (lo > 7а)- Это означает, что воздух внутри НПСА тур-булизирован за счет конвекции и вертикальных сдвигов средней скорости ветра.
Условие р = const позволяет проинтегрировать (3) по вертикали от 2 = ( до 2 и найти закон изменения давления воздуха с высотой внутри НПСА
P = pD + gp(z~Ö, (7)
где ро — давление на уровне z =
Направим ось х вдоль ветрового течения на нижней границе CT и обозначим скорость ветра на этой границе буквой W. Сильные ветра в CT приводят к квадратичному закону сопротивления на инверсии. То есть при
* = С
Tx° = CgW2, (8)
где Сё — коэффициент сопротивления. В формулах (8), (2) тангенциальное напряжение ветра отнесено к плотности воздуха р= 1.3 кг/м3. Возникающие под действием ветра W течения внутри НПСА направлены также вдоль оси х, так как мы пренебрегаем силой Кориолиса из-за небольших толщин НПСА: Не [500,2000] м. Таким образом, поперечные течения вдоль оси у становятся несущественными, и мы можем записать уравнения движения и неразрывности в виде
du _ 1 др дТ~ ^^ д2и
dt р дх dz 1 дх2'
О)
ди dw _ дх дг '
(10)
где А1 — коэффициент горизонтальной сдвиговой турбулентной вязкости. Уравнения (9), (10) содержат турбулентные напряжения и вертикальные скорости ш внутри НПСА, от которых можно избавиться интегрированием по вертикали от,г = £до,г = #.В результате уравнение (10) принимает вид
d(_dS dt дх'
(П)
я
где Б = — полный поток. При выводе (11) мы
С
учли граничные условия (1), (2) и
u = w = 0 при z = H.
(12)
Из уравнения (9) легко исключить давление, используя закон (7):
д( s——
•дх'
(13)
1 др 1 др° р дх р дх
Уровень инверсии £ удобно представить в виде суммы статической и динамической составляющих: С = Сх + С* ■ Тогда если статические наклоны уровня инверсии уравновешиваются градиентами давления на инверсии
1 дро <К
р дх дх'
то уравнение (13) можно записать в виде
1 др = д(д
р дх ^ дх '
Подставляя (14) в (9) и опуская индекс й (в дальнейшем рассматриваются только динамические наклоны уровня найдем
(14)
ди _ д( дТ% & д2 и
(15)
Проинтегрируем уравнение (15) по 2 в пределах НПСА. Получим
(16)
Система двух уравнений (16) и (11) относительно двух неизвестных 5 и ( замкнута, если известны турбулентные напряжения на верхней и нижней границах НПСА или их связь с 5 или
Решение задачи
Будем искать решение этой системы в виде волны, бегущей со скоростью V: Я = Г(х + VI). Тогда уравнение (11) даст алгебраическую связь между 5 и Обозначая \ = х + У1, получим (индекс \ ПРИ Р обозначает производную по х)
9S_
дх ~ х'
dS
dt
= FXV,
д( dS 1 dS д /S
dt дх ''Fx v dt dt\v
)-
Отсюда, интегрируя по времени t, находим
5 = СУ, (17)
так как константа интегрирования равна нулю (при 5 = 0 и ( = 0). Формула (17) позволяет исключить уровень £ из уравнения (16):
dS_gH dS ¡j q „ d2 S
~dt ~ T Tx ~ x x ■
(18)
Для напряжения трения на нижней границе НПСА можно принять известный в теории длинных волн [6-8] закон
T» = UJTS. (19)
Здесь шт — частота трения, которую можно оценить по формуле (8):
" w^w (20)
где п = z0/H, z0 — высота выступов шероховатости на поверхности Земли и А — коэффициент сдвиговой турбулентной вязкости. С другой стороны — напряжение трения на верхней границе НПСА определяется формулой (8). Входящую в нее скорость ветра W на нижней границе СТ можно связать со скоростью ветра на верхней границе НПСА и° соотношением
u° = kW, (21)
где k — ветровой коэффициент. Если скорость ветра при переходе через инверсию не терпит разрыв, то k = 1. В противном случае 0 < k < 1, так как скорость ветра убывает с высотой. Отметим, что формула (21) используется в физике океана для связи скорости ветра в приводном слое атмосферы со скоростью течения на поверхности океана [9, 10].
Полный поток S можно выразить через скорость ветра и°, если задаться определенной моделью распределения скорости ветра по высоте внутри НПСА (логарифмический, параболический или какой-либо другой закон). Простейшей моделью является модель плиты (slab-model), в которой все части движутся с одинаковой скоростью и° = и, за исключением тонкого приземного слоя атмосферы, толщиной порядка 10 м, где скорость резко убывает до нуля. Трение тогда сосредоточено вблизи уровня z = Н, где выполняется соотношение (19). Для модели плиты S = иН и формулу (8) можно записать в виде
г
Т 0 bg
Х
S .
(22)
Подставляя (22) и (19) в (18), получим уравнение для S dS еН dS „9 _ „ d^S -di = -vWx+aS (23)
где обозначено а = Cg/k2H2.
Вспомним теперь, что мы ищем решение в виде бегущей волны S = F(x) ■ Тогда dS/dt = VFX, dS/dx = Fx, cfiS/dx2 = Fxx и уравнение (23) принимает вид
ALFxx + aS2 ^WTS^VI 1^ = 0.
(24)
Для волн, бегущих со скоростью V = ^Н)1/2, уравнение (24) переходит в уравнение
AlFxx + aS2 - utS = 0.
(25)
Его легко решить, умножая на Рх:
Аь й
Отсюда, интегрируя, найдем
¿X)
а йРг ш-г ^
= а (26)
Шг = п 2 '
й\
(27)
где ¡3 = (3/2)(ат/а) ■ Константа интегрирования обращается в нуль, так как Р-4 0, Рх -)• 0 при -)• оо. В уравнении (27) переменные разделяются:
ёР
Рл/Р^Р
Отсюда, интегрируя еще раз, получим 2
или
Имеет место тождество Ш2.г = 1 тельно,
¡З^Р
/3
= 1 — эес И
Таким образом,
5 = Р = /3 эесЬ^х/Д), и=ЦЗ/Н)5е сЬ2(х/А), С= [/3/Шш] 5есЬ2(х/А).
Здесь
Д =
(3
л/ёН
5ес/?2(Ю-
В частности, на поверхности Земли, при 2 = Я
/3 ---и'2
Р = ро+грЦ -гр
эес /г2 4-
ш-
-800 -600
-970
-400 -200 0
Рис. 3. Расчет изменения давления Р у поверхности Земли при прохождении шквальной бури. Минимальное давление равно 973.756 гПа, максимальное соответственно 1013.25 гПа. Аномалия давления равна 34.49 гПа
(28)
эесЬ х. Следова-
(29)
(30)
(31)
и, м/с
30 \
25 - \
20 - \
15 \
ю \
У 5 \
1 ....... .......—|—— |
-600
-400
-200
0
200
400 х+гг, км
ТТ (32)
— ширина солитонов (29)-(32).
Используя решение (31) и (7), находим изменения давления в НПСА
(33)
(34)
Из (30) и (34) видно, что при прохождении шквальной бури давление падает, а скорость ветра возрастает. Время длительности шквальной бури можно оценить по формуле
ё^н' (35)
В качестве примера на рис. 3 и 4 приведены расчеты колебаний приземного давления и скорости ветра при следующих значениях параметров: Са = 10~2, к = 0.7, Я = 980 м, р0 = 888.4 гПа,
Рис. 4. Расчет изменения скорости ветра у поверхности Земли при прохождении шквальной бури. Максимальная скорость равна 31 м/с
£ = 9.8 м/с2, /9=1.3 кг/м3, г0 = 0.05 м (трава, рожь), А = 129.7 м2/с, Аь = 2.16 • 106 м2/с. В этом случае Д = 147 • 103 м, ¡3 = 30380 м2/с, а = 2.08-10^8. Из рис. 3, 4 мы видим, что максимальная скорость ветра достигает 31 м/с, время ее прохождения (35) составляет 25 мин, что соответствует наблюдениям (рис. 1). Минимальное давление равно 973.76 гПа, а ширина солитона равна 147 км, т.е. шквальная буря является мезомасштабным атмосферным явлением, возникающим при ураганных ветрах в средней тропосфере — в данном случае максимальное значение 1¥7 составляет 44.3 м/с.
Авторы благодарны академику Г. С. Голицыну за плодотворные обсуждения.
Список литературы
1. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Л., 1969.
2. Кочин Н.Е., Кабель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2 т. М.; Л., 1948.
3. Сноу Дж.Т. // В мире науки. 1984. № 6. С. 44.
4. Хргиан А.X. Физика атмосферы: В 2 т. Л., 1984.
5. Дикий Л.А. Теория колебаний земной атмосферы. JL, 1969.
6. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: В 2 т. М., 1986.
7. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. JL, 1974.
8. Арсеньев СЛ., Шелковников Н.К. Динамика вод шельфов. М., 1989.
9. Арсеньев СЛ., Фельзенбаум А.И. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. 13, № 10. С. 1034.
10. Арсеньев СЛ. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. 13, № 12. С. 1325.
The soliton theory of squall storms S. A. Arsenyev", N. K. Shelkovnikov'
Department of Marine and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
The theory of squall storms is created. Results of the theoretical calculations are compared with observations.
Keywords: troposphere, squall storm, soliton, thermal inversion, long gravitational waves, turbulent mixing, hurricane wind.
PACS: 92.60.Qx, 92.60.Fm, 92.60.Gn, 92.60.hk, 47.35.Fg. Received 1 October 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2010).
Сведения об авторах
1. Арсеньев Сергей Александрович — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотр.; тел.: (495) 911-34-09, e-mail: [email protected].
2. Шелковников Николай Константинович — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотр.; e-mail: [email protected].
