CC BY
42
Сетевые эффекты и системные риски в банковской
системе
Network effects and systemic risks in banking system
А.К. Караев A.A. Karaev
1Финансовый Университет при правительстве Российской Федерации,
Институт финансово-экономических исследований, Россия, Москва, 125167, ГСП-3, Ленинградский проспект, д. 49
[email protected], Т.А. Гуев T.A. Guev Лаборатория Касперского, Россия, Москва, 125212, Ленинградское шоссе, д. 39 А, стр. 3
В данной работе на основе расширенной версии модели Ниера проведен анализ механизма распространения финансовой заразы, вызывающей системный риск нестабильности банковской системы с разной структурой организации. В отличие от случая распространения финансового контагиона в банковской системе с однородным распределением банков по степени (граф Эрдеша-Реньи), который рассматривался в большинстве исследований, включая работу самого Ниера, в представленной работе проведен анализ распространения контагиона в банковских системах с модулярной структурой (модель на основе графа Уоттса-Строгатца, с высоким коэффициентом кластеризации и маленькой средней длиной пути) и с неоднородным распределением банков по степени (модель на основе графа Барабаши-Алберт - безмасштабная сеть со степенным распределением). В обеих моделях учтены такие показатели сети, как длина пути, коэффициент кластеризации и неоднородное распределение узлов по степени, которые наблюдаются в реальных банковских сетях и которые не генерируются в однородной модели на основе графа Эрдеша-Реньи.
Ключевые слова: финансовая стабильность, финансовый контагион, сетевой подход
In this paper, based on an extended version of Nier model we analyze the spread of financial contagion mechanism that causes systemic risk of instability of banking systems with various organizational structures. Unlike the case of the financial contagion spreading in the banking system with uniform distribution of banks by degree (Erdos-
Renyi graph), which was considered in most studies, including Nier work itself, in the present work the contagion propagation is analysed in the bank system with modular structure (Watts-Strogatz graph model, with high clustering coefficient and small average path length) and with a nonuniform distribution of banks by degree (Barabasi-Albert graph model, a scale-free network with power law distribution). Both models take into account factors (namely, path length, clustering coefficient and a non-uniform distribution of nodes by degree) which manifest themselves in actual banking network and which are not reproduced in the homogeneous model based on Erdos-Renyi graph.
Keywords: financial stability, financial contagion, network approach
Введение
Изучение системных рисков, связанных со структурными особенностями финансовых систем, активно обсуждается в литературе в связи с анализом природы и последствий современных финансовых кризисов [2; 14]. После финансового кризиса 2008-2009 гг. сетевые взаимосвязи между финансовыми институтами стали рассматриваться органами регулирования, академическим сообществом и самими участниками рынка как характеристики, требующие постоянного мониторинга и анализа. Сетевой анализ банковской системы позволяет обосновывать меры надзорного реагирования в случае угроз финансовой стабильности. Кроме того, сетевой анализ может оказаться полезным за пределами банковского регулирования и надзора, в частности, при наблюдении за стабильностью работы платежной системы (как национальной, так и частной).
Методология сетевого анализа финансовой системы (в работе рассматривается частный пример финансовой системы - банковской системы) основана на ее представлении в виде графа. Анализ системных рисков банковской системы, как и в работе [11] основан на изучении количества обанкротившихся банков, подвергшихся эффекту заражения при дефолте случайно выбранного банка, с учетом капитала банков и их взаимодействий друг с другом. В основе такой модели заражения учтены предпосылки, отвечающие законодательству РФ о банкротстве и инструкции Банка России, в которой фактором, влияющим на распространение дефолта, является нарушение норматива достаточности капитала (Н1) Банка России.
Банковская система в работе рассматривается в виде сети, состоящей из N узлов, в которой каждый узел является банком, а каждая связь между узлами характеризует их взаимоотношения. Кроме того, с каждым узлом ассоциируется баланс банка, который определяет некоторые свойства, не связанные напрямую с сетевой банковской структурой.
Моделирование нестабильности банковской системы с сетевой структурой В настоящей работе использован подход на основе модели Ниера [15] для анализа нестабильности банковской системы с однородным распределением банков по степени (по количеству связей с банками-контрагентами) на основе графа Эрдеша-Реньи.
Так же, как и в работах [4; 10; 15], в рассматриваемой модели банки имеют упрощенный финансовый баланс (см. рисунок 1).
Баланс банка /
Общие активы (а/) Общие обязательства (/)
Внешние активы (е/) Депозит (ё/)
Межбанковские кредиты Межбанковские заимствования (Ьг)
Капитал банка (с/)
(а) (Ъ)
Рисунок 1. Структура банковской сети в окрестности банка I (а) и упрощенное представление баланса банка I (Ъ) [13].
Активы банка I (а/) состоят из межбанковских кредитов плюс внешних активов (е/), а пассивы или обязательства банка (/) состоят из межбанковских заимствований (Ь|) плюс депозиты (ё) плюс капитал банка (с/), так чтобы в соответствии с принципами бухгалтерского учета соблюдалось условие: активы равны пассивам. Поскольку общие активы должны быть равны общим обязательствам, это означает: чтобы банк был платежеспособным, необходимо, чтобы его капитал был положительным, то есть активы банка / должны превышать его обязательства (с = а/ — // > 0).
Кроме того, предполагается, что общее количество банков (N0) и общий объем внешних активов (Е будут фиксированными за все время моделирования (экзогенные параметры модели). Параметр & определяет долю межбанковских активов (2) в общем объеме всех активов (Л), так что при фиксированном объеме внешних активов он будет выражать долю от общего объема активов в системе, а общий объем межбанковских активов можно представить в виде 2 = &Е / (1-&). Таким образом, каждая связь, соединяющая два банка, характеризуется весом ^ = 2 / к = &Е / (1-&)к, где к является общим количеством связей в сети. Внешние активы распределяются равномерно среди всех банков. Каждый банк на начальном этапе получает капитал в размере доли у от общего объема активов а.
Механизм и динамика распространения финансового контагиона в финансовых сетях как в работе [15], так и в предлагаемой работе были изучены с использованием подхода распространения потоков в сетях, разработанного М. Эболи в работе [6].
Распространение процесса банкротства банков в банковской системе можно представить в виде следующей последовательности: на начальном этапе случайным образом выбирается некоторый банк, который объявляется банкротом вследствие отрицательного значения капитала этого банка; далее проводится проверка финансовых балансов соседей-кредиторов исходного банка банкрота (для каждого из них перевычисляется баланс активов и пассивов с учетом банкротства исходного банка) и проверяется условие отрицательности капитала банка; в случае, когда банкротство исходного банка генерирует дефолты по обязательствам некоторых его соседей кредиторов, для каждого из вновь образовавшихся банков-банкротов процедура повторяется заново.
Банкротство отдельных банков может приводить к каскадному неисполнению обязательств банков-соседей с появлением кластера банков-банкротов. Размер этого кластера служит простейшей мерой системного риска, связанного с возможным банкротством банка или группы банков.
Существенным недостатком многих работ, описывающих последствия дефолта случайно выбранного банка, является предположение о древовидной структуре графа межбанковских отношений, то есть о равенстве нулю коэффициента кластеризации изучаемого графа 1 . Между тем банковские сети характеризуются существенной кластеризацией, поэтому их топология существенно отличается от древовидной, для чего в представленной работе проводился анализ банковской системы с высоким уровнем кластеризации на основе модели банковской системы в виде графа Уоттса-Строгатца (У-С) с высоким коэффициентом кластеризации и маленькой средней длиной пути, а также анализ банковской системы с неоднородным (степенным) распределением банков по степени на основе графа Барабаши-Алберт (Б-А).
В обеих моделях учтены такие показатели сети, как длина пути, коэффициент кластеризации и неоднородное распределение узлов по степени, которые наблюдаются в реальных межбанковских сетях и которые не генерируются ни в однородной модели Эрдеша-Реньи, ни в моделях с регулярным расположением узлов, как, например, в знаменитой работе [3].
Результаты компьютерных экспериментов и их анализ
В работе изучался механизм распространения дефолтов банков по банковской сети с разным числом банков: n = 36, 50 и 100, а также с разным распределением узлов сетевой структуры по степени: Уоттс-Строгатц (малый, или тесный мир ) и Барабаши-Алберт (scale free - безмасштабные сети), с учетом уровня капитализации банков и размера межбанковских активов.
1 Коэффициент кластеризации - степень, определяющая, насколько узлы стремятся к кластеризации. Это некоторая оценка фрагментированности сети. При высокой кластеризации можно ожидать, что вирус будет распространяться лишь в определенной подгруппе (кластере). При низкой кластеризации высока вероятность быстрого распространения вируса по всей сети.
2 «Малый мир» («small-world») - сеть с низким значением средней длины кратчайшего пути.
В таблице 1 представлены численные значения параметров модели и диапазон их изменений (моделирование производилось в системе МаШетайса 10, коды программной реализации модели могут быть предоставлены по запросу).
Параметр Тип сети Определение Диапазон изменений
N0 Уоттс-Строгатц Барабаши-Алберт Общее количество банков 36, 50, 100 36, 50, 100, 200
Е Для всех Общее количество внешних активов 100000
у Для всех Доля капитала банка в общих активах банка 0 <у < 0.1
Доля межбанковских
0 Для всех активов в общих активах 0 < 0 < 0.5
Р Уоттс-Строгатц Вероятность связать любые два узла сети 0.05 - 0.9
т Барабаши-Алберт Минимальная степень узла 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24
Таблица 1. Численные значения параметров модели и диапазон их изменений.
Влияние топологии сети, капитализации банков, доли межбанковских активов и связанности банков на нестабильность банковской системы
Следует отметить, что в представленной работе в качестве оценки системного риска использован критерий - банкротство 10% банков вследствие дефолта случайно выбранного банка. Такой выбор оценки системного риска банковской системы хорошо согласуется с аналогичной оценкой системного риска и анализом устойчивости банковской системы (переход банковской системы из режима I в режим II) после дефолта случайно выбранного банка, которые были проведены в работе [12]. В работе [8] системный риск определяется как банкротство более 5% банков вследствие банкротства случайно выбранного банка.
В работах [1; 16] был проведен подробный анализ поведения российской банковской системы и установлены факты степенного распределения банков по активам, размеру капитала, степени распределения банков и так далее. В соответствии с этими стилизованными фактами в работе [2] был проведен анализ устойчивости российской банковской системы, топология которой была представлена моделью в виде графа Барабаши-Алберт на основе средне-полевой модели [15]. Результаты проведенных компьютерных экспериментов по анализу неустойчивости банковской системы (на основе графа Барабаши-Алберт) были представлены также и в работе [13] в виде:
1. трехмерного графика зависимости количества обанкротившихся банков N от численных значений параметров: отношения собственного капитала к активам банка у и отношения межбанковских активов к общим активам 0;
2. проекции графика трехмерной зависимости количества обанкротившихся банков N на плоскость (у, 0) на уровне 10% от общего числа банков в банковской системе N0 для N = 100 и т = 3.
В данной работе результаты проведенных компьютерных экспериментов по анализу механизма возникновения и распространения финансовой заразы в банковской системе также представлены в виде:
1. трехмерного графика зависимости количества обанкротившихся банков N от численных значений параметров: отношения собственного капитала к активам банка у и отношения межбанковских активов к общим активам 0;
2. проекции графика трехмерной зависимости количества обанкротившихся банков на плоскость (у, 0), для разных уровней N = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100} и т = {2; 3; 4; 8; 12; 16; 24} в случае банковской системы в виде графа Б-А и для разных уровней N = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100} ир = {0.005; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7} в случае банковской системы в виде графа У-С.
На рисунках 3 и 4 на основе результатов компьютерных экспериментов представлены фазовые диаграммы состояний банковской системы на основе графа Б-А с N0 = 100, т = {2; 4; 8; 16} и на основе графа У-С с N0 = 100, р = {0.1; 0.3; 0.5; 0.7}, характеризуемые масштабом распространения процесса банкротства банков в банковской системе после дефолта случайно выбранного банка. Темный цвет соответствует финансово стабильным состояниям системы (доля обанкротившихся банков меньше 10% всех банков).
Как видно из рисунков 3 и 4, условная граница (уровень обанкротившихся банков равен 10% от общего количества банков N0), разделяющая стабильную и нестабильную фазы, в обоих случаях меняется нелинейно и немонотонно с ростом уровня капитализации банков у и размера межбанковских активов 0, а область неустойчивости банковской системы имеет приблизительно треугольную форму на плоскости (у, 0).
Аналогичный результат был получен в работе [12], в которой проводился теоретический анализ устойчивости банковской системы и системных рисков в ней, возникающих из-за масштабного распространения банкротства банков, вызванного дефолтом одного банка и связанного с наличием сетевой структуры банковской системы. Некоторые результаты этой работы представлены на рисунке 2, на котором показана фазовая диаграмма банковской системы в двумерном пространстве переменных (у, 0), где фаза I - устойчивая фаза, фаза II - неустойчивая фаза (область в виде треугольника ОА1 окрашена серым цветом); граница, разделяющая стабильную и нестабильную фазы, зависит от законов изменения сторон треугольника ОА и 1А и от значений параметров модели. Первоначальный шок, которому подвергается случайно выбранный банк, может привести к уменьшению внешних активов банка на долю /. Используя средне-полевую аппроксимацию, которая заключается в том, что все банки имеют одинаковые значения для у, 0, w, можно определить размер шока в режиме I: $(1) =/(1 — 0), а условие дефолта банка в режиме I можно выразить как: s(I) > у или/(1 — 0)
> у. Размер шока в режиме II: 8(11) = [0, а{1) - у]мп / к, а условие дефолта банка в режиме II: 8(11) > у или [0, а(1) - у]Мп / к > у. Из перечисленных выражений следует, что граница между фазами I и II представлена двумя прямыми ОА и 1А с законом изменений: ОА в виде зависимости 0= ку; 1А в виде зависимости 0 = 1 - у(1 + к)/$. В точке их пересечения для порогового значения доли межбанковских активов выполняется условие 0С = $ - у)/(1 + $).
Рисунок 2. Фазовая диаграмма устойчивости банковской системы против распространения банкротства банков после дефолта отдельного банка в двумерном пространстве переменных (у, 0). Фаза I - устойчивая фаза, фаза II - неустойчивая фаза (область в виде треугольника ОА1 окрашена серым цветом) [12].
Таким образом, в рамках такой упрощенной модели устойчивости банковской системы тем не менее отражены наиболее важные аспекты, позволяющие управлять устойчивостью банковской системы на основе параметров в виде капитализации банков у, размера межбанковских активов 0, связанности банков к, размера шока/ (как доли во внешних активах).
Капитализация банков и распространение финансовой заразы в банковской системе В работе проведен анализ капитализации банков в качестве буферов для распространения финансовой заразы по всей банковской сети, с варьированием параметра отношения собственных активов банка к общим активам. Случайный дефолт какого-нибудь банка через связи этого банка с его банками-кредиторами приводит к некоторой потере активов этих банков. Если произведенная потеря больше капитала контрагентов, то контрагенты тоже объявляют дефолт, и финансовая зараза распространяется далее по сети. Поэтому капитал банка служит «шок-абсорбером», и чем выше собственные активы банка, тем выше его способность выдерживать внешние импульсы.
Во всех рассмотренных случаях банковских систем с разной структурой (графы У-С, Б-А) наблюдается нелинейная зависимость между изменением капитала банков и распространением финансовой заразы - контагиона - по банковской сети. Если не
учитывать некоторые различия, можно установить, что во всех рассмотренных случаях банковских систем с разной структурой наблюдаются три основных режима: первый режим характеризуется низким уровнем собственных средств банков и масштабным распространением банкротства банков на всю банковскую систему; промежуточный режим, в котором количество дефолтов банков меняется незначительно с изменением капитала банков; и финальный режим, в котором собственных средств банка достаточно для того, чтобы остановить распространение финансового контагиона уже на первом этапе.
Размер межбанковских активов и распространение финансовой заразы в банковской системе
Другим важнейшим параметром структуры банковской системы, влияющим на ее устойчивость к финансовому заражению, является доля межбанковских активов в общих активах. Рост доли межбанковских активов в общих активах в модели происходит при условии постоянства количества внешних активов (Е) и количества связей между банками. В этой связи рост доли межбанковских активов приводит, с одной стороны, к увеличению веса связей w ^ = Z / к =0Е / (1 — 0)к, где к является общим количеством связей в сети) и, с другой стороны, параллельно к росту собственных активов банков с^ = уа¡, которые являются фиксированной долей у общих активов а1 а = аггхх + а¡"'). Следует заметить, что общее количество связей есть сумма входящих (активы банков) и выходящих (обязательства банков) связей из узлов к = к1П+к°и1, а для внутренней части общих активов можно написать выражение агт1 = wkcшt, а также выражение для доли межбанковских активов 0^ = к[м^/а1. Таким образом, в основном вариации в параметрах 01, а¡, у^ могут быть вызваны вариациями количества выходящих связей из узлов сети к°ии (которые соединяют банки с их кредиторами-банками). Разумеется, общее количество связей к остается постоянным.
Иными словами, рост доли межбанковских активов приводит к двум противоположным эффектам: с одной стороны, при 0 < 0с приводит к росту размера шока, которому подвергается банковская система; с другой стороны, при 0 > 0с приводит к росту собственных активов банков, которые являются буфером для погашения дальнейшего распространения финансовой заразы в виде банкротства банков. Этот эффект имеет свое подтверждение в работах [7 - 9], в которых установлено, что рост комплексности и сложности рынка межбанковских кредитов, спровоцированный ростом размера межбанковских обязательств, проводит к повышению вероятности возникновения и увеличению размера финансовой заразы.
Следует также учитывать, что для предельных случаев, когда доля межбанковских активов 0 стремится к нулю (0 ~ 0), доля дефолта банков стремится к нулю, так как отсутствует среда (каналы) для распространения финансовой заразы. Банковская сеть состоит из отдельных не соединенных друг с другом банков, а в балансе каждого банка в активах отсутствуют межбанковские кредиты, то есть активы банков состоят только из внешних активов. При 0 ~ 1 доля дефолт банков также стремится к нулю, так как отсутствует внешняя среда для генерации случайных шоков, приводящих к банкротству отдельных банков, то есть активы банков состоят только из межбанковских кредитов.
Как видно из анализа результатов экспериментов, представленных на рисунках 3 и 4 (кривая, разделяющая стабильную и нестабильную фазы банковской системы, - срез трехмерного графика зависимости количества дефолт-банков на уровне 10% всех банков от капитала банков и размера межбанковских активов), с ростом доли межбанковских активов (0 < 0) до некоторого порогового уровня 0(; для того, чтобы банковская система находилась в стабильной фазе, необходимо увеличивать уровень капитализации банков (как следует из работы [12], эта ветвь характеризуется линейной зависимостью доли межбанковских активов от капитализации банков 0 = ky). С дальнейшим ростом доли межбанковских активов (0 < 1) выше порогового уровня 0С для стабильности банковской системы необходимый уровень капитализации банков постепенно падает 0 = 1 - у(1 + к)$ или у = -0)/(1 + к).
Степень связности банков и распространение финансовой заразы в банковской
системе
Еще одним важным параметром структуры банковской системы, существенно влияющим на процесс распространения банкротства банков в банковской системе, является связанность банков: в случае банковской системы на основе графа Б-А это параметр m - минимальная степень узла, вновь присоединяемого к графу Б-А, которая прямо связана с количеством связей между банками в банковской системе (при росте m узлы графа Б-А становятся более связанными друг с другом); а в случае банковской системы на основе графа У-С это параметр p - вероятность связать любые два узла графа.
Следует заметить, что рост связанности банков в банковской системе (рост количества банков-контрагентов) может приводить к двух противоположным эффектам. Первый эффект сводится к тому, что рост связанности банков в межбанковской сети позволяет снизить удельные потери соседних банков, связанных с обанкротившимся банком. То есть в этом случае подразумевается, что капитал банков достаточный и позволяет им поглощать потери от дефолт-банка, с которым они связаны и для которого являются кредитором. Но с другой стороны, в случае если капитала банков соседей-кредиторов дефолт-банка не будет достаточно для поглощения потерь после дефолта этого банка, то с ростом связанности банков в банковской системе будет расти количество каналов для распространения процесса банкротства банков, вызывая новые раунды банкротств. Разумеется, между этими двумя противоположными эффектами существует режим перехода от одного к другому.
Модель стабильности банковской системы на основе графа Барабаши-Алберт
В настоящей работе анализ стабильности банковской системы, подвергнутой идиосинкретичеким шокам, проводился, как и в работе [15], в области значений параметров модели: {0 < у < 10%; 0 < 0 < 50%}.
На рисунке 3 представлена фазовая диаграмма состояний банковской системы на основе графа Б-А с N0 = 100, m = {2; 4; 8; 16}. Из анализа полученных результатов следует, что с ростом значений параметра m наблюдается постепенное смещение координат пороговой точки (уС, 0С), разделяющей две ветви зависимости количества дефолт-банков на уровне 10% от общего количества банков в банковской системе (как
критерий системного риска в банковской системе): восходящую ветвь, характеризующуюся тем, что с ростом доли межбанковских активов (значений параметра 0 до порогового значения 0С) увеличивается количество межбанковских каналов к для возможного распространения банкротства банков, и для поддержания стабильности банковской системы необходимый уровень капитализации банков падает с ростом 3 параметра m и нисходящую ветвь, характеризующуюся тем, что с дальнейшим ростом доли межбанковских активов (ростом параметра 0 выше порогового значения 00 падает доля внешних активов, а следовательно, и амплитуда / шоковых воздействий на банковскую систему, тем самым снижается масштаб возможного распространения банкротства банков, и для поддержания стабильности банковской системы необходимый уровень капитализации банков тоже падает с ростом параметра m. Как видно из рисунка 3, с ростом значений параметра m координаты пороговой точки (уС, 0С): при m = 2, {уС ~ 3.8%; 0С - 18%;}; при т = 4, {уС ~ 3%; 0С -22%}; при т = 8, {ус - 2%; 0С - 30%}; при т = 16, - 1.4%; 0С - 38%}. Также необходимо учесть, что при т = 2 количество связей в графе равно 197, а количество хабов (банков с высоким показателем центральности) равно 3; при т = 4 количество связей в графе равно 390, а количество хабов - 5; при т = 8 количество связей в графе равно 760, а количество хабов - 8; при т = 16 количество связей в графе равно 1460, а количество хабов - 10. Таким образом, с ростом т растет количество связей в графе к и соответственно снижается вес одной связи w, что приводит к тому, что для стабильности банковской системы на основе графа Б-А на восходящей ветви кривой, разделяющей стабильную и нестабильную фазы банковской системы, при фиксированных значениях параметра 0 с ростом значений параметра т необходимый уровень капитализации банков у для поддержания стабильности банковской системы снижается.
Что касается стабильности банковской системы на нисходящей кривой, разделяющей стабильную и нестабильную фазы банковской системы, то при фиксированных значениях параметра 0 с ростом значений параметра т необходимо все меньше и меньше доли капитала банков у для поддержания стабильности банковской системы, поскольку, как уже было сказано выше, на этой ветви кривой, разделяющей стабильную и нестабильную фазы банковской системы, рост доли межбанковских активов приводит к росту капитализации банков, поэтому для поддержания стабильности банковской системы с ростом параметра т требуется все меньше и меньше необходимого уровня капитализации банков. Отметим, что аналогичные результаты были получены в работе [14], в которой анализ стабильности банковской системы со степенным распределением банков по количеству банков-контрагентов проводился на основе вероятностного подхода с использованием метода Монте-Карло. Как следует из результатов этой работы и как видно из анализа рисунка 2, пороговые значения доли межбанковских активов, разделяющей две ветви зависимости количества дефолт-банков (неустойчивость банковской системы) от капитала банков и размера
3 01 =к1у1, 02 =к2у2, при: к1 < к2 и фиксированном значении 0: 01 =02, следовательно у2 < у1.
межбанковских активов, находятся в области значений параметра межбанковских активов 0 от 16% до 40% и параметра капитализации банков у от 2% до 4%.
(а) т = 2
(Ь) т = 4
(с) т = 8
(ё) т = 16
Рисунок 3. Фазовая диаграмма состояний банковской системы на основе графа Б-А с N0 = 100, т = {2; 4; 8; 16}.
Модель банковской системы на основе графа Уоттса-Строгатца На рисунке 4 представлена фазовая диаграмма состояний банковской системы на основе графа У-С с N = 100 и вероятностью образования связи р = {0.1; 0.3; 0.5; 0.7}. Следует заметить, что коэффициент кластеризации в этих случаях принимает значения С = {4.76; 3.71; 3.54; 3.53}, а средняя длина кратчайшего пути ё = {0.34; 0.22; 0.086; 0.055}. Также необходимо отметить, что для предельных случаев, когда вероятность образования связи р стремится к нулю (р ~ 0), граф У-С сводится к регулярному кольцевому графу с высоким коэффициентом кластеризации С и большой средней длиной кратчайшего пути ё, а в случае, когда вероятность образования связи р стремится к единице (р ~ 1), граф У-С сводится к однородному случайному графу с низким коэффициентом кластеризации С и небольшой средней длиной кратчайшего пути ё. Граф У-С занимает промежуточное положение между регулярным кольцевым
графом и случайным однородным графом, с вероятностью образования связи 0 < р < 1, высоким
(а) р = 0.1
(Ь) р = 0.3
(с) р = 0.5
р = 0.7
Рисунок 4. Фазовая диаграмма состояний банковской системы на основе графа У-С с N0 = 100, р = {0.1; 0.3; 0.5; 0.7}.
коэффициентом кластеризации С и небольшой средней длиной кратчайшего пути ё (см. рисунок 5).
Как видно из рисунка 4, в банковской системе на основе графа У-С в анализируемой области {0 < у < 10%; 0 < 0 < 50%} для всех значений параметра р = {0.1; 0.3; 0.5; 0.7} граница, разделяющая фазовые состояния системы, представлена только восходящей ветвью с трендом - с ростом доли межбанковских активов растет необходимая доля собственных активов банков для того, чтобы банковская система находилась в стабильной фазе. Для граничного максимального значения доли межбанковских активов 0[50%] уровень собственного капитала банков, необходимый, чтобы банковская система находилась в стабильной фазе, падает с ростом связности банков: для р = 0.1, у — 3.8%; для р = 0.3, у — 3.0%; для р = 0.5, у — 2.4%; для р = 0.7, у — 2.2%. Очевидно, что это связано со снижением коэффициента кластеризации с ростом вероятности образования связи между банками в банковской системе. Влияние коэффициента кластеризации на устойчивость банковской сети в виде графа У-С
можно объяснить тем (см. рисунок 6), что когда банк Ь подвергается дефолту, то два соседних с ним по сети банка с и ё (кредиторы банка Ь) подвергаются шоку и, скорее всего, подвергнут шоку четвертый банк - а, с которым эти два банка образуют треугольник, то есть при низких значениях капитализации банков четвертый банк а может получить два шока через связи са и ёа.
Регулярный кольцевой граф Граф Уоттса-Строгатцэ Случайный однородный граф
О < р < 1
Рисунок 5. Схематическое представление графа У-С (0 < р < 1) и его предельных вариантов: регулярный кольцевой граф (р = 0) и случайный однородный граф (р = 1).
Рисунок 6. Влияние коэффициента кластеризации на устойчивость банковской сети в виде
графа У-С.
С ростом доли межбанковских активов 0 этот эффект усиливается, так как растет количество связей между банками на межбанковском кредитном рынке. С ростом коэффициента кластеризации растет количество треугольников4 в банковской системе в виде графа У-С, увеличивая тем самым количество каналов, по которым банки подвергаются шокам. Таким образом, рост коэффициента кластеризации приводит к росту масштаба распространения банкротства банков при условии, когда доля межбанковских активов не достигла порогового значения 0с, поэтому для поддержания стабильной банковской системы необходимо с ростом коэффициента кластеризации
4 Коэффициент кластеризации вычисляется на основании того, сколько треугольников сложено в сети от возможного количества треугольников. Когда коэффициент кластеризации высокий, это означает, что граф чрезвычайно плотно сгруппирован вокруг нескольких узлов; когда он низкий, это значит, что связи в графе относительно равномерно распространены среди всех узлов.
увеличивать собственный капитал банков, о чем свидетельствуют результаты анализа рисунка 4.
Заключение
Основная цель работы заключалась в том, чтобы провести анализ механизма возникновения и распространения финансовой заразы в виде банкротства банков, вызывающей системный риск нестабильности банковской системы с разной структурой организации, на основе средне-полевой модели Ниера (статический подход на основе упрощенного баланса активов и пассивов банка). В работе была рассмотрена расширенная версия модели Ниера, в отличие от случая распространения финансового контагиона в банковской системе с однородным распределением банков по степени (граф Эрдеша-Реньи), который рассматривался в большинстве исследований, включая работу самого Ниера. В представленной работе проведен анализ распространения контагиона в банковских системах с сетевой структурой, которые в большей степени приближены к реальной банковской системе: модель на основе графа Уоттса-Строгатца с эффектом «тесный мир», с высоким коэффициентом кластеризации и короткой средней длиной пути; и с неоднородным распределением банков по степени - модель на основе графа Барабаши-Алберт (безмасштабная сеть со степенным распределением банков по степени). В обеих моделях учтены такие показатели сети, как длина пути, коэффициент кластеризации и неоднородное распределение узлов по степени, которые наблюдаются в реальных межбанковских сетях и которые не генерируются в однородной модели Эрдеша-Реньи.
Полученные в данной работе результаты исследования устойчивости банковских систем на основе графов У-С и Б-А свидетельствуют о том, что наличие в структуре модельных банковских систем таких характеристик, как модульность (то есть кластерность) и неоднородность узлов сети, аналогично изоморфной архитектуре, характерной для большинства хорошо известных социальных и биологических систем. Важно не столько само наличие модульности и масштабно-инвариантной архитектуры банковских систем, сколько его значимость из-за явного противоречия с результатами традиционного моделирования финансовых систем, основанного на их гомогенизации в виде однородных систем (как это было сделано в знаменитой работе [3]), которые могут ввести в заблуждение из-за непонимания влияния фактора связанности в вопросах выяснения механизма и динамики распространения финансовых контагионов. В случаях пренебрежения или снижения роли таких характеристик системы, как модульность и неоднородность узлов системы (например, в результате простого сокращения или демонтажа системно важных финансовых институтов, пусть даже во имя повышения финансовой стабильности) можно получить противоположный результат в виде неприятных последствий, приводящих к снижению надежности финансовой системы и ее большей подверженности кризисам. Поэтому органам надзора и контроля банковских систем необходимо учитывать эти особенности существующей архитектуры БС для разработки и внедрения эффективных мер макропруденциального регулирования, направленных на достижение финансовой
стабильности. Кроме того, за последнее время наблюдается растущее осознание того существенного факта, что важное значение имеют не только размеры финансовых институтов, но и специфика их взаимосвязи друг с другом. Так что надзорные органы могут применять сетевой анализ не только для выявления системных и уязвимых институтов, но и для отслеживания потенциальных контагиозных путей в сети. Можно комбинировать сетевой анализ с регулярно проводимым традиционным стресс-тестированием для того, чтобы получить более полную картину хрупкости данной банковской системы.
Список литературы
1. Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Моделирование деятельности современной российской банковской системы // Экономический журнал ВШЭ. том 13, №2., 2009. С. 143—171.
2. Караев А.Л., Мельничук М.В. Теоретическая модель финансовой нестабильности российского межбанковского кредитного рынка: сетевой подход. Бизнес в законе. Экономико-юридический журнал, №5, 2015: 222-226.
3. Allen F., Gale. «Financial contagion», Journal of Political Economy, Vol. 108, pages 133.
4. Aerts A. Interbank market stability // Econometrics. University of Amsterdam, June 22, 2012.
5. Barabasi A.-L., Albert R (2002). Statistical Mechanics of Complex Networks // Reviews of Modern Physics. Vol. 74. P. 47-97.
6. Eboli M. Systemic Risk in Financial Networks: a Graph-Theoretic Approach // Universita «G. d'Annunzio», Facolta di Economia. Pescara, Italy. 2007. 19 p.
7. Gai P., Haldane A., Kapadia S. (2011). Complexity, concentration and contagion. Journal of Monetary Economics 58(5), 453.
8. Gai P., Kapadia S. (2010). Contagion in financial networks. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science 466 (2120), 2401-2423.
9. Haldane A., May R. (2011). Systemic risk in banking ecosystems. Nature 469 (7330), 351-355.
10. Hausenblas V., Kubicova I., Lesanovska J. Contagion Risk in the Czech Financial System: A Network Analysis and Simulation Approach // Chech National Bank Working Paper Series N14, 2012.
11. Leonidov A., Rumyantsev E. «Russian interbank networks: main characteristics and stability with respect to contagion», (2012), arXiv: 1210.3814; http://xxx.lanl.gov/pdf/1210.3814.pdf.
12. May R., Arinaminpathy. Systemic risk: the dynamics of model banking system, // N J. R. Soc. Interface, (2010) Vol.7, pp.823-838.
13.MontagnaM., Lux T. Hubs and resilience: towards more realistic models of the interbank markets // Kiel Working Paper, 1826, Kiel Institute for the World Economy, Kiel.
14. Montagna M., Lux T. (2012). Systemic risk in scale-free InterBank networks // Institute for the World Economy, Florence, 16/05/2012.
15. Nier E., Yang J., Yorulmazer T., Alentorn A. Network Models and Financial Stability, Journal of Economic Dynamics and Control, 31 (2007), p. 2033-2060.
16. Vandermarliere B., Karas A., Ryckebusch J., Schoors K. Beyond the Power Law: Uncovering Stylized Facts in Interbank Networks arXiv:1409.3738v1 [q-fin.GN] 12 Sep 2014.
