CC BY
82
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
УДК 51
Б.П. Осиленкер
ФГБОУВПО «МГСУ»
РЯДЫ ФУРЬЕ ПО НАГРУЖЕННЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ
ПОЛИНОМАМ
Анонсирован ряд результатов о сходимости и суммируемости (равномерно и почти всюду) рядов Фурье по нагруженным ортонормированным полиномам. Полученные результаты прилагаются к рядам Фурье по нагруженным полиномам Якоби.
Ключевые слова: ортогональные полиномы, ряды Фурье, нагруженные орто-нормированные полиномы, условие Дини — Липшица, линейные методы суммирования рядов Фурье, методы Чезаро, сходимость рядов Фурье.
В линейном пространстве Р полиномов с вещественными коэффициентами введем скалярное произведение
ь т
< Р, Ч >= | Р(х)д(х^х + £М] р (х]) д (х])
а
{р^ е Р; х} е [а,6],у = 1, 2,..., т), где w(x) — весовая функция (положительная почти всюду в [а, Ь] интегрируемая функция); х. е [а,6] (у = 1, 2,..., т), М.(_/ = 1, 2,т) — неотрицательные
вещественные числа. _
Пополнение Р по норме ||/|| = /, / > называется нагруженным пространством оно будет гильбертовым пространством со скалярным произведением
ь т
</, Я > = | f(x)g (хМх^х + ^М]/(х] (х]). (1)
а
С помощью процесса ортогонализации Грама — Шмидта построим последовательность нагруженных полиномов степени п ¿¡п(х) = цп(х;Мх;М2; ...Мт)} (п = 1, 2, 3, ... ; х е [а,Ь]), ортонормированных в скалярном произведении (1):
< Чп , Чт > = 5т,п (m, п = 0, 1, 2, ...X где 5т п — функция Кронекера.
Задача исследования нагруженных систем, возникающих в математической физике, была поставлена в классической книге Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической физики».
Пространство S и полиномиальная система (¡п{х) = (¡„{х, Мх, М2, ..., Мт)} (п = 0, 1, ... ; х е [а,Ь]) в последние годы привлекает внимание многих исследователей, так как они используются в изучении задачи Штурма — Лиувилля с параметром в граничных условиях, нагруженных интегральных уравнений и операторов Шредингера с точечными потенциалами (потенциалами нулевого радиуса, 5 — потенциалами) [1—8].
В прикладных задачах они имеют прямое отношение к важным и часто встречающимся на практике типам задач с сосредоточенными нагрузками. На-
пример, в задаче о колебании неоднородного нагруженного стержня; крутильных колебаниях стержня со шкивами на концах; в задаче о распространении тепла в стержне, на концах которого помещены сосредоточенные теплоемкости и т.д. [8].
Целью работы является исследование сходимости и суммируемости линейными методами рядов Фурье по нагруженным ортогональным полиномам.
Каждой функции f е Lw[a,b], для которой существуют коэффициенты Фурье
b m
Ck (f) =< f,qk >= ff(x)qk (x)w(x)dx +ZMjf(xj )qk(Xj )
a J=l
(k = 0, 1, 2, ... ), (2) поставим в соответствие ряд Фурье {qn}(n = 0, 1, 2, ... ):
00
т~^ск{/шх). (3)
А=0
Обозначим через
Sn (f; х) = Х Ck (f )qk (x)
k=0
частные суммы ряда Фурье (3), (2) и рассмотрим вопрос о поведении Sn (f; х).
Модулем непрерывности функции f (x)(x е [-1,1]) называется вещественная функция ra(t; f), заданная на промежутке [0, + да) равенством
&(t;f) = sup| x-x2 < \f (xi) - f (x2 )|.
Непрерывная функция f (x)(x е[-1,1]) удовлетворяет условию Дини — Липшица на промежутке I с [-1,1], если
limt ®(t, f )ln1 = 0.
Теорема 1. Пусть нагруженная ортонормированная полиномиальная система {qn(x)}(n = 0, 1, 2, ... ) и весовая функция w(x) равномерно ограничены на промежутке [c,d]с (a,b):
\pn (x)| < const, w(x) < const(x е [c,d]). (4)
Если непрерывная функция f удовлетворяет условию Дини — Липшица на промежутке [a, b], то в каждой точке из
Em = (C, d )\Um=i{x j }. и равномерно на каждом компакте K из Em выполняется соотношение
limn^» Sn(f; x) = f (x).
Теорема 2. Пусть выполняются условия (4) и функция f принадлежит классу L\ [с, d ] u Ll (G), G = [a, b]\[c, d ]. (5)
Тогда почти всюду в (c, d) для частных сумм справедлива оценка Sn (f, x) = ox (ln n)(n ^<x>).
Рассмотрим вопрос о линейных методах суммирования рядов Фурье (2), (3). Нагруженные ортонормированные полиномы {qn(x)}(n = 0, 1, 2, ... )удов-летворяют трехчленному рекуррентному соотношению
Щ„(x) = an+iqn+i(x) + unqn(x) + anqn-i(x)(n = 0, 1, 2 ... ; q-i(x) = 0),
причем для рекуррентных коэффициентов справедливы соотношения
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
lim „ an = 2, lim п un = 0.
Введем регулярную по Теплицу треугольную матрицу вещественных чисел Л = {4n), к = 0, 1, ... , п +1; > = 1, Х^ = 0, п = 0,1,...} (6)
и рассмотрим последовательность Л-средних ряда Фурье (2), (3):
ип(/;х;Л) = ХП=0(f)qk(х) (п = 0, 1, 2, ... ; x е [a,b]).
Ряд Фурье (2), (3) Л-суммируется с /х) (равномерно или почти всюду), если соотношение
l^^ U п (/; х; Л) = / (х). (7)
имеет место (равномерно или почти всюду).
Будем говорить, что система нагруженных ортонормированных полиномов {дп (х)}(п = 0, 1, 2, ... ) принадлежит классу В, если для нее выполняются условия (4) и для рекуррентных коэффициентов справедливо соотношение
Z(l an+1 -a«l + К+1 -un I)-
, „,1 ,., , п 1 <<Х).
п=0
Теорема 3. Пусть система нагруженных ортонормированных полиномов принадлежит классу В и для элементов матрицы (6) имеет место оценка
п +1
^ n (к +1)(n - к +1)
1 n
Jk=0
П + 1
1 + ln-
Д 2X^\ < С (n = 0, 1, 2, ... ), (8)
п - к +1 _
где Д24п) =д(д4п)),Л(4п)) = ^кп) + 4+ (к = 0, 1, 2, ..., п). Тогда справедливы утверждения:
1) для любой непрерывной на [а, Ь] функцииДв каждой точке х е (с, й) и равномерно на каждом компакте К с (с,й) выполняется соотношение (7);
2) для любой функции Д удовлетворяющей (5), почти всюду в (с, й) ряд Фурье (2), (3) Л-суммируется с Дх).
Замечание. Для средних Чезаро ряда Фурье (2), (3)
°ПУ)( Д; х) = -^1 А-,с,ч, (х)
Ап I=0
выполняется соотношение (8).
Пример. Рассмотрим нагруженные полиномы {рПа'Р'Ь'М)(х)} (п = 0, 1, 2, ... ), нормированные в скалярном произведении 1
</, Я> = | /(х)Я(х)(х)dx + М/(-1)я(-1) + Ь/(1)Я(1)(Ь > 0, М > 0),
-1
где wa-в(х) = (1 -х)а(1 + х)р(а > -1, Р>-1; х е[-1, 1]) — вес Якоби; т.е.
Ц р^Р;^)( х) р(а,Р;ЬМ)( ^^ ( х)йх + МР( а'в'ЬМ)(-1) Р^ЬМ)(-1) +
+Ьр№,М )(l)p(a,P;Ь-M )(1) = Ьп( (п, т = 0, 1, 2, ... ).
Нагруженные ортогональные полиномы Якоби изучались в [7, 9—16]. Можно показать, что нагруженные ортонормированные полиномы Якоби рПа$'ь'М)(х) принадлежат классу В, причем соотношения (4) выполняются равномерно на каждом компакте К из (-1,1).
Ряд Фурье функции / по нагруженным ортонормированным полиномам Якоби имеет вид
Я*) - ЕГ=о< > (9)
где
< /, р^ьм )> = £ р^ьм)(х) (х) ах+м/ (-1) р(а'Р; ьм)(-1) + +Ь/ (\)р(^ь,м )(1) (к = 0, 1, 2, ... ).
Частные суммы ряда Фурье (9) Sna•P;ьм)(/;х) = У " < /,р^'ьм) >р Р(а"в ьм)(х). =
Из приведенных выше теорем 1—3 вытекают соответствующие результаты для рядов Фурье (9).
Дополним эти результаты следующим утверждением.
Теорема 4. Для любой непрерывной на [-1, 1] функции/справедливо
Нш S)(/ ;1) = / (1) Га > р > -11,
п^ю ^ 2у
при этом
)(/ ;1) - / (1)| < сеп (/),
где Еп/) — наилучшее равномерное приближение на [-1, 1] функции / полиномами степени не выше п. Постоянная С = С (а, Р; Ь, М) > 0 не зависит от п = 0, 1, 2, ... .
Аналогичное утверждение имеет место в точке -1.
Отметим, что в классическом случае (Ь = М = 0) известно утверждение о расходимости ряда Фурье — Гегенбауэра (когда а = р) гладких функций в
точке х = 1 [17] и о несуммируемости методами (С, у) ^у < а +1Ц рядов Фурье — Гегенбауэра непрерывных функций в точке х = 1[18].
Библиографический список
1. Алиев С.З. Базисные свойства корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничных условия // Доклады РАН. 2010. Т. 433. № 5. С. 583—586.
2. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5-функцию // Дифференциальное уравнения. 2002. № 7. С. 735—751.
3. Ильин В.А. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, при условии совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2010. Т. 269. С. 133—142.
4. Капустин Ю.М., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2001. № 2. С. 1599—1604.
5. Костенко А.С., Маламуд М.М. Об одномерном операторе Шредингера с 5-взаимодействием // Функциональный анализ и его приложения. 2010. Т. 44. № 2. С. 87—91.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
6. Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Двучленные дифференциальные операторы с сингулярными коэффициентами // International Conference «Differential Equations and Related Topics», Book of Abstracts. Moscow. 2011. Pp. 274—275.
7. Осиленкер Б.П. О рядах Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля с дельта-потенциалом // Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство : Тезисы междунар. конф. Ереван, 2011. C. 69—70.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1966. 724 с.
9. Осиленкер Б.П. О некоторых экстремальных задачах для алгебраических полиномов в нагруженных пространствах // Известия вузов. Математика. 2010. № 2. C. 53—65.
10. Fejzulllahu B.Xh. Asymptotics properties and Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Gegenbauer-Sobolev inner product // J Approximation Theory. 2010. V. 162. Pp. 397—406.
11. Koornwinder T.H. Orthogonal polynomialswith the weight function (1 - x )a(1 + x)e + MS(x +1) + Щх - 1) // Canad. Math. Bull. 1984. V. 27(2), pp. 205—214.
12. KoekoekR. Differential equations for symmetric generalized ultraspherical polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 345. Pp. 47—72.
13. Koekoek J., Koekoek R. Differential equations for Jacobi polynomials // J. Comp. Appl. Math. 2000. V. 126. Pp. 1—31.
14. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A. On Fourier series of Jacobi-Sobolev orthogonal polynomials // J. Ineq. Appl. 2002. V. 7(5), pp. 673—699.
15. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A. On Fourier series of a discrete Jacobi-Sobo-lev innerl product // J. Approximation Theory. 2002. V. 117. Pp. 1—22.
16. Marcellan F., Rocha I.A., and Salto L. Relative aymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials with a discrete Sobolev inner product // J. Approximation Theory. 2003. V. 121. Pp. 336—356.
17. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье — Якоби // Сибирский математический журнал. 1968. Т. 9. № 8. С. 1263—1283.
18. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М. : ГИФМЛ, 1962.
Поступила в редакцию в июне 2013 г.
Об авторах: Oсиленкер Борис Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-30-38, [email protected].
Для цитирования: Осиленкер Б.П. Ряды Фурье по нагруженным ортогональным полиномам // Вестник МГСУ 2013. № 8. С. 35—41.
B.P. Osilenker
FOURIER SERIES IN RESPECT OF LOADED ORTHOGONAL POLYNOMIALS
The article has findings on convergence and additivity (uniform and almost universal) of Fourier series in respect of loaded orthonormalized polynomials. The findings are applied to the Fourier series in respect of loaded Jacobi polynomials. The objective of research into loaded systems of mathematical physics was formulated in the classical book by R. Courant and D. Hilbert "Methods of Mathematical Physics".
Many researchers drive attention to polynomial systems, as they are used in the study of the Sturm-Liouville problem with a parameter in the boundary conditions, loaded integral equations and Schrodinger point potentials.
As for applied problems, they are immediately related to important and frequent types of problems concerning concentrated loads, including oscillations of a heterogeneous loaded rod, torsional oscillations of a rod having pulleys at the ends, propagation of heat inside the rod having concentrated heat sources at the ends, etc.
Key words: orthogonal polynomials, Fourier series, loaded orthonormalized polynomials, Dini-Lipschitz condition, linear method of additivity of the Fourier series, Cezaro methods, Fourier series convergence.
References
1. Aliev S.Z. Bazisnye svoystva kornevykh funktsiy odnoy spektral'noy zadachi so spektral'nym parametrom v granichnykh usloviyakh [Basic Properties of Primary Functions in a Certain Spectral Problem Having a Spectral Parameter in the Boundary Conditions]. Dokla-dy RAN [Reports of the Russian Academy of Sciences]. 2010, vol. 433, no. 5, pp. 583—586.
2. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asimptotika sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy i formula sleda dlya potentsiala, soderzhashchego funktsiyu [Asymptotic Behaviour of Eigenvalues and Eigenfunctions and the Trace Formula for the Potential Containing a Function]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations]. 2002, no. 7, pp. 735—751.
3. Il'in V.A. Smeshannaya zadacha, opisyvayushchaya protsess uspokoeniya kolebaniy sterzhnya, sostoyashchego iz dvukh uchastkov raznoy plotnosti i uprugosti, pri uslovii sov-padeniya vremeni prokhozhdeniya volny po kazhdomu iz etikh uchastkov [Mixed Problem Describing the Process of Damping of Oscillations of the Rod Composed of Two Parts Having Different Density and Elasticity Values, in Case of Coincidence of the Time of the Wave Travel through Each Part of the Rod]. Trudy Matematicheskogo instituta im. V.A. Steklova [Works of V.A. Steklov Institute of Mathematics]. 2010, vol. 269, pp. 133—142.
4. Kapustin Yu.M., Moiseev E.I. K probleme skhodimosti spektral'nykh razlozheniy dlya odnoy klassicheskoy zadachi so spektral'nym parametrom v granichnom uslovii [On the Problem of Convergence of Spectral Decompositions for One Classical Problem Having a Spectral Parameter in the Boundary Condition]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations]. 2001, no. 2, pp. 1599—1604.
5. Kostenko A.S., Malamud M.M. Ob odnomernom operatore Shredingera s vzaimodeyst-viem [On One-dimensional Schrödinger Operator with Interaction]. Funktsional'nyy analiz i ego prilozheniya [Functional Analysis and Its Applications]. 2010, vol. 44, no. 2, pp. 87—91.
6. Mirzoev K.A., Shkalikov A.A. Dvuchlennye differentsial'nye operatory s singulyarny-mi koeffitsientami [Binominal Differential Operators with Singular Coefficients]. International Conference "Differential Equations and Related Topics." Book of Abstracts. Moscow, 2011, pp. 274—275.
7. Osilenker B.P. O ryadakh Fur'e po sobstvennym funktsiyam zadachi Shturma — Liuvil-lya s del'ta-potentsialom [On the Fourier Series in Respect of Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Problem with Delta Potential] Obrazovanie, nauka i ekonomika v vuzakh. Integratsiya v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe prostranstvo. Tezisy mezhdunar. konf. [Education, Science and Economy at Institutions of Higher Education. Integration into International Educational Space. Theses of the International Conference]. Erevan, 2011, pp. 69—70.
8. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 724 p.
9. Osilenker B.P. O nekotorykh ekstremal'nykh zadachakh dlya algebraicheskikh po-linomov v nagruzhennykh prostranstvakh [On Particular Extremal Problems for Algebraic Polynomials in Loaded Spaces]. Izvestiya vuzov. Matematika [News of Institutions of Higher Education. Mathematics] 2010, no. 2, pp. 53—65.
10. Fejzulllahu B.Xh. Asymptotics Properties and Fourier Expansions of Orthogonal Polynomials with a Non-discrete Gegenbauer-Sobolev Inner Product. J Approximation Theory. 2010, vol. 162, pp. 397—406.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
11. Koornwinder T. H. Orthogonal Polynomials with the Weight Function (1 - x )a(1 + x)e + + M6(x + 1) + N6(x - 1). Canad. Math. Bull. 1984, vol. 27(2), pp. 205—214.
12. Koekoek R. Differential Equations for Symmetric Generalized Ultraspherical Polynomials. Trans. Amer. Math. Soc. 1994, vol. 345, pp. 47—72.
13. Koekoek J., Koekoek R. Differential Equations for Jacobi Polynomials. J. Comp. Appl. Math. 2000, vol. 126, pp. 1—31.
14. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A. On Fourier Series of Jacobi-Sobolev Orthogonal Polynomials. J. Ineq. Appl. 2002, vol. 7(5), pp. 673—699.
15. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A. On Fourier series of a discrete Jacobi-Sobolev Inner Product. J. Approximation Theory. 2002, vol. 117, pp. 1—22.
16. Marcellan F., Rocha I.A., and Salto L. Relative Asymptotics and Fourier Series of Orthogonal Polynomials with a Discrete Sobolev Inner Product. J. Approximation Theory. 2003, vol. 121, pp. 336—356.
17. Badkov V.M. Otsenki funktsii Lebega i ostatka ryada Fur'e-Yakobi [Estimates of the Lebesgue Function and the Remainder of the Fourier-Jacobi Series]. Sibirskiy matematiches-kiy zhurnal [Siberian Mathematical Journal]. 1968, vol. 9, no. 8, pp. 1263—1283.
18. Sege G. Ortogonal'nye mnogochleny [Oorthogonal Polynomials]. Moscow, GIFML Publ., 1962.
About the author: Osilenker Boris Petrovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Osilenker B.P. Ryady Fur'e po nagruzhennym ortogonal'nym polinomam [Fourier Series in Respect of Loaded Orthogonal Polynomials]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 35—41.
