CC BY
38
О РЯДАХ ФУРЬЕ ПО СИММЕТРИЧНЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ ГЕГЕНБАУЭРА - СОБОЛЕВА
ON FOURIER SERIES OF SYMMETRIC GEGENBAUER-SOBOLEV ORTHOGONAL POLYNOMIALS
Б.П. Осиленкер B.P. Osilenker
ГОУ ВПО МГСУ
В работе анонсированы ряд результатов о сходимости и чезаровской суммируемости ортогональных рядов Фурье - Гегенбауэра - Соболева.
Some results of the convergence and Cesaro summability of orthogonal Fourier -Gegenbauer - Sobolev series are given.
Пусть w( X) - весовая функция на промежутке [— 1,1] и
xk е [ — 1,1] (k = 1,2,..., K). Для функций f и g из lLw[—1,1], имеющих первую
производную в точках xk е [—1,1], введем скалярное произведение типа Соболева 1
< f, g >= j" f (x)g(x)w(x)dx +
-1
K Nk (1)
+TTMkif 0)(Xk)g(i)(Xk) (Mk i > 0,i = 0,1,...,Nk;к = 1,2,...,K).
к=1 i=0
Пусть {Bn (X " последовательность полиномов, ортонормированных
относительно скалярного произведения (1)
< Bm (x), Bn (X) >=8m>n , m, n - 0,U.
Скалярные произведения (1) и полиномы Bn (x) возникают в ряде проблем
теории функций, функционального анализа, математической физики, механики и вычислительной математики (см. [1], [5], [7], [20]).
В прикладных задачах они применяются, например, при исследовании процессов с сосредоточенными нагрузками. С их помощью можно найти аналитическое решение ряда краевых задач со спектральным параметром в граничном условии.
Например, они моделируют задачи о поперечных колебаниях струны с сосредоточенными массами Mk в точках xk (k = 1,2,..., K); о поперечных
колебаниях балок, составленных из различных материалов; о проводимости тепла в стержне, составленном из материалов различной плотности и т.д. ([2], [3], [16]).
Рассмотрим линейное пространство Sa с нестандартным симметричным
скалярным произведением 1
< f, g >* = J f (x) g (x) W (x)dx + M[f (1) g (1) + f (-1) g (-1)] +
-i
+N[f '(1)g'(1) + f '(-1)g'(-1)] (M > 0, N > 0), / \ Г(2а + 2) 2\i \
wa(x) ~ 2 2«+i p2 ^-jy (1 _ X ) 1) " вес (вероятностный) Гегенбауэра.
Пусть \B(na)(x) = ^(x;M,N)} (n = 0,1,2,...;x e [-1,1]) - система симметричных ортонормированных полиномов Гегенбауэра - Соболева
г(2«+2) р^вп^а-x2)adx+м[Bm°(1)Bna)(1)+втк-^^-щ+
22а+1 Г2(а+1) _J
} (1)(ВТ) (1) + {ВВГ) (-1)(ВВГ) (-1)] = 4,п (тп = 0,1,2,...).
Полиномы В(па)(х; М, N) переходят в классические ортонормированные полиномы
Гегенбауэра X) при М = N = 0. Они были введены в работах [12], [13], [19], дальнейшее их изучение см. в.[6], [11], [15], [17], [18], [21]-[23], [25], [26].
Ясно, что ортонормированные полиномы X) (п = 0,1,2,...) есть частный
случай (модельный случай)полиномов Вп (X) (п = 0,1,2,...), рассмотренных выше.
Ортонормированные полиномы ВП"'(X) (п = 0,1,2,...) (в дальнейшем мы изучаем случай М > 0, N > 0) обладают рядом свойств, отличных от соответствующих свойств полиномов Рп(а°(х) (п = 0,1,2,...) [6], [11] - [15], [17] - [23], [25], [26].
Лемма. Для симметричных полиномов Гегенбауэра - Соболева справедливы следующие утверждения:
1. Полиномы Впа)(х) = Впа)(х;М,N) (п = 0,1,2,...;х е [-1,1]) удовлетворяют
семичленному рекуррентному соотношению и этот порядок наименьший;
2. Для п достаточно больших существует точно одна пара вещественных симметричных нулей, лежащих вне интервала (-1,1);
3. Полиномы В^(х) являются собственными функциями линейного дифференциального оператора (с коэффициентами, зависящими лишь от х ) обычно бесконечного порядка; лишь в том случае, когда а =0,1,2,... этот класс содержит операторы конечного порядка, равного
4а +10 (М > 0, N > 0), 2а + 4(М > 0, N = 0), 2а + 8 (М = 0, N > 0);
4.
в па)( ±1)
впа)\ (±1)
2 (n ^ да) . (2)
Напомним, классические полиномы Гегенбауэра удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению; все их корни вещественные, простые и лежат в
интервале (-1,1); полиномы /^"'(х) (п = 0,1,2,...) являются собственными
функциями дифференциального оператора второго порядка; справедлива асимптотическая оценка [8], [9], [24] (см.(2)):
1 5
P(a\ ±1>|« {Рй(а)}'(±1)
а+-
п 2 . (3)
Каждой функции /, для которой существуют коэффициенты Фурье < /, Вк"' >а, введем ассоциированный ряд Фурье -Гегенбауэра - Соболева
ГО
I(х) I,ву >аВ<а>(х). (4)
к=0
1. Обозначим через I;X) частичные суммы ряда Фурье (4):
Sna)(f;х) - £< I,В^ >а Вк?\х)(п = 0,1,2,...;х е [-1,1]) .
к=0
Как хорошо известно [8], теоремы о равносходимости решают вопрос о сходимости для ряда Фурье по классическим полиномам Гегенбауэра \Р(а\х)[
I ) п -0
при х € (—1,1). С другой стороны, поскольку при росте степеней классические
ортонормированные полиномы Гегенбауэра рп(а)(х) (п = 0,1,2,...) и их
производные неограниченно растут вблизи точек -1 и 1 (см.(3)), то как следствие, существенно ухудшаются аппроксимативные свойства разложений по этим полиномам. Как показано в [8], существует непрерывная на [-1,1] функция, ряд Фурье-
Гегенбауэра которой расходится в точке х0 = 1 .Более того, пусть ЖГН'" класс Г -раз непрерывно - дифференцируемых на [—1,1] функций I, для которых t, х е [—1,1] выполняется неравенство |1(Г) -1(Г}(х) < с(Г, /и) ^ - х|М. В работе [2] В.М. Бадков построил пример функции 10 (х), принадлежащей классу ЖГН^(г = 0,1,...,0 < /и< 1), для которой выполняется
/с(1) - ^а)( /с;1) > c(a, r, M)nk 2 , nk ^ «)
i 1
а-\---r—¡л
где Sna)(/0;1) - частичная сумма ряда Фурье по классическим полиномам Гегенбауэра. Аналогичный результат для аналитических и целых функций - в [10].
Обозначим через U класс всех непрерывных функций на [-1,1] , для которых /'(+1) существуют, и для / eU через
En (/) ^ En (/; M, N) = inf^ {maxJ/(x) - P(x)\ + +M [| / (1) - P(1)| + \ / (-1) - P(-1)|] + N[\/'(1) - P'(1)| + \ / '(-1) - P'(-1)| ]}
обозначим наилучшее равномерное приближение функции f G U полиномами порядка п .
Теорема 1. Пусть функция f G U удовлетворяет условию Липшица порядка ^(0 1) равномерно на [-1,1], т.е. |f (x + h) - f (x)| < M|h\M для Щ <3 и
для некоторого д> 0. Тогда в каждой точке x е (—1,1) и равномерно на компактных подмножествах из (-1,1) справедливо соотношение
limn_ sna)( f; x) = f (x). (5)
Кроме того, в точках +1 выполняется (5). Теорема 2. Пусть f е U . Тогда
f (±1) - S<e)( f; ±1) < CEn (f; M, N),
где постоянная C>0 не зависит от n .
Доказательства Теорем 1 и 2 вытекают из свойств системы |ВВ|(а'1(x; M, N)|,
полученных в работах [6], [25]. Теорема 1 другим методом доказана в [26].
Рассмотрим вопрос о суммируемости рядов Фурье-Гегенбауэра-Соболева (4)
методами Чезаро (C,у) порядка у> 0. Каждой функции f <Е Lw [—1,1], для
wa
которой существуют значения f (+1), f'(+1) , поставим в соответствие средние Чезаро
f; x)=-AF]tA„r::ska)( f; x) (у > 0).
An k=0
Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b] с [—1,1] и f е LLw ([1, a] U [b,1]) , то на каждом компактном подмножестве из (a, b) разложение (5) равномерно (C, > 0) - суммируемо к f (x). Доказательство Теоремы 3 вытекает из свойств системы jBna)(x; M, N)| [25] и представления ядер Фейера и Валле-Пуссена.
Литература
1. Аткинсон Ф. Непрерывные и дискретные граничные задачи. М.: Мир, 1968.
2. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби / Сиб. мат. журнал. 1968. Т.9, №8, с.1263-1283.
3. Базов И.А., Задорожный А.И. Ряды Фурье по системе собственных функций задачи о колебаниях нагруженного стержня / III Международный Симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2005, с. 9-10.
4. Базов И.А., Задорожный А.И. Собственные поперечные колебания нагруженной вязкоупругой консоли / IV Международный Симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2006.
5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. М.: Гостехиздат, 1951.
6. Марчелан Ф., Осиленкер Б.П. Оценки полиномов, ортогональных по отношению к скалярному произведению Лежандра-Соболева // Мат. Заметки. 1997, № 6, с.871-880.
7. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.- М.: Физматлит,
2004.
8. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962.
9. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., Физматлит, 2004.- 416 с.
10. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. Махачкала, 2004.
11. Arvesu J., Alvarez-Nodarse R., Marcellan F., Pan K. Jacobi-Sobolev-type orthogonal polynomials:second order differential equation and zeros . Comp. Appl. Math.1998. V.90, p.135-156.
12. Bavinck H., Meijer H.G. Orthogonal polynomials with respect to a symmetric inner product involving derivatives. Appl. Anal. 1989. V.33, p.103-117.
13. Bavinck H., Meijer H.G. On orthogonal polynomials with respect to an inner product involving derivatives:zeros and recurrence relations. Indag. Math. (NS), 1990. №1, p.7-14.
14. EvansW.D., Littlejohn L.L., Marcellan F., Markett C., Ronveaux A. On recurrence relation for Sobolev orthogonal polynomials. SIAM J. Math. Anal.1995. V.26, p.446-467.
15. Foulquie Moreno A., Marcellan F., Osilenker B.P. Estimates for polynomials orthogonal with respect to some Gegenbauer-Sobolev inner product. J.Ineq. Appl.1999, № 3, p.401-419.
16. Fulton C.T., Pruess S. Numerical methods for a singular eigenvalue problem with eigenparameter in the boundary conditions. J. Math. Anal. Appl.1979, V.71, p.431-462.
17. Koekoek J., Koekoek R. Differential equations for generalized Jacobi polynomials. J. Comp. Appl. Math.2000. V.126, p.1-31.
18. Koekoek R. Differential equations for symmetric generalized ultraspherical polynomials. Trans. Amer. Math.Soc.1994.V.345, p.47-72.
19. Koorwinder T.H. Orthogonal polynomials with the weight function (1 — X)"(1 + x)^ .
+MS(X + 1) + NS(X - 1). Canad. Math. Bull.1984. V.27 (2), p.205-214.
20. Krall A. Hilbert space, Bound value problems and orthogonal polynomials//Operator Theory:Advances and Applications.- Basel: Birhauser.2002.V.133, p.1-183.
21. Marcellan F., Alfaro, Rezola M.L. Orthogonal polynomials:old and new direction. J.Comp. Appl. Math.1993. V.48, p.113-132.
22. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A.On Fourier series of Jacobi-Sobolev orthogonal polynomials. J. Ineq. Appl.2002. V.7 (5), p.673-699.
23. Marcellan F., Osilenker B., Rocha I.A. On Fourier series of a discrete Jacobi-Sobolev inner product. J. Approx. Theory.2002. V.117, p.1-22.
24. Osilenker B.P. Fourier Series in Orthogonal Polynomials. Singapore : World Scientific. 1999, 287 p.
25. Osilenker B.P. Generalized trace formula and asymptotics of the averaged Turan determinant for polynomials with a discrete Sobolev inner product. J. Approx. Theory, 2006, V.141, p.70 - 97.
26. Rocha I., Marcellan F., Salto L. Relative asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials with a discrete Sobolev inner product. J. Approx. Theory.2003.V.121, p.336-356.
Literature
1. Atkinson F. Nepreryuvnyue i diskretnyue granichnyue zadachi. M.: Mir, 1968.
2. Badkov V.M. Ozenki funkzii Lebega i ostatka ryada Fur'e-Yakobi / Sib. mat. yournal. 1968. T.9. №8, s. 1263-1283.
3. Bazov I.A., Zadorojnii A.I. Ryadyu Fur'e po sisteme sobstvennyuh funkzii zadachi o kolebaniyah nagrujennogo sterjnya / III Mezhdunarodnyi Simpozium «Ryady Fure i ih prilozheniya». Tezisy dokladov. Rostov-na-Donu. 2005, c. 9-10.
4. Bazov I.A., Zadorojnii A.I. Sobstvennyue poperechnyue kolebaniya nagrujennoj vyazkouprugoj konsoli / IV Mezhdunarodnyi Simpozium «Ryady Fure i ih prilozheniya». Tezisy dokladov. Rostov-na-Donu, 2006.
5. Kurant R., Gilbert D. Metodyu matematicheskoj fiziki. T.1. Т.1. M.: Fizmatlit, 1951.
6. Marchelan F., Osilenker B.P. Ozenki polinomov, orthogonal'nyuh po otnosheniu k skalyarnomu proizvedeniyu Lejandra-Soboleva // Mat. Zametki. 1997, № 6, s.871-880.
7. Tihonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoj fiziki. M.: Fizmatlit, 2004.
8. Sege G. Ortonal nyue mnogochlenyu. M.: GIFML, 1962.
9. Suetin P.K. Klassicheskie orthogonal'nyue mnogochlenyu. M.: Fizmatlit, 2004.
10. Sharapudinov I.I. Smeshannyue ryadyu po orthogonal'nyum polinomam. Mahachkala, 2004.
Ключевые слова: Ортогональные многочлены, ортонормированный, нестандартное скалярное произведение, ряд Фурье, пространство Соболева, симметричные полиномы Соболева, методы Чезаро, непрерывная функция, суммируемость ряда
Key words: Orthogonal polynomials, orthonormal, nonstandard inner product, Fourier series, Sobolev spaces, symmetric Sobolev polynomials, Cesaro methods, continuous function, summability of series
129337, Москва, Ярославское ш., МГСУ, тел.(499)183-30-38, e-mail: [email protected]
Рецензент: А.И. Рубинштейн, д.ф.-м.н., проф., МГУЛ
