CC BY
36
УДК 517.958
РЕЖИМ СКАТЫВАНИЯ В МОДЕЛИ ХИГГСА С ТРЕНИЕМ
Е. В. Писковский
Московский физико-технический институт (государственный университет),
Россия, 141700, Долгопрудный, Институтский пер., 9.
E-mail: evgeny. piskovsky@gmail. com
Рассматривается модель Хиггса с трением. Для построения приближенного решения применяется гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. Полученное приближенное аналитическое решение сравнивается с численным решением.
Ключевые слова: режим скатывания, модель Хиггса с трением, гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова.
Для уравнения Хиггса в теории поля [1], уравнения Фридмана в космологии [2,3] и ряда других задач нелинейной динамики интерес представляет не только режим малых колебаний, но и режим скатывания [4,5].
В работах [6, 7] предложен метод решения уравнения Хиггса, являющийся гиперболическим аналогом метода усреднения Крылова—Боголюбова. Метод был применен к исследованию режима скатывания в модели ангармонического осциллятора с мнимой частотой (уравнения Хиггса):
q(t) — /J.2q(t) = —eq3(t) € R, ц> 0, е > 0. (1)
С использованием известного разложения точного решения уравнения (1) в терминах гиперболических функций [8], была доказана теорема об оценке погрешности приближения точного решения решением, полученным с помощью гиперболического аналога метода усреднения Крылова—Боголюбова (см. [7]).
В настоящей статье рассмотрено применение гиперболического аналога метода усреднения Боголюбова—Крылова к решению уравнения Хиггса с трением [4]:
q(t) + 2ehq(t) — /J.2q(t) = —eq3(t) € M, h > 0, /л > 0, е > 0 (2)
с начальными данными q(0) = 0, q(0) = const.
1. Гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова.
В рамках рассматриваемого метода решение уравнения Хиггса с трением (2) представляется в виде
q = asinh^) + еи(а, tp), (3)
где амплитуда а удовлетворяет уравнению а = еА\ -j-e2A2 +..., а мгновенная частота ф даётся уравнением ф = ц-\-еВКоэффициенты А\, В\ и функция и задают первое приближение к решению уравнения согласно методу:
ди
q = еА\ sinh(-0) + а{ц + еВi) cosh^) + (4)
Евгений Викторович Писковский, аспирант, факультет управления и прикладной мате-
матики.
д^и
q = 2eAi/j,cosh(tp) + а(а2 + 2цеВ{) sinhf^) + e/j2——^. (5)
01рг
Из уравнений (2), (4), (5) получены выражения для амплитуды и первой поправки к мгновенной частоте:
3 а = aoe~£ht, ао = const, В\ = —ale~2eht. 8/л
Константа ао определяется из начальных условий. Далее, принимая во внимание начальное условие q(0) = 0, запишем
Первая поправка и имеет следующий вид:
а3
4 = “3Vsinh(3V;)-Решение уравнения (2) с точностью до е даётся выражением
/ ^(1 ^ \
q(t) = aoe~£ht sinhf fit----o/e-2e/it _ -m_
V 16 /ш /
(6)
Замечание. Рассмотрим уравнение
х + 2ehx + ш2х + ех3 = 0, x(t) € М, со > 0, е > 0
с начальными условиями ж(0) = 0, х(0) ф 0. Решение такого уравнения даётся выражением [9,10]:
2
x(t) = ae~£ht sin(wt H---^_^(Q-2eht _ ^
V 16 OJn /
В [6, 7] отмечено, что представленное решение (6) формально может быть получено из разложения метода усреднения (7) заменами ш —> гц и а —> —гао.
2. Численное решение. Сравнение с полученным приближением. Оценка погрешности приближения точного решения уравнения (2) первым приближением (6) в данной работе не представлена. Чтобы получить представление
о погрешности приближения решения уравнения (2), в настоящем разделе сравниваются численное решение уравнения (2), приближенное решение, полученное в виде (3), и решение уравнения, полученное линеаризацией уравнения (2):
q + 2ehq — /j,2q = 0, q(0) = 0, q(0) ф 0. (8)
Решение последнего уравнения даётся выражением
<?(£) = С\ 8шЬ(д//х2 + е21гЧ)е~£Ы.
Чтобы получить численное решение, были взяты следующие значения коэффициентов уравнения (2): е = 0,25, к = 0,1, ц, = 3,0 и заданы начальные условия д(0) = 0, д(0) = 5,6, Т = 27г//х & 2,0944.
На рис. 1 представлены графики численного решения уравнения (2), первого приближения, полученного выше. Заметим, что решение линеаризованного уравнения (8) существенно отличается от численного решения уравнения (2) уже при £ = 0,ЗТ ~ 0,6283, а первое приближение (6) с хорошей точностью совпадает с численным до £ = 0,6Т ~ 1,2566.
На рис. 2 представлены фрагменты фазовых кривых, полученных на основе численного решения (линия 1), приближённого решения уравнения (2) (линия 2), решения линеаризованного уравнения (8) (линия 3). Параметр £ изменяется в тех же пределах, что и на рис. 1. Видно, что существенное отклонение решения линеаризованного уравнения (8) от приближенного и численного решений уравнения (2) не позволяет использовать решение линеаризованного уравнения (8) в качестве приближения решения уравнения Хиггса с трением, а первое приближение обеспечивает хорошее приближение как обобщённой координаты, так и обобщённой скорости частицы, £ ^ 0,6Т.
Рис. 1. Решения уравнения (2), полученные Рис. 2. Фрагмент фазовой кривой, за-
численно (линия 1), аналитически (линия 2), данной параметрическими уравнениями
и точное решение уравнения (8) (линия 3) х = У = 'КО- линия 1 — численное
решение системы, соответствующей (2); линия 2 иллюстрирует аналитическое решение; линия 3 иллюстрирует поведение системы, соответствующей (8)
Автор благодарен И. Я. Арефьевой и И. В. Воловичу за постановку задачи и руководство в написании настоящей работы. Работа частично поддержана РФФИ (грант 11-01-00828-а) и Программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2928.2012.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рубаков В. А., Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999. 335 с.
[V. A. Rubakov, Classical gauge fields. Moscow: URSS. 335 pp.]
2. V. Mukhanov, Physical foundations of cosmology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. xix+421 pp.
3. Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков, Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва. М.: УРСС, 2008. 552 с.; англ. пер.: D. S. Gorbunov, V. A. Rubakov, Introduction to the Theory of the Early Universe. Hot Big Bang Theory. Singapore: World Scientific, 2011. 504 pp.
4. I. Ya. Aref’eva, I. V. Volovich, “Cosmological daemon”// JHEP, 2011. Vol. 2011, no. 08, 102, arXiv: 1103.0273 [hep-th].
5. I. Ya. Aref’eva, N. V. Bulatov, R. V. Gorbachev, FRW cosmology with non-positively defined Higgs potentials: E-print, 2011. 40 pp., arXiv: 1112.5951 [hep-th]
6. И. Я. Арефьева, И. В. Воловин, “Асимптотическое разложение решений в одной задаче о скатывании” / В сб.: Математическая теория управления и дифференциальные уравнения: Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко / Тр. МИАН, Т. 277. М.: МАИК, 2012. С. 7-21; англ. пер.: I. Ya,. Aref’eva, I. V. Volovich, “Asymptotic expansion of solutions in a rolling problem” // Proc. Steklov Inst. Math., 2012. Vol. 277. Pp. 1-15.
7. И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Е. В. Писковский, “Скатывание в модели Хиггса и эллиптические функции”// ТМФ, 2012. Т. 172, №1. С. 138-154; англ. пер.: I. Ya. Aref’eva, I. V. Volovich, E. V. Piskovskiy, “Rolling in the Higgs model and elliptic functions” // Theoret. and Math. Ph/ys., 2012. Vol. 172, no. 1. Pp. 1001-1016, arXiv: 1202.4395 [hep-th].
8. А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим функциям. М., JL: АН СССР, 1941. 235 с. [А М. Zhuravskii, Handbook of Elliptic Functions. Moscow, Leningrad: AN SSSR, 1941. 235 pp.]
9. H. М. Крылов, H. H. Боголюбов, Введение в нелинейную механику. Киев: АН УССР, 1937. 353 с. [N. М. Krylov, N. N. Bogolyubov, Introduction to non-linear mechanics. Kiev: AN USSR, 1937. 353 pp.]
10. H. H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с. [N. N. Bogolyubov, Ju. A. Mitropol’skiy, Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations. Moscow: Nauka, 1974. 503 pp.]
Поступила в редакцию 24/1/2013; в окончательном варианте — 26/III/2013.
MSC: 83С25; 37С10
ROLLING REGIME IN THE HIGGS MODEL WITH FRICTION
E. V. Piskoskiy
Moscow Institute of Physics and Technology (State University),
9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, 141700, Russia.
E-mail: evgeny. piskovsky@gmail. com
The Higgs model with friction is considered. The hyperbolic analog of the Krylov-Bogoliubov averaging method is used to obtain an approximate solution. The obtained solution is compared to a numerical solution of the considered equation.
Key words: rolling regime, the Higs model with friction, hyperbolic analog of the Krylov-Bogoliubov averaging method.
Original article submitted 24/1/2013; revision submitted 26/111/2013.
Evgeny V. Piskovskiy, Postgraduate Student, Faculty of Control and Applied Mathematics.
