CC BY
43
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (22). С. 42—46
УДК 517.95
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА НЕГЛОБАЛЬНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
О. В. Грошев
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 119991, Москва, ул. Губкина, 8.
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача Коши для волнового уравнения на двух типах неглобально гиперболических многообразий: плоскости Минковского с присоединенной ручкой и пространстве Мизнера. Доказано, что на плоскости с ручкой существование и единственность классического решения равносильны конечному набору точечных условий на начальные данные. На пространстве Мизнера существование и единственность классического решения эквивалентны гораздо более ограничивающим условиям на начальные данные.
Ключевые слова: волновое уравнение, задача Коши, неглобально гиперболические многообразия.
Введение. Теория (не)глобально гиперболических многообразий имеет два источника. Во-первых, это работы Петровского и Лерэ по теории гиперболических уравнений [1,2], в которых было доказано, что задача Коши для волнового уравнения
всегда разрешима для некоторого специального типа многообразий, названных глобально гиперболическими. Во-вторых, в Общей теории относительности возникли многообразия с нарушением причинной структуры, которые не являются глобально гиперболическими. Таковы, например, пространство анти-де Ситтера, Гёделя и Готта, машина времени Дойча—Полицера и многие другие [3-5].
Глобально гиперболическим многообразием называется ориентируемое по времени лоренцево многообразие (М, д), которое не имеет замкнутых време-ниподобных кривых, и множество времениподобных путей между любыми двумя точками которого компактно. С физической точки зрения наличие замкнутых времениподобных кривых означает нарушение причинности и соответствует возможности перемещения во времени. Берналь и Санчес доказали [6], что все глобально гиперболические многообразия диффеоморфны М1 х £, где £ — поверхность Коши.
Задача Коши для волнового уравнения на неглобально гиперболических многообразиях рассматривалась в [7-10]. В частности, в последней работе доказаны существование и единственность классического решения уравнения Клейна—Гордона на факторе пространства анти-де Ситтера, а также на кротовых норах специального класса.
Настоящая работа является продолжением работы [11], выполненной вместе с соавторами, а так же [12]. Было доказано, что на плоскости Минковско-
Олег Викторинович Грошев, аспирант, отд. математической физики.
го с присоединенной ручкой (модифицированная машина Дойча—Полицера) классическое решение существует и единственно при выполнении конечного набора точечных условий самосогласованности; кроме того, в работе [11] были приведены примеры, когда полученное решение путешествует во времени, а также затронут вопрос существования обобщённых решений. Результаты для пространства Мизнера существенно отличаются от результатов для плоскости с ручкой. Доказано, что существование классического решения на нем эквивалентно таким условиям на начальные данные, которые в точности запрещают путешествия во времени. Данная работа мотивирована изучением возможности создания кротовых нор и неглобально гиперболических регионов при столкновении частиц на высоких энергиях [13].
1. Результаты для плоскости с ручкой. Приведём основные результаты, полученные для плоскости с ручкой. Для начала опишем конструкцию плоскости с ручкой.
На полуплоскости М+ = {(х, ¿) е М2 | £ > 0} рассмотрим два вертикальных интервала £1 и £2 длины I > 0:
£ = {(х, ¿) е М+ | х = xi, к < £ < и + £}. (1)
Предположим, что
0 <Х2 - Х1 <¿2 - ¿1 + £, (2)
таким образом, вектор I = (х2 — х1, ¿2 — ¿1), переводящий £ в £2, времениподобен.
Склеим стороны отрезков, как показано на рис. 1, а именно склеим «внутренние» стороны разрезов друг с другом; аналогично склеим «внешние» стороны разрезов друг с другом. Получившееся многообразие имеет две особые точки — концы отрезков.
Любое гладкое поле, заданное на рассматриваемом многообразии, будет удовлетворять определённым условиям склейки на разрезах и £2. Обратно, если поле дифференцируемо в области О = М+ \ и £2 и удовлетворяет этим условиям склейки, то оно гладко на рассматриваемом многообразии.
Рассмотрим волновое уравнение на этом многообразии
«« — ихх = 0 в О (3)
с начальными условиями
«|4=о = их 14=0 = Ф, (4)
где ^ е С2(М), ф е С 1(М). Наложим следующие условия склейки:
и(Х±) = + /) их(Х±) = их(Хт + /), (5)
Рис. 1. Плоскость Минковского с двумя разрезами, склеенными определённым образом. Идентификация точек «внешних» и «внутренних» сторон разрезов указана линиями со стрелками
где X = (x, t) € Si, а u(X±) = lim u(x, t); предполагается, что указанные пределы справа и слева существуют.
Определение 1.1. Классическим решением задачи (3)-(5) называется функция u € C2(Q) П C 1(Q U {t = 0}), удовлетворяющая условиям (3)-(5) в предположении, что указанные в (5) пределы справа и слева существуют.
Обозначим c = xi — ti, di = xi + ti, где i может быть 1 или 2. Будем обозначать через Ф следующий (упорядоченный) набор функций:
$(x) = ^(i)(x), i = 0, 1, 2; У ^(s)ds; ^(j)(x), j = 0, . Обозначим через Ф следующий вектор:
Ф= (Ф(С1 — £), Ф(С2 — £), Ф(С1), Ф(С2), Ф(dl + £), Ф(d2 + £), Ф(dl), Ф(d2) ).
Теорема 1.1. Для существования классического решения задачи (3)-(5) необходимо и достаточно выполнение десяти линейно независимых условий, которые кратко можно записать как ЬФ = 0, где L — некоторая специальная матрица ранга 10.
2. Результаты для пространства Мизнера. Пространство Мизнера — плоское двумерное пространство-время, являющееся фактором R1'1 /(B) пространства Минковского по свободной группе, порожденной бустом B. В системе координат (£, п), где £ = —(x +1), n = x — t, буст B даётся следующим образом:
В:({, П) ^ (В{, В п), В е М+.
Он сохраняет Лоренцеву метрику = = — ^{^п. В качестве фундаментальной области действия В можно взять полосу {{о < { < В{0}. Само пространство Мизнера (см. рис. 2) получится, если у фундаментальной области отождествить границы с помощью
({о, п) ~ (В{о, В-1п).
На получившемся многообразии существует единственная замкнутая нулевая геодезическая п = 0. Она делит пространство на два региона: «прошлое» и «будущее». В прошлом существуют глобальные поверхности Коши и не существует замкнутых времени подобных кривых; тогда как в будущем через каждую точку проходит замкнутая времениподобная кривая. Волновое уравнение Пи = 0 в координатах ({, п) имеет вид:
Рис. 2. Пространство Мизнера получается после отождествления границ фундаментальной области (на рисунке белая). После отождествления отрезки, отмеченные на фундаментальной области, превращаются в окружности
u?n = 0 в в = {£о < £ < B£o, t > 0}.
(6)
Начальные данные задаются на поверхности Коши, которая лежит в прошлом, и поэтому является пространственно-подобной. В качестве такой поверхности можно взять £ = {t = 0}. Итак, задача Коши состоит в задании u и Vu на £:
u|t=o = Ф, Vu|t=o = ф. (7)
Кроме того, необходимо задать условия склейки u на границах фундаментальной области. Они задаются следующим образом:
u(£o, п) = u(B£o, B-1n), Vu({o, п) = BVu(B£o, B-1n). (8)
Определение 2.1. Классическим решением задачи (6)-(8) называется функция u G C2(в) П C ^в), удовлетворяющая условиям (6)-(8).
Теорема 2.1. Для существования классического решения задачи (6)-(8) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Ф(&) = Ф(Я6)), Ф(Ы = £ф№), Ф' = ф.
При этом классическое решение единственно и имеет вид волны, идущей влево u(£, п) = Ф(С).
Замечание 2.1.Качественно решение такого вида сильно отличаются от решений из п. 1. А именно, такие решения не путешествуют во времени, поскольку имеют только левую моду, которая не идет вдоль замкнутых време-ниподобных кривых.
Автор выражает благодарность И. В. Воловичу и участникам семинара НОЦ МИАН за полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке программы «Ведущие научные школы» (проекты НШ-7675.2010.1, НШ-8784.2010.1) и РФФИ (проект 09-01-12161-офи-м).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Petrowsky I. G. Uber das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen Differentialglei-chungen// Mat. Sb., 1937. Vol. 2(44), no. 5. Pp. 815-870.
2. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 208 с. [Lere Zh. Hyperbolic differential equations. Moscow: Nauka, 1984. 208 pp.]
3. Hawking S. W, Ellis G. F. R. The large scale structure of space-time / Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Vol. 1. London - New York: Cambridge University Press, 1973. 391 pp.; русск. пер.: Хокинг C., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977. 432 с.
4. Politzer H. D. Path integrals, density matrices, and information flow with closed timelike curves// Phys. Rev. D, 1994. Vol.49, no. 8. Pp. 3981-3989, arXiv: gr-qc/9310027.
5. Gott J. R. Closed timelike curves produced by pairs of moving cosmic strings: Exact solutions// Phys. Rev. Lett., 1991. Vol.66, no. 9. Pp. 1126-1129.
6. Bernal A., Sanchez A. Smoothness of time functions and the metric splitting of globally hyperbolic space-times// Comm.. Math. Phys., 2005. Vol.257, no. 1. Pp. 43-50.
7. Friedman J., Morris M. S., Novikov I. D., Echeverria F., Klinkhammer G., Thorne K. S., Yurtsever U. Cauchy problem in spacetimes with closed timelike curves // Phys. Rev. D, 1990. Vol.42, no. 6. Pp. 1915-1930.
8. Арефьева И. Я., Волович И. В., Ишиватари Т. Задача Коши на неглобально гиперболических многообразиях// ТМФ, 2008. Т. 157, №3. С. 334-344; англ. пер.: Aref'eva I. Ya., Ishiwatari T., Volovich I. V. Cauchy problem on non-globally hyperbolic space-times // Theoret. and Math. Phys., 2008. Vol.157, no. 3. Pp. 1646-1654, arXiv: 0903.0567 [hep-th].
9. Friedman J. L. The Cauchy problem on spacetimes that are not globally hyperbolic / In: The Einstein equations and the large scale behavior of gravitational fields, 50 Years of the Cauchy problem in general relativity; P. T. Chrusciel et al. New York: Birkhauser, 2004. Pp. 331-346, arXiv: gr-qc/0401004.
10. Friedman J. L., Morris M. S. Existence and uniqueness theorems for massless fields on a class of spacetimes with closed timelike curves// Comm.. Math. Phys., 1997. Vol. 186, no. 3. Pp. 495-530, arXiv: gr-qc/9411033.
11. Волович И. В., Грошев О. В., Гусев Н.А., Курьянович Э.А. О решениях волнового уравнения на неглобально гиперболическом многообразии / В сб.: Избранные вопросы математической физики и p-адического анализа: Сборник статей / Тр. МИАН, Т. 265. М.: МАИК, 2009. С. 273-287; англ. пер.: Volovich I. V., Groshev O. V., Gusev N. A., Kuryanovich E. A. On solutions to the wave equation on a non-globally hyperbolic manifold // Proc. Steklov Inst. Math., 2009. Vol. 265. Pp. 262-275, arXiv: 0903.0741 [hep-th].
12. Грошев О. В. О существовании и единственности классических решений задачи Коши на неглобально гиперболических многообразиях // ТМФ, 2010. Т. 164, №3. С. 441-446; англ. пер.: Groshev O. V. Existence and uniqueness of classical solutions of the Cauchy problem on nonglobally hyperbolic manifolds// Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol.164, no. 3. Pp. 1202-1207.
13. Aref'eva I. Ya., Volovich I. V. Time Machine at the LHC,// Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys., 2008. Vol.5, no. 4. Pp. 641-651, arXiv: 0710.2696 [hep-th].
Поступила в редакцию 21/XII/2010; в окончательном варианте — 17/II/2011.
MSC: 35L05
CAUCHY PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION ON NON-GLOBAL HYPERBOLIC MANIFOLDS
O. V. Groshev
Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russia.
E-mail: [email protected]
We consider Cauchy problem for wave equation on two types of non-global hyperbolic manifolds: Minkowski plane with an attached handle and Misner space. We prove that the classical solution on a plane with a handle exists and is unique if and only if a finite set of point-wise constraints on initial values is satisfied. On the Misner space the existence and uniqueness of a solution is equivalent to much stricter constraints for the initial data.
Key words: wave equation, Cauchy problem, non-globally hyperbolic manifolds.
Original article submitted 21/XII/2010; revision submitted 17/II/2011.
Oleg V. Groshev, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Physics.
