Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в вязкой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 38-43

Механика

УДК 539.3

Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в вязкой среде

В. В. Алексеева, В. И. Желтков

Аннотация. Исследование посвящено изучению процесса дифракции звука, распространяющегося в вязкой сжимаемой жидкости на поверхности упругого однородного деформируемого цилиндра. Получено аналитическое решение, позволяющее определить давление в вязкой среде в падающей и отраженной волнах.

Ключевые слова: Рассеяние упругих волн, волновое уравнение, гармоническая волна, уравнение Гельмгольца.

Пусть на бесконечно длинный упругий цилиндр радиусом г = а, который помещен в неограниченную вязкую среду, воздействует плоская гармоническая волна единичной амплитуды, фронт которой перпендикулярен оси ох цилиндра

Юг = егк1 хе-гшг = егк1Г с°8 в е-гшг, (1)

где г, в — цилиндрические координаты; и — круговая частота; £ — время.

В дальнейшем экспоненциальный множитель е-гш1 будем опускать. Задача определения дифракционной картины приводит к решению уравнений Гельмгольца

дю 1 д Ф 1 дю дФ

У Г = — +-------, Ув =-------— —

дг г дв г дв дг

и

д2Ф 1 дФ 1 д2Ф к 2,т( д2ф 1 дф 1 д2ф ^ 2 ,

дг2 + г дг + г дв2 + = 0 дг2 + г ~дт + г дв2 + к3 ф = 0

где = кт, кз = к[ и ю = Юг + Ю — скалярный потенциал продольных волн в жидкости, складывающийся из потенциала Юг продольных падающих волн и потенциала Юв продольных отраженных волн, Ф — скалярный потенциал поперечных (сдвиговых) волн в жидкости, ф и Ф — соответственно скалярные потенциалы продольных и поперечных волн в упругом цилиндре.

На поверхности цилиндра при г = а должны выполняться граничные условия

ргг = —агг, Уг = —гииг, (2)

рге = агв, Ув = —гии$,

где У,, Уд — нормальная и касательная скорости частиц жидкости; П,, Пд — нормальное и окружное смещения упругой среды; р,,, р,д — нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в жидкости; а,,, а,д — нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в цилиндре.

На бесконечности должны выполняться условия излучения для потенциалов отраженных волн

т{ж+Юз)г_ = 0(;) ■ = 0(;)- (3)

Решение задачи ищем в форме рядов. Для этого разложим функцию Юг, соответствующую падающей плоской волне, в ряд Фурье:

ГО

Юг = е1к1Г с°8д = ^2 Зп (к1т)егп. (4)

п=—го

Потенциал скорости отраженной волны представим в виде суперпозиции цилиндрических волн, исходящих из точек оси цилиндра:

ГО

^ = ]Т АпНП1} (Ьт) егпд. (5)

п=—го

Потенциал общего поля определяется суммой потенциалов падающих и отраженных волн

ГО

Ю = Юг + Юз = ^2 Зп (к\т) + АпНп1 (к\т)^ егпд. (6)

п=-ГО

Потенциал поперечных волн в жидкости

ГО

Ф= £ ВпН« (к2т)егпд. (7)

п=-ГО

Потенциалы продольных и поперечных (сдвиговых) волн в упругом цилиндре имеют вид

ГО

ф = ]Т СпН V (кзт) егпд, (8)

п=-ГО

ГО

*= ]Т °пН{п] кт) егпд. (9)

п=—ГО

Радиальные и окружные скорости частиц жидкости связаны с продольным и сдвиговым потенциалами соотношениями

Аю + к‘21ю = 0, ДФ + к2,Ф = 0,

где волновые числа

кіі = кі

\

і + к ^

її к2 ( ^0+2^0 V

1 + кЛ росо )

кч і — , кі =

V ^0 со

Тогда

V = £П=-п (кі (їа (кіт) + АпНП1 (кіт)} + Г БпнП) (к2т)) егпв, Ув = ТП=-п{Т (їп (кіт) + АпнП1) (кіт)) - к2БпНП1] (к2т)) егпв.

(10)

Перемещения упругого цилиндра связаны со скалярным потенциалом ф и единственной ненулевой компонентой Ф векторного потенциала соотношением

дф 1 дФ 1 дф д Ф

Тогда

^г дт + т дв ’ ив т дв дт '

иг = Еп=-^ к30пінпі) (кзт) + іПвпН{а) кт)^ егпв, ив = Т,п=-п( гПСНі) (кзт) - кАН^ (кАт)^ егпв.

(11)

Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений в вязкой жидкости определяются соотношениями

дф (1 дф 1 д ф 1 дФ 1 д2Ф \

Ргг ро д- т дт + т2 дв2 + т2 дв т дтдв ) ’

(1 д2ф 1 дф 1 дФ 1 д2Ф 1 дФ \

Ртв = 2^о I _ „ „п-------------2 "пТТ +-----о---+—2 '

т дтдв т2 дв т дт т2 дв2 2и0 ді )

Тогда

2 п..ок2 + 21. о їп (кіт) - 2/ло — їп (к-т) \ етв

п П т?\ кл ■ \

Ргг = 22 ( (г—Ро - Аок2 - 2^окі + 2^0 ~ї ] їп (кіт) - 2^о — їп (кіт) \ егпв +

п=-п ' ' ' '

+ Г (г—Ро-Аокі - 2^ок!+2^о нпі] (кі т)-2^о — Нпі (кіт)^ Апе%пв +

п=-п ' ' ' '

п ( . . ч

+ 2^о ^ \^Пк2Н(1') (к2т) - г-П Н(і (к2т)^ Бпегпв;

Ргв = 2цо ^2 \~~ікі')п (кіт) - (кіт) І егпв +

п=—п ' '

п ( . . ч

+ 2цо ^2 і^укіНпі) (кіт) - ^Н^ (кіт)) Апвгпв + (12)

п=—п ' '

+ 2^о £ (у Н^ (кіт) - т2НМ (к2т) + к2НР (к2тЛ Бпегпв.

п=—п ' '

Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений в упругом цилиндре определяются соотношениями

атт А + 2^к2, 1 дф 1 д2ф 1 д2Ф 1 дФ

2ц, 2ц 3 + т дв + т2 дв2 т дтдв + т2 дв ’

авв А к2 і 1 д2ф 1 дф 1 дФ 1 д2 Ф

2ц 2ц 3 + т2 дв2 + т дт + т2 дв т дтдв ’

атв 1 к2ф 1 дФ 1 д2Ф 1 дф 1 д2ф

2ц 2 4 + т дт + т2 дв2 т2 дв + т дтдв

Тогда

а„ = -2ц А +ццц к‘3Нпі (к3т) + у Іі{а) (к3т) - п Н11) (к3т)) Спегпв -

— п ' '

+ п ( , , \

- 2^Е ( ~к4Нп') (к4т) - %г2 НМ (к4т)) Ппегпв,

— п ' '

Ятв = 2ц £ (~222 Н(к4т) + у НМ (к4т) - ^ НМ (к4тЛ Ппегпв -

—п

+п

- 2ц

—п

Удовлетворяя граничным условиям на поверхности цилиндра (2), получим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных Ап, Бп, Сп) Оп:

акіАп + ак2Бп + ак3Сп + ак4Оп = Ьк, к = 1, 2, 3, 4, (14)

где

аіі = к^іНМ (кіа), аі2 = %иН,М (к2а), аі3 = %—ак3НМ (к3а), аі4 = -—пНМ (к4а), а2і = %пНМ (кіа), а22 = -к2аНМ (к2а), а23 = -шпНМ (к3а), а24 = -%шак4нМ (к4а), а3і = (%—роа2 + 2цоп2) Н М (кіа) - 2цокіаН^ (кіа),

ГП НМ (к3т) - ™к3НПР (к3тЛ Спегпв.

а32 = 2цо [%пк2аНМ (к^-гпН,1^) (к2а)) = 2цо%п [к2аНМ (к2а)-НМ (к2а)

а33 = 2ц (^~2ц~к3а2Н(к:іа) + к3аНпі (к:іа) - п2Нп11') (к:іа)^ , (15)

а34 = —2цт ук4аНП1') (к4а) — Н^ (к4а)) , а4\ = 2ц0 (п1к\аНМ (к\а)—тНМ (к\а)^ = 2ц0т (к\аНМ (к\а) — НМ (к\а)

( к2а2 ■ \

а42 = 2цо ( — Н^ (к2а) — п2Н^ (к2а) + к2аН,п-') (к2а)) ,

а43 = 2цт (ы^ (к3а) — к3аНМ (к3а)^ ,

( к2а2 \

а44 = —М ^2 Нп) (к4а) + к4аНМ (к4а) — п2НМ (к4 а)) ,

Ь\ = —к\аЗп (к\а), Ь2 = —тЗп (к\а),

Ь3 = (уШроа2 — 2ц0п2) Зп (к\а) + 2ц0к\аЗп (к\а),

Ь4 = 2ц,0т З п (к\а) — к\аЗп (к\а)) .

Решение системы (14) позволяет определить давление в вязкой среде как суперпозицию давлений в падающей волне рг ив отраженной волне рз:

р = Рг + Рз, (16)

где в соответствии с формулой

р = (шро — (Хо + 2цо) к2) Ю

и решениями (4) и (5)

ГО

Рг = ({шро — (Хо + 2цо) к2) £ Зп (к\т) егпд, (17)

>П 1

п=—п

п

р3 = (%—ро - (Аоо + 2цо) кі) £ АпН^ (кіт) егпв. (18)

п=—оо

Список литературы

1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова думка, 1978. 308 с.

2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распространения. Киев: Наукова думка, 1986. 536 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 228 с.

4. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.Н. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736 с.

6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

7. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. М.: Наука, 1964. 816 с.

Желтков Владимир Иванович ([email protected]), д. ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Алексеева Виктория Валериевна ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Solving the diffraction of elastic waves on the cylinder in a viscous medium

V. V. Alekseeva, V. I. Zheltkov

Abstract. The investigation is devoted to study the diffraction of sound propagating in a compressible viscous fluid on the surface of a homogeneous elastic deformable cylinder. Analytic solution which permits to find the pressure in a viscous medium in the incident and reflected waves is obtained.

Keywords: scattering of elastic waves, wave equation, harmonic wave, Helmholtz equation.

Zheltkov Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Alekseeva Victoria ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 25.03.2010