Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 110-116 Механика

УДК 539.3

Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде

В. В. Аверина, В. И. Желтков

Аннотация. Работа посвящена решению прикладной задачи о дифракции упругих волн, распространяющихся в вязкой сжимаемой жидкости на поверхности упругого деформируемого цилиндра с коаксиальным абсолютно жестким включением. Приведены соотношения для давления в вязкой среде как в падающей, так и в отраженных волнах. Получено аналитическое решение.

Ключевые слова: дифракция упругих волн, уравнение

Гельмгольца, волновое уравнение, коаксиальное включение, гармоническая волна, скалярный потенциал, векторный потенциал.

Пусть на бесконечно длинный упругий цилиндр радиусом г = а, который помещен в неограниченную вязкую среду, воздействует плоская гармоническая волна единичной амплитуды, фронт которой перпендикулярен оси ог цилиндра

щ = е1к1Хе-шЬ = гк1Г с°8 в е-шЬ, (1)

где г, в — цилиндрические координаты; и — круговая частота; Ь — время.

В дальнейшем экспоненциальный множитель в-гш* будем опускать. Предположим, что внутренняя полость цилиндра с радиусом г = Ь заполнена абсолютно жесткой и недеформируемой средой.

Задача определения дифракционной картины в данном случае приводит к решению уравнений Гельмгольца [1]

д2ф 1 дф 1 д2ф к 2 I

дг2 + г дг + Г дв2 + ф = 0

(2)

д2Ф 1 дФ 1 д2Ф 2 Ф = 0

дг2 + г ~дт + г2 дв2 + Ф = 0

где ф и Ф — соответственно скалярные потенциалы продольных и поперечных волн в упругом цилиндре; кз = к\, к4 = кт — волновые числа продольных и поперечных волн в материале цилиндра.

На поверхности цилиндра при т = а должны выполняться граничные условия:

Ртт = - &ттч Ртв @тв1 (3)

К = -шит, Ув = -шив. (3)

Здесь ит, Ив — радиальное и окружное смещения упругого цилиндра; ртт, ртв — радиальная и касательная компоненты тензора напряжений в жидкости; атт, атв — нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в цилиндре; Ут, Ув — радиальная и касательная составляющие скорости частиц жидкости, определяемые соотношениями

др 1 д Ф

Vr = — +---------------------,

дг г дв

V 1 дV дФ

в г дв дг ,

(4)

где ф = фг + ф8 — скалярный потенциал продольных волн в жидкости, складывающийся из потенциала фг продольных падающих волн и потенциала ф8 продольных отраженных волн; Ф — скалярный потенциал поперечных (сдвиговых) волн в жидкости.

Кроме того, необходимо удовлетворить условиям на внутренней т = Ь поверхности цилиндра:

ит = Ив = 0. (5)

Решение задачи ищем в форме рядов. Потенциал поля скоростей фг падающей волны представим в виде

ф. = ^С08в = ^ Зп (кгг)егпв, (6)

где Jn (x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n [3].

Скалярные потенциалы отраженных продольных ф3 и поперечных Ф волн в вязкой среде представим следующим образом:

V = £ АпИЩ) (к\г) en (7)

п=—оо

Ф= £ БпИП1) (к2т)егпв, (8)

п=-ж

где Нп (х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п [3]; кь к2 — волновые числа продольных и поперечных волн соответственно в вязкой жидкости.

п= — оо

и

Решения уравнений (2) для потенциалов продольных ф и поперечных Ф смещений в упругом цилиндре имеют вид

ф = Е СпН{п) (кзт) + ЕпНп1 (кзт)

п=—о L

Ф = Е ОпН() (к^т) + ЕпН!?2 (к^т)

г(2)

Лпв

Лпв

(9)

Так как

дф 1 д Ф

Ит = ~ТГ~ +-------------тттт'

И 1 дф д Ф в = тдв - ~дт’

дт т дв

то перемещения упругого цилиндра можно определить по формулам

т

(10)

Ит = Е

ив = Е

к3СпН(1) (кзт) + -ОпН^ (к4т) + + кзЕпН^ (кзт) + 'ПРпН® (к4т)

е

г в

-СпНР (кзт) - к^пН,^ (к4т) +

(11)

г в

+ -ЕпН(2) (кзт) - к4ЕпН® (к4т)

Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений будут определяться в соответствии с соотношениями [2]

2ц

X + 2Цк2, 1 дф 1 д2ф 1 д2Ф 1 д Ф

2ц 3 + т дв + т2 дв2 т дтдв + т2 дв 1

1 д2ф 1 дф 1 дФ 1 д2Ф

2ц

2ц

т2 дв2 т дт т2 дв т дтдв

(12)

Отв

2ц

1 д Ф

т дт + т2 дв2

1 д2Ф 1 дф 1 д2ф

О г-л л +

т2 дв т дтдв

откуда

2Ц ё (Х Н(1) (к3т) + У Н(1) (к3т) - П Н(1) (к3т)) Спегпв -

— со ' ^ '

2ц^ (г~Пк4Н(1) (к4т) - ПН(1) (к4тЛ Опегпв-

—о

2ц Е (~+цццк3Нп^ (кзт) + к-Н(2) (кзт) - П2НР (кзт)] Епегпв-

—о

+о / . . \

2ц^, ( ^Н® (к4т) - ™Н^ (к4т)) Гпегпв,

О

+о

п= —оо

п= —оо

п= — оо

Отв = 2ц ё (у Н(1 (к4т) + уН(1) (к4т) - ПН(1 (к4тЛ В,пегпв-

—о

+о / . . \

-2цТ. ( г5 Н(1] (кзт) - укзНР (кзт)) Спегпв -

—о

+ 0 / . . \

-2цТ. ( тпН(2) (кзт) - г-ПкзНк2) (кзт)) Е,пегпв+

—о

+2ц ё (МН™ (к4т) + тНР (к4т) - ^Н^ (к4т)\ Г,епв.

—о

Удовлетворяя граничным условиям на внешней (3) и внутренней (5) поверхностях цилиндра, получим систему уравнений для определения произвольных постоянных Ап, Бп, Сп, Вп, Еп, Еп:

ак1Ап + ак2Бп + акзСп + ак4Вп + ак5Еп + ак6Еп = Ьку к = 1 2у 3> 64

(13)

где

а11 = к1аН(^ (к1а), а12 = гпН^ (к2а),

а1з = гшакзН^ (кза), а14 = -шпН^ (к4а),

а21 = гпН(1) (к1а), а22 = -к^Н^ (к2а),

а2з = -шпН^ (кза), а24 = -гиак4Н<(1') (к4а),

аз1 = (гшроа2 + 2ц0п2) Н^ (к1а) - 2ц0к1аН(1') (к1а),

аз2 = 2ц0 (гпк^аН^ (к2а) - гпН^ (к2а)^ =

= 2ц0гп(к2аН(1') (к2а) - Н^1 (к2а)^ ,

азз = 2ц ^ Х +ц2ц к^Н^р (кза) + кзаН^ (кза) - п2Н(1) (кза)^ , (14)

аз4 = -2цгп (^к4аН(1 (к4а) - Н^ (к4а)^ , а41 = 2ц0 (т^аН^ (к1а) - тН^ (к1а)) =

= 2ц0п^к1аН(1') (к1а) - Н,(1') (к1а)^ ,

( к2а2 . \

а42 = 2цо ( -2- Н(1') (к2а) - п2Н(^ (к2а) + к2аН(1') (к2а)\ ,

а4з = 2цгп [и(г) (кза) - кзаН(1'> (кза) ^ ,

( к2а2

а44 = - ц 4 — Н1) (к4а) + к4аН(1 (к4а) - п2Н(1') (к4а)

Ь1 = -к1 аЗп (к1а), Ь2 = -гпЗп (к1а),

Ьз = {гшр0а2 - 2ц0п2) ,1п (к1а) + 2ц0к1аХп (к1а),

Ь4 = 2ц0пг ^п (к1а) - к1аЗп (к1а)) , а15 = гшакзН,(2 (кза), а16 = -шпН(2) (к4а), а25 = -ипН(2) (кза), а26 = -гиак4Н(2') (к4а),

к‘^а2Н(2Л) (кза) + кзаН(2 (кза) - п2Н(2 (кза)

азб = -2ц [гпк4аН(2^) (к4а) - гпН (2'> (к4а)^ =

= -2цгп (к^Н^ (к4а) - И.(2') (к4а)^ ,

а45 = цгп (Нп^ (кза) - к^аН^ (кза)^ ,

( к2а2

а46 = -ц{ 42 Нп) (к4а) + к4аНП2) (к4а) - п2Н(2') (к4а)

аы = а52 = аб1 = аб2 = Ь§ = Ьб = 0.

Решение системы (13) позволяет определить давление в вязкой среде как суперпозицию давлений в падающей волне р. ив отраженной волне рз:

р = рг + Рз, (15)

откуда в соответствии с формулой р = (гшр0 - (Хо + 2ц0) к2) ф и

решениями (7) и (8) окончательно получим

аз5 = 2ц

X + 2ц 2ц

те

Pi = (шро - (Xo + 2цо) kj) ё Jn (kir) evnB, (16)

п=-те

Ps = (шро - (\o + 2цо) kj) ё AnHn1 (kir) eine. (17)

п=-те

Список литературы

1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев:

Наукова думка, 1978. 308 с.

2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2.

Закономерности распространения. Киев: Наукова думка, 1986. 536 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука,

1977. 228 с.

Аверина Виктория Валериевна ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Желтков Владимир Иванович ([email protected]), д. ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Diffraction of elastic waves on the cylinder with a coaxial inclusion in a viscous medium

V. V. Averina, V. I. Zheltkov

Abstract. The investigation is devoted to study the diffraction of elastic waves propagating in a viscous fluid on the surface of an elastic deformable cylinder with a coaxial absolutely rigid inclusion. Describes the relation for the pressure in a viscous medium in the incident and reflected waves. The analytical solution is presented.

Keywords: diffraction of elastic waves, Helmholtz equation, wave equation, the inclusion of co-axial, harmonic wave, the scalar potential, vector potential.

Averina Victoria ([email protected]), post-graduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Zheltkov Vladimir ([email protected]), professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 25.02.2011