Решение задачи n для одного B-эллиптического уравнения методом функции Грина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №2(13)

УДК 517.946

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ N ДЛЯ ОДНОГО B -ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ ГРИНА

© Р.М.Сафина

В работе доказывается существование и единственность решения задачи N для одного Б -эллиптического уравнения методом функции Грина.

Пусть Е2++ - первый квадрант координатной плоскости Оху , О - конечная область в Е2++ , ограниченная спрямляемой жордановой кривой Г с концами в точках 40,1) и 5(1,0) и отрезками и Г = ОВ осей координат,

++ \ О.

Четное по х решение уравнения

Д Ви = 0,

Г 0 = OA

De = E 2

где Д B = Bx +

52 „ -к д ( к д

——, Bx = x k— I xk — ду dx ^ dx

(1)

- опера-

u

Дbu = 0, (x, у) є D;

= ф(%,п) , (<?,п)є Г;

= v(x), 0 < x < 1.

Г

ди

ду

(3)

(4)

(5)

у=0

Теорема 1. Внутренняя задача N не может иметь более одного решения.

тор Бесселя, к > 0 - постоянная в области О (ре) называется Б -гармонической функцией в этих областях.

Краевые задачи для уравнения (1) изучались в [1] методом потенциалов для области О с гладкой границей у . В работе [2] решена задача Дирихле для уравнения (1) в области О с границей у произвольной структуры методом Винера. В настоящей работе решается задача N для уравнения (1) в области р методом функции Грина.

Результаты настоящей работы могут найти приложение в теории краевых задач для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя и осесимметрических задач теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

1. Постановка задачи N и единственность ее решения

Внутренняя задача N . Найти четную по х функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) е С(р)п С1 (р и ОБ и ОА) п С2 (О); (2)

Доказательство. Пусть и1 (х,у) и и2 (х,у) -

два предполагаемых решения внутренней задачи N . Тогда их разность а>(х, у) = и1 (х, у) - и2 (х, у) четна по х, удовлетворяет условиям (2), (3) задачи N и однородным граничным условиям:

а\Г = ^ (6)

да

1Г = °- (7)

ду у=0

Значит, функция а(х, у) является Б -

гармонической в области р , непрерывной в замкнутой области О и один раз непрерывно дифференцируемой в О и ОБ и ОА .

В силу известного принципа экстремума для

B -гармонических функций max и

D

min и

D

дос-

тигаются на границе дО \ ОА области О, если она не постоянна. Пусть функция а(х, у) дости-

в точкеМ0(х0,0)е ОБ . То-

гает max а

D

mina

D

гда в силу граничного принципа экстремума д®^^} 0 | дю^^) ^

ду

ду

> 0

,что противоречит

граничному условию (7). Поэтому функция

a(x, у) может достигать max а и mina только

D D

на границе Г. В силу граничного условия (6)

max a =min ®=0. Таким образом, а = 0, и, сле-

D D

довательно, u1 (x, у) = и 2 (x, у). Теорема доказана.

Внешняя задача N. Найти четную по x функцию, удовлетворяющую условиям: и (x, у) є C (De )пі C1 (De ^ BB* ^ AA*) n

nC2 ( De),

где A*(0, да), B *(0, да);

ДbU = 0, (x, у) є De;

и = o(1) при r = ^x

lx2 + у2 ^ да:

(8)

(9)

(10)

ди

ду

= 0 , 0 < х < да ;

(11)

у=0

о|Г = 0 .

иГ = 8(%,п), (£,п) Г . (12)

Теорема 2. Внешняя задача N не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть и1 (х, у) и и2 (х, у) -два предполагаемых решения внешней задачи N . Тогда их разность о(х, у) = и1 (х, у) - и2 (х, у) четна по х, удовлетворяет условиям (8)-(11) задачи N и однородному граничному условию:

(13)

Рассмотрим четверть круга К~+ с центром в начале координат и радиуса Я такого, что О с К_+. Область К+ \ О ограничена кривой Г,

осями координат и четвертью окружности СЯ .

В силу условия (10) Ує> 0 ЗЯ0, что при

Я > Я0 : |®| <є на СЯ.

В силу граничного условия (11) о достигает тах о и тіп о на границе Г ^ СЯ .

О

О

2п Гк

Г 2 2

где Г = -у/ х + у .

тх0> у0 : х, у

£ (х у; x0, у0) = ТТ,;у0 к (х у) =

с Ъ

= к- J(х2 + х02 - 2хх0 008 р +

2п ■

(15)

к

-(у-ус)2) 2вшk-1рt/р,

где Ск =Г

к +1 2

' -¡пГ I' 2 |.

Также известно [4], что при х ^ х0 , у ^ у0

х0 тху к (x, у) = О(1п ГММ 0). (16)

С помощью фундаментального решения (15) образуем функцию

1

V(х, у) = -|)(,0; х, уУкЖ. (17)

0

Ясно, что функция V(х, у) является регулярным решением уравнения (3) в верхней полуплоскости у > 0, и нетрудно доказать, что

Ііт — = к(х).

у^0 ду

(18)

Решение задачи типа N ищем в виде и(х у ) = и (х у)+ V (x, у), где и (х, у) - решение задачи типа N с граничными условиями

и|Г = <КР)- АГ =^(р) +

ди

= 0

(19)

у=0

Так как |®| < є на Г ^ С_+, то в силу принципа экстремума Ю < є в К_+ \ О . Если устремлять є к нулю, тогда Я ^ да, получаем, что ю = 0 в Бг и, следовательно, и1 (х, у) и 2 (х, у). Теорема доказана.

2. Существование решения задачи N

Покажем, что можно ограничиться случаем, когда г(х) = 0 .

Известно [3] , что фундаментальное решение уравнения (3) с особенностью в начале координат имеет вид

к (х у )=:т—V, (14)

+\у(1 )£({,0,рУж =у>1 (р), д

0 ду

Итак, доказано, что в случае задачи типа N можно ограничиться случаем у(х) = 0 .

Рассмотрим задачу типа N в следующей постановке:

Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям

и (х, у )е С (О)п С1 (О и ОБ и ОА)п С 2 (О); (20) ДБи(х,у) = 0, (х,у)е О ; (21)

и|Г =Ч\ (Р), Р(<?,П)е Г ; (22)

ди = .

= 0. (23)

у=0

ду

Для получения фундаментального решения с особенностью в точке М0 (0, у0) применим к функции (14) оператор обобщенного сдвига

Рассмотрим потенциал двойного слоя:

Ж(х у) = | аГ(¿¡, п)дГ- п;x, у )к^Г (24)

г Пр

где Е (£, п; х, у) = е{£, п; х, у) + е{£, п; х,-у),

Р = р^п).

Из оценки (16) следует, что фундаментальное решение Е(%,п;х, у), умноженное на %к , имеет логарифмическую особенность. Поэтому потенциал двойного слоя (24) на границе Г ведет себя так же, как логарифмический потенциал двойного слоя, т.е. имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть Г - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда, если а е С (Г), то для потенциала двойного слоя (24) справедливы следующие предельные соотношения:

МАТЕМАТИКА

Ж, у 0 )=- 2 а(xo, у0 ) + жЧх0,у0) (25)

Же (xo, у0 ) = 1 а(xo, у0 ) + WXo_Г)), (26)

где Ж (х0, у0 ) и Же (х0, у0 ) означает предельные значения Ж (х, у) в точке (х0, у0 ) е Г при (х, у) (х0, у0 ) соответственно изнутри и из-

вне Г, Ж(х0, у0 ) - прямое значение потенциала Ж (х, у ) в точке М0 (х0; у0 ) е Г.

Решение задачи (20)-(23) ищем в виде

и(x, у) = |^ п)-д^е( п; х у)к^ . (27)

Г Пр

Ясно, что функция (27) удовлетворяет условиям (20), (21) и (23). Неизвестную плотность а(^,п) найдем из требования, чтобы функция (27) удовлетворяла граничному условию (22). Подставляя ее в это граничное условие, с учетом формулы скачка (25), получаем

- ^(х у) +|а(#,п)д^ Е (п; х у )£к^ =

2 Г дпр (28)

или

■ (x, у)- 21а (^, п) Е (, ■п; х у )%клг--

(29)

- 2а (x, у)+

+| а (#,п)'д^Е (п;x, у )%клГ = 0.

Г дпр

(32)

Рассмотрим теперь функцию и0 (х, у) в области Ое . Она в этой области удовлетворяет условиям (8)-( 11) внешней задачи типа N и однородному граничному условию и0 |г = 0 . В силу единственности решения внешней задачи типа N и0 (х, у) = 0 в Ое и, следовательно, на Г 1 — <

2 _д_ дп

.(х у)-

(33)

А

Г дпр

= -2p(x, у).

К этому интегральному уравнению применимы теоремы Фредгольма. Поэтому разрешимость задачи типа N будет доказана, если доказать, что однородное уравнение, соответствующее (29), имеет только нулевое решение. Докажем это.

Пусть а0 (х, у) - нулевое решение однородного интегрального уравнения

а( у) - 21<(£, Е( п; х у)кЛГ = 0. (30)

Г Пр

Рассмотрим функцию и0 вида

и0( у) = | <0 (£ п)д^ Е( п;x, уГ . (31)

Г р Функция (31) удовлетворяет условиям (20), (21), (23) и однородному граничному условию

и «IГ = »'

В силу единственности решения задачи типа N и0 (х, у) 0 в области О и, следовательно, на Г

+[ <0 (^п)—Е (п;x, у )к^Г = 0.

Г дпр

Вычитая (32) из (33), получаем, что а0 (х, у)= 0 . Это означает, что однородное интегральное уравнение (30) имеет только тривиальное решение. В силу теоремы Фредгольма интегральное уравнение (29) при любой непрерывной функции р(х, у) однозначно разрешимо и вместе с ним однозначно разрешима внутренняя задача типа N . Это приводит к следующей теореме.

Теорема 4. Если Г - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для кривой при (Р1 (х, у) е с (г ) разрешима внутренняя задача типа N, и ее решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя (27).

Определение. Функцией Грина задачи типа N для уравнения (21) называется функция О(х, у; х0, у0 ), удовлетворяющая условиям:

10) она является решением уравнения (21) всюду в области О , за исключением точки

^у0)еО;

20) удовлетворяет граничным условиям

G(x, у; xo, у 0 ) Г = ^ (34)

дО

ду

(35)

у=0

30) она может быть представлена в виде

О х у; у0 ) = Е (x, у; xo, у0 ) + +д (x, у; xo, у0),

(36)

где

Е (x, у; xo, у 0)=£(х у; xo, у 0) + £(х у; х0,-у 0),

е(х, у; х0,-у 0 ) - фундаментальное решение

уравнения (21) с особенностью в точке (х0,- у0 ), д(х, у; х0, у0 ) - регулярное решение уравнения (21) всюду в области О .

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части д(х, у; х0, у0 ), которая в силу (34) - (36) должна удовлетворять граничным условиям

q(x, у; xo, у0 )Г =-E(x, у; xo, у0 )Г,

(xo,у0)е О

дд{.

x y; xo, Уо

ду

= 0.

(38)

у=0

2\°i (n; х>, Уо )д^Е (п х у )%к^--

(40)

дп,

ем

q (x, у; xo, Уо ) =

= 2J Е (n; хо, Уо )-)~Е (п;х У )%кгіГ -

(37) +4j {R (,тЛ,п)Е(,т;хо,Уо)kdE

(42)

Будем искать функцию q(x, у; х0, у0) в виде потенциала двойного слоя:

q (x, у; х^ ус ) =

=<(п; xc, у« )‘дп~Е (п; х у )%клГ. (39)

Принимая во внимание (28) и граничное условие (37), получим интегральное уравнение для плотности <1 (,п; х«, у« ):

<1 (х у; ^ у«)-

д

х—Е (,п; х, у )кёГ

Р

С помощью известного [5] интегрального представления В -гармонической функции и второй формулы Грина для оператора Д В можно доказать, что решение задачи типа N (20)-(23) может быть представлено в виде

и (x, у)=- |рі (£, п)-П- п;x, у)аг,

г Пр

а задачи типа N (2)-(5) - в виде

1 _д_

ди

Л

(хУ) = -{^() {£(,о;#п)—1G(п;хУ)kdE

= 2Е(x,у;x«,у«).

Правая часть уравнения (40) есть непрерывная функция от (х, у) на Г, (х«, у« ) е О . Выше было доказано, что X = 2 не является характеристическим числом ядра д Е(,п; х, у), следо-

дпр

вательно, уравнение (40) разрешимо и его решение можно записать в виде

<1 ( у; xo, у« ) = 2Е (x, у; xo, у«) +,

+41 ^1 (£ п; х у)Е (£ п; ^ у« )%клГ (41)

Г

где ^1 (,п; х, у)

д

-^(Дх, У )

tkdt - J (р((п)-П-° (пх У

- резольвента ядра -Е (,п;x, У). Подставляя (41) в (39), получа-

1. Раджабов Н.Р. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера -Пуассона - Дарбу на плоскости // ДАН Тадж. ССР. 1974. Т.ХУ11. №8. С.7-10.

2. Мухлисов Ф.Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных эллиптических уравнений // Сиб.мат.журнал. 1990. Т.31. №5. С.79-91.

3. Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.3. №1. С.114-129.

4. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans of the Amer. Math.Soc. 1948. Vol.63. №2. P.342-354.

5. Мухлисов Ф.Г. Аналог неравенства Гарнака для B -гармонических функций // Успехи мат.наук. 1987. Т.4. №2 С.51-54.

)

THE SOLUTION OF N PROBLEM FOR ONE B-ELLIPTIC EQUATION USING THE GREEN FUNCTION METHOD

R.M.Safina

The given work proves the existence and uniqueness of the solution of N problem for one B -elliptic equation using the Green function method.