CC BY
9
УДК 004.94
Кривошапова Г.А. студент магистратуры 2 курса направление подготовки «Прикладная информатика»
Яркина А.А. студент магистратуры 2 курса направление подготовки «Прикладная информатика»
Иценко М.Ю. студент магистратуры 2 курса направление подготовки «Прикладная информатика» Белгородский государственный национальный исследовательский университет Россия, г. Белгород РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНВЕСТИРОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Аннотация:
В статье рассматриваются решение задачи инвестирования инновационных проектов. Для решения выбран метод динамического программирования. Поиск решения был проведен с помощью онлайн -калькулятора.
Ключевые слова: оптимальное распределение, динамическое программирование, стратегия
Krivoshapova G.A. Student of master course 2nd year of study Specialty "Applied informatics" Belgorod State National Research University
Russia, Belgorod Yarkina A.A. Student of master course 2nd year of study Specialty "Applied informatics" Belgorod State National Research University
Russia, Belgorod Itsenko M. Y. Student of master course 2nd year of study Specialty "Applied informatics" Belgorod State National Research University
Russia, Belgorod
SOLUTION OF PROBLEM OF INVESTMENTS IN INNOVATIVE PROJECTS WITH THE USE OF DYNAMIC PROGRAMMING
Annotation
The article describes the solution of problem of investment in innovative projects. For the solving the task, the dynamic programming method was used. The solution search was made with the use of online - calculator.
Keywords: optimal distribution, dynamic programming, strategy
Пусть имеются пять инвестиционных проектов, между которыми распределяется 300 тыс. ден. ед. Денежные средства распределяются суммами
кратными 50 тыс. ден. ед. Значения gi(х)(г""1,5) ожидаемой прибыли от реализации каждого из инвестиционных проектов в зависимости от выделенной суммы х приведены в таблице 1. Составить план распределения средств, максимизирующий общий прирост прибыли.
Для решения задачи был выбран онлайн-калькулятор «Задача оптимального распределения инвестиций» [1].
На рисунке 1 представлены исходные данные.
О О ® math.semestr.ru/dinam/dinam.php
исследование операций • динамическое программирование
JOIN ISACA-ALL THE BENEFITS OF TOMORROW, TODAY.
REMAINING MONTHS OF 2019 MEMBERSHIP FOR FREE
DEEP DISCOUNT ON A COBIT CREDENTIAL
ЕГЭ по математике
Yandex. Просвещение представляет бесплатные
Задача оптимального распределения инвестиций U h h U fs X,
18 22 25 20 16 50
43 51 50 44 39 100
57 60 61 64 55 150
СО 7S 78 82 76 200
97 100 98 110 92 250
115 120 109 119 99 300
| Далее Ц
Рисунок 1 - Исходные данные
Представим поэтапное решение задачи оптимального распределения инвестиций.
На каждом к-ом шаге оптимизируется инвестирование не всех проектов сразу, а только проекты с к-ого по 5-ый. При этом, будем считать, что в остальные проекты (с 1-ого по (к-1)-ое) тоже вкладываются некоторые средства, и потому на инвестирование проектов с к-ого по 5-ый остаются не все средства, а некоторая сумма ск<300 тыс.ден.ед. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на к-ом шаге назовем величину хк средств, вкладываемых в к-ый проект. В качестве функционального уравнения Беллмана &(ск) на к-ом шаге в этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можно получить по проектам с к-ого по 5-ый при условии, что на их инвестирование осталось ск средств.
I этап. Условная оптимизация.
1-ый шаг. к = 5.
Предположим, что все средства в количестве х5 = 300 отданы проекту №5. В этом случае, максимальный доход, как это видно из таблицы, составит Г5(и5) = 99, следовательно, F5(e5) = Г5(и5).
Таблица 1
е4 и5 е5 = е4 - и5 Й(и5) Б*5(е5) и5(е5)
50 0 50 0
50 0 16 16 50
100 0 100 0
50 50 16
100 0 39 39 100
150 0 150 0
50 100 16
100 50 39
150 0 55 55 150
200 0 200 0
50 150 16
100 100 39
150 50 55
200 0 76 76 200
250 0 250 0
50 200 16
100 150 39
150 100 55
200 50 76
250 0 92 92 250
300 0 300 0
50 250 16
100 200 39
150 150 55
200 100 76
250 50 92
300 0 99 99 300
2-ый шаг. к = 4.
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между проектами №4, 5. При этом рекуррентное соотношение
Беллмана имеет вид: F4(e4) = тах(х4 < е4)^4(и4) + F5(e4-u4)). Таблица 2
е3 и4 е4 = е3 - и4 £4(и4) Б*4(е3) Б3(и4,е3) Б*4(е4) и4(е4)
50 0 50 0 16 16
50 0 20 0 20 20 50
100 0 100 0 39 39
50 50 20 16 36
100 0 44 0 44 44 100
150 0 150 0 55 55
50 100 20 39 59
100 50 44 16 60
150 0 64 0 64 64 150
200 0 200 0 76 76
50 150 20 55 75
100 100 44 39 83 83 100
150 50 64 16 80
200 0 82 0 82
250 0 250 0 92 92
50 200 20 76 96
100 150 44 55 99
150 100 64 39 103
200 50 82 16 98
250 0 110 0 110 110 250
300 0 300 0 99 99
50 250 20 92 112
100 200 44 76 120
150 150 64 55 119
200 100 82 39 121
250 50 110 16 126 126 250
300 0 119 0 119
3-ый шаг. к = 3.
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между проектами №3, 4, 5. При этом рекуррентное соотношение
Беллмана имеет вид: F3(e3) = тах(х3 < е3)(В(и3) + F4(e3-u3)) Таблица 3
е2 и3 е3 = е2 - и3 Й(и3) Б*3(е2) Б2(и3,е2) Б*3(е3) и3(е3)
50 0 50 0 20 20
50 0 25 0 25 25 50
100 0 100 0 44 44
50 50 25 20 45
100 0 50 0 50 50 100
150 0 150 0 64 64
50 100 25 44 69
100 50 50 20 70 70 100
150 0 61 0 61
200 0 200 0 83 83
50 150 25 64 89
100 100 50 44 94 94 100
150 50 61 20 81
200 0 78 0 78
250 0 250 0 110 110
50 200 25 83 108
100 150 50 64 114 114 100
150 100 61 44 105
200 50 78 20 98
250 0 98 0 98
300 0 300 0 126 126
50 250 25 110 135 135 50
100 200 50 83 133
150 150 61 64 125
200 100 78 44 122
250 50 98 20 118
300 0 109 0 109
4-ый шаг. к = 2.
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между проектами №2, 3, 4, 5. При этом рекуррентное соотношение
Беллмана имеет вид: F2(e2) = тах(х2 < е2)(0(и2) + Б3(е2-и2)) Таблица 4
е1 и2 е2 = е1 - и2 Й(и2) Б*2(е1) Б1(и2,е1) Б*2(е2) и2(е2)
50 0 50 0 25 25 25 0
50 0 22 0 22
100 0 100 0 50 50
50 50 22 25 47
100 0 51 0 51 51 100
150 0 150 0 70 70
50 100 22 50 72
100 50 51 25 76 76 100
150 0 60 0 60
200 0 200 0 94 94
50 150 22 70 92
100 100 51 50 101 101 100
150 50 60 25 85
200 0 79 0 79
250 0 250 0 114 114
50 200 22 94 116
100 150 51 70 121 121 100
150 100 60 50 110
200 50 79 25 104
250 0 100 0 100
300 0 300 0 135 135
50 250 22 114 136
100 200 51 94 145 145 100
150 150 60 70 130
200 100 79 50 129
250 50 100 25 125
300 0 120 0 120
5-ый шаг. к = 1.
Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между проектами №1, 2, 3, 4, 5. При этом рекуррентное соотношение
Беллмана имеет вид: F1(e1) = тах(х1 < е1)(Щи1) + F2(e1-u1)) Таблица 5
е0 и1 е1 = е0 - и1 Щи1) Б*1(е0) Б0(и1,е0) Б*1(е1) и1(е1)
50 0 50 0 25 25 25 0
50 0 18 0 18
100 0 100 0 51 51 51 0
50 50 18 25 43
100 0 43 0 43
150 0 150 0 76 76 76 0
50 100 18 51 69
100 50 43 25 68
150 0 57 0 57
200 0 200 0 101 101 101 0
50 150 18 76 94
100 100 43 51 94
150 50 57 25 82
200 0 78 0 78
250 0 250 0 121 121 121 0
50 200 18 101 119
100 150 43 76 119
150 100 57 51 108
200 50 78 25 103
250 0 97 0 97
300 0 300 0 145 145 145 0
50 250 18 121 139
100 200 43 101 144
150 150 57 76 133
200 100 78 51 129
250 50 97 25 122
300 0 115 0 115
Рассмотрим построение таблиц и последовательность проведения расчетов.
Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 5-го шага столбцы 5
и 6 отсутствуют).
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7. Этап II. Безусловная оптимизация.
Из таблицы 5-го шага имеем F*1(e0 = 300) = 145. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств е0 = 300 равен 145
Из этой же таблицы получаем, что 1 -му проекту следует выделить и*1(е0 = 300) = 0
При этом остаток средств составит: е1 = е0 - и1 = 300 - 0 = 300
Из таблицы 4-го шага имеем F*2(e1 = 300) = 145. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств е1 = 300 равен 145
Из этой же таблицы получаем, что 2-му проекту следует выделить и*2(е1 = 300) = 100
При этом остаток средств составит: е2 = е1 - и2 = 300 - 100 = 200
Из таблицы 3-го шага имеем F*3(e2 = 200) = 94. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств е2 = 200 равен 94
Из этой же таблицы получаем, что 3 -му проекту следует выделить и*3(е2 = 200) = 100
При этом остаток средств составит: е3 = е2 - и3 = 200 - 100 = 100
Из таблицы 2-го шага имеем F*4(e3 = 100) = 44. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств е3 = 100 равен 44
Из этой же таблицы получаем, что 4-му проекту следует выделить и*4(е3 = 100) = 100
При этом остаток средств составит: е4 = е3 - и4 = 100 - 100 = 0 Последнему проекту достается 0
Итак, инвестиции в размере 300 необходимо распределить следующим образом:
1-му проекту выделить 0
2-му проекту выделить 100
3-му проекту выделить 100
4-му проекту выделить 100
5-му проекту выделить 0
Что обеспечит максимальный доход, равный 145
Использованные источники: 1. Онлайн-калькулятор / Уровень доступа
https://math.semestr.ru/dinam/dinam.php
