Решение задачи фильтрации в трещиноватом пласте с использованием модели Уоррена-Рута Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5+ 519.633

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТОМ ПЛАСТЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛИ УОРРЕНА-РУТА

© М. Я. Истрафилов*, Н. Н. Морозкин

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (34 7) 272 1 0 41.

*ЕтаИ: [email protected]

Работа посвящена анализу вычислительных затрат при расчете распределения давления в трещиноватом пласте. В качестве математической модели системы пласт-скважина выбрана модель Уоррена-Рута. Трещиноватый пласт схематизируется прямоугольными параллелепипедами (матрицей), разделенными прямоугольной сетью трещин. Рассматривается ради-ально-симметричный случай. Построены явная, явно-неявная и неявная разностные схемы и проведены численные эксперименты. Результаты экспериментов проверены на известных аналитических решениях для частных случаев. Выполнен сравнительный анализ вычислительных затрат при использовании вышеупомянутых разностных схем.

Ключевые слова: модель Уоррена-Рута, модель с двойной пористостью, распределение давления, разностная схема.

Введение

Трещиноватый пласт, в отличии от пласта, пустотное пространство которого представлено межзерновой пористостью, характеризуются низкими емкостными, но высокими фильтрационными свойствами. В модели Уоррена-Рута трещиноватый пласт схематизируется одинаковыми прямоугольными параллелепипедами (матрицей), разделенными прямоугольной сетью трещин [1]. Считается, что движение жидкости к скважине происходит по системе трещин, матрица же питает систему трещин. Модель обеспечивает детальное понимание механизма фильтрации в трещиноватом пласте.

Аналитическое решение системы уравнений модели Уоррена-Рута не может быть получено в общем случае. Существует аналитическое выражение, представляющее собой приближенное решение этой задачи для некоторых частных случаев [3]. В свете вышеперечисленного, представляет интерес ее численное решение. В работе представлен сравнительный анализ вычислительных затрат при решении уравнений модели Уоррена-Рута в ради-ально-симметричном случае с использованием различных разностных схем и вычислительных методов, в том числе использующих возможности параллельного программирования.

Постановка задачи

Рассматривается система уравнений:

\micilt + T(Pl-p2) = 0-

i ^ vr2

\т2С2- 2

(1)

где Ш1, т2 - пористость; Сг, С2 - сжимаемость флюида, Па-1; Р - давление, Па; / - время, с; £ - характерный коэффициент, пропорциональный удельной поверхности блока, м-2; Кг, К2 - проницаемость, м2; ^ -Па с; г - пространственная координата, м; Индекс 1 относится к блокам, 2 - к трещинам.

Начальные и граничные условия: Р-(г,0) = Р2(г,0) = Р0,ГЕ (ГСКВ,ГК0НТ);

дР2(г,Щ _ ц ч

дг

(2)

Гскв 2пК2Гскв

^1(Ткошт, 0 = ^2(Тконт, 0 = ^конт, ^ > 0,

q - дебит скважины, м3/с.

Задача. В условиях постоянства входящих в уравнения (1), (2) коэффициентов необходимо рассчитать распределение давления в блоках Рг и распределение давления в трещинах Р2.

Численные схемы решения

Преобразуем систему для удобства построения разностных схем:

-£+W1(P1-P2) = 0,

К2 1

(3)

БК1 1 БК1 1

где ш-, =--; =--; ш, = .

ц т1С1 ц т.2С2 ц т.2С2

Поставленная задача аппроксимировалась с помощью явной, явно-неявной и неявной разностных схем. Явная схема реализована в параллельном (технология СПЭА [2]) и непараллельном вариантах. Расчет явно-неявной р. с. (разностной схемы) производился методом прогонки. Для расчета по неявной схеме использовался метод матричной прогонки [4], где элементами трехдиагональной матрицы также являются матрицы (в данном случае размерности 2x2). Явная разностная схема имеет следующий

вид:

1 = -f Wi ■ (Р^ - ф) + Р^

¡„1,1+1 iffr+wo-U Р/ =T-Wl--I-

0,5h)-(p!,j-

i +

(4)

h =

{+T-w2-(piJ -pi^+pü; i = 1,2,...,Nh-2; j = 0,1,2,..., NT — 2

коит-гск

Nh~1

шаг по пространству; т

_ ' раб

- шаг

по времени; Траб - время работы скважины; N - количество шагов по пространству; N - количество шагов по времени.

и

2 ^2

h

N-T-1

т

Явно-неявная разностная схема работает следующим образом: одно из уравнений системы аппроксимируем с использованием явной р. с. Результат вычислительного эксперимента подставляется в качестве уже известной величины во второе уравнение, аппроксимированное по неявной схеме.

№

Г • ш, •

т • и/, • -

1 • (р{' - р.') + р{',

(П+0,5Н)(Р2

Г?*1) (г-,»^1-^*1)

(5)

1+т • • (р;^1 - Р.У + Ч + Р^>; 1 = 1,2,...,ИЛ-2; ] = 0,1,2,...,N,-2

Преимуществами такого подхода (для данной задачи) является более мягкое, чем в явной р. с., условие устойчивости и более высокая (по сравнению с методами расчета по неявной схеме) скорость расчета.

Неявная разностная схема имеет следующий

вид:

^•(Р^-Р^ + Р^,

1((п+05Л) • (р!*1,1+1-р!;1+1)

Л+(6)

-2; ] = 0,1,2,.

Перегруппировав слагаемые в уравнениях системы, получим систему линейных уравнений вида: А.р1-1,]+1 + в1Р1,}+1 + С1Р1+1,]+1 -й1 = 0, где

А, В, С, - матрицы размерности 2x2, - вектор. \р1а,}+1]

ра,] + 1 =

р а,] + 1 ' Г2

0 0

А, =

В1 =

С1 =

0

1+т

ШьТ( 1Л

w1

-ы.т 00

2

т

2Г№т 1 ++

( 1 \

А =

1Г2

I = 2, 3, ..., Ыт-3.

При 1 = 1, I = Ыт - 2 матрицы А, В, С, В, находятся с учетом граничных условий.

Экспериментальный анализ скорости вычислений

В качестве тестовых данных были выбраны следующие значения показателей:

Ро = Рконт = 2.5 106; Ш1 = 0.25; Ш2 = 0.6; Геке = 0.1; Гконт = 100; К = 6.910-14; К = 7.5910-14; ц = 0.71; Б = 100; С = 110-9; д = 1.7410-7. (7)

Время вычисления результата для каждого из методов решения зависит от количества интервалов, на которые были разбиты радиус контура питания и время работы скважины. Проанализируем скорости расчета рассматриваемых алгоритмов, используя различные комбинации разбиений по времени и пространству. Пока не будем касаться точности решения, т. к. на данном этапе скорость вычисления нас интересует лишь относительно количественных характеристик разбиения.

Проверим, насколько увеличивается время расчета при увеличении количества отрезков, разбивающих пространственную составляющую задачи. Для этого зафиксируем шаг по времени и время работы скважины, а затем произведем серию расчетов каждым из алгоритмов. На рие. 1 изображены зависимости времени расчета от количества шагов по пространству. Количество шагов по времени равно 100 тыс.

Видим, что наиболее производительным методом (с ростом числа шагов по пространству) оказался распараллеленный явный метод решения (рие. 1). Его относительная производительность будет только увеличиваться с ростом числа шагов по пространству. Время расчета методом, использующим неявную р. с., оказалось наибольшим. Заметим также, что зависимость времени расчета от числа шагов близка к линейной.

Теперь зафиксируем число шагов по пространству и проведем аналогичную серию расчетов, меняя уже число шагов по времени. Количество шагов по пространству взяли равным 104. Результаты представлены на рие. 2.

При разбиении пространства на достаточно большое число отрезков, наиболее быстрым способом вновь оказывается использование распараллеленного расчета по явной схеме. Наиболее медленным, как и в предыдущем случае, является метод расчета с применением неявной разностной схемы.

Анализ скорости расчета задачи при заданном времени работы скважины

Рассмотренные выше примеры дают представление о зависимости времени расчета лишь от количества отрезков, на которые разбивается область рассматриваемой задачи, но не от их величины. Величины отрезков выбираются исходя из требований к точности решения и условия устойчивости разностной схемы.

Рассмотрим результаты расчетов, при входных данных (7) для скважины, работающей в течение 10 мин. Они достаточно корректны при размерах шага по пространству И = 103 м и шага по времени т = 0.36 с. (см. рие. 3). Эти графики получены с использованием неявной разностной схемы. При использовании же явной разностной схемы, размер шага по времени т дополнительно ограничивается условием Куранта (8).

т<— (8)

Таким образом, объем вычислений для явной схемы значительно увеличивается. Чтобы рассчитать кривые падения давления на промежутке времени длиной 10 минут, понадобится производить расчет примерно на 2.15^ 106 временных отрезках при т = 2.8-10-4, тогда как число отрезков для неявной разностной схемы - меньше 2000. Зависимость времени расчета от времени работы скважины отображена на рие. 4.

,¡+1

р.

+

л

1,1+1

р

Л

Л

1 = 1,2

0

■е

и

2 ю

оа

^

« ä cä s т е

Я

р

е р

В

1000 100 ^ 10 1 0.1 0.01

0.001 ~1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—г~

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000

Количество шагов по пространству

-Явная р.с.

— — Явная р.с. (расчет с использованием СЦЭА) ----•Неявная р.с.

— • • Явно-неявная р.с.

Рис. 1. Время расчета в зависимости от количества шагов по пространству.

■е

и

2 ю оа

с

Л

т е

с

а р

10000 1000 100 10 1

0.1 0.01 0.001

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 Количество шагов по времени

е р

В

-Явная р.с.

— — Явная р.с. (расчет с использованием СЦЭА) ----•Неявная р.с.

— • • Явно-неявная р.с.

Рис. 2. Время расчета в зависимости от количества шагов по времени.

Также, можем убедиться, что время расчета по явно-неявной разностной схеме значительно меньше, чем при использовании других разностных схем (табл. 1).

Таблица 1

Параметры расчета и результаты, используемые для построения графиков явной, неявной и явно-неявной

Время расчета мс. Время ра-

Явная р.с. Неявная Явно-неявная боты сква-

(CUDA) р.с. р.с. жины, сек.

12876 2512 103 6

131639 26252 1112 60

642426 131159 5564 301

1280835 263963 11301 601

Выводы

В статье продемонстрированы методы численного решения модели Уоррена-Рута при помощи различных разностных схем и приведен сравнительный анализ производительности данных методов.

Линейный характер зависимости времени расчета от количества отрезков по пространству или времени позволяет делать достаточно точные предположения о продолжительности вычислений.

Производительность расчетов с применением явно-неявной разностной схемы значительно выше по сравнению с остальными описанными в статье методами. Основным недостатком методов, использующих данную разностную схему, является необходимость выбора такой сетки, чтобы выполнялся критерий устойчивости.

0

.........Аналитическое решение -И = 0.1 м. — • -И = 0.01 м. — — -И = 0.001 м.

Рис. 3. Кривые падения давления. Кривая, полученная в результате расчета с шагом по пространству И = 0.001 м., практически совпадает с кривой аналитического решения.

■е

и

2 <2 о СЗ

П Ь

и СЗ

н

о

8 а

о а m

10000 1 1000 100 10 1

0.1 0.01 0.001

/

/

/

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00

Время работы скважины (с)

500.00

600.00

■ Явная р.с. (расчет с использованием CUDA)

■Неявная р.с.

Явно-неявная

Рис. 4. Время расчета в зависимости от времени работы скважины. Время работы скважины: 10 мин.

Отметим, однако, что использование неявной разностной схемы позволяет выбрать произвольную сетку, в т. ч. неравномерную. В этом случае низкая производительность методов, использующих неявную разностную схему, может компенсироваться меньшим числом расчетов. Проведение подобного анализа на неравномерной сетке планируется в дальнейших работах.

ЛИТЕРАТУРА

Warren J. E., Root P. J. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Pet. Eng. J., 1963. Pp. 245-255. Боресков А. В., Харламов А. А. Основы работы с технологией CUDA. М.: ДМК Пресс, 2010.

Гольф-Рахт Т. Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов / под ред. А. Г. Ковалева. М.: Недра, 1986. С. 324.

Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб, пособие для вузов. М.: Наука,1989. С. 414.

Поступила в редакцию 03.03.2017 г.

ISSN 1998-4812

BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №1

19

SOLUTION OF THE FILTRATION PROBLEM IN THE FISSURED FORMATION USING WARREN-ROOT MODEL

© M. Y. Istrafilov*, N. N. Morozkin

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (34 7) 272 1 0 41.

*Email: [email protected]

The work is devoted to the analysis of computational costs when calculating the pressure distribution in a fissured formation. As a mathematical model of the formation-well system, the Warren-Root model was chosen. The fractured formation is schematized by rectangular parallelepipeds (a matrix) separated by a rectangular mesh of fissures. It is considered that the movement of fluid to the well occurs through a system of fissures, while the matrix feeds the system of fissures. The solution of equations system of the Warren-Root model does not exists in general case, so there is a necessity in numerical modelling. In this work, the authors consider only the radially symmetric case. While studying the model, the explicit, explicitly implicit, and implicit difference schemes are constructed and numerical experiments are performed. The results of the experiments are verified with known analytical solutions for particular cases. On the basis of the obtained results, the comparative analysis of computational costs is performed using the mentioned difference schemes. Graphs of the dependence of the numerical model calculation time on various parameters are presented. The advantages and disadvantages of the used difference schemes are indicated.

Keywords: Warren-Root model, double porosity model, pressure distribution, difference scheme.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Warren J. E., Root P. J. Soc. Pet. Eng. J., 1963. Pp. 245-255.

2. Boreskov A. V., Kharlamov A. A. Osnovy raboty s tekhnologiei CUDA [The basics of working with CUDA technology]. Moscow: DMK Press, 2010.

3. Gol'f-Rakht T. D. Osnovy neftepromyslovoi geologii i razrabotki treshchinovatykh kollektorov [The basics of petroleum geology and development of fractured reservoirs]. Ed. A. G. Kovaleva. Moscow: Nedra, 1986. Pp. 324.

4. Samarskii A. A., Gulin A. V. Chislennye metody: Ucheb, posobie dlya vuzov [Numerical methods: Textbook for universities]. Moscow: Nauka,1989. Pp. 414.

Received 03.03.2017.