CC BY
114
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ФЛЮИДОВ В ТРЕЩИНОВАТО-БЛОЧНОЙ СТРУКТУРЕ С УЧЕТОМ КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ1
Дмитрий Сергеевич Евстигнеев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО АН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, аспирант лаборатории силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (383)335-94-45, e-mail: [email protected]
Андрей Владимирович Савченко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат технических наук, научный сотрудник лаборатории силовых электромагнитных импульсных систем, тел. (383)217-01-26, e-mail: [email protected]
Приводится численное решение задачи одномерной стационарной фильтрации в рамках модели Маскета-Леверетта с учетом капиллярных сил. Аппроксимации уравнений Маскета-Леверетта, в переменных давление-насыщенность, решается в два этапа. На первом этапе решается гиперболическое уравнение для водонасыщенности, которое описывает движение вытесняющего флюида. При этом используется явная конечноразностная схема 4-го порядка точности. На втором этапе решается параболическое уравнение для водонасыщенности, описывающее действие капиллярных сил. Для его аппроксимации строится консервативная неявная разностная схема с итерацией по неоднородности. Предложенный подход известен как метод расщепления по физическим процессам. Аппроксимация эллиптического уравнения для давления реализуется неявной итерационной схемой.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация, модель Маскета-Леверетта, «концевой» эффект, итерации по нелинейности.
SOLUTION OF THE PROBLEM ON STATIONARY FILTRATION OF IMMISCIBLE FLUIDS IN A FISSURED BLOCKY STRUCTURE,
CONSIDERING CAPILLARY FORCES
Dmitry S. Evstigneev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Postgraduate Student, tel. (383)335-94-45, e-mail: [email protected]
Andrey V. Savchenko
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, PhD Eng, Laboratory for Power Electromagnetic Pulse Systems,
tel. (383)217-01-26, e-mail: [email protected]
The authors solve numerically the one-dimensional stationary filtration problem in the framework of the Masket-Leverett model, considering capillary forces. Equations in terms of
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований № 14-05-31395-мол_а.
pressure-saturation variables are approximated in two stages. The offered approach is known as the
method of splitting by physical processes. The elliptical equation for pressure is approximated by the implicit iteration scheme.
Key words: two-phase filtration, Masket-Leverett model, “end” effect, nonlinearity iteration.
В практике нефтедобычи сталкиваются с проблемой тампонирования водой эксплуатационных скважин под воздействием избыточного давления на нагнетающей галерее скважин. Тампонирование может быть вызвано проникновением в пласт фильтрата бурового раствора при проходке скважин, гидроразрывом пласта и др. Важным является момент, когда вытесняющая фаза - вода достигает частично затампонированной прискважинной зоны. С этого момента начинается интенсивное обводнение скважины. С целью увеличения нефтеотдачи используют различные технологии, например вибровоздействие на нефтяной продуктивный пласт. Вибровоздействие приводит к перестройке коллекторов, по которым движется флюид. При этом образуются нефтяные целики в трещиноватопористой структуре. В работе [6] нами предпринималась попытка рассмотреть идеализированный целик, обтекаемый вытесняющим флюидом. Данная задача рассматривалась в плоской постановке. Недостатком предложенной в [6] модели является пренебрежение капиллярными силами, которые формируют капиллярное замыкание нефти в целике, так называемый “концевой эффект”. Вибровоздействие приводит к ослаблению капиллярных сил и, как следствие, к новой постановке задачи нестационарной фильтрации, с измененными параметрами вязкостей и функцией капиллярного давления. В настоящей статье рассмотрим стационарное вытеснение нефти из целика водой под действием капиллярных сил, которые учтены в модели Маскета-Леверетта.
1. Постановка задачи. Рассмотрим модель двухфазной изотермической фильтрации несмешивающихся жидкостей [1]. Предположим, что фазы (воды, нефти, а также скелета - пор) несжимаемы, тогда уравнения баланса масс для каждой из фаз имеют вид:
Гmds/dt + div w, = О
\-mds/dt + divw2 = O’ ^ ^
где m - коэффициент пористости, s = sw - водонасыщенность, so -нефтенасыщенность ( sw + so=\ => so=\-sw =>
8so/dt = 6(1 -Sw)/dt = - dsw/dt ), m - вектор скорости фильтрации вытесняющей фазы, т.е. воды; W2 - вектор скорости фильтрации
вытесняемой фазы, т.е. нефти.
Для каждой из фаз считается справедливым обобщенный закон Дарси для скоростей:
Wi = -k-kwo s ///■ gradФ., Фг = p, + ptgH / = 1, 2 (2)
где к - абсолютная проницаемость пласта; rjj - коэффициенты динамической вязкости воды и нефти, которые считаем постоянными rft = consti; р, - давление в каждой из фаз ( / = 1 - вода, / = 2 - нефть); pigH -гидростатическое давление в каждой из фаз; kw s , ко s - фазовые относительные проницаемости для воды и нефти определим по модели Кори:
К S =kl[ S~SWc / S or ~ Swc J (3)
Л' = А:0 Г 1 — ^ —^ / 1 — ^ ^ (4)
О o |_ or / or wc J V /
где к” - относительная проницаемость по воде при остаточной
нефтенасыщенности, k 0 - относительная проницаемость по нефти при остаточной водонасыщенности, s - водонасыщенность, s - насыщенность связанной водой, sor - насыщенность остаточной нефтью, а, Р -экспоненциальные значения относительной нефте- или водопроницаемости (экспоненты Кори).
В теории фильтрации принято считать, что статическое равновесие в пористой среде, заполненной двумя различными несмешивающимися жидкостями, возможно благодаря наличию капиллярного скачка давления, величина которого определяется как функция от насыщенности вытесняющей фазы:
Pk(s) = Pi-Pi-
Pk (s) при заданных характеристиках пористой среды является экспериментально измеряемой функцией, так же как и функция Леверетта J (s), которая связана с капиллярным давлением соотношением:
Рк (s) = G cos е (s), (5)
а - коэффициент поверхностного натяжения; 0 - краевой угол смачивания; j (s) - универсальная функция пористой среды. Эксперименты показывают, что она одинакова для целых классов пористых сред со сходной структурой порового пространства [1].
Полученную систему (1-5) можно редуцировать к квазилинейной системе двух уравнений, одно из которых является уравнением эллиптического типа для давления, а другое - вырождающимся уравнением параболического типа для водонасыщенности. Следуя работе [2], выберем в
качестве искомых функций , 5 и рассмотрим случай одномерного
плоскопараллельного, осесимметричного движения. Такая постановка дает возможность не рассматривать влияние гравитационных сил, т.е. пренебречь в (2) гидростатическим давлением.
(Ну {кл (*) + к2(*))£т&(1 р2 + сНу к^)Р^)§гаси =0
< (6) mдs/дt + 6.{у kl(s)gmdp2 + (Ну кл(л)/^(л)ёгасЬ' =0
где к&) = к-к^ 5 / = 1, 2.
Система (6) замкнута относительно водонасыщенности и давления. Для ее решения необходимо задать:
Начальные условия:
¿ = 0: 5, = 5,0(д:) (водонасыщенность), р = р0(х) (поровое давление).
Граничные условия: х = 0 : 5 = 5° (0,?) , р = р°(0,0 водонасыщенность и давление на
нагнетательной стороне. Пологая, что через границу х = 0 в пласт закачивается вода, с объемным расходом О и нет потока нефти через эту границу, можно записать: к2(.^)Р'(.^)6.^ /дх = 0(|.
х = Ь\ Р = Рь(Ь), Рь <Р° (давление на эксплуатационной стороне блока). Пусть на границе х-Ь отбирается только нефть и нет потока вытесняющей фазы, тогда: ВД№)^/ах = -бо-
2. Аппроксимация задачи стационарной фильтрации. Для аппроксимации 1-мерной задачи стационарной фильтрации представим систему (6) в более удобном, безразмеренном виде:
где введены безразмерные давление р = р21р° , координата х = х/ь , время t = t■Q0/(m■L).
Начальные и граничные условия также приводятся к безразмерным величинам.
Аппроксимация первого уравнения в системе (7) имеет вид [2]:
д/дх (к^я) + к2(8))др/дх + д/дх ^(^^(^йу/Эх =0 дя/д1 + д/дх кЛ(*)др/дх + с/дх кл(*)1^(*)д*/дх = 0
(7)
И
л+1 Рм - Рг+1
1+* к
(ВД + ^О))
Давление на каждом временном слое п определялось следуя работе [3], где итерационным методом разрешается эллиптическое уравнение
-П +1
относительно давления р'"1. Порядок аппроксимации схемы по давлению о(к2). После того как будет найдено рп+х, с использованием 5й, переходим к аппроксимации 2-го уравнения системы (7).
Второе уравнение (7) является вырожденным на границах нагнетательной стороны и стока. Поэтому, если учитывать капиллярные силы, то реальный физический процесс изменения водонасыщенности можно представить состоящим из двух частей [2]: 1) перенос достигнутых значений водонасыщенности, 2) действие капиллярных сил. Для снятия различных противоречий, возникающих в ходе аппроксимации второго уравнения (7), прибегнем к формулировке метода расщепления по физическим процессам [4]. Приведем основную идею метода расщепления по физическим процессам.
Пусть известно распределение водонасыщенности на момент времени г. Переход на момент времени / + г будем осуществлять в два этапа. На первом этапе, используя яп в качестве начальных данных, определяем 5 как решение уравнения:
д,\/д! + д/дх кл (л) др/дх =0
(8)
На втором этапе полученное 5 используется в качестве начальных
данных при определении \ из уравнения:
дя/5? + о/дх кл (л)/^(5) дs/дх
0.
(9)
Уравнение (8) мы будем аппроксимировать методом конечных разностей, явная схема сквозного счета 4-го порядка точности по пространственной переменной [5, 6] о(/г4 + т), а уравнение (9) - методом конечных разностей, полностью неявной схемой:
5,й+1-5.й
и+1 _ и+1 и+1 _ и+1
„и+1 Лг+1 Лі _ „и+1 Л;-1
7,+1 , 7,-± ,
2 к 2 к
= 0.
(10)
1
где д”*1 = ■ ,
%+2 ап+х
1
п+1
а= —
2
1 1
+
1
п+1
,Г=^(ГЖ+1)
Разностное уравнение (10) нелинейно относительно .у"1. Линеаризацию (10) будем проводить методом простой итерации. Для этого вычислим д с
предыдущего, п -го шага. Далее, определим л"1 взяв дп+1 с предыдущей, у
-й итерации.
Граничные условия будем аппроксимировать по предложенному в [2] алгоритму. При х = 0 в узле і = 0 будем считать заданной водонасыщенность, а в точке / = 1 будем определять водонасыщенность со 2-м порядком аппроксимации:
Я 3
2
<35
\дхУі=0
к^) + к^)
\ п+\
/О
"”+1 ^3 к^)др/дх л
■ +
ск
/2=0
При х -1 имеет место вырождение как самого 2-го уравнения в (7), так и соответствующего граничного условия. Поэтому вместо аппроксимации 2го уравнения в (7) на добывающей стороне в узле / = N-1 проводят аппроксимацию в ближайшем узле / = N-1/2 , приняв во внимание аппроксимацию граничного условия в узле / = N-1 и отнеся его к узлу / = N-1/2:
Як
05
V 3х Л=лг-1
^(5)+ *2 (5)
-А
/лг-
и+1 _ и
длг-1 1 !
V
5 к^)8р/дх дх
\«+1
/г=ЛГ-і
2 /
Этот способ позволяет раскрыть неопределенность Ода, и тем самым корректно учесть так называемый "концевой" эффект, избежав при этом "градиентной катастрофы".
3. Тестирование схемы. Для тестирования полученной схемы зададим следующие параметры задачи [2]:
да = 0,375, к-3,06-10 м , 7^=9,28-10 Пз, 7^=1,15-10 Пз, сгсоъб = 0,8 кг I с
а=10 -бжз/с,
К(0 =
1, 0 < 5 < 0,2
✓ N ^
0,8-5
V 0,6 ,
0,
0,2 < 5 < 0,8 0,8 < 5 < 1
*о0) =
1, 0 < 5 < 0,2
✓ N ^
5-0,2
V 0,8 ,
0,2 < 5 < 0,8 0, 0,8 < 5 < 1
ЗД =
\
й^-£ + 0,391
V ї 2 ,
-а соэв.
Начальные условия ¿ = 0: ^(х) = 0,25, /?0(х) = 0,55. Граничные условия х = 0: 5°(0,ґ) = 0,8, /7°(0,?) = 1; х = 1: /> = 0,3. Расчетные параметры: число точек на отрезке 0 < х < 1 п = 100, шаг по времени т = 0,0001.
Результат расчета системы (7) по предложенной схеме приведен на рис.
2
Рис. 1. Распределение водонасыщенности на момент безразмерного времени 0,2
Заключение. Приведенное численное решение задачи Маскета-Леверетта позволяет учесть влияние капиллярного запирания нефти в целике, так называемый “концевой эффект”. В отличие от ранее рассмотренной нами задачи [5], где в рамках модели Бакли-Леверетта была предпринята попытка учета влияния вибрации, как вариации давления и водонасыщенности на нагнетательной стороне целика, в настоящей статье удалось учесть влияние капиллярных сил, однако не удалось рассмотреть нестационарную задачу фильтрации. Приведенная методика, после соответствующего определения граничных условий, позволит рассмотреть в дальнейшем нестационарную задачу фильтрации, где основной упор будет делаться на преодоление капиллярного запирания нефти на добывающей стороне путем вибровоздействия на призабойную зону.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Данаев Н.Т., Корсакова Н.К., Пеньковский В.И. Массоперенос в прискважинной зоне и электромагнитный каротаж пластов. - А-Ата, КНУ, 2005. 180 с.
2. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. -Новосибирск, Наука, 1988. 166 с.
3. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. - М., Недра, 1993. 415 с.
4. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах
фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Тр. Всесоюз. семинар, Новосибирск, 1971. -
С.119-122.
5. Численное решение задачи нестационарной фильтрации несмешивающихся жидкостей в трещиновато-блочной среде / Д. С. Евстигнеев, Б. Ф. Симонов, А. В. Савченко,
В. И. Пеньковский // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Недропользование. Горное дело. Новые направления и технологии поиска, разведки и разработки месторождений полезных ископаемых.
Геоэкология» : сб. материалов
в 2 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГТА, 2013.
6. Симонов Б.Ф., Савченко А.В., Евстигнеев Д.С. Численное решение задачи стационарной фильтрации в блочно-построенном коллекторе. / Тр. конференции "Горняцкая смена 24-26 июня 2013 года". - Новосибирск. 2013.
© Д. С. Евстигнеев, А. В. Савченко, 2014
