CC BY
17
Решение задач в постановке нелинейной наследственности
Ю.Ш. Чубка, В. С. Тюрина, Л.Н. Панасюк Академия строительства и архитектуры ФГБОУВПО "Донской государственный
технический университет "
Аннотация: В статье рассмотрены прямая и альтернативная формы гипотез нелинейной наследственности. Определена связь между ядрами получения и релаксации прямой и альтернативной формулировок. Рассмотрен алгоритм решения задачи малых упруго-пластических деформаций с учётом наследственности материала методом конечных элементов.
Ключевые слова: нелинейная наследственность, интеграл, функционал, ядро ползучести, теория упругости, деформирование, релаксация, ползучесть, напряжение, метод конечных элементов.
В одномерной нелинейной наследственной теории упругости используется представление нелинейного функционала в виде ряда кратных интегралов Фреше [1]. В соответствии с предложением Ю.Н. Работнова [2-4] в представлении нелинейного функционала Фреше каждое ядро определяется как произведение одинаковых функций от "к" различных аргументов.
С учетом обозначений (1) уравнение записано как (2).
í
СТ = J0 *с1о = \J0(t-в)с1ст(в) = (1 + Ь*)а (1)
0
е = аСТ + а2а2 + а3СТ3 (2)
В предложении о сходимости ряда (2) из его обращения следует (3). ст = (1 + Ь*)ст = ф(е) (3)
В (3) £, а - деформации и напряжения одномерной теории наследственности; Ь* - интегральный оператор Вольтерры; операция Ь*а обозначает свертку двух функций Ь и о„ где Ь - ядро ползучести. Зависимость (3) при 1=0 совпадает с формой физического закона одномерной нелинейной теории упругости, поэтому ф(б) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В частном случае одномерной вязкоупругости уравнение (3) описывает закон прямой пропорциональности СТ = Е0а. При Ь=0 имеем
закон одномерной нелинейной теории упругости а = ср(е). Зависимость (3) можно переписать (4).
8 = 00-, где ~ =а (4)
Ес 8
Известна альтернативная форма записи закона наследственной упругопластичности [5,6]. При этом напряжения представлены в виде ряда Фреше (5).
ст = £ад-01)ё8(01)+£ -в, t-в^в^в)+... (5)
Так же, как и ранее, предполагается выполнение гипотезы Ю.Н. Работнова -(6).
Кк ^-в t-в2,..Л-вк ) = Ък П^ К o(t-в,) (6)
С учетом обозначений (7) физические соотношения записаны в виде (8); их обращение дает (9).
ё = Я0 * с1а = £я0 ^ - в)й (в) = (1 - Я * )8 (7)
а = \ё + Ъ2 ё2 +... (8)
е = (1 - Я*)8 = /(а) (9)
В (3) Я - ядро релаксации, - модифицированная деформация, а /(а) определяет мгновенную диаграмму деформирования. В силу чего функции / и ф - взаимообратимы, т.к. при t=0 выполняются следующие равенства, определяющие одну и ту же мгновенную диаграмму деформирования: 8 = /(а), а = (р(е). Аналогично переходу от (3) к (4) выполним переход от (9) к (10).
а = Есё, где Ес =а (10)
Итак, (3-4) определяют прямую Ю.Н. Работнова, а (9-10) альтернативную формы записи закона наследственной одномерной нелинейной теории упругости. Далее ядро Ь будем записывать с индексом
единица (L1), чтобы подчеркнуть прямую форму закона, а ядро R с индексом два (R2) - альтернативная форма.
Установим взаимосвязь между ядрами ползучести и релаксации нелинейной наследственной теории упругости.
Обратим физическую зависимость в (9): & = ф(ё). Умножив последнее
*
равенство на (1+L1 ) в операторном смысле, получим (11).
& = (1 + 1*)ф(е) (11)
**
Из сопоставления (11) и (3) следует, что операторы (1+L1 ) и (1-R2 ) могут быть резольветными только в том случае, если функции ф и f линейны. Далее устанавливается связь между ядрами ползучести и релаксации в прямой и альтернативной формулировках.
Введем вспомогательные операторы [7]: R1 и L2 такие, что выполняется
попарно взаимная резольвентность операторов (1+L/) ~ (1-R/) и (1+L2*) ~ (1*
R2 ). Тогда имеем две формы записи закона нелинейной наследственной одномерной упругости (12).
Проведем простейший опыт на ползучесть о = const. Рассматривая прямую и альтернативную форму уравнений (12), получим (13). Аналогично из опыта на релаксацию (s = const) имеем (14). ПРЯМАЯ ФОРМА
t
Уравнение ползучести : ф(s) = & = (1 + lLx)& = & + JЦ (t - 6)&(6)d6 или s = f [(1 + L )&]= f (&)
t
Уравнение релаксации : & = (1 - Яф) = ф(е) - J R (t - в)ф(в(9))49
АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМА :
t
= (1 + L* ) f (&) = f (&) +
(12)
Уравнение ползучести : s = (1 + L2)f (&) = f (&) + JLx(t -в)f (9)d9
0
Уравнение релаксации : f (&) = s = (1 - Я2) s = s - J R2 ((- 0)s (e)de
ф[ - R* )] = ф( 0
или & =
L = &e, L2 = & s, (13)
& &
Я = Е-а, я2 = Е-а, (14)
Ес 8 Ек 8
Входящие в (13) и (14) секущий и касательный модули определяются согласно мгновенной диаграмме деформирования в зависимости от величины постоянного напряжения или деформации. Зависимости (13) и (14) позволяют по результатам одной серии экспериментов определить характеристики аппроксимаций, применяемых в экспериментах другого типа. Пусть, например, из опыта на ползучесть определено ядро Ь2. Тогда три
Е
других ядра определятся через Ь2 согласно. Так, Ь =-КЬ2, а ядра Я] и Я2
Ес
определяются решением операторных уравнений, определяющих условие резольвентности ядер ползучести и релаксации: Я] ~ Ь], Я2 ~ Ь2. Очевидно, что в линейных задачах секущий и касательный модуль равны начальному, и тогда Ь] = Ь2, Я] = Я2.
На основе приведенных зависимостей для одномерного случая можно построить определяющие уравнения нелинейной ползучести для сложного напряженного состояния. В работе рассмотрен частный случай построения теории малых упругопластических деформаций наследственного типа.
Приняты следующие гипотезы (запись ведется в прямой и альтернативной формулировках):
1) среда изотропна
2) материал вязкопластически несжимаем, т.е. объемная деформация является чисто упругой
а Е
80 = аЬ К0 = 2 ) ,а0 = 3К080 (15)
3К0 3(1 - 2^0 )
3) девиаторы деформаций и наследственных напряжений подобны и коаксильны (для прямой формулировки) или девиаторы напряжений и
наследственных деформаций подобны и коаксильны (для альтернативной формулировки), откуда следует (16) [5].
S„.
прямая
(16)
2G с
а1} = 8Ц 3K 0s0 + 2G cey. - альтернативная
Частными случаями (16) при L = 0 являются уравнения теории малых упругопластических деформаций. Если рассматривать линейную задачу, то из (16) следуют уравнения линейной вязкоупругости [8].
Полная система (17) уравнений теории малых упругопластических
деформаций содержит уравнения равновесия, геометрические и физические
зависимости, статические и кинематические граничные условия.
'ATa + p = 0, е V, s = АН, е V,
е V,
а = Д.^
AsaT - gs = 0, е Su и - иs = 0, е SS
(17)
В (17) с учетом того, что K0 =
зависимостей записана как (18).
3еп
S
матрица физических
0
D„ =
K0 +4 G C 3 C ¿0 - 2 <5 C 3C K0 - 2 <5 C 3C 0 0 0
К0 - 2 <5 C 3C ¿0 +4 G C 3C K0 - 2 G с 3C 0 0 0
K0 - 2 <5 C 3C ¿0 - 2 G c 3C K0 +4 G C 3C 0 0 0
0 0 0 G с 0 0
0 0 0 0 G с 0
0 0 0 0 0 G с
(18)
Исключив в (17) напряжения и деформации, система уравнений в перемещениях записана как (19).
00
ЛтБсЛй + р = 0,е V,
Л1Г)сЛй - gs = 0, е (19)
й - й3 = 0, е 32
Если принять гипотезу о том, что напряжения и модифицированные деформации связаны зависимостями потенциального типа, т.е. что
тт аи
существует и такая, что а = —-, то можно построить вариационное
а8
уравнение (20), для которого уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия и статические граничные условия в (19), если функция модифицированных перемещений удовлетворяет кинематическим граничным условиям, а вектор-функции е и о удовлетворяют геометрическим и физическим зависимостям.
П = | й т рй\ й тда (20)
V V 3
Функционал (20) не является квадратичным, поэтому здесь нельзя использовать традиционные методы решения задач линейной наследственности.
Точка стационарности (20) определяется аналогично обобщенному методу упругих решений [5]. В окрестности значений перемещений и(гп) = й" функционал (20) разлагается в ряд Тейлора с удержанием только членов не выше второй степени (1.31).
П~П=| ип + (и')п + 2 Аё тНп А ё <Ж йт рй\ - | й TgSds (21)
(V)
(V) (3!)
В (21) использованы обозначения (22).
и' = = ат = в т )
аё
Н =
й 2и ёо1
йё
дох
дёх дГу2
дту„ дту„
дёх дГуг
(22)
Так, например, первый элемент матрицы Н определяется так:
до
д ё„
= \К„ +
46с 1+ 4ё(к - 6С ).
3 ) 3 ё1
X ' I
Напряжения в окрестности точки ипможно соответствующему приближению функции и - (23).
вычислить
по
и « ип + (ёп) 5п + 0.5 Аё1И Аё,
0 = ^) * 5)пёп + ИпАё = оп + ИпАё (23)
Приближенное вариационное уравнение, порождаемое квадратичной аппроксимацией (21), записано в виде (24).
ЯП = ¡В)т (оп + Ип А)) -¡&тр^= 0 (24)
(V) (V) №)
Для функционала (24) уравнениями Эйлера являются уравнения равновесия в приращениях ЛтИпЛАй = - р - ЛтЪпсЛйп ,е V.
Решение вариационного уравнения (24) можно проводить методом конечных элементов (далее МКЭ), если провести независимые аппроксимации основных вектор-функций в (24) по пространственным и временным координатам [9, 10].
Пространственная область разбивается на сетку конечных элементов и на каждом из них вектор-функция модифицированных перемещений представляется в виде (25).
й = фтд,е Гэл (25)
В (25) q- вектор узловых модифицированных перемещений, фт -матрица координатных функций конечного элемента. Тогда модифицированные деформации выразим через модифицированные перемещения узлов конечного элемента (26).
ё = Aфт q = Фq (26)
После подстановки (25), (26) в (24) в силу произвольности ё^ следует
(27)
кк дq = p -и -,
где кк = |ф THФdV - наследственная
(V)
касательная матрица жесткости,
к- = |ф ТЬС ФdV - наследственная (27)
(V)
секущая матрица жесткости, р = ^фру + ^фgsds - вектор узловых сил
(V) (^1)
Если сооружение выполнено из однородно ползучего материала, то в этом случае уравнения (27) можно трактовать как уравнения обобщенного шагового метода, и решение задачи существенно упрощается. Алгоритм задачи однородной ползучести решения приведен в [7, 11]. Рассмотрим более сложный случай использования в системе элементов с разными ядрами ползучести, т. е. задачу неоднородной ползучести. Предполагаем, что сетка конечных элементов построена так, что материал одного конечного элемента является однородно ползучим. Тогда можно представить основное соотношение МКЭ (27) в виде (28).
кГЧ1 - =Дрт Vэл (28)
Интеграл Я *Дqmc помощью формулы трапеций приближенно представим в виде (29). При этом временная ось к моменту ? разбита на т интервалов - ? = тА1.
1 д / т-
Я * Дqm = | Я(Г - = Я(тД ^(0) — + Д £ Я(тД - пД ^(пД) + Я(0^(тД)
0 2 -=2
(29)
С учетом (29) уравнения равновесия (28) аппроксимируются как (30).
[Д^ Л „ Д^ „ т-1
1 - —Я(0) \ккт-х Дqm = Дрт +—Я(mДq)k;K!-1Дq1 + Дк^-1 £Я((т - п)Д))т (30)
2 ) 2 т=2
Введем обозначение (31).
(1 -Д-Я(0))к-- = К-и
Д-.Я(пД )кп- = к--1,1 (31)
ДЯ((т - п)Д)к-- = к--1т-п
С учетом принятых обозначений уравнения равновесия для ансамбля конечных элементов приведены в виде (32).
т-1
К Дqn =ДРп + К пк1,-Дql + £ kl-l,m-nДqn (32)
т=2
В (32) глобальные матрицы жесткости К- 1,1 строятся традиционными способами по матрицам жесткости отдельных конечных элементов уравнения (32) определяют следующий итерационный алгоритм.
1. Вначале определяются мгновенные компоненты НДС, относящиеся к моменту =0. Вообще-то говоря, эти компоненты развиваются за конечный временной отрезок, но т.к. рассматриваемое время несоизмеримо больше, то время роста нагрузки условно принимается нулевым.
Считается, что на малом отрезке вязкие свойства системы не проявляются и поэтому решается стационарная задача.
2. На втором шаге определяются компоненты матриц жесткости кК, кс всех конечных элементов системы. Для чего вычисляются модифицированные деформации, напряжения, модули для г = Аг. Если при интегрировании по пространственной области используются квадратурные формулы, то все указанные величины вычисляются в расчетных узлах. По локальным матрицам формируется общая система уравнений МКЭ и решается задача (32), в результате чего находится вектор приращения модифицированных перемещений Ад2. После чего расчет вновь повторяется со второго пункта до тех пор, пока не достигнем верхней границы временного отрезка, в пределах которого исследуется поведение сооружения. Контроль точности временной аппроксимации проводится при сгущении сетки временных конечных элементов (т.е. уменьшением Д1;) до стабилизации решения.
В процессе нагружения сооружения, а также в процессе рассмотрения истории ее существования, возможно возникновение зон "разгрузки". Активный и пассивный процесс деформирования в теории малых упругопластических деформаций различаем по знаку приращения интенсивности модифицированных деформаций: если Аëi > 0, то в точке
расчетной области происходит процесс активного деформирования. Разгрузка имеет место при Аё± < 0. Согласно положению теории неупругонаследственных сред Ю.Н. Работнова полагаем, что при разгрузке зависимость между напряжениями и деформациями является линейной вязкоупругой. Тогда физические зависимости при разгрузке примут вид (33). Ао = Д А) (33)
Литература
1. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. Dover Phoenix Editions, 1959. - 304 p.
2. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977.- 383 с.
3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 650 с.
4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1968. - 752 с.
5. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., Селим Ш.И. Деформационная теория пластичности наследственного типа.- Ростов н/Д.: РИСИ, 1991.- 18 с. //Деп. В ВИНИТИ N 3792-В91
6. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., Рогачкин П.Л. Вариационные постановки задач наследственной теории течения с изотропным упрочнением //Вычислительная механика и моделирование работы конструкций и сооружений. - Ростов н/Д.: РГАС, 1992. -6 с.
7. Васильков Г.В., Панасюк Л.Н., А.А.Аль-Тахиш. Определение предельных нагрузок для неоднородных вязкоупругопластических рам. -Ростов-на-Дону: РИСИ, 1993.- 21 с.- Деп. в ВИНИТИ N 1169-В93.
8. Александров А.Ф., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990.-400 с.
9. Batht K.-J. Finite Element Procedures. K.-J. Batht .New Jersey: Prentice Hall, 1996. pp. 10-12.
10. Кадомцев М.И. Исследование деформирования частично заглубленного фундамента при гармоническом воздействии с использованием метода граничных элементов и метода конечных элементов // Инженерный вестник Дона, 2012, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2012/940.
11. Зотова Е. В., Панасюк Л. Н. Численное моделирование
динамических систем с большим числом степеней свободы на
импульсные // Инженерный вестник Дона, 2012, №3 URL:
ivdon.ru/magazine/ archive/n3y2012/933.
References
1. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro.Differential Equations. Dover Phoenix Edition, 1959. 304 p.
2. Rabotnov Ju.N. Jelementy nasledstvennoj mehaniki tverdyh tel. [Elements of hereditary mechanics of solids]. M.: Nauka, 1977. 383 p
3. Rabotnov Ju.N. Mehanika deformiruemogo tverdogo tela. [Mechanics of deformable solid]. M.: Nauka, 1979. 650 p.
4. Rabotnov Ju.N. Polzuchest' jelementov konstrukcij. [Creep of Structural Elements]. M.: Nauka, 1968.752 p.
5. Vasil'kov G.V., Panasjuk L.N., Selim Sh.I. Deformacionnaja teorija plastichnosti nasledstvennogo tipa. [Deformation theory of hereditary type of plasticity]. Rostov n.D.: RISI, 1991.- 18 p. ..Dep. V. VINITI N 3792-V91
6. Vasil'kov G.V., Panasjuk L.N., Rogachkin P.L. Variacionnye postanovki zadach nasledstvennoj teorii techenija s izotropnym uprochneniem.Vychislitel'naja mehanika i modelirovanie raboty konstrukcij i sooruzhenij. [Variation tasking hereditary flow theory with isotropic hardening. Computational mechanics and modeling of structures and buildings]. Rostov n.D.: RGAS, 1992. 6 p.
7. Vasil'kov G.V., Panasjuk L.N., A.A.Al'-Tahish. Opredelenie predel'nyh nagruzok dlja neodnorodnyh vjazkouprugoplasticheskih ram. [Determination of limit loads for non-uniform frames viscoelasticoplastic]. Rostov.na.Donu: RISI, 1993. 21 p. Dep. v VINITI N 1169.V.93.
8. Aleksandrov A.F., Potapov V.D. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti. [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. М.: Vysshaja shkola, 1990. 400 p.
9. Batht K.J. Finite Element Procedures. K.J. Baths. New Jersey: Prentice Hall, 1996. pp. 10.12.
10. Kadomtsev M.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2012/940.
11. Zotova E. V., Panasyuk L. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №3 URL: ivdon.ru/magazine/ archive/n3y2012/933/
