CC BY
15Механика
УДК 539.3
АСИМПТОТИКА КРИВЫХ ПОЛЗУЧЕСТИ, ПОРОЖДАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИЕЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ РАБОТНОВА ПРИ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ НАГРУЖЕНИЯХ, И УСЛОВИЯ ЗАТУХАНИЯ ПАМЯТИ
А. В. Хохлов1
При минимальных априорных ограничениях на две материальные функции нелинейного определяющего соотношения Работнова аналитически исследована зависимость асимптотики кривых ползучести при произвольных ступенчатых нагружениях от характеристик обеих материальных функций и параметров программ нагружения. Получены условия стремления к нулю при t —> оо их отклонения от обычной кривой ползучести для мгновенного нагружения, установлена ключевая роль величины предела производной функции ползучести на бесконечности в накоплении пластической (остаточной) деформации. Выявлены отличия и дополнительные возможности нелинейного соотношения Работнова по сравнению с линейным интегральным соотношением вязкоупругости и унаследованные от него свойства.
Ключевые слова: вязкоупругопластичность, ступенчатое нагружение, кривые ползучести, асимптотика, накопление пластической деформации, затухание памяти, восстановление.
Creep curves produced by the Rabotnov nonlinear hereditary constitutive relation for multi-step uniaxial stress histories are studied analytically under minimal primary restrictions on two material functions of the relation. Dependence of creep curves asymptotic behavior at infinity on material functions properties and loading steps parameters is analyzed. Necessary and sufficient conditions for simulation of the fading memory property are obtained. The key role of a creep function derivative limit value at infinity for plastic strain accumulation rate is shown. A number of inherited properties, peculiarities and additional capabilities of the Rabotnov nonlinear relation are revealed in comparison to capabilities of the linear viscoelasticity relation and the ancestral properties.
Key words: viscoelastoplasticity, multi-step loading, creep curves, asymptotics, plastic strain accumulation, fading memory, recovery.
1. Введение. Определяющее соотношение (ОС) нелинейной теории наследственности Работнова [1-9] описывает одномерные изотермические процессы деформирования стабильных (нестареющих) вязкоупругопластичных материалов, связывая напряжение a(t) и деформацию e(t) в данной точке тела:
t t ip(e(t)) = J U(t — т) da(r), a(t) = J R(t - т)<р'(e(t)) de(r), t > 0, (1)
о 0
где n(t), R(t) — функции ползучести и релаксации, a ip(u) — дополнительная материальная функция, введенная Ю.Н. Работновым. Входной процесс (cr(t) или e(t)) предполагается кусочно-непрерывными и кусочно-гладким на любом отрезке. Определяющее соотношение (1) обобщает линейное ОС вязкоупругости (получающееся при <р(и) = и):
t t e(t) = J II(t — r) da(r), a(t) = J R(t - r) de(r), t > 0. (2)
о 0
В работах [1-3] ОС (1) (с П(0+) ф 0) называлось соотношением наследственной теории ползучести, в [4] ему было дано название "нелинейная теория наследственности". В монографии 1977 г.
1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
Ю.Н. Работнов писал о нем: "При формулировке теории автор пытался построить теорию наследственной пластичности, применимую для описания существенно необратимой ползучести материалов при высоких температурах..." [8, с. 218]. В англоязычных публикациях ОС (1) именуется уравнением квазилинейной вязкоупругости (QLV) [10-15], а его автором называется Я.Ч. Фанг (Y.C. Fung) с указанием ссылок на его работы 1970-1990-х гг. [10, 12]. В работах [1-9] ОС (1) (для малых деформаций) применялось к описанию поведения стеклопластиков, графита, металлов и сплавов, а в [10-15] — связок, сухожилий и других биологических тканей (см. подробную библиографию в [16]). Тщательное аналитическое изучение общих свойств основных теоретических кривых (деформирования, релаксации, ползучести при базовых программах нагружения) ОС (1) с произвольными материальными функциями Пи р, систематическое исследование комплекса моделируемых эффектов в зависимости от характеристик П и р до сих пор не проведены.
Настоящая статья — продолжение цикла работ по анализу общих свойств основных квазистатических кривых ОС Работнова (1), линейного ОС вязкоупругости (2), нелинейной модели типа Максвелла и др. [16-21]. Все эти соотношения нацелены на описание комплекса реологических эффектов, типичных для материалов, обладающих наследственностью и заметной скоростной чувствительностью. Задача данной статьи — анализ свойств кривых ползучести при кусочно-постоянном напряжении (в частности, обратной ползучести), порожденных ОС (1) с произвольными материальными функциями. Испытания на ползучесть при ступенчатых нагружениях позволяют обследовать разные аспекты поведения материала и детали реализации многих эффектов, собрать более богатую информацию для оптимального выбора, идентификации и верификации ОС по сравнению с кривыми ползучести при постоянной нагрузке. Полученные математические результаты справедливы как для случая малых деформаций в ОС (1), так и для случая, когда ОС (1) связывает логарифмическую деформацию и истинное напряжение.
2. Ограничения на материальные функции. Из трех материальных функций n(i), R(t), ср(и) в ОС (1) только две независимы, так как функции релаксации и ползучести связаны условием взаимной обратности операторов (1) (the interconversion relation), отображающих друг в друга функции a(t) и (p(e(t)), оно унаследовано от линейного ОС (2). На функции ползучести и релаксации в ОС (1) наложим априори те же минимальные ограничения, что и в линейной теории (анализ теоретических кривых ОС (1) покажет, потребуется ли их дополнить [16]): функции П(£) и R(t) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0,+оо), П(£) — возрастающей и выпуклой вверх, a R(t) — убывающей и выпуклой вниз на (0, +оо), функция релаксации может иметь интегрируемую особенность или ¿-сингулярность в точке t = 0 (т.е. слагаемое r)ö(t), rj > 0). Из этих ограничений следует, что в точке t = 0 существуют пределы справа П(0+) = infn(t) ^ 0 и R(0+) = supiî(i) > 0 (Д(0+) = оо, если R(t) не ограничена), а при t —> оо существуют конечные пределы П(+оо) ^ 0 и _R(+oo) ^ 0.
На функцию р в ОС (1) наложим следующие первичные требования [16]: р(и) непрерывно дифференцируема и строго возрастает на 0) U(0; w+) (возможен случай р'(0) = +оо), причем <р(0—) = <£>(0+) = 0 (иначе входному процессу a(t) = 0 соответствовал бы ненулевой отклик e(t)). Формально возможен случай = —оо, = +оо, как в [1-6] (этот случай становится физически содержательным для логарифмической деформации e(t) в ОС (1)).
Из возрастания р(и) следует существование обратной функции Ф = р~1 на промежутке Иф = (ж;ж), где ж = inf р(и) = р{ш~ + 0), ж = sup<£>(«) = р(ш+ — 0), и обратимость ОС (1). Если ж < +оо, то при W-I- = +оо функция Ф имеет вертикальную асимптоту х = ж, а при < +оо непрерывно продолжается в точку ж = ж: Ф(ж) = W+. Величины жиж — важные характеристики функций р и Ф, существенно влияющие на поведение теоретических кривых ОС (1) [16]. Для материалов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии р(и) нечетна, Ш- =
3. Кривые ползучести при постоянном напряжении. При мгновенном нагружении a(t) = ah(t), где h(t) — функция Хевисайда, ОС (1) порождает кривую ползучести (КП)
e(t;W) = ж < äll(i) < ж. (3)
Семейство (3) возрастает по а (так как Ф возрастает), а при любом фиксированном а > 0 (будем рассматривать этот случай) КП (3) возрастает по t на всем промежутке, где <тП(£) < ж.
Если ж = оо (как для линейного ОС (2)), то КП с а > 0 определены при всех t ^ 0. Если же ж конечно, то <тП(£) € Иф только при а < ж/П(0) Л П(£) < ж/<т; это означает, что КП существует лишь для <т < <т*, <т* := ж/П(0), и обрывается в момент такой, что П(£*) = х/а, если а > ж/П(оо) (в случае П(оо) < оо КП с малыми а вообще не обрываются). Таким образом, если ж < оо и П(0) ф 0,
то параметр сг_|_ = ж/П(0) = Ех имеет смысл предела (мгновенной) прочности при растяжении и в ОС (1) уже встроен критерий разрушения. Разрушение при растяжении происходит по достижении критической деформации е* = Ф(ж) = (такой физический смысл можно придать параметру Если же W-i- = оо (т.е. <р(и) имеет горизонтальную асимптоту ж = ж), то любая КП (3) с а > ж/П(оо) имеет вертикальную асимптоту t = t*, где t* = p(x/ä), p(z) — обратная функция к П(£) (z € (П(0),П(оо))). Если П(оо) < оо и а < ж/П(оо), то уравнение n(t) = х/а решений не имеет и КП определена при всех t ^ 0. Поэтому уравнение кривой длительной прочности при растяжении имеет вид t* = р(х/а), Е^х < а < Ех, где Е = П(0)-1, Е^ = П(оо)-1 — мгновенный и длительный модули диаграмм деформирования линейного ОС (2) [20]. В случае а < 0 следует заменить ж и Ш-1_ на ж и и)— соответственно.
Конечно, можно игнорировать такую трактовку и пренебречь способностью ОС (1) моделировать разрушение, если исходно параметры ж, Ш-^, ж, Ш- заданы достаточно большими по модулю и с избытком покрывают рабочие диапазоны напряжений и деформаций (так, что обрыв кривых ползучести и деформирования происходит за их пределами). Но можно и определять их как материальные параметры ОС (1) (если получаемые условия разрушения и кривые длительной прочности адекватно описывают данные испытаний). Отметим, что конечность ж вовсе не экзотический случай: например, задача моделирования дробно-линейной зависимости Шестерикова-Юмашевой [22] для скорости ползучести от напряжения V(a) = Аа(а* — а)-1, а € (0; <т*), приводит к функции вида ср{и) = <т*(1 — е~и/А), и ^ 0, с = +оо, ж = <т* < оо [16].
Введение второй материальной функции ip в ОС (1) приводит к следующим отличиям свойств его кривых ползучести от КП линейного ОС (2) [16].
1) Зависимость КП (3) (и скорости ползучести) от а не является линейной.
2) Кривые ползучести ОС (1) не обязаны быть выпуклыми вверх, возможно наличие точек перегиба и моделирование КП со всеми тремя стадиями (в [19] доказано, что КП линейного ОС (2) всегда выпуклы вверх на всем луче t > 0, и потому с помощью линейного ОС нельзя описать стадию ускоряющейся ползучести, а скорость ползучести всегда стремится при t —> оо к конечному пределу äv, где и := П(оо)); для нелинейного ОС (1) возможен случай стремления скорости ползучести к бесконечности как при t —> оо, так и при t —> t*.
3) Если величина ж (или ж) конечна, то в ОС (1) встроен критерий разрушения при растяжении (сжатии), позволяющий моделировать длительную прочность.
4. Кривые ползучести при ступенчатых нагружениях и затухание памяти. Оператор (1), отображающий процесс a(t) в ip(e(t)), линеен и инвариантен относительно сдвигов по времени и потому переводит программу нагружения с п ступенями
п— 1
<r(t) = Y^ VilHt - ti-i) - h(t - ti)} + onh{t - tn-1) (4)
l
(полагаем, что to = 0, ti > ti-\ и a(t) = an при t > tn-\) в сумму откликов на каждую ступеньку:
п— 1
<Р(Ф)) = Y<TiS{t -ti-i,ti - ti-i) + (Tnh{t - tn-i)U{t - tn-1), (5)
l
где S(t, T) = h(t)U(t) — h(t — T)n(t — T) — отклик на единичный импульс напряжения с носителем [0,Т] (задающий форму кривой обратной ползучести линейного ОС (2)). Тогда
<t) = ^(^alS{t-tl-l,tl-tl-l)+anh{t-tn-l)Tl{t-tn-l)^ . (6)
Определение деформации по формуле (6) возможно лишь при тех t, при которых значение правой части выражения (5) принадлежит области значений Иф = (ж; ж) функции ip(u). В противном случае формула (6) теряет смысл, и это можно интерпретировать как разрушение в момент когда (впервые) имеет место выход за пределы интервала Иф в случае конечности ж или ж. Если же жиж бесконечны, то для всех программ нагружения (4) с любыми п, ti, Oi формула (6) справедлива для всех t ^ 0. Именно этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем, исследуя асимптотику КП (6) при t —> +оо.
Так как для любой допустимой функции ползучести (возрастающей и выпуклой вверх) S(t,T) —>■ vT при t —> оо, где v := П(оо) [21], то S(t — U-i,ti — U-i) = v(U — i-г—1) + o(l), и КП (6) представима в виде
п— 1
e(i) = <5>(anh(t-tn-i)TI(t-tn-i) + vs + z(t)), s = a^U - i»_i), (7)
î
где z(t) —> 0 при t —> оо. Параметр vs (наряду с an и пределом П(оо)) управляет асимптотическим поведением конкретной КП (6) (s — характеристика программы нагружения (4)), а параметр v — поведением всех КП (6) для произвольных ступенчатых нагружений (4).
Если ап = 0 (финитная программа нагружения (4) с полной разгрузкой в момент tn-1), то в силу (7) для любой функции ползучести e(t) —> $(fs) при t —> оо, т.е. КП (6) имеет горизонтальную асимптоту е = еоо, где е^ := $(fs). Если vs ф 0, то и е^ ф 0 (в силу требования <р(0) = 0 и возрастания <р), т.е. величина е«, имеет смысл остаточной деформации. Если vs = 0, то е«, = 0. Например, v = 0 для моделей с ограниченными и степенными функциями ползучести, но v > 0 у всех регулярных моделей (с П(0+) > 0), собранных из линейных пружин и демпферов с четным числом элементов, и всех сингулярных моделей с нечетным числом элементов.
Теорема 1. Пусть функция ползучести П(£) в ОС (1) положительна, дифференцируема, возрастает и (нестрого) выпукла вверх на (0; оо), а <р(и) непрерывно дифференцируема и строго возрастает на (w_;0) (J(0;w+) (возможны случаи ш± = ±оо); <р(0—) = <£>(0+) = 0 и область значений Lp совпадает с (—оо;+оо). Тогда
1) кривая ползучести (6) для, любой ступенчатой программы нагружения, (4) определена при всех t > 0, и ее асимптотика при t —> оо имеет вид (7), где v := П(оо);
2) если П(£) ограничена, то v = 0 и все КП (6) обладают горизонтальной асимптотой е = Ф(<7гаП(оо));
3) если ап = 0, то e(t) = + z(t)), где z(t) —> 0 при t —> оо, кривая ползучести (6) обладает асимптотой е = е^, где е^ = пластическая деформация е^ не зависит, от, значений функции ползучести на, конечных интервалах времени и отлична от нуля тогда и только тогда, когда vs ф 0;
4) если П(оо) = 0, то е^ = 0 для любых ступенчатых программ нагружения, (4); в частности, не происходит накопления пластических деформаций при любых циклических ступенчатых нагружениях.
При п = 2 и <72 = 0 из (6) получаем уравнение кривой обратной ползучести:
e(t]W,ti) = Ф(Ш(г) -Wh(t-ti)Tl(f-ti)), t^O. (8)
При t < t\ кривая (8) совпадает с КП (6). Если а > 0, х < оо и crn(ti) > х, то кривая (8) (как и (6)) обрывается в некоторый момент t* < t\. Если же <rn(ti) < х (например, х = оо), то функция (8) определена на всем луче t ^ 0 (так как H(t) — U(t—ti) убывает по t в силу ограничения II(t) ^ 0 [19]). Тогда кривая обратной ползучести (8) (с а > 0) возрастает по t при t < t\ и убывает при t > 11, а êqo = &(avti). Ограничения II(t) ^ 0 и <р'(и) > 0 обеспечивают монотонное убывание (8) при t > 11, никакие дополнительные ограничения на материальные функции для этого не требуются.
Отклонение кривой ползучести (6) от КП при мгновенном нагружении a(t) = <rnh(t — tn-\) в момент t = tn-1 (a(t) = 0 при t < tn-\) равно
A(t)=<ï>(anIl(t-tn-1)+vs + z(t))-<ï>(anIl(t-tn-1)), t > tn-1, (9)
где v := П(оо), z(t) —> 0 при t —> оо. Выясним, в каких случаях ОС (1) обладает свойством затухающей памяти при ползучести [17, 21], т.е. A (t) —> 0 при t —> оо для всех КП (6) с любым нагружением (4) (влияние конкретного закона нагружения на любом отрезке [0;tra_i] затухает с течением времени).
Теорема 2. Пусть выполнены, предпосылки теоремы 1. Тогда, для, того чтобы ОС (1) обладало свойством затухающей памяти при ползучести, необходимо, чтобы v = 0, и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
1) П(оо) = оо (т.е. П(£) ограничена), a Lp — любая допустимая функция;
2) v = 0, и существует число С > 0, такое, что Ф'(х) ограничена сверху при \х\ > С (т.е. <р'(и) ограничена снизу в области \и\ > с, с > 0).
Замечание. Если существуют пределы Ф'(—оо) и Ф'(+оо) и они оба равны нулю (т.е. +
0) = ip'(u}-\- — 0) = +оо), то A(t) —>■ 0 при t —У оо для любой неограниченной функции ползучести (даже в случае v > 0) и любой программы нагружения (4) с ап ф 0 (но не для ап = 0). Это условие выполнено, например, для Ф = ata при ж ^ 0, Ф = —Ь(—х)^ при х < 0, где а, /3 € (0; 1), a, b > 0.
В случае линейного ОС (2) (когда Ф(ж) = ж) условие v = 0 не только достаточно, но и необходимо для затухания памяти при ступенчатых нагружениях [21]. Если v > 0 (как, например, у моделей Максвелла, стандартного тела и всех регулярных моделей, собранных из линейных пружин и демпферов с четным числом элементов), то след, оставленный прямоугольным импульсом нагрузки, не стирается никогда (боо = avt\), а при несимметричном циклическом ступенчатом нагружении (с чередующимися напряжениями <ti, <Т2, приложенными в течение времени Т, и произвольной длительностью отдыха между циклами нагружения) происходит нарастание пластической деформации (ratcheting) с постоянной скоростью vT(a\ +<72) за цикл. Если же v = 0, то нарастания пластической деформации не происходит, полная деформация ограничена и стабилизируется, в этом случае ОС (2) моделирует приспособляемость материала (shakedown). В случае нелинейного ОС (1) все сложнее. В частности, можно привести примеры пар материальных функций П, ip, для которых достаточные условия теоремы 2 не выполнены, но ОС (1) все же обладает свойством затухания памяти.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-08-01146_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Работное Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести // Вести. Моск. ун-та. 1948. № 10. 81-91.
2. Наместников B.C., Работное Ю.Н. О наследственных теориях ползучести // Прикл. матем. и теор. физ. 1961. 2, № 4. 148-150.
3. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
4. Работное Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механ. полимеров. 1971. № 1. 74-87.
5. Дергунов Н.Н., Наперник Л.Х., Работное Ю.Н. Анализ поведения графита на основе нелинейной наследственной теории // Прикл. матем. и теор. физ. 1971. 12, № 2. 76-82.
6. Работное Ю.Н., Наперник Л.Х., Степанычев Е.И. Нелинейная ползучесть стеклопластика ТС8/3-250 // Механ. полимеров. 1971. № 3. 391-397.
7. Работное Ю.Н., Суворова Ю.В. О законе деформирования металлов при одноосном нагружении // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1972. № 4. 41-54.
8. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
9. Суворова Ю.В. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работноваи его приложениях // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 1. 174-181.
10. Fung Y. С. Stress-strain history relations of soft tissues in simple elongation // Biomechanics, Its Foundations and Objectives / Ed. by Y.C. Fung et al. New Jersey: Prentice-Hall, 1972. 181-208.
11. Sauren A.A., Rousseau E.P. A concise sensitivity analysis of the quasi-linear viscoelastic model proposed by-Fung //J. Biomech. Eng. 1983. 105. 92-95.
12. Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: Springer-Verlag, 1993.
13. De Frate L.E., Li G. The prediction of stress-relaxation of ligaments and tendons using the quasi-linear viscoelastic model // Biomech. and Model. Mechanobiol. 2007. 6, N 4. 245-251.
14. Duenwald S.E, Vanderby R., Lakes R.S. Constitutive equations for ligament and other soft tissue: evaluation by experiment // Acta Mech. 2009. 205. 23-33.
15. De Pascalis R., Abrahams I.D., Parnell W.J. On nonlinear viscoelastic deformations: a reappraisal of Fung's quasi-linear viscoelastic model // Proc. Roy. Soc. A. 2014. 470, 20140058. DOI: 10.1098/rspa.2014.0058.
16. Хохлов А.В. Кривые ползучести и релаксации нелинейного определяющего соотношения Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Пробл. прочности и пластичности. 2016. 78, № 4. 452-466.
17. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов с известной историей нагружения. Кривые ползучести и длительной прочности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 2. 140-160.
18. Хохлов А.В. Свойства нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла с двумя материальными функциями // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 6. 36-41.
19. Хохлов А.В. Кривые обратной ползучести в рамках линейной вязкоупругости и необходимые ограничения на функцию ползучести // Пробл. прочности и пластичности. 2013. 75, № 4. 257-267.
20. Хохлов А.В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2016. № 5. 187-245. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/840650.html (дата обращения: 14.06.2016).
21. Хохлов А.В. Свойства кривых ползучести при ступенчатом пагружепии линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Пробл. прочности и пластичности. 2015. 77, № 4. 344-359.
22. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Конкретизация уравнения состояния при ползучести // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1984. № 1. 86-91.
Поступила в редакцию 25.05.2016
УДК 539.3
О ТЕНЗОРНЫХ МЕРАХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ANSYS ДЛЯ РЕШЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Н. В. Овчинникова1
Установлено, что при решении упругопластических задач в пакете ANSYS в качестве объективной производной для тензора напряжений Коши использована производная Динса (Грина-Мак-Инниса-Нахди), а не производная Яуманна, как заявлено в теоретическом руководстве к ANSYS. Вычисляемый для этих задач тензор деформаций является не тензором логарифмических деформаций Генки, как указано в теоретическом руководстве к ANSYS, а правым неголономным тензором деформаций, таким, что связанный с ним левый неголономный тензор деформаций порожден производной Динса.
Ключевые слова: упругопластическое тело, конечные деформации, меры деформаций, меры напряжений, пакет ANSYS.
It is shown that the Dienes (or the Green-Mclnnis-Naghdi) stress rate is used as an objective stress rate of the Cauchy stress for solving elastic-plastic problems in the ANSYS program instead of the Jaumann stress rate announced in the ANSYS Theory Reference. The strain tensor is not the logarithmic or Hencky strain measure as is announced in the ANSYS Theory Reference, but it is a right nonholonomic strain tensor such that the left tensor is generated by the Dienes derivative.
Key words: elastoplastic body, finite strain, strain measures, stress measures, ANSYS program.
В теоретическом руководстве fl] к конечно-элементному пакету ANSYS указано, что вычисление тензора деформаций при решении задач для упругопластических тел в случае конечных деформаций производится с помощью алгоритма, предложенного Т. Хьюзом в работе [2]. В результате сравнения описания алгоритма вычисления деформаций, приведенного в [1], с представленным в работе [2], а также аналитического и численного решения в ANSYS задачи о простом сдвиге гипо-упругой среды нами установлено несоответствие заявленных в [1] и используемых в расчетах мер напряжений и деформаций.
Пусть движение среды описывается законом х% = хг(х®,£), где t — время; Xi, Xj (i,j = 1,2,3) — координаты (в декартовой системе координат) точки в актуальной и отсчетной конфигурациях. Пусть F — аффинор деформации: Fij = dxi/dxJ = |detF|. По теореме о полярном разложении F = RU = VR, где R — ортогональный тензор (тензор поворота), U — правый и V — левый тензоры искажений.
Приведем описание алгоритма пошагового вычисления деформаций в соответствии с документацией к ANSYS [1]. Пусть для всех шагов по времени вплоть до п-го шага tn известны координаты точки тела, т.е. известны векторы х°,...,хп, где xk = x(x°,tk). Следовательно, известны векторы и0,... ,ип перемещений точки: ик = хк — х°. Пусть для всех шагов вплоть до (п — 1)-го шага вычислены значения компонент тензора "деформаций" е. Тогда для того чтобы определить значения компонент тензора "деформаций" еп для п-го шага, требуется:
1 Овчинникова Нелли Викторовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ovch-nQyandex.ru.
