CC BY
11Решетневскце чтения
Библиографические ссылки
1. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука, 1977.
2. Kruglikov S. V. On the Operator Formalization of the Separation Property in Problems of Ensured Control and Estimation. // Proc. of 4th European Control Conf. (ECC-97). Brussels, Belgium, 1997. P. WE-E-I-3.
3. Kruglikov S. V. On the Duality of Guaranteed Control-Estimation Problems for Hierarchical Systems // 4th Intern. Conf. on Physics and Control (PhysCon-2009) / Univ. of Catania, Sicily. Catania, Italy. Р. 106.
4. Разработка комплекса подготовки специальной картографической информации для информационно-управляющих систем / А. Б. Шлапоберский, О. В. Ля-пустина, А. А. Николаев, М. Ю. Храмов // Информа-
ционно-математические технологии в экономике, технике и образовании : сб. материалов Междунар. науч. конф. / Урал. гос. техн. ун-т. Вып. 3. Екатеринбург, 2007. С. 153-157.
5. Applied Interval Analysis with Examples in Parameter and State Estimation, Robust Control and Robotics / L. Jaulin, M. Kieffer, O. Dildrit, E. Walter. London : Springer-Verlag, 2001.
6. Кругликов С. В. Гарантированный алгоритм прокладки маршрута группы объектов в условиях неопределенности при дискретном описании географических условий // Состояние, проблемы и перспективы создания корабельных информационно-управляющих комплексов : сб. докл. науч.-техн. конф. / ОАО «Концерн «Моринформсистема-Агат». М., 2008. С. 198-201.
S. V. Kruglikov
Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch, Russia, Ekaterinburg
A. S. Kruglikov Ural Federal University, Russia, Ekaterinburg
STRUCTURAL PROPERTIES OF GUARANTEED CONTROL-ESTIMATION PROBLEMS FOR HIERARCHICAL SYSTEMS
The approach of the mathematical theory of guaranteed control and estimation for hierarchical systems is considered. The research is motivated by needs of algorithm design for a priori planning of movement of objects bounded maneuverability in region with obstacles of complex structure.
© KpyraHKOB C. B., KpyraHKOB A. C., 2011
УДК 517.972.5
И. А. Лопатин
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск, Россия
РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПО ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
Представлено решение задачи о выборе закона изменения поперечного сечения стержня, обеспечивающего восприятие максимальной сжимающей силы при заданном объеме материала.
Осесимметричные пространственные фермы, составленные из прямолинейных стержней, нашли широкое применение в качестве адаптеров полезной нагрузки. Расчет таких конструкций проводится в предположении, что стержни фермы соединены шарнирно. Основным видом разрушения стержня является потеря устойчивости при действии на него сжимающей силы. Стержни фермы в большинстве конструкций имеют постоянное по длине поперечное сечение. Вместе с тем использование в ферме стержней с переменным поперечным сечением позволяет создавать более эффективные конструкции [1; 2].
Рассмотрим шарнирно опертый стержень длиной ^ нагруженный сжимающей силой P. Пусть стержень имеет круглое поперечное сечение, радиус г которого зависит от продольной координаты х. Длина стержня l
и его объем У0 являются заданными величинами. Необходимо подобрать закон изменения радиуса поперечного сечения, который обеспечивает максимум критической силы P при известном объеме стержня У0.
Сформулируем условие этой задачи как условие задачи вариационного исчисления. Объем стержня У0 определяется следующим функционалом:
V = ¡n\_r (x)] dx.
Уравнение устойчивости стержня имеет вид + P / (EJ(x)) = 0,
(1)
(2)
где w(х) - прогиб стержня; E - модуль упругости; J(х) - момент инерции поперечного сечения. На
0
Прикладная математика
краях стержня выполняются следующие граничные условия:
w(0) = 0, w(l) = 0.
(3)
Момент инерции круглого поперечного сечения определим как
где
J ( x) = р[г ( x)]4/4. Подставляя (4) в (2), получим
[г (x)] 4 = -m2w / wx
м2 = 4 P / ( рE ).
VJË_ i4Vp
=U-wrdx.
Объем У0 в уравнении (7) является постоянным. Поэтому минимум функционала
i=1
w
dx
обеспечивает максимум критической силы Р.
Уравнение Эйлера сформулированной вариационной задачи имеет следующий вид:
w
-w„. I--г +
w„
w
"Wï
w = 0.
l
x = — р
• г г arcsin---. 1 -
œ г ^2
где
(4)
(5)
(6)
r04 = 16l2 P /(3р3 E ). Для радиуса г будем иметь
г = г f ( x)
(10)
(11)
(12)
где функция fx) = r/r0 определяется из уравнения (10). Подставляя (12) в (1), найдем
Подстановка [г (x)]2 из (5) и параметра д из (6) в функционал (1) дает
V
f 2( x)dx
(13)
Из уравнения (11) следует выражение для максимальной критической силы:
(7)
P = 3р3Ег04 / (1612).
(14)
(8)
(9)
Решая дифференциальное уравнение (9) с учетом граничных условий (3), получим трансцендентное уравнение для определения оптимального закона г(х):
В ходе исследований было определено, что при заданном объеме У0 использование стержня переменного поперечного сечения повышает его критическую силу на 36 % по сравнению с критической силой стержня, имеющего постоянное поперечное сечение.
Таким образом, получено решение задачи о выборе закона изменения поперечного сечения стержня, обеспечивающего восприятие максимальной сжимающей силы при заданном объеме материала.
Библиографические ссылки
1. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. : Гостехтеоретиздат, 1955.
2. Николаи Е. Л. Труды по механике. М. : Гостех-теоретиздат, 1955.
г0 =
0
0
xx
I. A. Lopatin
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
SOLUTION OF THE VARIATIONAL PROBLEM OF THE OPTIMAL COMPRESS ROD SHAPE
The рарег p^sents the solution of the ргоЫеш of choosing the law of change of cmss section of the md pmviding the peKeption of the maximum comp^ssive fo^e o a given volume of material.
© Лопатин И. А., 2011
