Гарантированный подход к задаче априорной прокладки маршрутов обхода невыпуклых препятствий Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Прикладная математика

УДК 681.5.62-5:517.977.58

С. В. Кругликов Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук, Россия, Екатеринбург

А. С. Кругликов Уральский федеральный университет, Россия, Екатеринбург

ГАРАНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ АПРИОРНОЙ ПРОКЛАДКИ МАРШРУТОВ ОБХОДА НЕВЫПУКЛЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ*

Рассмотрено применение подхода математической теории гарантированного управления и оценивания для иерархических систем. Исследование мотивировано задачами разработки алгоритмов априорного планирования движения группы объектов ограниченной маневренности в обход препятствий сложной структуры.

Гарантированный подход к постановке и решению задач управления и оценивания для динамических систем в условиях неопределенности хорошо разработан в [1]. Однако построение прикладных алгоритмов, основанных на этом подходе, сталкивается с существенными трудностями, особенно при работе с невыпуклыми и несвязными ограничениями.

Одним из возможных путей развития гарантированного подхода является формализация, основанная на применении априорных конструкций теории гарантированного управления и оценивания для иерархических систем [2], что хорошо согласуется с известным описанием препятствий фрактальными множествами. Предположение об иерархической структуре системы позволяет обеспечить естественное наращивание данного подхода в зависимости от усложнения условий и осуществлять моделирование маршрута, препятствий и проходов между ними по единой методике. Соответствующие отдельные операторные постановки априорных гарантированных задач управления и оценивания, отвечающие прокладке оптимальных маршрутов и предварительной обработке информации о структуре препятствий, можно рассматривать как дуальные относительно структурированного семейства критериев [3].

Для решения ряда прикладных задач, в частности задач, связанных с навигацией и априорной прокладкой маршрутов и коридоров движения, могут применяться алгоритмы априорного планирования движения группы объектов ограниченной маневренности в обход препятствий сложной структуры [4]. В работах, основанных на применении интервального анализа [5], сложные образования предлагается представлять объединением непересекающихся прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Авторами рассматривалась задача моделирования на плоскости движения группы объектов ограничен-

ной маневренности в обход системы невыпуклых препятствий. Предложено конструктивное описание системы препятствий на основе конечного порождающего семейства замкнутых шаров [6], что обеспечивает гибкое моделирование как априорно сложившихся условий, так и динамического наращивания сложности обстановки за счет включения в нее новых объектов или возникновения новых структурных связей между выявленными ранее объектами.

Сформулирована система алгоритмов, описывающих типовые ситуации, и семейство возможных решений. Отличительной особенностью предлагаемых конструкций является исходная ориентация на получение описания препятствий не самих по себе, а как системы существующих между ними проходов. Такой подход позволяет априорно построить систему трубок, в рамках которых могут располагаться возможные маршруты с дополнительной информацией о имеющихся сужениях и препятствиях. С другой стороны, если сформулировать задачу в терминах исходного и целевого положения, то маршрут может прокладываться по системе готовых трубок с возможностью анализа нарушения ограничений. Иерархическая система, моделирующая допустимый маршрут, представляет собой регулярную комбинацию элементарных подсистем - трубок траекторий, изменение сечения которых отражает накапливающиеся ошибки. Особенности характеристик конкретного объекта учитываются за счет выбора количества уровней иерархии и ограничений на рассматриваемые звенья по длине и радиусу. Для групп объектов, имеющих различные технические характеристиками, ограничения на маневренность определяются через углы поворота и длины линейных участков.

Представленные алгоритмы были реализованы при моделировании априорной прокладки маршрутов обхода системы невыпуклых препятствий, имеющих топологию звезды.

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-0100223) и Программы интеграционных фундаментальных исследований Уральского и Сибирского отделений Российской академии наук «Количественный и качественный анализ эволюционных уравнений и систем управления».

Решетневскце чтения

Библиографические ссылки

1. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука, 1977.

2. Kruglikov S. V. On the Operator Formalization of the Separation Property in Problems of Ensured Control and Estimation. // Proc. of 4th European Control Conf. (ECC-97). Brussels, Belgium, 1997. P. WE-E-I-3.

3. Kruglikov S. V. On the Duality of Guaranteed Control-Estimation Problems for Hierarchical Systems // 4th Intern. Conf. on Physics and Control (PhysCon-2009) / Univ. of Catania, Sicily. Catania, Italy. Р. 106.

4. Разработка комплекса подготовки специальной картографической информации для информационно-управляющих систем / А. Б. Шлапоберский, О. В. Ля-пустина, А. А. Николаев, М. Ю. Храмов // Информа-

ционно-математические технологии в экономике, технике и образовании : сб. материалов Междунар. науч. конф. / Урал. гос. техн. ун-т. Вып. 3. Екатеринбург, 2007. С. 153-157.

5. Applied Interval Analysis with Examples in Parameter and State Estimation, Robust Control and Robotics / L. Jaulin, M. Kieffer, O. Dildrit, E. Walter. London : Springer-Verlag, 2001.

6. Кругликов С. В. Гарантированный алгоритм прокладки маршрута группы объектов в условиях неопределенности при дискретном описании географических условий // Состояние, проблемы и перспективы создания корабельных информационно-управляющих комплексов : сб. докл. науч.-техн. конф. / ОАО «Концерн «Моринформсистема-Агат». М., 2008. С. 198-201.

S. V. Kruglikov

Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch, Russia, Ekaterinburg

A. S. Kruglikov Ural Federal University, Russia, Ekaterinburg

STRUCTURAL PROPERTIES OF GUARANTEED CONTROL-ESTIMATION PROBLEMS FOR HIERARCHICAL SYSTEMS

The approach of the mathematical theory of guaranteed control and estimation for hierarchical systems is considered. The research is motivated by needs of algorithm design for a priori planning of movement of objects bounded maneuverability in region with obstacles of complex structure.

© KpyraHKOB C. B., KpyraHKOB A. C., 2011

УДК 517.972.5

И. А. Лопатин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск, Россия

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПО ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

Представлено решение задачи о выборе закона изменения поперечного сечения стержня, обеспечивающего восприятие максимальной сжимающей силы при заданном объеме материала.

Осесимметричные пространственные фермы, составленные из прямолинейных стержней, нашли широкое применение в качестве адаптеров полезной нагрузки. Расчет таких конструкций проводится в предположении, что стержни фермы соединены шарнирно. Основным видом разрушения стержня является потеря устойчивости при действии на него сжимающей силы. Стержни фермы в большинстве конструкций имеют постоянное по длине поперечное сечение. Вместе с тем использование в ферме стержней с переменным поперечным сечением позволяет создавать более эффективные конструкции [1; 2].

Рассмотрим шарнирно опертый стержень длиной ^ нагруженный сжимающей силой P. Пусть стержень имеет круглое поперечное сечение, радиус г которого зависит от продольной координаты х. Длина стержня l

и его объем У0 являются заданными величинами. Необходимо подобрать закон изменения радиуса поперечного сечения, который обеспечивает максимум критической силы P при известном объеме стержня У0.

Сформулируем условие этой задачи как условие задачи вариационного исчисления. Объем стержня У0 определяется следующим функционалом:

V = ¡n\_r (x)] dx.

Уравнение устойчивости стержня имеет вид + P / (EJ(x)) = 0,

(1)

(2)

где w(х) - прогиб стержня; E - модуль упругости; J(х) - момент инерции поперечного сечения. На

0