Решение прямой позиционной задачи для одноковшовых гидравлических экскаваторов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

- © П.А. Побегайло, 2014

УДК 621.879

П.А. Побегайло

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ПОЗИЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОКОВШОВЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЭКСКАВАТОРОВ*

Представлен один из возможных способов решения прямой позиционной задачи для рабочего оборудования одноковшовых гидравлических экскаваторов прямого и обратного копания. Решение задачи приведено в формализованной форме. Ключевые слова: прямая позиционная задача, гидравлические экскаваторы, рабочее оборудование.

Входе решения различных задач проектирования одноковшовых гидравлических экскаваторов (ОГЭ) и их подсистем, а также при управлении экскаватором и его рабочим оборудованием (РО) в реальном времени необходимо определять положения его элементов относительно неподвижной системы координат - абсолютные положения звеньев.

Известны различные способы решения этой задачи, в первую очередь, для роботов-манипуляторов. Однако для ОГЭ они по тем, или иным причинам неудобны (даже если они использованы нашими коллегами и предшественниками). Поэтому предлагаем свой подход к решению прямой позиционной задачи.

Отметим, что решение прямой позиционной задачи приведено в формальной форме. При этом использованы такие понятия как лемма и теорема. Это сделано не случайно. Ибо нами ведется работа по созданию неформальной аксиоматической теории проектирования РО ОГЭ. Однако, ее завершение, это дело будущего. Поэтому доказательства лемм и теорем мы в рамках нашей работы не приводим.

Заметим, что ниже речь идет о п-звенном плоском последовательном манипуляторе с цилиндрическими шарнирами.

Определение 1. Введем следующие условные обозначения, которые иллюстрирует рисунок 1:

• номер звена - 1, 2... п;

• номер шарнира - A0, A ... A., i = п;

• длина звена - , к„,... I,.;

01' 12 1-1,1

• угол, определяющий положение стрелы и углы между звеньями - а01, а12,... а1-1,1.

Определение 2. Кинематическая длина звена РО 1-:и, i = 1, 2.. .п, где п - число звеньев РО, это расстояние между осями его концевых шарниров.

Определение 3. Центр основной правой прямоугольной декартовой системы координат находиться в точке A0, т.н. «пяте стрелы» (рис. 1).

Определение 4. Первое звено У ) РО, вращающееся относительно точки (шарнира) A0, всегда расположено в I или в IV квадранте.

Лемма 1. Угол а01 наклона первого звена У ) РО относительно горизонтали, проходящей через точку (шарнир) A0, всегда принимает значения из диапазона:

" Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН № 1 «Научные основы робототехники и мехатроники».

Рис. 1. Схема рабочего оборудования (n звеньев)

0 < а,

01 < 2 или

3 • п

< а01 <2 • п

Лемма 2. Координаты точки А._1, i = 1, 2...n, где n - число звеньев РО (Ха,_!> Ya,), при i = 2 (шарнир стрела-рукоять), однозначно определяются следующими параметрами:

• углом а01;

• кинематической длиной первого звена (l01) РО. Иначе говоря, имеют место следующие формулы:

абсцисса Х^ = l01 • cos (а01)

ордината

К = L

• sin

(а01)

Определение 5. Угол а12 наклона звена l12 относительно звена l01 всегда принимает значения из диапазона:

0 < а12 < п

Определение 6. Угол а.-1., i = 3, 4...n, где n - число звеньев РО, наклона звена l относительно звена l всегда принимает значения из диапазона:

0 < а.,. < 2-п

.-1,.

Теорема 1. Для однозначного определения координаты точки (шарнира) Ab1,

1 = 3, 4,...n, где n - число звеньев РО (X, Y.), достаточно знать:

• значение угла а01;

• значение всех кинематических длин звеньев РО, расположенных от точки A0 до точки A включительно (координаты точки АЬ1 при i = 2 определяются из Леммы 2);

• значение всех углов а.-1., i = 2, 3...n, где n - число звеньев РО, характеризующих повороты звеньев относительно друг друга.

Иначе говоря, имеют место следующие формулы:

• для четного звена (i = 2, 4, 6.):

абсцисса X¡ = X¡+ lí_1 ¡ • sin I а01 + ^ П

' V ¡=2

а: 1 :--

п

2

ордината Yi = У._г -1.• cos| а01 + £

а,- i ,•--

• для нечетного звена (i = 3, 5, 7...): абсцисса X¡ = Х;-1 + 1¡-1; • sin | а01 + £ а;-1; -

3 • п

ордината У = У-1 -1 1 • cos

а

£

3 • п

а: 1 : - -

Пояснение 1. В указанной только что Теореме 1 предполагается последовательный процесс определения координат шарниров от первого и до п-го. Это пояснение распространяется и на приведенную ниже Теорему 2.

Замечание 1. Ограничения на экстремальные значения углов

1,i

а

12

и а„

вытекают из конструктивных особенностей РО ОГЭ, а именно из характеристик гидроцилиндров, координат точек привязки гидроцилиндров к элементам РО (из кинематической схемы РО) и к ГЭ.

Определение 7. Элементы любого звена, жестко связанные с ним, т.е. перемещающиеся вместе с ним, будем называть «жесткими точками» (рис. 2). В противном случае будем говорить о «мягких точках» (рис. 3).

Определение 8. У первого звена (101) есть только «жесткие точки» и они могут быть расположены как под этим звеном, так и над ним.

Лемма 3. Для определения расстояния от пяты стрелы (точка A0 на рис. 2) до любой «жесткой точки» Д1 принадлежащей звену 1 (101) достаточно знать две геометрические величины:

• перпендикуляр, опущенный из «жесткой точки» на звено 1 - 111;

• расстояние от пяты стрелы до точки пересечения звена 1 с перпендикуляром 111 - 112.

Иначе говоря, имеет место формула:

Рис. 2. Схема «жесткой» точки

■Ш2

Рис. 3. Схема «мягкой» точки

М = л/(И Г +(112 )

Лемма 4. Для определения угла Д - угла отклонения отрезка Д! от отрезка A0A1 (звено 1) достаточно знать две геометрические величины 111 и 112. Иначе говоря, имеет место формула:

(Ц Л

М = агс1д —

' I »1 J

Пояснение 2. Для леммы 4 и теоремы 2 знак угла Д положителен, если 112 больше нуля, отрицателен в проти-

воположном случае. Естественно, что случай равенства нулю в этом случае не возможен.

Теорема 2. Для определения координат любой «жесткой точки» звена 1 достаточно знать следующие параметры:

• Д и Д;

• угол а01.

Иначе говоря, имеют место следующие формулы: абсцисса j = Д ■ cos (а01 + Д) ордината У1,j = Д ■ sin (а01 + Д)

Определение 9. Угол Д.., j = 1, 2...m, где m - число «жестких точек» звена i (причем i ф 1), между звеном i и прямой, соединяющей точку ДЬ1 с точкой В.., j = 1, 2...m, отсчитывается от звена i против часовой стрелки, т.е. при этом мы считаем его положительным.

Лемма 5. Расстояние Л между точкой ДЬ1 и жесткой точкой звена i - В.., однозначно определяется по формуле:

Л = U sin (Д,-) ,

где ПВЭ - заданное значение длины перпендикуляра, опущенного из точки В.. на звено i; значение угла Д также должно быть задано.

Теорема 3. Для однозначного определения координаты «жесткой точки» В.. (X , YJ, j = 1, 2...m, где m - число «жестких точек» звена i (причем i ф 1), расположенной на звене i, достаточно знать:

• все параметры, упомянутые в Теореме 1;

• угол Д.., длину ПВЭ и из Леммы 3 расстояние Л... Иначе говоря, имеют место следующие формулы:

• для четного звена (i = 2, 4, 6.):

( П П абсцисса X. j = Х^ + Лj •sin I aoi + ^ ai-i,i - 2 +

ордината Y j = Y-1 - Л j • cos ((aoi + ¿ а,.-1,; - -П + \

• для нечетного звена (i = 3, 5, 7...): абсцисса X j = Xw + Л j •sin (ao1 + ¿ a,-1>f - ^ + Ди

( n 3 ■тс

ордината Y j = Y-1 - Л;,j ■cos I a01 + £ a,.-1,i - — + Ди

Замечание 2. Число «жестких точек» гораздо больше числа «мягких точек» в РО ГЭ.

Теорема 4. Для определения координаты «мягкой точки» Ck(Xk, Yk), k = 1, 2...1 , где l - число «мягких точек», расположенной между звеном i (причем i ф 1), и звеном i+1, достаточно, опираясь на все выше изложенное, выписать и решить систему из двух квадратных уравнений, вида:

|(Xk -X)2 + (Yk -Y)2 = R

[(Xk - Х2 )2 + (Yk - Y2 )2 = R

где X1, Y1 , X2, Y2 - уже известные координаты двух «жестких точек» звеньев i и i+1 (координаты центров соответствующих окружностей); R1, R2 - радиусы окружностей с центрами в точках с координатами X1, Y1 , X2, Y2, проведенные из этих центров до рассматриваемой «мягкой точки».

При этом, в каждом частном случае, необходимо добавить ограничения на выбор нужного значения корня выписанной системы.

Замечание 3. Текущая длина любого гидроцилиндра ЛГ, где индексы указывают на номера звеньев, к которым прикреплен гидроцилиндр, на основании всего выше сказанного, однозначно определяется по формуле:

ДТ.. =^/(Х3 -Х4)2 + (Y3 - Y4)2

где X3, Y3 , X4, Y4 - уже известные координаты «жестких» и/или «мягких» точек, соответствующие точкам крепления гидроцилиндра к элементам РО и ГЭ (индексы тут взяты произвольно).

Пояснение 3. Для некоторых кинематических схем РО, в ряде их конфигураций в пространстве, не представляется возможным «реализовать» экстремальные значения углов а (или, иначе говоря, «реализовать» экстремальные длины некоторых гидроцилиндров).

Замечание 4. Развитый сейчас подход базируется, при реализации на ЭВМ, на прохождении диапазонов существования углов а.-1. и а01 с каким-то заданным шагом. Не существует принципиальных сложностей для перехода от этих углов к длинам гидроцилиндров (в качестве параметра, определяющего положение элементов РО). Эти подходы эквивалентны*.

Пояснение 4. Многие из приведенных выше формул можно было бы записать в более компактном виде с помощью известных формул тригонометрии. Однако этого сейчас не делаем, оставив эти формулы в наиболее естественном виде.

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Побегайло Петр Алексеевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected], ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН.

UDC 621.879

TO THE QUESTION ON THE DECISION OF THE DIRECT ITEM PROBLEM FOR HYDRAULIC EXCAVATORS

Pobegailo P.A., Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, e-mail: [email protected], Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS.

In article one of possible ways of the decision of a direct item problem for the working equipment of hydraulic excavators of direct and return digging is presented. The problem decision is resulted in the formalized form.

Key words: direct item problem, hydraulic excavators, the working equipment.

' Позднее следует проверить допустимость применения тут понятий «инвариант» и/или «изоморфизм».