CC BY
32
УДК 539.376
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПОЛЗУЧЕСТИ МЕТОДОМ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Н. Н. Попов, Л. В. Коваленко, М. А. Яшин
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: [email protected], [email protected]
На основе статистической линеаризации определяющего соотношения ползучести и применения метода спектральных представлений случайных функций получено решение задачи о напряженном состоянии стохастически неоднородной плоскости. Стохастичность введена в определяющее соотношение установившейся ползучести при помощи случайной функции двух переменных. Показано, что стохастические неоднородности материала могут вызывать значительные флуктуации полей напряжений.
Ключевые слова: установившаяся ползучесть, статистическая линеаризация, стохастическая задача, спектральное представление случайной функции.
Разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач ползучести сталкивается с серьезными трудностями, связанными с физической и статистической нелинейностями определяющих соотношений. Поэтому аналитические решения плоских стохастических задач ползучести получены лишь в простейших случаях (растяжение плоскости с неоднородными свойствами материала) на основе линеаризации по методу малого параметра [1—4]. В данной работе приводится решение задачи о нелинейной ползучести стохастически неоднородной плоскости на основе спектрального представления случайной функции. Главной особенностью работы является то, что здесь не производится физическая линеаризация определяющего соотношения ползучести.
Пусть компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия
оц,з = 0, (1)
а компоненты тензора скоростей деформаций pj — условию
Л%] Лк1'Р]к,И = 0 (2)
которое получается из уравнения совместности для деформаций путём его дифференцирования по времени. Здесь Л^ —единичный антисимметричный псевдотензор. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.
Определяющее соотношение ползучести принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохасти-
Николай Николаевич Попов (к.ф.-м.н., доцент), докторант, каф. прикладной математики и информатики. Людмила Викторовна Коваленко, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. Михаил Александрович Яшин, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
ческой форме [1]:
Ру = сзП 1 (^гз - ^4^1 (! + аи(х1,х2)), (з)
где в — интенсивность напряжений:
2 1/о Л
5 = 2 (^<7ч<7ч — аиаи)!
5ц —символ Кронекера; и (х1, х2) —случайная однородная функция, описывающая флуктуации реологических свойств материала с математическим ожиданием (и) = 0 и дисперсией (и2) = 1; а — число, играющее роль коэффициента вариации реологических свойств материала; с, п — постоянные материала.
Соотношения (1)—(3) задают стохастическую задачу ползучести. Поставленная задача является физически и статистически нелинейной. В работах [1-4] при решении стохастических задач ползучести с целью физической линеаризации нелинейная функция вп-1 разлагалась в степенной ряд, и в этом разложении учитывались только линейные члены. Если ограничиться изучением только случайного поля напряжений, то при решении стохастической задачи можно обойтись без физической линеаризации. Физическая линеаризация вп-1 нужна только при рассмотрении случайного поля деформаций или перемещений. Предлагается следующий метод приближенного решения поставленной задачи относительно напряжений .
Уравнение совместности (2) в развернутой форме записывается в виде
р11,22 + р22,11 — 2р12,12 = 0 (4)
Выпишем компоненты тензора деформаций ползучести согласно (3):
А / \ . А . .
Р11 = ^ (2(711 — <722) , Р22 = у (2(722 “ <7ц) , ^12 = Аа\2,
где А (х1, х2) —случайная функция, определяемая соотношением
п — 1
А = с/1”1 (1 + аЦ)=с (в2) 2 (1 + аИ), и вычислим их производные, входящие в уравнение (4):
Рп, 22 = 2 {А, 22 (2(7ц — (722) + 2А,2 (2(7ц — <722),2 + А(2ац — (722),22) >
Р22,11 = 2 {А, 11 (2(722 — <7ц) + 2А,1 (2(722 “ ^п),! + А(2<722 ~ 0п),ц) ’ (^)
р 12,12 = А, 12а 12 + А,1а12,2 + А, 2а 12, 1 + Аа 12,12.
Производные случайной функции А (х1, Х2) вычисляются по формулам:
Д . !ул _ 1 п — 3 п —1
— = —-—(з ) 2 (1 + аи) + (« ) 2 а11,г,
С 2
А^ _ П-1 П-3 ( 2.п=ь п-1 п=з
■§2) 2 (1 + оси) И------— (®2) 2 (1 “Ь Ос11) + (6)
2 2 4 ' ’* ^ у 7 2
~2
Г) _ 1 п —3 п _ 1 п —3 п —1
(82)—сс8%и,< + (з2)— аз]ги,3 + (з2)— аи,гз.
с
Подставляя выражения (5), (6) в уравнение совместности (4) и сокращая
/ \ п~5
на величину (з2) 2 , можно получить следующее соотношение:
(^г)2 (! + ос11) + ^-^28222 (1 + оси) + (п - 1) А22а£/,2+ + (.в2)2 оси,22^ (2(711 - (722) + 2 ^ ^ ^ 82822 (1 + СкС7) + ^2)2 СкС/,2^ X
X (2(7ц - (722),2 + («2) (1 + аС/) (2(7ц - (722),22 + ^^^--------------- («д) X
х (1 + оси) + П ^ (1 + оси) + (п — 1) 82821о;?7,1 + ^2)2 скС/,ц^ х
х (2(722 — (7ц) + 2 ^— -----828д (1 + Ос11) + (§2) СкС/, 1^ (2(722 — ^п),! +
2
+ (s2) (1 + aU) (2(722 — c^ll) , 11 — 6^—-------------------- • —------5Д^2 (1 + aU) +
n — І 2 2 іл тт\ n — І 2 2 тт n — І 2 2 тт ( 2\ 2 Г7 \
Н---- —5 syl2 (1 + all) Н----- —5 sy2®u,i Н-------------2—5 s,iaUy2 + (5 ) «^,12 ) х
х (712 - б(—^—82821 (1 +aU) + (s2)2af/,i^(7i2,2-~ б(П 2 1§2§22 (1 + аЮ + (s2)2 OcU, 2) (712,1 —
n — І 2 2 /1 Г7Л і n — І 2 2 тт , n — І 2 2 тт і( 2\ 2
2„2 п , Л.т , _s2s2^alJ^ + _ „2„2 Л1ІТ . , .
П^1Ч2„2 , _rn і (Л\2 .
2 ' n — І 2 2
---Я r-
2
— б (s2)2 (І + aU) ^12,12 = О. (7)
Для выполнения статистической линеаризации представим тензор напряжений в виде суммы детерминированного слагаемого oij и флуктуации oij:
oj = o2 + oj, (vij) = o2 = const, (oj) = О. (В)
Будем считать флуктуации oj малыми настолько, что возможно пренебрегать произведения вида oj o* и aoj U. Интенсивность напряжений представим так же в виде суммы двух слагаемых:
s2 = s° + s *, где ( \ ( \ ( \
s2 = (olO2 + (022)2 + 3 (ol^2 — o1lo22,
s * = l1o1l + l2o22 + 6o12o12 , l1 = 2ol1 — o22, l2 = 2o02 — ol1.
В силу (В) имеют место следующие соотношения:
s,ij s *,ij, (s,i) (s *,i) ^ О
i , i , ij , ij , i
Тогда уравнение (7) примет вид:
(ks*,22 + aU,22) ll + (2oll — o*2),22 + (ks*,11 + aU, 11) і2+
+ (2o22 — o1l) ,11 — 6oі2, 12 — бks *, 12°12 — бaU, 12o12 = 0, (9)
lOl
где к = ^.
Подставив в уравнение (9) в0 и в *, получим линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно :
(2 + к^) ап,22 + (—1 + к1112) (а11,ц + ^22,22) + (2 + к1г) сг22,и +
+ 6ка02 211 (а12,22 — а11, 12) + ^2 (а12,11 — ^22,12)) —
— ^1 + 6к (^12) ^ а12, 12 = —а (11и,22 + 12и,11 — 6а12и, 12) . (10)
К этому уравнению необходимо добавить уравнение равновесия для флуктуаций напряжения:
*2з,з = 0. (11)
Введем функцию напряжений Р для флуктуаций тензора напряжений по формулам:
*11 = Р,22, *22 = Р,11, ^1*2 = —^12. (12)
Тогда вместо системы (10), (11) получим единственное дифференциальное уравнение относительно функции Р:
(2 + к^) р, 1111 + 2 ^2 + к1112 + 18к (^12) ^ Р, 1122 + (2 + к^2) Р, 2222
12ка02 (11Р, 1222 + 12Р, 1112) = —а (11и, 22 + 12и, 11 — 6а12и, 12) . (13)
Пусть функция и (х1, х2), с помощью которой задается случайное поле возмущений реологических свойств материала, является однородной и изотропной. Тогда она допускает спектральное представление в виде интеграла Фурье—Стилтьеса [5]:
+00
и (Х1, Х2) = УУ е^1х1+ш2х2)^ (^1, ^), (14)
—о
причём для случайного дифференциала ^ (ш1, ш2) выполняется условие стохастической ортогональности
(d<p (wi, W2) (w'j, Wg)) = -Sfj (wi, oj2) 5 (wi — Ц) 5 (сс>2 — wQ du)idu)2du),1du),2,
где Su (wi, w2) —спектральная плотность поля, 8 (x)-дельта-функция Дирака, а черта означает комплексное сопряжение.
При быстро изменяющемся случайном поле микронеоднородностей U (x1, x2) решение линеаризованной задачи (13) также будет однородным, и его можно искать в виде
+ СЮ
F = Ц е^(^1х1+ш2х2)в (wi, W2) # (wi, W2), (15)
— СЮ
где в (^1, ^2) — неизвестная весовая функция, которую можно вычислить из линейного уравнения, получающегося подстановкой представлений (14), (15) в соотношение (13):
а^2 + ^ - 6^52^2)
/3 =----------------д--------------, (16)
где
А = (2 + к^) + (2 + к^) — 12кст02 (11ш1ш| + 12ш^2) +
2, ,2 I 7„7 7 I 10 7., О Л2
+ 2w2^2 (2 + кІ1І2 + 18k (*02)2) .
Таким образом, компоненты тензора флуктуаций напряжений согласно (12), (13) можно вычислить по формулам
+ос
^mn —
--ос
JI e^^+^^mn (Wl, W2) (Wl, W2) , (17)
где ви = ш|в, в22 = ш2в, ві2 = —^і^2в- При помощи формулы (17) и известной формулы для вычисления дисперсий напряжений атп
Е [^шп] (|^шп| ),
получаем
+С0
Е [Стшп] = JJ (шЬ Ш2) вШп (ш, ^) Й^1 ^^2. (18)
—о
Спектральная плотность Би изотропного скалярного поля и зависит только от модуля волнового вектора ио = \/<л\ + а для дисперсии имеет место равенство [5]
Du — 2п У S (w0) w0dw0 — 1.
Поэтому целесообразно в интеграле (1B) перейти к полярной системе координат по формулам
W1 — W0 cos <£, W2 — W0 sin <£.
Тогда интеграл (1B) приводится к виду
2n
12
D [<Jmn] = J (32mn (sm<p, cos <p) dip, (19)
0
— c
0
где втп — известная рациональная функция переменных sin fi, cos fi. Функции Pij, входящие в (19), согласно (16), будут выглядеть следующим образом:
cos fi sin2 (fill sin2 fi + l2 cos fi — 6ct?2 sin fi)
Pn = -a------------------- ---------T----------------------
A1
cos fi sin fi (l1 sin2 fi + l2 cos2 fi — 6ct?2 cos fi sin fi)
(3n = a---------------------------------------------------------, (20)
A1
cos2 fi sin fi (l1 sin fi + l2 cos fi — 6ct?2 cos fi)
(322 =-a----------------------------д-------------------------------------, (21)
A1
где
A1 = (2 + kl|) cos2 fi + (2 + fcl2) sin4 fi — 12ka02 (l1 cos fi sin3 fi+
+l2 cos3 fi sin fi + 2 cos2 fi sin2 fi ^2 + kl1l2 + 18k (ст1^)2^ .
Численное вычисление дисперсий случайного поля напряжений согласно формуле (19) проводилось при одноосном растяжении (ст01 = ст0, ст02 = ст02 = = 0), равномерном растяжении (ст01 = ст02 = ст0, ст02 = 0 и чистом сдвиге
(ст°2 = СТ^ ст°1 = ст°2 = 0).
В табл. 1, 2 приведены значения коэффициента вариации нормального напряжения °%11] • 100%, характеризующего относительный разброс напряжений в зависимости от значений параметров n и а для одноосного и равномерного растяжений. В табл. 3 приведены значения коэффициента вариации касательного напряжения Д^о12^ • 100% при чистом сдвиге.
Как видно из таблиц, значения коэффициентов вариации для всех трех случаев являются величинами одного порядка. Зависимость коэффициента вариации от степени неоднородности материала а является линейной, что естественно, так как была произведена статистическая линеаризация относительно а. С увеличением показателя нелинейности n закона ползучести
Т аблица 1
Значения коэффициента вариации г>^°011^ • 100% при одноосном растяжении
(У.\п 1 2 3 4 5 6 7 8
0,1 4,901 2,796 2,005 1,581 1,314 1,129 0,993 0,888
0,2 9,803 5,593 4,010 3,162 2,627 2,257 1,985 1,775
0,3 14,704 8,389 6,016 4,743 3,941 3,386 2,978 2,663
0,4 19,606 11,185 8,021 6,324 5,255 4,515 3,970 3,551
0,5 24,507 13,982 10,026 7,905 6,569 5,644 4,963 4,439
Таблица 2
Значения коэффициента вариации Г>^°г011^ • 100% при равномерном растяжении
a\n 1 2 3 4 5 6 7 8
0,1 3,062 2,450 2,041 1,750 1,531 1,361 1,225 1,113
0,2 6,124 4,899 4,082 3,499 3,062 2,722 2,449 2,227
0,3 9,186 7,349 6,124 5,249 4,593 4,082 3,674 3,340
0,4 12,248 9,798 8,165 6,998 6,124 5,443 4,899 4,454
0,5 15,310 12,248 10,206 8,748 7,655 6,804 6,124 5,567
Таблица 3
Значения коэффициента вариации . 100% при чистом сдвиге
а\п 1 2 3 4 5 6 7 8
0,1 4,593 2,865 2,109 1,678 1,399 1,202 1,055 0,941
0,2 9,186 5,731 4,217 3,355 2,795 2,401 2,112 1,881
0,3 13,778 8,595 6,325 5,033 4,193 3,602 3,164 2,817
0,4 18,371 11,461 8,433 6,71 5,59 4,803 4,216 3,756
0,5 22,964 14,325 10,542 8,388 6,988 6,001 5,271 4,695
коэффициент вариации уменьшается при любых значениях а. Максимально возможное отклонение напряжений от среднего значения характеризуется утроенным коэффициентом вариации ( правило «трёх сигм»). Так, например, при одноосном растяжении при а = 0,5 максимальный разброс напряжения около среднего значения находится в пределах от 14,1% (п = 8) до 68,9% (п = 1). Таким образом, случайные флуктуации реологических свойств материала способны оказывать существенное влияние на оценку работоспособности элементов конструкций.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-01-00478-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния / В сб.: Математическая физика. — Куйбышев: КуАИ, 1976. — С. 69-74.
2. Радченко В. П., Попов Н.Н. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости // Изв. вузов. Машиностроение, 2006. — №2. — С. 3-11.
3. Попов Н. Н., Коваленко Л. В. Поля напряжений на границе стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. — №42. — С. 61-66.
4. Попов Н.Н., Самарин Ю.П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1981. — № 1. — С. 159164.
5. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968. — 464 с.
Поступила в редакцию 20/УП/2009; в окончательном варианте — 27/1Х/2009.
MSC: 74E35, 74K20
SOLUTION OF PLANE NONLINEAR STOCHASTIC PROBLEM WITH SPECTRAL REPRESENTATION METHOD
N. N. Popov, L. V. Kovalenko, M. A. Yashin
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mails: [email protected], [email protected]
Solution of a stress condition of stochastic heterogeneous plate problem was obtained, on the basis of statistic linearization of determinative creep equation and by using a method of spectral representation of random functions . Stochasticity is introduced into determinative creep equation by random function of two variables. It was proved, that stochastic nonhomogeneities of material can lead to significant fluctuations of stress fields.
Key words: steady creep stage, statistic linearization, stochastic problem, spectral representation of variate.
Original article submitted 20/VII/2009; revision submitted 27/IX/2009.
Nikolay N. Popov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Ludmila V. Kovalenko, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Mikhail A. Yashin, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
