CC BY
20
УДК 539.376
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Н. Н. Попов, М. А. Яшин
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: [email protected]; [email protected]
Приводится решение нелинейной краевой задачи установившейся ползучести при чистом сдвиге стохастически неоднородной полуплоскости. Задача решается в корреляционном приближении на основе метода спектрального представления случайной функции. На основе полученного решения проведён статистический анализ поля напряжений вблизи границы полуплоскости. Показано, что в пограничном слое 'разброс напряжения значительно больше, чем в глубинных слоях.
Ключевые слова: стохастическая неоднородность, статистическая нелинейность, установившаяся ползучесть, чистый сдвиг, спектральное представление случайной функции.
Приближенный метод решения плоских стохастической задачи ползучести рассматривался в работах [1, 2]. Этот метод основывался на ряде допущений, среди которых одним из существенным было допущение о том, что краевые условия пренебрежимо мало влияют на напряженно-деформированное состояние в достаточно удалённых от границы в точках. Однако вблизи поверхности тела, где задаются детерминированные граничные условия, возможно увеличение коэффициента вариации напряжения. Поэтому для поверхностных слоев требуется дополнительный анализ влияния стохастических микронеоднородностей на напряжённо-деформированное состояние.
Пусть к границе стохастически неоднородной полуплоскости Х2 ^ 0, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, приложено только касательное напряжение:
*22 |х2 =0= °, *12 |х2 =0 = *° = COnst. (1)
Определяющие соотношения ползучести принимаются в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [2]:
Pij = csn~l{aij - ^6ijammj (1 + aU(xi,x2)), (2)
где s = ^/0,5(3(7^-(Ту — (Tudjj)—интенсивность напряжений; — компоненты тензора скоростей деформаций; 6ij —символ Кронекера; U(х1,х2) — случайная однородная функция, описывающая возмущения реологических
Николай Николаевич Попов (к.ф.-м.н., доц.), докторант, каф. прикладной математики и информатики. Михаил Александрович Яшин, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
свойств материала с математическим ожиданием (U)=0 и дисперсией (U2)=1; a — число, играющее роль коэффициента вариации реологических свойств материала; c, n — постоянные материала. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.
Пусть компоненты тензора напряжений о, удовлетворяют уравнениям равновесия
j = 0 (3)
а компоненты тензора скоростей деформаций pj — условию
Лij ^Wjk,ii = 0, (4)
которое получается из уравнений совместности для деформаций путём дифференцирования по времени. Здесь л, —единичный антисимметричный псев-
дотензор.
Соотношения (2)—(4) при краевых условиях (1) задают стохастическую краевую задачу ползучести, которая в дальнейшем решается приближенно относительно напряжений.
Пусть тензор напряжений о, представлен в виде суммы двух слагаемых — детерминированной части о° и флуктуации о*:
oij = o°j + о*, {oij) = o°j = const.
Линеаризация двумерной задачи ползучести была произведена в работе [3]. С целью физической линеаризации функция sn, входящая в определяющие соотношения (2), была разложена в степенной ряд и в этом разложении были учтены только линейные члены. Для статистической линеаризации определяющих соотношений (1) использовалось корреляционное приближение теории случайных функций, то есть предполагалось, что произведениями вида o*jo*i и aojU допустимо пренебречь. В результате система (2)-(4) сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно флуктуации напряжений o*j:
(2 + kl2) о 11,22 + ( —1 + k1112)(o11,11 + о22,22) + (2 + к12)о22,11 +
+ 6ko°2 (11(о 12,22 — о11,12) + ^2(о 12,11 — о22,12)) — 6(1 + 6ко°2)о12,12 =
= —a(11U,22 + ^2 U, 11 — 6o°2U, 12), (5)
где h = 2о°1 - 0°2, 12 = 2о°2 - 0°1, S° = (о°1)2 + (о°2)2 - О^О^ + 3(о°2)2,
к = (п - 1)/(2s2).
В силу того, что детерминированные части напряжений о°1 и о°2 для случая чистого сдвига равны нулю, а о12|Х2=° = о° = const, имеем 11 = 12 = 0, = 3(о°)2, k = (п - 1)/(6(о°)2).
Тогда дифференциальное уравнение (5) примет вид
2о 11,22 - 011,11 - О22,22 + 2о22,11 - 6no12,12 = 6ao°2U,12- (6)
К уравнению (6) необходимо добавить уравнения равновесия для флуктуаций oj:
о j = 0. (7)
Краевые условия для системы (6), (7) имеют вид
*22|х2=0= 0, СТ121x2=0 = 0 (8)
Пусть случайная функция и (Ж1,Ж2), описывающая возмущения реологических свойств материала, является однородной и изотропной. Тогда она допускает спектральное представление в виде интеграла Фурье—Стилтьеса
+оо
и (Ж1,Ж2) =^У еШк Хк (^1,^2), (9)
— о
причём для случайного дифференциала ^^(ш1 ,ш2) выполняется условие стохастической ортогональности:
(d<p(u)i, u)2)d(p(u)'l, ш'2)) = Su(u) 1,U)2)S(U)1 — U}'1)S(lJ2 — u2)duidu2du[du2,
где Su(w^ w2) —спектральная плотность поля, £(x) —дельта-функция Дирака, а черта означает комплексное сопряжение.
Решение краевой задачи (6), (7) в произвольном сечении пространства Х2 = const можно искать в виде [4]
+оо
*ы = JJ еШ1Х1 Pkl(Wi,W2)d<p(X2,Wi,W2), (10)
— сю
где вы(х2, ^1, ш2) — неизвестные весовые функции координаты х2 и параметров Ш1 и ш2.
В результате подстановки (9), (10) в (6), (7) получается система неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
iwieii + в12,2 = 0, iwiei2 + в22,2 = 0,
2^11,22 + W^ii — в22,22 — 2w2^22 — 6niWiei2,2 = —баСТ0^ WiW2eil
(11)
Общее решение системы (11) имеет вид
вг3 = ^ CkUkj erkХ2 + ,
k=i
(12)
где ^ — частное решение системы; Ск — произвольные постоянные; ик — координаты собственного вектора, соответствующего корню Гк характеристического уравнения системы:
det B (r) =
iwi 0 r
0 r iwi
2r2 + w2 —(r2 + 2w2) —6niwir
0.
(13)
Решая характеристическое уравнение (13), получим следующие корни:
Т 1;2 = У Зп - 1 ± л/з (п - 1)(3 п + 1),
у2
г3,4 = у Зп - 1 ± л/з(п - 1)(3п + 1).
у2
Координаты собственного вектора, определенные из матричного уравнения В(г)У = 0, оказались следующими: = —г^, ик2 = ^2, ик2 = гк.
Частное решение системы (11) можно искать в виде
№ = /к^2 Х2. (14)
Постоянные // можно найти из системы алгебраических уравнений, которая получается подстановкой (14) в систему (11):
3аст02 3аст02^1Ш2
Ь— 12~ 12 £
- ~ Л ■ Л ■ /о..--------------------.V .2. .2 5 Л1 -
^4 + ^4 + (зп —1)^2^2’ ^4 + ^4 + (зп —1)^2 ^2 ’
_ Зок7?2ш1ш2
22 ш\ + Сс>4 + (Зп — 1)сс>2сс>2 Таким образом, общее решение системы (11) имеет вид
011 = —С1г2еГ1 Х2 — С2г|еГ2 Х2 — Сз г2еГ3 Х2 — С4 г|еГ4Х2 + /ив^2Х2 ,
022 = С1г2еГ1Х2 + С2г|еГ2Х2 + Сзг2еГ3Х2 + С4г|еГ4Х2 + /22е^2Х2 ,
в12 = С1гш1г1еГ1Х2 + С2гш1г2еГ2Х2 + С3гш1г3еГзХ2 + С4гш1г4еГ4Х2 + /12егШ2Х2.
В силу ограниченности решения на бесконечности следует, что постоянные Сз, С4, находящиеся при положительных корнях характеристического уравнения, равны нулю. Для нахождения двух других постоянных интегрирования используем условия
&>Ц=0=°. А2Ц=0 = °, (15)
которые получаются из граничных условий (8). Подставляя условия (15) в общее решение (12), получим систему
С^2 + С2^2 + С22 = 0, С1*Ш1г1 + С2*^1г2 + С12 = 0,
из которой находим значения постоянных интегрирования:
^ _ ^/22^2 — /12^1 ^ _ /12^1 — 2/22П
1 ш\{Г1-Г2) ’ 2 ш\{Г1-Г2) ’
Таким образом, весовые функции имеют следующий вид:
*/22^2 /і2^1 2 Г1Х2 /і2^1 */22^1 2 г2ж2 і f ггш2Х2
~27 ~\ '2® + Л1е )
г^2(гі — Г2) г^2(гі — Г2)
= */22^2------1иШ1ег1Х2 + /12^1----------*/22ПеГ2Ж2 + ^^2*2 (1б)
і(гі — Г2) і(гі — Г2)
^ = г/22Г2 — /12^1 Гіе?-іа;2 + /12^1 - г/22п + д2е^2Ж2_
^і(Гі — Г2) Ші(Гі — Г2)
При помощи формулы (10) и известной формулы для вычисления дисперсий напряжений D [amn] = (|amn|2) получаем
+оо
Dmn(Ж2) = jj SU(^1,^2) |втп(Ж2,^1,Ш2) |2 d^id^2. (17)
—о
Спектральная плотность Su изотропного скалярного поля U зависит только от модуля волнового вектора Uo = л/w2 + а для дисперсии имеет место следующее равенство [4]:
г+о
D^ = 2п / S(wo)wodwo = 1.
Jo
Поэтому целесообразно в интеграле (17) перейти к полярной системе координат по формулам w1 = w0 cos w2 = w0 sin Тогда интеграл (17) приводится к виду
1 f27T --------------------------------------
Dmn(x2) = — Pmn(x2, sin ip, cos ip) f3mn(x2, sin ip, cosip) dip, (18)
2n Jo
где вшп(х2, sin cos ^>) получается из (16) путём перехода к полярным координатам.
Полученные результаты позволяют проанализировать основные особенности пограничного слоя при ползучести. Используя выражение (18), можно найти статистические характеристики случайного поля напряжений в любой
Исследуем концентрацию напряжений, возникающую на границе полуплоскости Х2 = 0. Концентрация напряжений определяется коэффициентом изменчивости среднего квадратического отклонения Р = \/Du(0)/л/D11 (оо). Значения р в зависимости от степени нелинейности материала n приведены в табл. 1.
В табл. 2 приведены значения величины d\\ = = (л/-0ц(0)/<т°)100%, характеризующей относи-
тельный разброс напряжений стц, в зависимости от переменных а и n на границе полуплоскости Х2 = 0. На рисунке представлены зависимости нормированных дисперсий напряжений Dj = Dj(x2)/Dj (то) от координаты x2 при n = 3. Нормированные
дисперсии D°i и Do2 на границе полуплоскости равны нулю, а D°i принимает наибольшее значение, равное 2,374. С ростом Х2 дисперсии довольно быстро приближаются к постоянным значениям, совпадающим с их значениями для неограниченной среды.
Таблица 2
'"a-'-iL 1 2 3 4 5 6 7 8
од 10,606 8,557 7,425 6,673 6,124 5,698 5,355 5,071
0,2 21,213 17,114 14,85 13,346 12,247 11,396 10,711 10,142
0,3 31,819 25,671 22,275 20,019 18,371 17,095 16,066 15,213
0,4 42,426 34,227 29,7 26,692 24,495 22,793 21,421 20,284
0,5 53,032 42,784 37,125 33,365 30,619 28,491 26,777 25,355
точке полуплоскости.
Таблица 1
п Р
1 1,789
2 2,133
3 2,374
4 2,562
5 2,718
6 2,852
7 2,971
8 3,076
Db
Таким образом, в поверхностном слое флуктуации напряжений достигают заметных величин, которые могут быть значительно больше, чем для глубинных слоев. Отсюда ясно, что флуктуации напряжений в пограничном слое играют существенную роль при решении вопроса о надежности конструкций по критериям длительной прочности и мгновенных локальных разрушений за счет выбросов напряжений. Неучёт краевых эффектов может привести к необоснованному завышению оценок
работоспособности конструкций в условиях ползучести.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 10-01-00644-а).
1 1
; 2 і / 3
10
Зависимость Dj от координаты х2 при n = l — 011; 2 — г 12; 3 — 022
3:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряжённого состояния | В сб.: Математическая физика. — Куйбышев: КуАИ, 1976. — C. 69-74.
2. Радченко В. П., Попов Н. Н. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости || Изв. вузов. Машиностроение, 2006. — №2. — C. 3-11.
3. Коваленко Л. В., Попов Н. Н., Радченко В. П. Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести || ПММ, 2009. — Т. 73, №6. — C. 1009-1016; англ. пер.: Kovalenko L. V., Popov N. N., Radchenko V. P. Solution of the plane stochastic creep boundary value problem // Journal of Applied Mathematics and Mechanics Vol. 73, No. б. — P. 727-733.
4. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчётах сооружений. — М.: Стройиздат, 1982. — 352 с.
Поступила в редакцию 01|II|2010; в окончательном варианте — 15|III|2010.
MSC: 74E35, 74K20
THE STUDY OF RANDOM FIELDS OF STRESS IN PURE SHEAR STOCHASTICALLY INHOMOGENEOUS HALF-PLANE UNDER CREEP
N. N. Popov, M. A. Yashin
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mail: [email protected]; [email protected]
We studied the solution of a nonlinear boundary value problem of the steady-state creep at pure shear of a stochastically non-uniform half-plane. The solution of the problem is searched in correlation approximation on the basis of a spectral representation of random function method. On the basis of the received solution the statistical analysis of stress field near to half-plane boundary is carried out. It is shown, that in an interface dispensing of stress much more, than for deep layers.
Key words: stochastic heterogeneity, the statistical nonlinearity, the steady-state creep, pure shear, spectral representation of random function.
Original article submitted 01 /II/2010; revision submitted 15/III/2010.
Nikolay N. Popov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Michail M. Yashin, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
