Решение некоторых алгебраических задач с помощью теоремы Пифагора Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

1 2 3

Рахимов Н.Н. , Хакназарова Х.К. , Козакова Ф.Н.

1Рахимов Насриддин Номозович - преподаватель высшей категории математических наук,

заведующий кафедрой, кафедра математики и информатики, академический лицей; 2Хакназарова Хуршида Кенджаевна - учитель высшей категории, академический лицей Самаркандский государственный иностранный институт, г. Самарканд;

3Феруза Норовна Козакова - учитель начальных классов, школа № 12,

с. Кулба, Форишский район, Джизакская область, Республика Узбекистан

Аннотация: многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки. В статье указано, как с помощью теоремы Пифагора решены некоторые алгебраические задачи. В каждом этюде приведены геометрические приемы решения задач.

Ключевые слова: теорема Пифагора, прямоугольный треугольник, функция, уравнение, неравенство, система уравнение и тригонометрия.

УДК: 514

Известно, в прямоугольный треугольники а2+Ь2=с2, где а и Ь - катеты, с -гипотенуза (теорема Пифагора). Об этом теореме все ученики хорошо знает по курсе геометрии.

Мы на этом статье покажем с помощью теорему Пифагора не только решить геометрический задачи, но и можно решить алгебраический задачи. Все задачи разделим на 4 частей:

1) Найти наибольший и наименьший значение функции;

2) Решить систем уравнение;

3) Решить тригонометрический задачи;

4) Решить уравнение и неравенство.

Решить задачи в этом методы ученики ещё более интересовали на уроки математике.

1. Найти наибольший и наименьший значение функции

1-задача. Найдите наименьший значение функции

/(х, у, 2) = л/X2 +1 + д/у2 + 4 + л/£2 + 9 , если числа х, у, 2 - положительны

и х+у+2=8.

Рис. 1. Рисунок по условию задачи

Решение. Рисуем следующие рисунке (1 рис.). Данная функция (сумма) - это длина ломаной линии, помещенной на рисунке (здесь каждое слагаемое АВ, ВС, СБ соответственно гипотенуза трёх прямоугольный треугольник). Аналогично, длина ломаной линии не меньше 10 и из условии задачи х+у+х=8. Минимум суммы будет

только ломаная при этом совпадает с отрезком АБ, поэтому /тп (X, у, г) = 10 [3],

2-задача. Найдите наибольший значение функции

f (x) = Vx2 + 9-л/x2 -Хл/э +1

Решение. Посмотрим треугольник ABC (2 рис.),

Рис. 2. Прямоугольный треугольник по условию задачи

здесь ZACB = 900, ZACD = 300, AC = x, BC = 3, CD = 1 и точка D расположена внутри треугольника ABC. В треугольнике АВС применяем теорему

Пифагора: AB =л/ Х + 9 . В треугольнике ACD применяем теорему косинусов:

AD = Vx2 - Хл/3 +1. Тогда, max f(x) = max( AB - AD) = EB - ED = DB, этот способ выполнить только будет(из неравенство треугольнике) D £ AB. Из

теорему косинусов: DB = V12 + 32 — 2 • 1 • 3 • COS 60° = yfl .

Значить ответ: fmax (х)=л/7 [3]. 2. Решить системе уравнение

3-задача. Решить системе уравнение

x + y + z = 60

2 2 2 x2 + y2 = z

Xy = 12

z

Рис. 3. Прямоугольный треугольник по условию задачи

Решение. 1) Пусть x, y, z - положительная числа. Рисуем ABC- прямоугольный треугольник, длина катеты x и y, а гипотенуза z (3 рис.). Периметр этого треугольника р=60, а высоты опущенный на гипотенуза h=12. Написать можно первые уравнение из системе (x+y)2=(60-z)2, вторые и третье уравнение из системе

(x+y)2=z2+24z. Очевидно, (60-z)2=z2+24z ^ 144z=602 ^ z=25.

Г x + y = 35

Тогда будет s , значение неизвестных этого уравнение 5 и 20. Значить,

[xy =300

корень систему уравнение (15, 20, 25) и (20, 15, 25).

2) В условии задача не говорили о числа а,в,с положительны или отрицательны. Из третьего уравнение системы предположим двух неизвестных будет отрицательны. Мы смотрим вверху z>0. Тогда x<0 и y<0. Из X + y = 35, x, y-положительный. Значить, ответь (15, 20, 25) и (20, 15, 25) [1], [2]. 3. Решить тригонометрический задачи 4-задача. Вычислить

arctg2+arctg3+arctg1 (1) Решение. Выполним следующие построения:

Рис. 4. Используем определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике arctg3 = Z ACM, arctg2= z BCN

Тогда arctg1= z ВАС, так как Z ВСА- острый уголь прямоугольного

равнобедренного треугольника ABC с прямым углом В(ВС=АВ=^[5, AC=V10 по теореме Пифагора, см. чертеж) , а по теореме, обратной теореме Пифагора, AC2 = АВ2+ВС2 то есть 70=5+5,(следовательно Z СВА = 90°, а Z ВСА = 45°). Таким образом,

arctg2+arctg3+arctg1= z ВCN+ z ACM+ z BCA = z MCN= 180° = п. Ответ: п. 4. Решить уравнение и неравенство

5-задача. Решить уравнение. л/х2 -5x72 + 25 + л/Х7-12^/2+144 = 13 Решение. Рисуем АВС-прямоугольный треугольник и проводит СБ-биссектриса (5 рис.).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник по условию задачи Прямоугольный треугольники ADC и BDC применять теорема косинусов, возьмём

результат AD = л1х2 - 5x72 + 25 и BD = <Jx2 -12xV2 +144 . Известно, AB=AD+BD=13 и CD=x- биссектриса. Тогда,

42 • ac • bc 42 • 5 -12 60V2 60V2

CD = x =-=-=-. Значить, ответ x =-, [1]

AC + BC 5 +12 17 17

2 г—т a + b

6-задача. Доказать неравенство. j" — "V ab — ~ (a > О, Ь > 0).

— + —

ab

Решение. Построена полуокружность с диаметром a+b (6 рис.).

Рис. 6. Прямоугольный треугольник внутри полуокружности

Г~Г а + Ь

Известно, что АБ=а, ВБ=Ь, СБ=л/ аь , ОС=-. Из подобие ОСБ и СБЕ

2

прямоугольный треугольников получить результат

СЕ СБ СЕ 4аЬ 2аЬ 1

^ -;= =-т- ^ СЕ =

СБ СО ТаЬ а+Ь а + Ь 11'

2 а Ь

Видно на рисунке СЕ<СБ<СО. Равенство выполняет только будет а=Ь. Доказать неравенство. [3]

Задача для самостоятельная работа.

№ 1 Найдите наименьший значение функции

f (x) = yj 1 + x2 - x + 4 + x2 - Хл/3 .

№ 2 Решить уравнение.

а) у1х2 + 4 +л/х2 -Зхл/З + 9 = ^19, л12х 2 + 2 - 4х + х72 + Л^2ХГ+2-2х = л/6

№ 3 Вычислить.

.Г 2 1 ^

а) Бт! аг^ — + аг^ — I № 4 Решить системе уравнение

х + у + 2 = 30

(

Ь) Бт

2

2 агссоБ —== , л/5.

Л

а)

Ь)

ч I . -12

с) tg | 2агсБт —

2 , 2 X + у

ху = 6 2

х + у + X2 - у2 = 12 В ул1х 2 - у2 = 12

Список литературы

1. Абдухамидов А.У., НасимовХ.А. и др. Алгебра и основы математического анализа. Учебник академического лицея. Ташкент. Издательство «Учитель», 2012.

2. Исраилов И., Пашаев З. Геометрия. 1 часть. Учебник академического лицея. Ташкент, Издательство «Учитель», 2004.

3. Яковлев Г.Н., Купцов Л.П. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. Москва. Издательство «Просвещение», 1992.

2

2

<