CC BY
67
Список литературы 1. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972 г. С. 284.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
12 3
Рахимов Н. Н. , Тагирова З. Г. , Джумаев М. М.
1Рахимов Насриддин Номозович /Rahmov Nasriddin Nomozovich - преподаватель;
2Тагирова Зухра Гулямовна / Tagirova Zuxra Gulyamovna - преподаватель; 3Джумаев Максуд Мияссарович /Djumayev MaqsudMiyassarovich - преподаватель,
Академический лицей № 2 Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье указаны с помощью теоремы косинуса методы решения некоторых алгебраических задач. В каждом этюде приведены геометрические приемы решения задач. Они, как правило, не обладают для учащихся признаком привычности, но, как показывает опыт, легко ими воспринимаются. Благодаря интеграции «негеометрического» условия задачи и ее геометрического решения математические знания предстают перед учащимися как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики. По существу, действует двусторонний процесс: обучение математике и обучение математикой. Некоторые задачи, дорогие коллеги, могут показаться вам сложными для выбора их в качестве упражнений на уроке, тогда можно рассмотреть их на факультативных занятиях.
Ключевые слова: теорема, треугольник, функция, уравнение, неравенство, система уравнений.
Известно, из теоремы косинусов верна следующая формула a2 = b2 + c2 — 2bccosa , где a, b и c -стороны треугольнике. Об этой теореме все ученики хорошо знают по школьному курсу геометрии.
Мы на этой статье покажем: с помощью теоремы косинусов можно не только решить геометрические задачи, но и можно решить алгебраические задачи.
Решить задачи в этом методе учеников ещё более интересовало на уроке математики.
1-задача. Найдите наибольшие значения функции
f (х) = V х2 + 9 — 4 х2 — хл/3 +1
Решение. Посмотрим треугольник ABC (1 рис.),
Рис. 1. Над рисунками найдем отрезок DB 12
здесь ZACB = 900, ZACD = 300, AC = x, BC = 3, CD = 1 и точка D расположена внутри треугольника ABC. В треугольнике АВС применяем теорему
Пифагора: AB = 4x^+9 .
В треугольнике ACD применяем теорему косинусов: AD = ^ x2 — xV3 +1. Тогда, max f (x) = max( AB — AD) = EB — ED = DB, этот способ выполнить только будет(из неравенство треугольнике) D е AB.
Из теоремы косинусов: DB = л/12 + 32 — 2 • 1 • 3 • cos600 = V7 .
Значит ответ: /max (x) = V7 . [1]
2-задача. Решить уравнение. 4x2 — 5xV2 + 25 Wx2 —12x72 +144 = 13 Решение. Рисуем ABC-прямоугольный треугольник и проводим CD-биссектрису (2 рис.).
Рис. 2. Изображение CD-биссектрисы Прямоугольные треугольники ADC и BDC, применять теорему косинусов,
возьмём результат AD = -Jx2 - 5x72 + 25 и BD = л/x2 -12x72 +144 . Известно, AB=AD+BD=13 и CD=x-биссектриса.
~ ^ 72 • AC • BC 72 • 5-12 6072 п 6072 hi
Тогда, CD = x =-=-=-. Значит, ответ: x = бил/2 . 111
AC + BC 5 +12 17 17
3-задача. Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18.
Рис. 3. Над рисунками найдем отрезок x
Рассмотрим сектор ОАВ окружности с центром в точке О и радиуса 1(центральный уголь равен 360). Проведём хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС = АВ, при этом Z АСВ= Z АВС=72°,
а Z САВ=36° (3-рисунок). Таким образом, ОС=АС. Пусть АВ=х, а СВ=1-х. Так как АС - биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция
1 X
- = — (биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные к прилежащим сторонам), откуда х2+х-1=0, (х>0),
х = . По теореме косинусов: АВ2 = OA2 + OB2 - 2 • OA • OB • сов ZAOB
2
х2 = 1 +1 -2• сов360, х = л/2(1 -сов360) = 2в1п180. Тогда 51П180 = £ = ^-1.
2 4
Ответ: ^ -1. [2, 4] 4
4-задача. Для положительных х, у, г, а, Ь, с чисел верно следующее систем уравнений
2 2 2
х + ху + у = а
^2 + + ^2 _ ^2 Найти значение суммы ху+уг+гх.
2 2 2 7 + 2Х + X = С
Решение. Построить график соответственно условиям задачи (4 рисунок).
Рис. 4. Над рисунками найдем площадь треугольников AMB, BMC, AMC
Из теоремы косинусов будет x2+xy+y2=a2, y2 +yz+z2=b2, z2 +zx+x2=c2. Теперь площади треугольников BMC, AMC, AMB соответственно так
S2 , S3 ;
тогда будет S xy; = —yz; = — zx
1 4 J 2 4 J З4
/3
В этом случай ^ + S2 + S3 = SAB(-., то У— (xy + yz + zx ) =
Тепер найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона. ¡a + b + c a + b - c a + c - b b + c - a
2 2 2 2 Значит значение суммы xy+yz+zx равно
/3 i _
— (xy + yz + zx) = ^ y[(a+F+c(a~+~b—c)(aTc—b)(b+c—a) xy + yz + zx = ^(a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - aI [2, 3]
5-задача. Решить уравнение 42-2оозх +410 -боозх = 410 -6ооз2х, где х е (0;у).
Решение. Решим этого уравнение с теорему косинусов. Построим следующий рисунок (5 рисунок).
Рис. 5. Из условий задачи построим приблизительный рисунок
Аналогично, из рисунка BD = 42-2cosx ; DC = J 10 -6cosx; BC = V10-6cos2x. Из условий задачи BD+DC=BC. Значит точка D, принадлежащая отрезку BC. Поэтому отрезок AD будет биссектриса треугольника ABC.
Рис. 6. Из свойств биссектрисы найдем угол х Из свойств биссектрисы (6 рисунок)
^ = 2-АВ-АС-ео8х, С08Х = АР-(АВ + АС) = 1(1+3) = 2 . Ответ:х = агоооз2. [2, 4]
АВ +АС 2-АВ-АС 2-1-3 3 3
Задачи для самостоятельных работ.
№ 1. Найдите наименьшие значения функции /(х) = V1 + х2 — х + -\] 1 + х2 — х^/3 . № 2. Решить уравнение -\1х2 + 4 + 7х2 — Зхл/3 + 9 = 419.
Литература
1. Генкин Г. 3. Геометрические решения негеометрических задач: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2007. 79 с.
2. Исраилов И., Пашаев З. Геометрия 1-часть. Учебник академического лицея. Ташкент. Издательство «Учитель», 2004.
3. Абдухамидов А. У., Насимов Х. А. и др. Алгебра и основы математического анализа. Учебник академического лицея. Ташкент. Издательство «Учитель», 2012.
4. Яковлев Г. Н., Купцов Л. П. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. Москва. Издательство «Просвещение», 1992.
