CC BY
14
III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.98 © С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
О КОЛЕБАНИЯХ ОСЦИЛЛЯТОРА НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-08-00309-А)
В статье решается начально-краевая задача о колебаниях механической системы в виде осциллятора на упругом стержне с закрепленными концами.
Ключевые слова: собственные частоты, собственные формы, условие ортогональности, начально-краевая задача, ряд Фурье.
S.G. Barguev, A.D. Mizhidon
SOLUTION OF THE INITIAL BOUNDARY PROBLEM ON VIBRATIONS OF THE OSCILLATOR ON AN ELASTIC ROD
In this article the initial boundary problem on vibrations of mechanical system that is an oscillator on the elastic rod with fastened ends is solved.
Keywords: own frequency, own forms, orthogonal condition, initial boundary problem, Fourier series.
Введение
При исследовании колебаний упругих систем возникает необходимость учитывать начальные условия - положение и скорости точек системы в начальный момент времени. Это, во-первых, дает возможность получить выражения для положений и скоростей точек системы в любой момент времени, во-вторых - решать задачи, связанные с ударным воздействием на систему различных внешних возмущений. При учете начальных условий и условий закрепления на краях систем расчет их колебаний называется начально-краевой задачей.
В случае стержней с различными типами закреплений на концах при рассмотрении как продольных, так и поперечных колебаний, начально-краевая задача решается методом Фурье, используя ортогональность сис-
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
темы тригонометрических функций. При учете точечной массы или пружины, закрепленной на свободном конце стержня, задача решена методом Фурье, но условие ортогональности сложнее, здесь не используется ортогональность системы тригонометрических функций [1].
В данной работе решается начально-краевая задача для системы: упругий стержень с неподвижными краями с установленным на нем в произвольном месте осциллятором в виде твердого тела на пружине. Получено условие ортогональности, использующее вид амплитудных уравнений и собственных функций задачи на собственные частоты. Затем производится разложение поперечных смещений точек стержня и смещения твердого тела в ряд по собственным функциям с коэффициентами в виде гармонических функций с неизвестными амплитудами и гармоническими функциями с теми же амплитудами, но неизвестным множителем. После подстановки указанных смещений в уравнения движения системы и интегрировании по длине стержня (с использованием найденного условия ортогональности) находятся неизвестные амплитуды и множители.
1. Разложение в ряд по собственным формам
Решение начально-краевой задачи
+р 2(2 - и(а,г))= о
+ Ь —- = е (2 - и(х, г)) 3(х - а)
д2и + 84и
д
и(х,0) = £(х), -и(х,0) = f2(x) (11)
2(0) = 2о^(0) = 2, о
т
и(0, г) = 0, и(1, г) = 0
ди ди
—(0, г) = 0,—(I, г) = 0
дх дх
будем искать в виде рядов
2(г) = Х Л,ф, (г) (12)
г
и( х, г) = ^ф, № (х) (13)
г
Подставляя в (11) , получим
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне
- 2
X А, -2 ф, (*) + р 2(Х АФ, (О (*(а)) = о
, VI , ,
-2 -4
Х-2Ф'« V(х)+ьХФ,(ОV(х)=
= е (X Аф, (*)-ХФ, т (х))3(х - а)
,,
Отсюда для 7-ой составляющей этой системы получим
-2 2
Ф,(*) + р (А, -V(а))Ф(*) = 0
- 2
-2 -4
—Фг(*) V(х) + ЬФг(*)—V(х) = (14)
= е Ф,(*)(А, - V (х))д(х - а) Разделив первое и второе уравнения системы (14) на Ф{ (*) Ф 0, получим
-2 а / ч
■^—А, + р2(А, -V(а)) = 0 Ф )
-2 ^ '
Фг ({) д4
^—У, (х) + Ь— V(х) = е (Аг - V(х))3(х - а) Фг (*) -х
-2 а / ч
а*"Ф(0 2
Положив -= -а2, получим, что каждая составляющая рядов
Ф (*)
(12-13) изменяется со временем по гармоническому закону с собственной частотой а,., постоянной амплитудой для твердого тела и переменной амплитудой V, (х) для точек стержня, которую назовем собственной формой, соответствующей собственной частоте а{.
Из начальных условий задачи (11) для смещений получим
ХФ, 0 V, (х) = М х) (15)
ХФг0 Аг = ^ (16)
или ХФ, 0 V, (х) = м х) (17)
ХФ«-^~2ГЛа) = 20 (18)
, Р - а,
Домножим (17) на Vj (х) и проинтегрируем в пределах от х = 0 до
х = I:
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
ХФ ¡V (х) V (х) тх = | Л( х) V. (х) тх.
(19)
V, (а)
Домножив (18) на е—^-- , получим
Р - - , е р2
' 0 /" „2 ,-,2ч/„2 ' -
(р2 - -2)(р2 - со2) Сложив (19) и (20), получим
V (а) V, (а) = 2,
0 2 2 , р - со
V, (а)
(20)
+ -
е р
1Ф,0(Ь (х)*, (х) тх 2 2)
10 (Р - -)(Р - —)
г
V, (а)^ (а)) = ¡ У1( х) V, (х) Л е
0
Из условия ортогональности
(21)
: + 2.
0 2 2 . р - со
V, (а)
I
¡V (х^ (х) тх
+-
е р
( 2 2)( 2 -27 V(^(а) = (Р - -)(Р - -,)
0, г * .
г
¡V 2( х) тх
+ еР V2(а),г = -
,0 (Р2 --2)2 '
полученной в [2] вытекает, что в (21) только один член при г = - не равен нулю, то есть
I
Фю(^г 2( х) тх
+
е р
(р2 - - 2)2 '
V2 (а)) =
I
¿( хщ (х) тх
+ 2,
0 2 2 1 Р - -
V (а)
Отсюда
¡ л( x)vi (х) тх
Ф,0 =
+ 2,
0 2 2 г Р - - 2
V (а)
х) тх
+ V2 (а)
(22)
0 ( р 2 - - 2)2
Из начальных условий задачи (11) для скоростей получим
1ф, 0 V (х)=л( х)
г
Ефй0 4 (х) = 2г0 .
е
е
е
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне
Выполняя аналогичные преобразования, что и в (19)-(22), получим
i
¡ f2( x)V (x) dx + Vt (a)
ф, - ^-P~—^--(24)
fV2( x) dx + WCf V 2(a)
Временной множитель ф{ (t) в рядах (12-13) удовлетворяет уравнению
а2 2
—- ф{ (t) + со2 ф{ (t) - 0 , которое имеет решение ф{ (t) - C{ sin coi t + Dtcos a>i t,
dt
где C{ и D{ - произвольные постоянные.
Из начальных условий ф{ (0) - Di - фi0, —Ф (0) - Ci mi - фн0 или
dt
Dt - ф10, Ct - ^^ . Отсюда ф1 (t) - ^^sin с А + ф10 cos с А . с с
eV (x — a)
Согласно [3] имеем для собственных форм Vi (x) - —'■-Ai или
1 + eV i (0)
V (x) - V (x)A, , (25)
~ eV (x — a)
где V{ (x) - —■í-. Подставляя (25) в (22) и (24) и сокращая на At, по-
1 + eV i (0)
лучим
z(t) -Еф i (t)
i
u( x, t)-Еф i (t )V (x),
i
где ф i (t) - sin rntt + ф i0 cos ait,
с
l
f fx (x) Vi (x) —x + z0 2 e 2 Vi (a)
ф - 0_£-—C_
Vi0 l ~2 2 ~2
¡Vi (x)dx + 2ey ^2 Vi (a) 0 (P — c,)
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
Заключение
Таким образом, решена начально-краевая задача колебаний механической системы-упругий стержень с неподвижными краями с установленным на нем в произвольном месте осциллятором в виде твердого тела на пружине.
Получено условие ортогональности, позволившее разложить поперечное смещение (скорость) точек стержня и смещение (скорость) твердого тела в ряд по собственным функциям с коэффициентами, зависящими от времени.
Литература
1. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985.
2. Баргуев С.Г. Об условии ортогональности собственных форм в задаче о колебаниях одной упругой механической системы: материалы ИКВТС-2010, Эн-халук, сентябрь 2010.
3. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестник БГУ. Вып. 9. Математика и информатика. Улан-Удэ, 2009.
Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), кандидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникаций и информатики. E-mail: [email protected]
Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор ВосточноСибирского университета технологии и управления. E-mail: [email protected]
Barguev Sergey Ganzhurovich (Gavrilovich), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Buryat branch of Siberian University of Telecommunication and Information.
Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor of East- Siberian State University of Technology and Managment.
( p 2 - ® 2)2
0
