CC BY
20
-►
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
УДК 539.1 (075.8)
Ф.Е. Орленко, Г. Г. Зегря
РЕНОРМ-ГРУППОВОИ АНАЛИЗ основного состояния ОДНОМЕРНОЙ АНТИФЕРРОМАГНИТНОЙ СПИН-1-ЦЕПОЧКИ
Интерес к одномерным цепочкам ионов со спинами 5 = 1 возник давно, начиная с известных работ Ф.Д.М. Халдане [1, 2], в которых высказано предположение о том, что полный спин всей цепочки проявляет себя в основном состоянии как экспоненциально спадающая спин-спиновая корреляция и сопровождается появлением щели в спектре возбуждений. Это так называемое «предположение Халдане» сегодня получило надежные подтверждения в многочисленных экспериментах. Одноионная анизотропия с соответствующим проявлением магнитных свойств существует во многих соединениях, например в Сз№С13 (слабая аксиальная анизотропия); №(С2Н81М2)21М02(С104) (МЕМР) (слабая аксиальная анизотропия); СБРеВгз, №(С2Н8М2)2№(СМ)4 (N£N0) и №С12-48С(1МН2)2 (ЭТ1М) (сильнаяпланарнаяанизотропия) [3]. Интерес к фазам Халдане, проявляющим линейную корреляцию дальнего порядка, проявился в работах [4—7], посвященных холодным атомным системам, в которых также исследуется линейный порядок. В работе Б. Матисова, Е. Орленко и И. Мазеца [7] показано, что свободный коэффициент р в гамильтониане, описывающем магнитное состояние спин-1-бозе-газа, может принимать только одно единственное значение Р = 1. В работе [8] показано, что система частиц с произвольным, отличным от 1/2, спином может быть описана в спиновом представлении непосредственно, исходя из первых принципов [9], и в рассматриваемой цепочке могут распространяться и нелинейные волны, имеющие форму со-литона (Dark-Bright-soliton[10]). Это происходит потому, что спиновый гамильтониан содержит биквадратные члены от скалярного произведения спиновых операторов частиц.
В настоящей работе были внесены существенные добавления в выражения для основного состояния антиферромагнитной спин-1 -цепочки по сравнению с выражениями в работах [8,11], связанные с последовательным использованием метода ре норм-групп [12]. Показано, что линейные возбуждения системы спинов с5= 1 в форме спиновых волн имеют иную, чем у антиферромагнетиков с половинным спином, дисперсионную зависимость частоты от волнового вектора, которая больше напоминает А;-квадратную зависимость (имеет место у ферромагнетиков с половинными спинами). Однако в отличие от последних, спектр возбуждений антиферромагнитной спин-1-цепочки отделен энергетической щелью, предсказанной еще в работах Халдане.
Основное состояние антиферромагнитной цепочки
Гамильтониан всей цепочки спинов, в отличие от гамильтониана Гейзенберга, содержит биквадратный член от скалярного произведения операторов спина и имеет противоположный знак перед константой обменного взаимодействия [8,9]:
н —
11 пи ~
= Х К,,41+ 6,41 1(8/ •8
|)2 +
(1)
Здесь §;+1 — операторы спинов /-й и (/+ 1)-й
частиц; в нашем случае величины = $1+] = 1.
Такой вид гамильтониана обусловливает появление нелинейных решений для возбужденных состояний. Его можно переписать в форме, где операторы скалярных произведений спинов соседних ионов заменены операторами квадрата
суммарного спина этойже пары. Обменный вклад в энергию от каждой пары запишется в виде
рехс _ л /,/+1 _ /,/+1 '
(£(£ + 1)-2^5 + 1))
+±(£(£ + 1)-2ф + 1))-1|. (2)
Будем считать величину суммарного спина пары плавно меняющейся переменной, тогда удобно перейти к новой, непрерывно метающейся переменной хтак, что
Х=^((+1)-25(5 + 1)),
(3)
где £ — величина суммарного спина пары, а переменная х находится в интервале [—2,1].
Тогда выражение для обменной энергии пары может быть записано как функция х:
Е-*1{(х) = АИс1(х1 сх-1).
(4)
с
х =0,5, которая отвечала бы спину пары 5= 1,3, лежащему близко к физически реальному значению 5= 1 (оно соответствует антисимметричному состоянию для каждой пары спинов).
Тогда полный гамильтониан обменного взаимодействия (1) цепочки спинов можно представить в виде ряда
^¡м ~ К—+ X Ау+1 (*/ */+1)+
1 /=1,ЛГ/2
где символически обозначены операторы обменного взаимодействия пары соседних ионов
6;+1 (*/ */+1) 2 6м+1 |(Л' ' +1 ) +8/ ' §/+1 " ^
двух пар —
((**)? ('^"н)-
' V') + 'VI"1
Энергия основного состояния находится методом последовательных приближений с учетом блочной структуры гамильтониана. При этом наиболее низким состоянием, соответствующим минимальной энергии в паре блоков, является антисимметричное с суммарным спином пары 5= 1. Таким образом, значение суммарного спина Е всей цепочки, состоящей из ТУ ионов, будет равно единице, что соответствует удельной намагниченности системы, приходящейся на одну
частицу М / N = 0,и относится к антиферромагнитному. Полная энергия при этом будет иметь следующий вид:
Е
2 2
А
(0) .
- + ... + -
А(У)
(6)
Полагаем, что константа обменного взаимодействия А{к> при каждом последующем шаге к перенормировки связана с константойЛ^^ предыдущего шага к— 1 как
А
■А
(к- 1)Р
(7)
где ' — постоянная ренормализации.
Тогда энергия основного состояния антиферромагнитной цепочки бесконечной длины, приходящаяся на один ион, будет стремиться к значению
Е;,
N 2+2
П Л
(V)
К-А^У—
V 2V
1
2 2-'
(8)
Таким образом, обменное взаимодействие в цепочке обеспечивает эффект дальнего порядка при выполнении условия и приводит кустановлению антиферромагнитного состояния.
Спиновый вектор основного состояния антиферромагнитной цепочки может быть получен в явном виде. Антисимметричные спиновые состояния для системы 2У частиц могут быть записаны в виде
с
ного взаимодействия и суммарными спинами
пары § ,•+, = § + §и § /+3 = §+2 + §+3 и т. д.
?+1=—
2 2
(V-!)
16 17( ^
(V-!)'
И
17( v-,)
|в>( *
|А)(у-,) |А)(У-,)
1В(у-1) (у-1)
17(у^ |в(у-.)
(9)
где векторы | А), | в), | г) соответствуют состояниям системы 2У частиц с полным с пином Е = 1 и соответствующими проекциями полного спина 1, 0, —1; верхний индекс V над этими векторами означает номер итерации при укрупнении системы.
Коэффициент ренормализации
Следуя методу ренорм-групп [12], запишем статистическую сумму в виде
2 2
2
2= X X ••• X ехР
а1,2=0а3,4=0 аЛ>-1,Л>=°
6
Р(§, -§2) 1х
х ехр
6
- — ^ХР — Р(§Д,- ^ )1 =
6
= X X -X/
°1.2+°3.4 а5.6+°7.8
и
V у
хехр
Т
-р(ст12 • а3 4)
х
(^ ( 60)
V Т У
ехр
л
Т
Р(°5,6 • ®7,8>
(Ю)
, т
V у
не должна зависеть от значе-
ний спинов и а34 . Условие
ехр
= /
- 6 (( ^ • +р( Ь • )) =
Г А» ^
1 Т У ехр
Т
-(р( ст1>2 • ст3>4))
(Н)
должно выполняться при всех возможных значениях а3 4. Собственные значения операторов Р(§, • §2), как было показано выше, составляют
Р(% • §2 ) 11<г2 = -, Р(51 • 52) к,2> = Р(51 ■ Ь) 1^=2 = 1.
Тогда условие (11) можно переписать для различных спиновых конфигураций.
1. Пусть а, 2 = ^4 = 1; тогда
^ л ^ -0(1+1) е1
= /
V У
, т
V У
ет +е т
(12)
2. Пусть а, 2 ф °з 4 ' тогда возможны два варианта:
а) а, 2=1, а3,4=°> ^а1,2,з,4 = 1> д1,2' 5з,4 = °>
• 63>4) = -1
б) а,2 =1 а3,4 =2> ^ ° 1,2,3,4 =1Л 3; &1,2 • 2
= -3,-1,2", Дст12• ^34)^5,-1,5 (см.таблицу).
Собственные значения оператора перестановки для различных значений суммарного спина
ст1,2,3,4
51,2 • 53,4 Р(51,2 • 53,4)
1 -3 5
2 -1 -1
3 2 5
V У
где а12
спинов пар частиц 1, 2 и 3, 4 соответственно;
Г ,m^
функция [
Просуммировав выражения а) и б), получим условие(11) в виде
2 = /((/т)
т +е т +е т + е т
=4/(л(|)/:фь
А) ^ #т
(13)
Таким образом, имеем систему уравнений (12) и (13). Изуравнения (13) находим функцию
2 Ап>
/(А®/
т\=-
2сЬ
,А>1)
V у
и получаем уравнение для нахождения коэффициента ренормализации:
(а(1Л (2Ä\ 2Ch^" ^ ¡Ые г • (14)
v у 2ch 3— Т
V /
Решение уравнения (14) дает следующее соотношение «старой» и «новой» констант связи:
В пределах области существования решений х = —е [0,1п(5/4)/2] и соответствующей ей об-
А( 1)
ласти значений х' =-е [0,1п(2)/2] имеем два
вида решений (см. рисунок): о)
Решения уравнения (14) — зависимости перенормированной константы обменного взаимодействия от исходной (с учетом температуры): истинное (а) и ложное (б) решения
Второе решение должно быть отброшено, поскольку означало бы наличие бесконечно больших корреляций в пределе высоких температур (х —> 0). Для предельно допустимых значений х и х' коэффициент ренормализации может достигать значения
' = Л(1)/Л = х'/х = 1п2/1п(5/4)*3,1. Из анализа рисунка видно, что при определенной температуре (Т*«-, где к. — кон-
0,075А;В в
станта Больцмана) коэффициент ренормализации стремится к двум — 2), что в соответствии с формулой (8) означает переход в антиферромагнитное состояние с возникновением дальнего порядка.
Спиновые волны в спин-1- цепочке
Основное состояние этой системы — антиферромагнитное; тогда в приближении взаимодействия с ближайшими соседями будем считать, что спин пары атомов 5" = 1 и собственное значение оператора • +1 равно §;- • §/+1 - -1.
Пусть один спин под номером к из цепочки атомов переброшен. Тогда оператор энергии возбуждения можно записать в виде
¥ = нш - @о 2 = _, ^ + +, + (^ _, §^)2 +
+(нкнк +1)2-2((-1) н2к + (-1)2 '4)}, (16)
где Е0 = Л^((-1)2+(-1)5;2 -1) соответствует
энергии основного состояния в нулевом (парном) приближении.
В полуклассическом континуальном приближении собственные значения механических моментов ионов могут быть представлены в виде непрерывной функции расстояния от иона. Тогда вектор спина узла к ± 1 может быть записан в виде
Ч±1
= 8Л±Р
Р2
дх 2 дх
(17)
У = 2 6
2 + р
'де, л
КдХ;
дх2
ч2Л
Р2^ 1 2\ д\
(18)
(19)
9т
= у(Н хш);
1 =
Мс
(20)
Н =
-6
2 + р^
' Л
дх
д ^ дх2
2 Л
д%
дх1
(21)
Распишем (20) для каждой компоненты век-т = £8
ное равенство 8X8 = 0; тогда можно переписать (17) в линейном приближении для циклических координат:
В этом выражении р — постоянная решетки. После подстановки выражения (17) в (16) в полуклассическом приближении, с учетом замены операторов спина на их векторные функции, получим для энергии возбуждения ^выражение
т
= -2 т+ + 1 + 25(5 +1))
д2т+
Я [ I дх' \
Тогда, если искать решение для т+ в виде монохроматической волны, то получим дисперсионное соотношение для спиновых волн в антиферромагнетике (5=1), отличное от известного [11]:
уАя Г , 5 2 г 2 8 { 2
(22)
С другой стороны, в приближении среднего эффективного поля Н , образованного всей совокупностью магнитных моментов переброшенных спинов, энергия возбуждения будет записываться как энергия взаимодействия каждого собственного магнитного момента с этим полем:
где § — фактор Л анде, умноженный на магнетон Бора.
Тогда в соответствии с теоремой Блоха собственный магнитный момент каждого иона будет прецессировать в эффективном магнитном поле как
Таким образом, при малых отклонениях от равновесного антиферромагнитного состояния по системе целых спинов (5=1) будут распространяться спиновые возбуждения в виде поперечных спиновых волн с дисперсионной зависимостью, напоминающей дисперсионное соотношение для спиновых волн в ферромагнетике (5=1/2). Однако из соотношения (22) видно, что спектр линейных возбуждений отделен от основного состояния энергетической щелью
. . , ЙуЛ5 Д=Йю=2——,
8
что можно связать с существованием минимального предельного значения для волнового векто-
тогда как явное выражение для напряженности поля имеет следующий вид:
ра ктЫ = I—^ и соответствующим ограничени-
I ^Р
ем на максимальную длину волны.
В заключение можно сделать вывод, что антиферромагнитное состояние цепочки ионов со спинами, равными единице, формируется на основании того обстоятельства, что при парном взаимодействии наиболее выгодным состоянием является антисимметричное с суммарным спином ближайших соседей 5=1. При взаимодействии ближайших блоков, составленных из двух частиц каждый, наиболее выгодным будет также антисимметричное состояние с суммарным спином, равным единице. Таким образом, на V -й итерации укрупнения при взаимодействии двух кластеров, состоящих из 2У_| каждый, формируется кластер, содержащий 2У частиц, для которого антисимметричное состояние с суммарным спином Е = 1 кластера является
основным. Таким образом, намагниченность системы, помещенной в магнитное поле, будет определяться проекцией на направление поля именно этого суммарного спина (Е = 1), такчто удельная намагниченность системы, приходящаяся на один ион, будет стремиться к нулю как
М / 0,
N
где g — гиромагнитный фактор иона. В системе устанавливается антиферромагнитный дальний порядок при температуре, приблизительно равной Т* «-. Линейные возбуждения сис-
0,075£в
темы с 5 = 1 в форме спиновых волн имеют иную, чем у антиферромагнетиков со спином 1/2, дис-
персионную зависимость частоты от волнового вектора, которая больше напоминает А;-квадратную зависимость, имеющую место у ферромагнетиков с половинными спинами. Однако, в отличие от последних, спектр возбуждений антиферромагнитной спин-1-цепочки отделен энергетической щелью, предсказанной в работах Ф.Д.М. Халдане.
Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы», при финансовой поддержке Комитета по науке и высшей школе Правительства Санкт-Петербурга (грант 2010 года для молодых ученых вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга), гранта Президента РФ для молодых кандидатов наук МК-5318.2010.2.
Приложение
ВЕКТОР ОСНОВНОГО состояния
Антисимметричные спиновые состояния для пары частиц известны и могут быть записаны в виде
1^=13, 2 1,^=1)^
|Р), =1*1=^=0),; 1А=|51=^*=-1)г
Здесь нижними индексами 1 и 2 обозначены номера частиц со спинами 5 = 1 и соответствующими проекциями. Векторы |А), |в), |г) соответствуют состояниям пары частиц с полным спином 5 = 1 и соответствующими проекциями полного спина; верхний индекс V над этими векторами означает номер итерации и связан с 2У2' числом частиц, составляющих полный спин. Составим антисимметричные спиновые состояния для цепочки из четырех (2^2) частиц, то есть во второй (V = 2) итерации:
72
'К К
17
/1,2 (1) 1,2
Ж
1
"л/2
'К К
«о |в\<1)
3,4
га и
1
'72
1С 1С 1С
Продолжая таким образом укрупнять систему, на v-й итерации, в которой учитывается состояние цепочки из 2У частиц, имеем для векторов спинового состояния выражения:
|аГ
К-»
|аГ
\в)(у-1}_
|аУ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Haldane, F.D.M. Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets: Semiclassically quantized solitons of the one-dimensional easy-axis Neel state |Text| / F.D.M. Haldane// Phys. Rev. Lett.— 1983,- Vol. 50,- No. 15,- P. 1153-1156.
2. Haldane, F.D.M. Rigorous results on valence-bond ground state in antiferromagnets |Text | /F.D.M. Haldane // Phys. Lett.- 1983,- Vol. 93A.- P. 464-469.
3. Albuquerque, A.F. Quantum phase diagram and excitations for the one-dimensional S = 1 Heisenberg antiferromagnet with single-ion anisotropy [Text] / A.F. Albuquerque, Ch.J. Hamer, J. Oitmaa // Phys. Rev. B.- 2009,—Vol. 79,- P. 054412.
4. Ho, T-L. Fragmented and single condensate ground states of spin-1 Bose gas |Text| / T.-L. Ho, L. Yip // Phys. Rev. Lett.- 2000,- Vol. 84,- No. 11,-P 4031-4034.
5. Ciobanu, C.V. Phase diagrams of F = 2 spinor Bose — Einstein condensates |Text| / C.V. Ciobanu, S.K. Yip, T.-L. Ho // Phys. Rev. A- 2000,- Vol. 61,-P 1050-1056.
6. Ho, T-L. Bose — Einstein condensate in optical traps |Text| / T-L. Ho // Phys. Rev. Lett.- 1998.— Vol. 81,- P. 742-745.
7. Орленко, E.B. Нелинейные магнитные явления в конденсате Бозе—Эйнштейна [Текст] / Е.В. Орленко, И.Е. Мазец, Б.Г. Матисов // ЖТФ,-2003,- Vol. 73,- № 1,- Р 30-37.
8. Orlenko, E.V. Excitations for the one-dimensional S = 1 pseudo-Heisenberg antiferromagnetic chain | Text | / E.V. Orlenko, FE. Orlenko, G.G. Zegrya 11 Natural Science.- 2010,- Vol. 2,- No. 11,- P. 1287— 1291.
9. Orlenko, E. The universal Hamiltonian of the exchange interaction for the system of particles with arbitrary spin j [Text] / E. Orlenko// International Journal of Quantum Chemistry.—2007,— Vol. 107— P. 2838-2843.
10. Манаков, С.В. Об интегрируемости и сто-хастичности в дискретных динамических системах |Текст| / С.В. Манаков // ЖЭТФ,- 1974,- Т. 65,-С. 505-511.
11. Лифшиц, Е.М. Статистическая физика [Текст]: в 2 ч. Ч. 2 / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаев-ский,— М.: Наука, 1978,— 447 с.
12. Maris, H.J. Teaching of the renorm-group |Text | /H.J. Maris, L.P Kadanoff //American Journal of Physics.- 1978,- Vol. 46,- P. 652-658.
УДК621.38 + 539.1
В.В. Козловский, АЗ. Васильев, В.В. Емцев, Г.А. Оганесян, С.Н. Колгатин
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФРЕНКЕЛЯ В КРЕМНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРОНОВ И ПРОТОНОВ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
Как известно, радиационное дефектообразо-вание сопровождается появлением в запрещенной зоне полупроводника локальных энергетических уровней. Радиационные дефекты (РД) в основном являются либо центрами компенсации («ловушками» носителей заряда), либо центрами рекомбинации неравновесных носителей заряда [ 1]. Поэтому облучение может в широких пределах изменять характеристики полупроводников (концентрацию, подвижность и время жизни носителей заряда) и свойства полупроводниковых приборов [2].
Процесс радиационного дефектообразова-ния имеет две стадии: генерацию первичных точечных дефектов вакансия-междоузельный атом
(пара Френкеля (ПФ)) и формирование вторичных дефектов. Генерация РД осуществляется за счет двух процессов. Во-первых, происходит смещение атомов кристаллической решетки в результате непосредственного взаимодействия с налетающей частицей — образуются так называемые первично выбитые атомы (ПВА). Во-вторых, смещения осуществляются этими ПВА, получившими от бомбардирующих частиц достаточную энергию — образуется каскад смещений. Вторая стадия — формирование вторичных РД. На ней происходит взаимодействие первичных РД между собой, с дефектами и примесями, существующими в полупроводнике; в результате формируются стабильные в данных условиях
