О волновых функциях точно решаемой модели взаимодействущих фермионов спина 1/2 во внешнем поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 530.19

О ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЯХ ТОЧНО РЕШАЕМОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЩИХ ФЕРМИОНОВ СПИНА 1/2 ВО ВНЕШНЕМ

ПОЛЕ

В. И. Иноземцев*^, Н.Г. Иноземцева, Б. И. Садовников

(.кафедра квантовой статистики и теории поля) E-mail: [email protected]

Показано, что гиперболические системы частиц Сазерленда со спином 1/2, находящиеся во внешнем поле с потенциалом Морса, характеризуемом параметром т2, имеют дискретную часть спектра при определенном ограничении, накладываемом на т, параметр двухчастичного взаимодействия А и число частиц. Основное состояние описывается волновой функцией в форме Джастрова. Известные результаты для систем с взаимодействием, обратным квадрату расстояния между частицами, воспроизводятся в пределе т—¥ оо.

Нахождение точных волновых функций основного состояния квантовых систем многих взаимодействующих частиц в одном измерении и возбуждений над ним является одной из актуальных задач математической физики. Наиболее исследованными к настоящему времени системами, для которых известен весь дискретный спектр, являются системы Калоджеро-Сазерленда (КС) [1, 2] с дальнодействием, описываемым парным потенциалом У(х) = А(А+1)х-2, и находящиеся в поле с потенциалом гармонического осциллятора ~Ш(х)=ий2х2/2. Простой вид этого спектра позволяет исследовать термодинамику моделей в пределе бесконечного числа частиц [3, 4]. Менее известны результаты для систем с короткодействущим потенциалом бинарного взаимодействия [а-1 зЬ(ах)]-2, аналогичным оригинальному тригонометрическому потенциалу, предложенному Сазерлендом [3], находящихся во внешнем поле с потенциалом Морса [5]. Гамильтониан этих систем (далее обозначающихся СМ) имеет вид

N

Я-Е

д_

dxj

+ W(x:

N

+ Е

i<k

А(А+ 1 )а2

sh а(х;

■xk) (1)

где

Г(х) = 2т2а2(ехр(2ах) - I)2. (2)

Динамика систем, описывающихся (1), (2), намного более сложна по сравнению с системами КС в поле с потенциалом гармонического осциллятора. Последние могут быть рассмотрены как предел СМ-моделей, когда параметр потенциала Морса т

неограниченно возрастает как ш/4а2 при а—>0. В частности, в работе [5] было показано, что в случае статистики Бозе дискретная часть спектра для СМ-систем существует лишь при выполнении условия на параметры т и А, т—1/2 —(А+ 1)(Ы — 1) > О, и содержит конечное число уровней.

В работах Ха и Холдейна [6] и Поликрона-коса [7] было предложено обобщение модели КС для частиц с внутренними степенями свободы (ям(и)-спинами) и обменным спиновым взаимодействием вида А(А + — х^), где оператор Р^ переставляет спины частиц с номерами / и к,

п

ъ = Е

p,q= 1

рРЧрЧР

(3)

{efq} — элементарные спиновые операторы, подчи-

5Pse]q)

(4)

/

няющиеся коммутационным соотношениям

Важные физические приложения систем фер-мионов с 5ы(2)-спинами и дальнодействующим КС-взаимодействием были найдены и подробно исследованы в [8]. Для более сложных систем типа СМ спектральная задача рассматривалась только для предельного случая неоднородных спиновых цепочек [9].

В свете результатов работ [6-9] возникает естественный вопрос: можно ли найти в явной форме волновые функции спиновых СМ-систем, описываемых гамильтонианом

Я,

SM

N

Е

+2rV(exp(2ax/)-l)i

+

Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, 141980, г. Дубна Московской обл.

А( Х + Р^а2 ^ эЬ2 а(%! - хк)

+Е

(5)

В предыдущей статье [10] нами было показано, что для таких систем существует множество интегралов движения-операторов, коммутирующих с Н^. Цель настоящей работы — построение определенного класса собственных функций оператора (5) для физически интересного случая спинов 1/2 (п = 2), который наиболее важен в связи с возможностью практического применения результатов к описанию процессов в конфаймированном квазиодномерном электронном газе [8]. Для того чтобы найти энергию основного состояния систем, описываемых гамильтонианом (5), естественно использовать пробную волновую функцию в форме Джастрова, как это было сделано в [6, 8],

Ф(2:10-1,..., гмам) = С-1/2 х

П| |А/ \<5 17Г , ,

Щ - гк\ (г} - гк) ехр — ьёп((т} - ак) х

N

х О г/Р+£<Тг ехр(—тг/). (6)

1=\

Здесь сгу = = ±1/2— значения проекции

спина ¡-и частицы. Собственные состояния допускают классификацию по значениям проекции полного спина 5з = 1/2(Л/+ — АГ_), где Л/± — числа частиц с ег = ±1, А/+ + АГ_ = АГ. Значения параметров р и е должны быть найдены из соответствующего уравнения Шрёдингера.

При действии оператора (5) на Ф возникает множество членов, которые могут быть записаны в форме

Я^Ф = [Ах + тА2(г, а) + ХА3(г, сг)]Ф,

где

Л, =

ХМ(Ы-\)[-(2Ы-\) + р) +

+ (АГ| + АГ2) р + А +

N

+

р — £ +Р + Х +

ы2-\

е(Ы+-Ы-)[р +

N - 1

(7)

А2(г,а) =

р-т+(Ы- 1) А +

1

Ег>1

к=1

+ + ^-\\^<ткгк, (8)

к= 1

1

^ 0~кгк—°~1г1 2 . . хк

■ Е

г25

+

гкг1

£/\ "т 'Т;) Л (г/-г1

"¡"к ""¡"1

■ О)

Последнее слагаемое в правой части (9) соответствует вкладу спиново-обменной части гамильтониана (5).

Можно показать, что слагаемые, линейные по {г}, которые присутствуют в А2(г,а), исчезают, если параметры р и е удовлетворяют условиям

р = т-(Х+\/2)(Ы

(Ю) (И)

Явная зависимость от спиновых переменных в формуле (9) для А3(г,а) может быть устранена, если рассматривать отдельно координаты частиц с а = ±1 и обозначить {<г/}ст=1 = {ри},

у = 1,..., Л/+, {г/},х=_1 = , р, = 1,..., ,

1

[Ы+(Ы+ - 1)(Ы+ - 2) + .V (.V - 1)(ЛГ_ - 2)] +

+ Е -'Ы+ ~ ^^^ + ^

и=1 (1=1 I

2(р„ - %) Ы-

Ы+ 2

^_Ри__^

^ (р* - Р1)(Р, - Ч,) ^ - - Р>

(Ри - %)2

X

4(1

Ы+ А7-

+ЕЕ'

У=\ (1=1

■рт Р1 ~ 4(1 гт Чш У Р1 - Ру М ЧШ

I -фу тфр.

(12)

Это выражение выглядит чрезвычайно громоздким. Однако оно может быть значительно упрощено с помощью следующего приема. Рассмотрим интеграл

А

йгйг' (г - г')4

гК'+-К'- + 1г/ЛГ_-ЛГ+ + 1 х

С С'

N.

+

X

•р-г г. — р„ -р-г

Ц г - ри Ц г'

г/=1 ¡1=1

4(1

(13)

Выберем контуры С, С, окружающие {ри}, {д^} следующим образом: пусть С' лежит внутри С при Л/+ - Л/_ 0, С лежит внутри С при - Л/+ > 0

и внешний контур не обходит 0 в обоих случаях. Как легко видеть, при расширении внешнего контура до бесконечности

4/

= 0.

(14)

С другой стороны, оценка /д/+1д/_ может быть произведена посредством последовательного вычисления вычетов при полюсах подынтегрального выражения (13). Эта процедура позволяет вычислить двойные и тройные суммы в (12). Можно показать посредством простых вычислений, что (14) эквивалентно соотношению

ЛГ+ лг_

ЕЕ

РуЯР

■Ям)*

1- ^

АЛ -ЛГ_ Л'+

Яр 1 Г Ят

-Ри

V

Р1

р1> , Ят

т-фр

Яр

1/=1 р=1

ЯрУ

X

(А^-А^Кр^)

М+

+Е

Ри

Ри-Р1

V

Ф(Ы) + Ф(Д)

Е

тфр

Яр Ят

(15)

где

Ф(х) = —(2х2-Зх-2), А=\Ы+

■М

Сравнивая (15) с правой частью (12), легко показать, что а) не зависит от {г} и спиновые переменные входят в это выражение только в виде проекции полного спина. Таким образом, волновые функции в форме Джастрова (6) действительно являются собственными функциями гамильтониана (5) при условии, что р и е определяются формулами (10), (11). Соответствующие собственные значения могут быть получены из (7), (15):

£д = й"

1)(2Ы- 1) +

6

+ Х(Ш2 - т - 4) + Ы2 - 1 ] + тЫ[2Х(Ы - 1) + Ы] +

+ ^Д(Д2- 1) + Д2

о

(16)

Минимум выражения (16) достигается при Д = 0 для четных N и Д = 1 для нечетных N. В обоих случаях проекция полного спина имеет минимальное из возможных значений, т.е. упорядочение спинов осуществляется по антиферромагнитному типу. Функции (6) не имеют нулей, кроме тех, что локализованы на гиперплоскостях г/ — £¿, = 0. Таким образом, можно использовать обычную аргументацию [4] для подтверждения гипотезы об основном состоянии: оно существует, если пара-

метр потенциала Морса удовлетворяет неравенству т—(Л+1 /2)(ЛГ— 1)—Д/2 > 0 и описывается формулами (6), (16) при минимальном из возможных значений Д. В пределе а —0 в (16) при переопределении т = со/4а2 можно получить известные формулы для спектра систем 5=1/2 фермионов с дальнодействием, находящихся в поле с потенциалом гармонического осциллятора [8]. Нормировочный множитель для волновой функции основного состояния для четных N = 2М определяется по формуле

См(Хт) = Ш (2а)_2М^2М(2т_Л(2М_1)+М)/м(^Р)-

где

1м(Кр) =

2 М

2 Р-

ехр(-

-«>) П

г*|2Ах

/ /<*

м

х Ц(г

¡'<1г'

гк,) (2,',+м - 2/г'+м) ■ (17)

Последний множитель в подынтегральном выражении в (17) возникает благодаря спиновым степеням свободы и нарушает его симметрию относительно перестановок всего набора пространственных переменных 2М. Как следствие явное вычисление /м(А,р) представляет значительно более сложную задачу, чем оценка той же величины для систем бесспиновых бозонов [5]. Нам не удалось найти аналитическое выражение для /м(А,р) при произвольных М. Исключение составляет случай М = 2, для которого удается найти связь нормировочного интеграла с корреляционными интегралами Сель-берга [11, 12]. В этом случае громоздкие, но по сути простые вычисления приводят к формуле

ЫКр)

2(1 + ЗА)(1 + 4А)

р(2р + А)

4

*п

х

Г(1+/А) Г(1+А)

Г(2р + 1 + А(/ - 1)).

Итак, нами продемонстрировано, что для СМ-систем фермионов со спином я = 1/2 можно найти энергию основного состояния и часть дискретного спектра, характеризуемую «спиновыми» возбуждениями, при использовании волновых функций типа Джастрова. Разумеется, должны существовать также возбужденные состояния «пространственного» типа, подобные найденным в [8] для КС-систем бесспиновых бозонов. Пока неясно, как следует модифицировать анзац (6) для построения соответствующих волновых функций. Элегантный способ введения «пространственных» возбуждений для КС-систем [13], состоящий в умножении волновой функции основного состояния на симметричные комбинации полиномов Эрмита, по-видимому, не подходит для СМ-моделей из-за более слож-

ных рекуррентных соотношений между полиномами Лагерра, которые описывают элементарные возбуждения для осциллятора Морса при отсутствии взаимодействия между частицами. Использование более общего подхода, предложенного Като и Ку-рамото [14] для изучения тригонометрических систем Сазерленда с внутренними степенями свободы, может оказаться более перспективным. Описание состояний непрерывного спектра, однако, не может быть проведено в рамках известных схем и по-прежнему остается нерешенной проблемой.

Литература

1. С a löge го F. // J. Math. Phys. 1969. 10. P. 2191; 1971.

12 P. 419.

2. Sutherland В. //J. Math. Phys. 1971. 12. P. 247.

3. Sutherland В. 11 Phys. Rev. 1972. A5. P. 1372.

4. Olshanetsky M.Ä., Perelomov A.M. 11 Phys. Rep.

1983. 94. P. 313.

5. Inozemtsev V.l. 11 Physica Scripta 1984. 29. P. 518.

6. Ha Z.N.C., Haidane F.D.M. 11 Phys. Rev. 1992. B46 P. 9359.

7. Polychronakos A.P. 11 Phys. Rev. Lett. 1992. 69. P. 703.

8. Vacek K., Okiji A., Kawakami N. // Phys. Rev. 1994. B49. P. 4635.

9. Frahm H., Inozemtsev V.l. // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. 27. P. 801.

10. Иноземцев В.И., Иноземцева И.Г., Садовников Б.И. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2008. № 2. С. 3.

11. Seiberg А. // Norsk. Mat. Tidsskr. 1944. 26. P. 71.

12. Kanekol. 11 SIAM J. Math. Anal. 1993. 24. P. 1086.

13. Vacek K., Okiji A., Kawakami N. // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. 27. P. 201.

14. Kato Y., Kuramoto Y. 11 Phys. Rev. Lett. 1995. 74. P. 1222.

Поступила в редакцию 18.04.2007