Регулярные и сингулярные периодические возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С КУБИЧЕСКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ*

Ю. Н. Бибиков1, В. Р. Букаты2, А. А. Дороденков3

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский институт машиностроения, старший преподаватель, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение

В работе [1] (см. также [2]) был рассмотрен вопрос об устойчивости по Ляпунову положения равновесия системы, представляющей собой малое периодическое возмущение осциллятора с кубической восстанавливающей силой, а также изучена бифуркация рождения инвариантного двумерного тора из положения равновесия системы.

Было изучено дифференциальное уравнение второго порядка

х + х3 = X(х, х, е),

где X — достаточно гладкая функция переменных х, х, е в некоторой окрестности точки х = х = е = 0, непрерывная и периодическая по £, е — малый положительный параметр. Малость возмущения X определялась следующим образом: порядок X не должен быть меньше четвертого, если переменной х приписывать первое измерение, а переменным у, е —второе.

Отметим, что вопрос об устойчивости нулевого решения при автономных возмущениях рассматривался еще А. М. Ляпуновым [3, с. 272-331]. Разработанный им подход используется и в настоящей работе.

Рассматриваются периодические возмущения системы

{х = у, х € К,

У = -х3, у € К, г = Аг, г € Кп,

где А — постоянная гиперболическая матрица, в том числе сингулярные периодические возмущения, в том же направлении, что и в работах [1, 2].

Доказательства существования двумерных инвариантных торов будут существенным образом опираться на базовую теорему, представляющую собой модифицированный вариант леммы 2.1 из работы [4]. Доказательство базовой теоремы имеется в [2]. Базовая теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

| ук = екРиУк + ек5(е)Ук (уо, . . . , Уп, <£>, е),

\ф = м(е) + еп£(е)Ф(уо,. . . , Уп, <£>, е),

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00734(2)).

© Ю. Н. Бибиков, В. Р. Букаты, А. А. Дороденков, 2010

где к = 0,уи € Мтк, ^ € Кт —вектор угловых переменных, функция ^(е) определена при 0 < е < е*, Ри —гиперболические матрицы. Функции Уо,...,1П, Ф непрерывны в области \уи\ < у*, € Кт, 0 < е < е*, и удовлетворяют в ней условию

Липшица по уо, . .., уп, у>.

Если 5(е) ^ 0 при е ^ 0, то система имеет при каждом достаточно малом е > 0 инвариантную поверхность (инвариантный т-мерный тор), определяемую уравнениями уи = £(е)Ви(у>, е), к = 0,1, . .., п, где Ви — непрерывные функции, удовлетворяющие условию Липшица по <р.

Накладываемое в настоящей работе требование, чтобы возмущения были бесконечно дифференцируемые, можно всюду заменить на условие их конечной гладкости. Порядок этой конечной гладкости ясен из доказательств соответствующих теорем. Все рассматриваемые функции являются периодическими функциями £ с одним и тем же периодом Т. В дальнейшем это положение не оговаривается.

§ 1. Устойчивость нулевого решения

Рассматривается система дифференциальных уравнений

{X = у + Хо(х,у, г,£),

у = -X3 + 1о(ж,у,М), (1)

г = Аз + ^о(ж, у, г, £),

где Хо,Уо,^о — бесконечно дифференцируемые нелинейности по X, у, г в некоторой окрестности точки х = 0, у = 0, г = 0. Собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части.

1.1. Сведение на инвариантную поверхность с некритическими переменными

Лемма 1. Существует формальный ряд /о(х, у,£) по степеням х, у такой, что замена

г = т + /о(х, у, £) (2)

приводит систему (1) к виду

{X = у + Хо(х, у, т + /о, £),

у = -х3 + Уо(х,у, т + /о,£), (3)

г = А^ + ^о(х, у, т, £),

где

^о (х, у, 0, £) = 0. (4)

Доказательство. Дифференцируя (2) по £, учитывая (1), (3) и (4), получаем, полагая т = 0, уравнение для определения ряда /го:

д/ д/ д/

= АЬ0 + ^о(х, у, /г0^) - -^(г/ + Х0(х,г/,/10,£)) - “^(_х3 + *о(х, у, /г0, £))• (5)

Приравнивая в (5) коэффициенты (векторные) при х2, ху, у2 и т. д. в порядке убывания показателей степеней переменной х в однородных относительно х, у формах, получаем

для определения коэффициента Нкг (4) при хк у* уравнение

я = Акы — (к + 1)Ьк+1 ®-1 + /ы(Ь-к',е), (6)

от

где /к* зависит только от таких Лк',*' у которых к' + г' < к + г.

Система (6)—линейная неоднородная с Т-периодической неоднородностью. По условию на собственные числа матрицы А эта система допускает единственное периодическое решение. Таким образом мы определяем последовательно все коэффициенты Лк*(£), начиная с ^2о(£). П

Замечание 1. Плоскость ад = 0 инвариантна в силу (4). Уравнение г = Л°(х, у, 4) — это разложение в степенной ряд уравнения бесконечно дифференцируемой инвариантной поверхности, существование которой доказано В. А. Плиссом [5].

Замечание 2. Если формальный ряд Л° в замене (2) оборвать на членах порядка N, то получится полиномиальная замена, в результате которой возникает бесконечно дифференцируемая система

X = у + X*(х, у, 4) + X0(х, у, ад, 4),

У = —х3 + У*(х, у,4) + У°(х, у, ад, 4), (7)

ад = Аад + Ш*(х, у, 4) + Ш°(х, у, ад, 4),

где Ш* имеет порядок малости, больший N. Очевидно,

X* = Х°(х, у, Л°, 4), У* = У°(х, у, Л°, 4).

Как и в системе (3), здесь и в дальнейшем индексом 0 вверху обозначаются функции,

аннулирующиеся при обращении в нуль некритической переменной (в данном случае переменной ад).

Теперь мы можем сделать предположение относительно порядка малости возмущений Х°,У° в системе (1). Именно, Х°(х, у, Л°(х, у, 4), 4) должна иметь порядок малости по х, у не ниже третьего, а У°(х, у, Л°(х, у, 4), 4) — не ниже четвертого, если переменной х приписывать первое измерение, а переменной у — второе.

1.2. Введение обобщенных полярных координат

В системе (7) сделаем замену

х = гСб(ф), у = —г^п(ф), (8)

где Сб(ф), Бп(^) —введенные Ляпуновым [3, с. 272-331] функции, определяемые равен-

ствами Бп'(^) = Св3(ф), Св'(ф) = — Бп(^) и условиями Сб(0) = 1, Бп(0) = 0.

Функции Св и 8п являются периодическими с некоторым наименьшим периодом 2^, причем справедливо интегральное соотношение 28п2(^) + Св4(ф) = 1. Соответственно,

х4 + 2у2 = г4. (9)

В результате замены (8) получится система

г = С83(^)(Х * + X °) — г-^п(ф)(У * + У°),

ф = г — 2^^^)^ * + X °) — г-2С8(ф)(У * + У °), (10)

т = Аад + Ш * + Ш °,

где в правой части на месте переменных х, у стоят гСб(ф), — г^п(ф) соответственно.

Чтобы избавиться от особенностей при г = 0, выполним еще одну замену,

т = гт V,

в результате которой система (7) примет вид

(12)

где согласно сделанному предположению

Я* = Р (^,і)г3 + 0(г4), Ф* = 0(г2), V* = 0(г№+1-т).

1.3. Исследование устойчивости нулевого решения

Примем т = 5, N =9. Тогда N +1 — т = 5.

Лемма 2. Существует замена

г = р + Ыф)р2 + Лз(4, ф)р3,

(13)

где дЛз/д4 = 0, 2^ — периодическая по ф, с помощью которой усредняется коэффициент Р (4, ф):

где д = Р(£, ф) — среднее значение коэффициента Р.

Доказательство. Дифференцируя (13) по 4, учитывая (12) и (14) и приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты при р3, получаем уравнение

Теорема 1. Если д < 0, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а если д > 0 — оно неустойчиво.

Доказательство. Следуя Ляпунову [3, с. 77-263], рассмотрим функцию V = 1/2р2 + ф(у), где ф(у) —квадратичная форма, определяемая уравнением д^/д-уА-у = д||"у||2 (норма евклидова).

(14)

(15)

Представим Р в виде

Р = Р3 + Р^(ф) + -Р(4, ф),

где Р(ф) —среднее по 4 значение функции Р(4, ф) — Р(£, ф). Уравнение (15) запишем в виде системы

(16)

решая которую, находим с помощью квадратур Л-2 и Л-з.

□

Как известно [3, с. 77-263], Q — знакоопределенная квадратичная форма знака, противоположного знаку д. Следовательно, в переменных р, V функция и при д < 0 удовлетворяет теореме второго метода Ляпунова об асимптотической устойчивости, а при д > 0 — теореме о неустойчивости. Отсюда в силу (13), (11), (9) и (2) вытекает утверждение теоремы. □

Замечание. Теорему [1] можно вывести из принципа сведения В. А. Плисса [5]

§ 2. Бифуркация рождения инвариантного тора

Здесь мы предполагаем, что малость возмущения определяется не только малостью рассматриваемой окрестности положения равновесия, но и малым положительным параметром е.

Соответственно, система (1) принимает вид системы

{.ж = у + Хо(ж, у, г, 4) + еХ(ж, у, г, 4, е),

у = —ж3 + Уо(ж, у, г, 4) + еУ (ж, у, г, 4, е), (17)

г = Аз + ^о(ж, у, г, 4) + е^(ж, у, г, 4, е),

где функции X, У, ^, как и функции Хо, Уо, ^о, являются в некоторой окрестности точки ж = 0, у = 0, г = 0, е = 0 бесконечно дифференцируемыми нелинейностями по

ж, у, г, е. Матрица А предполагается гиперболической, т. е. все ее собственные числа обладают ненулевой действительной частью. Мы предполагаем, что начало координат является состоянием равновесия системы (16) при всех допустимых значениях е.

Мы доказываем существование у системы (17) при всех достаточно малых е > 0 инвариантной поверхности, диффеоморфной двумерному тору, одной из угловых переменных которого является время 4, профакторизованное по периоду, а другой — введенный в § 1 угол ф.

2.1. Сведение на инвариантную поверхность с некритическими переменными

Лемма 3. Существует формальный ряд йо(ж, у, 4) + ей(ж, у, 4, е) по степеням ж, у, е такой, что замена

г = т + йо(ж, у,4) + ей(ж, у, 4, е) (18)

приводит систему (17) к виду

{ж = у + Хо(ж, у, т + Л-о + ей., 4) + еХ (ж, у, т + йо + ей., 4, е), у = —ж3 + Уо(ж, у, т + Ло + ей, 4) + еУ(ж, у, т + Ло + ей, 4, е), (19)

т = Ат + ^о(ж, у, т, 4, е),

где

^о(ж, у, 0, 4, е) = 0.

Доказательство. Разложим функции еХ, еУ, е^ в формальные ряды по степеням е. При этом коэффициенты при ек будем обозначать соответственно Хк,Ук,%к (& = 1, 2,...). Аналогично поступим с искомым рядом ей.

Дифференцируя (18) по 4 и полагая т = 0, е = 0, получаем уравнение с неизвестным йо, в точности совпадающее с уравнением (5), которое решается, как показано при доказательстве леммы 1.

Полагая ад = 0 и приравнивая слева и справа в получившемся после дифференцирования по £ равенстве коэффициенты при ек, получаем уравнение для определения йк •

^=АНк + 1^{У + ^ + ^(_ЖЗ + У0) + Рк{-Нк']’

где ^к —функция, зависящая только от тех Нк>, у которых к' < к. Это уравнение решается аналогично уравнению (5). □

Используя замечание 2 и лемму 1, обрывая формальный ряд Л-о + ей на степенях порядка N по х, у, е, получаем бесконечно дифференцируемую систему

х = у + X*(х, у, £, е) + X0(х, у, ад, £, е),

у = —х3 + У*(х, у, £, е) + У0 (х, у, ад, £, е), (20)

ад = Аад + Ж*(х, у, £, е) + Ж0(х, у, ад, £, е),

где Ж* имеет порядок малости по х, у, е больший N,

Г X* = Х0(х, у, Л0 + ей, £) + еХ(х, у, Л0 + ей, £, е),

1 У * = У0(х, у, Л0 + ей, £) + еУ (х, у, Л0 + ей, £, е).

Функция X*(х, у, £, е) должна иметь порядок не ниже третьего, а У*(х, у,£, е) —не ниже четвертого, если переменной х приписывать первое измерение, а переменным у,е —второе. В дальнейшем эти условия считаются выполненными.

2.2. Существование инвариантного тора

В системе (20) сделаем замену (8), в результате чего получим систему (10), которую запишем в виде

г = Д*(г, ф, £, е) + г-1Д0(г, ф, ад, £, е),

ф = г + Ф*(г, ф, £, е) + е2г-16(г, ф, £, е) + г-2Ф0(г, ф, ад, £, е), (21)

ад = Аад + Ж*(г, ф, £, е) + Ж0(г, ф, ад, £, е),

где Д* = Р(£, ф)г3 + ^(£, ф)ег + 0(г4 + ег2 + е2), Ф* = 0(г2 + е), Ж* = 0(г№+1).

Введем новые переменные и, V по формулам

г = л/е(а + и), ад = £т-у, (22)

где а, т — положительные числа, подлежащие дальнейшему определению, |и| < а. По-

лучим систему

и = еи1 + еии2 + 0(еи2 + е3/2) + ет-1/2и0,

ф = у/е а + л/ём + О(е) + ет_3/2ф°, (23)

й = Аг; + 0(е^-т)+1/°,

где и1 = а3Р + а^, и2 = 3а2Р + ^.

Следуя [1,2], выполним в системе (23) ряд преобразований.

Лемма 4. Существует замена

и=р( 1 + л/ёдЫ + £<?(£, ¥>)) + л/ё/Ы + е/(*, ¥>), (24)

' р = еЬ(а) + еМ(а)р + 0(ер2 + е3/2) + ет-1/2Р0, ф = ^а + ^Р + О(е)+ет-3/2Ф0, (25)

^ = Ау + О(еЩ^-т)+У0,

где Ь = а3Р + а<3, М = 3а2Р + <3.

Доказательство. Продифференцируем (24) по £, учитывая (23) и (25). Получим при V = 0

еТ1\ + еи112 + 0(еи2 + е3/2) = (еЬ + ерМ + О (ер2 + е3^2))(1 + л/ёд(ф) + £<?(£, ¥>))+

(1д дд дд п (I/ <9/ д} . .

+ + ре-* + р£ - + + + (26)

В равенстве (26) приравняем коэффициенты при е, ер. Получим уравнения

/ д/

:Г“ + -Ж = ^ аф д!

£а+% = и,-У--М.

аф д! аф

Полагая Ь = О^М = С/2, получаем уравнения вида (15), которые можно решить аналогично, используя разложение по формуле (16). □

Рассмотрим уравнение Ь(а) = 0, равносильное, поскольку а > 0, уравнению

а2Р + 3 = 0 (27)

Пусть а* —корень уравнения (27). Он существует, если

Р3 < 0. (28)

Положим в предыдущих рассуждениях а = а*. Тогда М* = М(а*) = 0. Систему (25) можно записать в виде

' р = еМ*р + е3/2ф, ф) + 0(ер2 + е3/2р + е2) + ет-1Р0, ф = у/ёа* + у/ер + ес(/, ср) + 0(ер + е3!2) + ет-3/2ф°1 (29)

V = Ау + 0(е^-т) +1/°.

Чтобы воспользоваться базовой теоремой, нужно усреднить также функции й(!, ф), с(!, ф). Это можно сделать, рассуждая, как при доказательстве леммы 4 с помощью замен вида

( я = р + уДР(^) + ер(г, Ф),

\ ГФ = V “Ь ''/ёС,(<у5) + еС?(/, ср).

В результате функции С(і, р), с(і, р) в (29) заменятся на их средние значения сі, с. После изменения масштаба переменной д и сдвига д = є3/4в — у/є<1(М*)~1, получим систему

' і = єМ*5 + 0(є5/4) + єт-7/4^0,

ф = у/Іа* + Є/З + 0(є5/4) + єт-з/2Ф°,

й = А« + 0(є^-т)+1/°,

где в — некоторая постоянная, период по ф равен периоду по р.

Наконец, выбирая N и т так, чтобы выполнялись неравенства т — 7/4 = 5/4, (Ж + 1)/2 — т = 1/2, найдем N =6, т = 3.

В результате получим систему вида

5 = єМ *в + 0(є5/4),

ф = у/Іа* +є/3 + 0(є5/4), (30)

г> = Аг> + О (у/є),

которая удовлетворяет условиям базовой теоремы с £(є) = є1/4.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть выполняется условие (28). Тогда при каждом достаточно малом є > 0 система (21) имеет инвариантный тор

г = у/є (а* + є1/4_0(і, р, є)), ги = єхІАСІ1й1 ср, є),

где Д, С — гладкие функции, Т — периодические по і и 2ш-периодические по р.

§ 3. Исследование сингулярных возмущений

Рассмотрим систему

ж = у + Хо(х, у, г, С, і) + єХ(ж, у, г, С, і, є), у = —х3 + Уо(х,у, г, С,і) + єУ(ж, у, г, С, і, є),

.г = Аг + ^о(ж, у, г, С, і) + є^(ж, у, г, С, і, є),

_ є£ = В£ + Но (ж, у, г, С, і) + є“(х,у,г,^,і,С), С Є й”

(31)

В дополнение к предположениям относительно системы (16) предположим, что функции 20, 2 — нелинейности класса Сто по переменным ж, у, г, £, е, а матрица В, так же как и А, гипреболическая.

Применим метод разделения движений [6].

3.1. Сведение на инвариантную поверхность с регулярными переменными

Лемма 5. Существует формальный ряд д>(ж, у, г,!) + ед(ж, у, г,!, е) по степеням е с бесконечно дифференцируемыми по ж, у, г коэффициентами такой, что замена

С = П + 0о(ж, у, г, і) + є#(х, у, ^, і, є)

(32)

ж = у + Хо(ж, у, г, п + #о + є#, і) + єХ(ж, у, г, п + #о + є#, і, є), у = —ж3 + Уо(ж,у, г, п + #о + є#, і) + єУ(ж, у, г, п + #о + є#, і, є) г = + ^о(ж,у, г, п + #о + є#, і) + є^(ж, у, г,п + #о + є#, і, є),

єп = Вп + Н 1(ж, у, ^, п, і, є),

где

Н 1(ж, у, ^, 0, і, є) = 0.

Доказательство. Записав (32) в виде

єС = єп + є#о(ж, у, г, і) + є2#(ж, у, г, і, є),

продифференцируем это равенство по і в силу систем (31) и (33) и положим п = 0. Учитывая (34), получим равенство

В#о + єВ# + Н(ж, у, г, #о + є#, і) + єН(ж, у, г, #о + є#, і, є) =

= Є9^ (У + Х0(ж, у, г, д0 + єд,г) + єХ(х,у, г, д0 + єд,г, є))+

+ £д<уд°^ Єд\-х3 + У0(х,у,г,до + єд,г) + єУ(х,у,г,д0 + єд,г,є))+ ду

. д(д0 + ед) дд0 2дд

+ є----------(Аг + Zo(x, у, г, до + єд, і) + є.* (ж, у, г, до + єд, і, є)) + є_^“ + є

Положим є = 0. Получим уравнение с неизвестной функцией #о,

В#о + Н(ж,у, г,#о,і) =0,

которое, поскольку det В = 0, однозначно разрешимо по теореме о неявной функции.

Приравнивая коэффициенты при єк (к = 1, 2, 3 ...) и используя обозначения, введенные при доказательстве леммы 3, получаем уравнение с неизвестным #к, которое представимо в виде

дН

Вдк + ~7гт{до)дк = Ск(дк>), (35)

дС

где функция О к зависит только от тех #к, у которых к' < к. Следовательно, и уравнения

(35) однозначно разрешимы по теореме о неявной функции. □

3.2. Существование инвариантного тора

Оборвав ряд є# на члене єКдN, получим систему, отличающуюся от (33) лишь последним уравнением, которое примет вид

єп = Вп + Н1 + 0(є№+1), (36)

где индекс 1 означает, что функция аннулируется, когда аннулируется сингулярная переменная. Первые три уравнения системы (33) можно представить в виде

ж = у + X* (ж, у, ^, і, є) + X 1(ж, у, 2, п, і, є),

у = —ж3 + У * (ж, у, г, і, є) + У1 (ж, у, г, п, і, є), (37)

г = Аг + Z*(ж, у, г, і, є) + ^ 1(ж, у, г, п, і, є),

(33)

(34)

где

а индекс 1 имеет тот же смысл, что и в (36).

Рассмотрим следующую подсистему системы (36)—(37)

ж = у + X *, у = —ж3 + У *, і = Аг + Z *,

которую можно трактовать как систему (16).

Согласно (17) формальное уравнение инвариантной поверхности системы (38) имеет вид

Тогда предположение о малости возмущений в сингулярном случае принимает следующий вид: функция X*(ж, у, Ло + єЛ, і, є) должна иметь порядок малости не ниже третьего, а — У * (ж, у, Ло + єЛ, і, є) не ниже четвертого, если переменной ж приписывать первое измерение, а переменным у, є — второе.

Это условие в дальнейшем считается выполненным. Выполняя в системе (38) те же преобразования, что в применялись к системе (16) §2, получим систему вида (20). При этом должно выполняться условие (28), а если эти преобразования применим к системе

(36)—(37), то получим систему

Перейдем в (39) к «медленному» времени т по формуле т = е 1!. Обозначая производные по т штрихом, запишем систему

Достаточно взять т = 5/4, N = 1. После этого система (40)—(42) будет удовлетво-

і = Ло(ж, у, і) + єЛ(ж, у, і, є).

'5 = єМ *в + 0(є5/4)+ 51,

І> = у/єо* +є[3 +0(є5/4) +Ф1, V = Аґи + 0(л/є) + Vі,

, єп = Вп + 0(є№+1)+ Н1.

(39)

'в' = є2М *в + 0(є9/4)+ є^1, ф' = є3/2а + є2в + 0(є9/4) + єФ1, V = єА« + 0(є3/2)+ єУ1,

, п' = Вп + 0(є"+1)+ Н1.

(40)

(41)

(42)

рять базовой теореме с £(є) = є1/4, р = (Ф, і), р(є) = (є3/2а + є2в, є).

В результате доказана

Теорема 3. Пусть для системы (38) выполняется условие (28). Тогда при каждом достаточно малом е > 0 система (31) имеет инвариантный двумерный тор с угловыми переменными р, t, где р определяется формулой (8).

Литература

1. Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний // Мат. заметки. Т. 65. Вып. 3. 1999. С. 323-335.

2. Бибиков Ю. Н. Локальные проблемы теории многочастотных нелинейных колебаний. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 170 с.

3. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. C. 272-331.

4. Hale J.K. Integral manifolds of perturbed differential equations // Ann. of Math. Vol. 73, N3. 1961. P. 496-531.

5. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, №6. С. 1297-1394.

6. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.