CC BY
31
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)
УДК 511.42, 511.72
РЕГУЛЯРНЫЕ И ПОВСЕМЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ ДНОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Н. В. Бударина (г. Хабаровск)
Аннотация
В работе теорема типа Хинчина для многочленов в случае расходимости обобщена на совместные приближения в Rk х C х и на приближе-
ния, включающие естественное ограничение на производные. Доказательство опирается на построение оптимальных регулярных систем, технику повсеместных систем и метод построения множеств близких сопряженных алгебраических чисел.
Abstract
In this paper the Khintchine type theorem for polynomials in the divergence case is generalised to simultaneous approximations in Rk х Cl х Q™ and to approximations which incorporate a natural restriction on derivatives. The proof builds upon the construction of the optimal regular systems, the ubiquity technique and the construction of a system of close conjugate algebraic numbers.
1 Введение
Несмотря на то, что теория меры была применена в теории диофантовых приближений Э. Борелем еще в конце 19-го века, многие считают началом отсчета метрической теории диофантовых приближений 1924 год. В этом году А.Я. Хпнчпн [21] доказал свою знаменитую теорему о приближении действительных чисел рациональными. Пусть Ц\(А) - мера Лебега измеримого множества А С К. Пусть I С К - некоторый интервал. Пусть (Ф) - множество действительных чисел х Е I, для которых неравенство
Iх - р/д! < ф(д)/д имеет бесконечное число решений в (р,д) Е Ъ х N.
Теорема 1 (А.Я. Хинчин). Пусть Ф : К+ ^ К+ функция такая, что дФ(д) монотонно убывает. Тогда
H\L\(Ф)
!
о E^i ф(г) < ж, М1 ) E^i ф(г) = œ.
Условие монотонности функции дФ(д) необязательно в случае сходимости ряда Ф(г)) однако оно является существенным для случая расходимости
(см. [28]). Доказательство случая сходимости в теореме Хинчина достаточно простое и является следствием леммы Бореля-Кантелли, а случая расходимости
- сложное. А.Я. Хинчин использовал для доказательства случая расходимости теорию цепных дробей. К настоящему времени ситуация во многом изменилась: были введены понятия регулярных систем и повсеместных систем. Понятие регулярной системы точек было введено в теорию диофантовых приближений А. Бейкером и В. Шмидтом [4], чтобы охарактеризовать равномерность распределения счетных подмножеств на прямой, в частности, множества алгебраических чисел фиксированной степени. Повсеместные системы были введены М. Додсоном, Ринне и Виккерсом [20] для изучения приближений рациональными гиперплоскостями. В [26] показано, что регулярные системы и повсеместные системы эквивалентны в случае приближений рациональными числами. Оказалось, что если удается доказать регулярность или повсеместность систем, то отсюда получаются оценки снизу для размерности Хаусдорфа диофантовых множеств [4], [20], [19], [16], [29], [24]. Дальнейшее развитие регулярные и повсе-местне системы нашли в, так называемых, оптимальных регулярных системах
[6], регулярных системах резонансных множеств [1] и локально повсеместных системах [11], введение которых позволяет доказывать аналоги теоремы Хинчина в случае расходимости (см. [5], [2], [10], [11], [12], [8], [25]).
Интересно, что в настоящее время есть задачи, в которых случай расходимости доказан, а случай сходимости нет. Например, это касается совместных приближений для системы неравенств:
\\дх\\ < Ф(д),
\д/(х)11 < Ф(д)
для трижды непрерывно дифференцируемой функции / на I, у которой /"(х) = 0 для почти всех х Е I. Случай расходимости доказан в [12], а случай сходимости доказан только в частных случаях (см. [14]).
В данной работе продемонстрируем применение оптимальных регулярных систем и локально повсеместных систем для доказательсва аналогов теоремы Хинчина в случае расходимости. Первый результат - это обобщение теоремы Хинчина на совместные приближения в пространствах действительных, комплексных и р-адпческпх чисел, а второй - это теорема типа Хинчина для приближений нуля значениями многочленов и их первых производных.
Пусть к, I, т - натуральные чис л а, и § = х С1 х ~ произведение к-мерного евклидового, /-мерного комплексного и т-мерного р-адического пространств. Пусть ¡л2(А2) - мера Лебега измеримого множества А2 С С; пусть ¡л3(А3) обозначает меру Хаара измеримого множества А3 С Ор. Используя эти определения, определим произведение мер ц на х С1 х полагая ц(А) = Пк==1 ¡^1(А1^)\^]=1Ц2(А2^)ПГ=1 ^3(А3>4) для множества А =
П?=1 Ai,i X rß=i А2,з х П¡=1 Ä3,t, где AM G R, Ä2,j G C и A3,t G Qp. Зафиксируем параллелепипед T0 = Ik х K1 х Dm, где I - интервал в R K - диск в C и D - цилиндр в Qp. Пусть v = (v1,v2,v3) и А = (A1,A2,A3) - векторы С действительными координатами, где Ai > О И v1 ^ k-2l+m> v2 ^ k-2l+m ’ v > m(k+21)
э ^ k+2l+m ■
Пусть
P(f) = anfn + an-1fn 1 + • • • + a1f + ao, aj е Z,
- целочисленный многочлен степени n и высоты H = H(P) = max1^j^n \aj\. Для заданного n G N через Pn обозначим множество целочисленных многочленов степени ^ n и через Pn - множество целочисленных многочленов степени n. Далее, пусть Ln(v, А, Ф) обозначает множество точек u = (x, z, w) е T0, где x = (x1,x2, • • • , xk) , z = (z1} z2, • • • , zl), w = (w1,w2, • • • , wm), для которых система неравенств
maxKKk\P (Xi)\ ^ H (P)-vl/k ФХ1/к (H (P)), maxKKi\P (zj )\ ^ H (P)-V2/l ФX2/l(H (P)), (1)
max1^t^m\P (wi)\p ^ H (P)-vs/^Xs/m(H (P)),
ГД6
V1 = V2 = V3 _ 1 = n___________1
k l m k+2l+m ,
Ai = Л2 = As = 1 \Z)
klm k+2l+m5
выполняется для бесконечно числа многочленов P G Pn. Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Ф : R+ ^ R+ - монотонно убывающая функция, и n ^ k + 21. Тогда при расходимости ряда Е^=1 Ф(г) множество Ln(v, А, Ф) имеет полную меру в T0, т.е. ß(T0 \ Ln(v, А, Ф)) = О.
Одним из основных моментов доказательства теоремы 2 является построение оптимальной регулярной системы из наборов корней
(a(1),---,a(k) ,ß (1\ • • •, ß(l) ,y (1), •••,y (m))
целочисленных многочленов P, т.е. P(a(i)) = P(ß(j)) = P(y(t)) = О, где a(i G R, ß(j) G C, \Imß(^\ > 1 y(t) G Qp, 1 ^ i ^ k, 1 ^ j ^ /, 1 ^ t ^ m. В работе [9] дано определение оптимальной регулярной системы. Однако поскольку в работе речь идет о таких классических объектах математики как целочисленные многочлены и алгебраические числа, то дадим явную конструкцию оптимальной регулярной системы.
Обозначим через П+(а) произведение модулей ненулевых координат вектора а. Пусть дана точка u0 = (x0)1, • • • ,x0,k, z0>1, • • •, z0>l,w0>1, • • • ,w0,m) G S и набор r = (rxi, • • • ,rxk ,rzi ,••• ,rZl, rwi, • • •, rWm) положительных чисел, тогда множество
T(uo, r) = {(x, z, w) G S : \xi - xo,i\ ^ ^, \zj - zoj \ ^ rZj, \wt - wo,t\p ^ rWt},
где 1 ^ г ^ к, 1 ^ ^ /, 1 ^ ^ т, будем называть параллелейипедом в 8.
Легко видеть, что ц(Т(и0, г)) х Л+ (г).
Определение 1. Пусть даны счетное множество Я с §, параллелепипед Т0 с 8, функция К : Я ^ М называемая высотой, и монотонно убывающие функции ,¿2^ ,ё.тз : Е+ ^ Е+, 1 ^ гг ^ к, 1 ^ г2 ^ /, 1 ^ гз ^ т. Тройка (Я, К, 3) будет называться регулярной системой точек в Т0, если существует постоянная с1 > 0 такая, что для любого парамелепипеда Т с Т0 найдется достаточно большое число г0 > 0 такое, что для любого г > г0 можно вы,брать набор точек V1,..., Vг € Я такой, что
Определение 2. Регулярную систему точек (Я, Н, в) назовем, оптимальной, если для, любого параллелепипеда, Т С Т0 выполняется условие
Пусть Я := {V = (а(1\ ... , а(к\ в (1\...,в №^(1)),... (т)) Є Т0 : ЗР Є
РП, Р(а(г)) = Р(в(^) = Р(7(4)) = 0, 1 ^ і ^ к, 1 ^ і ^ I, 1 ^ і ^ т}. Тогда для
V Є Я величину Н(V) := шіп{Н(Р)| Р Є Р'п, Р(а(г)) = Р(в^) = Р(т^) = 0}
будем рассматривать как высоту V, а сам многочлен Р будем называть квази-минимальным.
Доказательство теоремы 2 будет основано на следующей теореме.
Теорема 3. Пусть Т0 - ограниченный параллелепипед в Жк х С1 х 0т. Определим Я как множество на,боров VР = (а, /3,7), где а - к-набор действительных, в ~ ¡-набор комплексных, 7 - т-набор р-одических корней многочлена Р(/) = ЕГ=о аг/г Є ^[/]. Пусть выполнены условия
Т^г,в(г)) С Т, (1 ^ і ^ і),
(3)
(4)
(6)
Т^г, в(г)) П ТV, в(г)) = 0(1 ^ і < і ^ і),
(в)
(7)
т1 + 2w2 + wз = п — к — 21 + 1, т1 ^ 0, w2 ^ 0, wз ^ 1,
и пусть
4(г) = г-(иі/к+1), (г) = г-(и,2/1+1), dw(г) = г-из/т, Н^р) = Н(Р).
Тогда (Я, Н, в) - регулярная систем,а, в Т0 .
Замечание 1. Заметим, что теорем,а 3 позволяет строить регулярные системы, в пространстве Б без дополнительных условий связи между вектором
V и натуральными числами к,1,т.
Для натурального числа Q > 1 определим класс многочленов
Тп(Я) = {Р € Рп, Н(Р) ^ Q}.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 3 необходимо доказать следующий метрический результат.
Теорема 4. Для каждого п ^ к + 21 существуют постоянные 80 и с0, зависящие только от п и р (и не зависящие от Q), обладающие следующим, свойством,. Для, любого множества Т с Т0 и для, любы,х 1^1,'1^2,'1^3, удовлетворяющих условиям
,1^1 + 2'1^2 + = п — к — 21 + 1, /ш1, /ш2 ^ 0, ,1^3 ^ 1,
существует измеримое множество Б1^,Т) с Т такое, что для, каждой точки (х, ъ, € Б]_^,Т) существует многочлен Р € Рп^), удовлетворяю-
щий системе
\Р(х) < ^-™1/к, \Р(&)| < ^-а,2/1, \РЫ\р < ^-™з/т,
\Р'(хг)\ ^ ^, \Р'(^)\ ^ 8oQ, \Р'(тг)\р ^ 5о, (8)
1 ^ г ^ к, 1 ^ ^ I, 1 ^ Ь ^ т,
и для, Q > Q0 верна, оцена, меры
»(Б1@,Т)) ^ з^(Т), (9)
где в € К и 0 < в < 1.
Доказательство теоремы 2 проведем для случая к = I = т = 1, поскольку общий случай доказывается аналогично (см. [3]).
Изучение поведения производных многочленов (и вообще, линейных форм гладких функций) было крайне важно при доказательстве теорем типа Хинчи-на. Далее исследуем метрические свойства множества
Рп(Фъ Ф2) = |х €[ — 2, 2 ]: \Р(Х) \ < ф1(Н (Р)) бесконечного числа Р €'Р1
Опираясь на результаты Клейнбока и Маргулиса [22], в 2001 Берник, Клейнбок и Маргулис [17] нашли далеко идущее обобщение теоремы Спринджука (гипотезы Малера), включающее условие на производные. Этот результат доказан для линейных форм невырожденных семейств функций и в случае многочленов сводится к следующему утверждению.
Теорема 5. Для любого п € N
М(Рп(*1, Ф2)) = 0, (11)
где Ф^Н) = Ь,-т-х и Ф2(Н) = Н1-х для некоторого А ^ 0 и т > п — 2А.
В той же работе Берник, Клейнбок и Марту, шс поставили проблему о на-
Ф1 Ф2
ведлпвость (11). Другими словами, они поставили проблему о доказательстве теоремы типа Хинчина для Рп(Ф1, Ф2).
Прежде чем сформулировать основной результат, введем некоторые вспомо-
Ф1 Ф2
Ф1 Ф2
сказать, что эти вспомогательные функции естественно возникают в доказательстве. Эти функции
Ф 1(Н) = шт{Ф^Н), Ф-1(^)^1-п}, ф(Н) = К-1^1(к)Ф-1(К)) р(Н) = К2к-п+1Ф-2(Ь))
К
Следуя определению в [11], будем говорить, что функция / является 2-регулярной, если существует положительная постоянная А < 1 такая, что /(2г+1) ^ А/(2*) для всех достаточно больших Ь. Также будем говорить, что функция / являйся квази-монотонной, если существуют постоянные г и с[ такие, что 0 < г < 1 ^ с[ и /(гх) ^ с\/(х) для всех достаточно больших х.
Теорема 6. Пусть функции Ф1, Ф2 : К+ ^ К+ такие, что Ф1Ф2 -
монотонно убывающая функция. Пусть п ^ 2 - целое число. Предположим,
_п+2
что КН 3 ^ Ф2(Н) < к0КН и ф или р является 2-регулярной функцией,
где к0 - положительная постоянная, зависящая только от п. Кроме того,
ф
Ж
МРп(Фъ Ф2)) = 1, если ^ Нп-2Ф1(Н)Ф2(Н) = то.
Н=1
2 Вспомогательные утверждения к теореме 4
Зафиксируем ^ > 0. Удалим го параллелепипеда Т0 множество малой меры так, чтобы в оставшейся части выполнялось неравенство \1ш г\ ^ ^. Используя лемму 1 при ] = п, получаем, что \г—в\ < Н(Р)-и, где V > 0; поскольку правая часть неравенства стремится к нулю при Н(Р) ^ то, то существует корень в такой, что \1ш в\ > 2В данном случае, существует также сопряженный
корень ß многочлена P такой, что \ß — ß\ > öi5 и для каждого действительного корня а многочлена P справедливы оценки \ß — а\ = \ß — а\ > 281. Объединяя вышесказанное, получаем
\Imß\ > 2öi, \Imz\ ^ öi, \ß — ß\ > öi, \ß — a\ > 1 öi. (12)
Из условий теоремы 2 и (12) следует ограничение deg P ^ 3.
Пусть аi, а2,..., ап - корни многочлена P Е Pn(H) в С и Yi,Y2, ■ ■ ■ ,Yn ~ корни в Q*, где Qp - наименьшее толе, содержащее Qp и все алгебраические числа. Поскольку множество алгебраических чисел счетно, то в поле Qp можно определить нормирование, продолжающее нормирование в Qp. Норму r Е Qp обозначаем \r\p.
Будем считать, что все координаты u являются трансцендентными числами, поскольку мера всех u Е R х С х Qp,y которых хотя бы одна координата
P
системе (1) являются неприводимыми и удовлетворяют условиям:
\an\ >c(n)H(P), \an\p >p-n■ (13)
Сведение произвольных многочленов к таким специальным многочленам приведено в [18].
Класс неприводимых многочленов P степен и deg P ^ пи высоты H(P) = H, удовлетворяющих (13), обозначим через Pn(H). Далее пусть Pn = U<н=1 Pn(H)■ Используя известные неравенства для оценок сверху модулей корней многочлена P и их p-адических норм (см. [27]), из (13) следует
\ai\ ^ 2, \Yi\p <pn, i = 1,.. . , п. (14)
Для каждого корня а^ Yii 1 ^ i ^ п, многочлена P Е Pn(H) определим множества:
S2(a.s) = {z Е С : \z — а^ = min \z — aj\},
i ^ j <n
Si^j) = Б2а) П R,
S;i(lk) = {w Е Qp : \w — Yk\p = min \w — Yj\p}.
i^j^n
Рассмотрим множества Si^j), S2(as), S3(Yk) для фиксированного набора
j, s, к, и для упрощения обозначений будем полагать, что j = 1, а,3 = ßi и
к = 1, где множество корней ß]_, ß2,ßn является перестановкой множества корней аi, а2,..., а^. Упорядочим остальные корни P так, что
\al — а2\ ^ \al — а3\ ^ ... ^ \al — а^,
\ßi — ß2\ ^ \ßi — ß:i\ ^ ... ^ \ßi — ßn\,
\Yi — Y2\p ^ \Yi — Y3\p ^ ... ^ \Yi — Yn\p.
Для многочлена Р Є Рп(Н) определим действительные числа рц (г 1, 2, 3) из соотношений
|а1 — а3 1 = Н ~р1*, 2 ^ і < п р12 ^ Різ. -. ^ р1п,
Іві — вз 1 = Н-р2>, 2 ^ і < п р22 ^ Р23. ■. ^ Р2п,
ь - ~ 1з 1Р = Н ~р3!, 2 ^ і ^ п, Р32 ^ Р33..- ^ Рзп.
что корни 1а3 1 5 1вв 1 5 1^к 1р ограничены , получаем, что
постоянная є1 > 1 такая, ч то рц ^ — у для г = 1, 2, 3и2 ^ і ^ п. Возьмем
достаточно малое число е > О, так что £\ = еН-1 для достаточно большого N, и пусть Т' неравенств
из
к3 — 1 к3 Ц — 1 ¡3 ш3 — 1 ш3
-^Гт- ^ рц < ^ т~ ^ Р23 < т1, ~т~ ^ РЦ < т1
к2 ^ к3 ^ ... ^ кп ^ 0, ¡2 ^ ¡з ^ ••• ^ 1п ^ 0 ш2 ^ ш3 ^ ... ^ шп ^ 0.
Далее определим числа дг, гг и в
в к
кг+і + .. . + кп
Т' ’
¡г+1 + ... + ¡п
Т' ’
шг+і + .. . . + шп
Я = ^ ^ ‘ , (1 ^ г ^ п — 1)
(1 ^ г ^ п — 1) (15)
"^г+і і — • і "‘"п (л ^ ^ і\
вг = -----------------------------------------------------------т-, (1 ^ г ^ п — 1).
С каждым многочленом Р Є Рп(Н) будем связывать три целочисленных вектора я = (к2,...,кп), г = (¡2,...,1п) и б = (ш2,... ,шп). Из (14) можно получить оценки снизу для кц, ¡з, и шц, 2 ^ і ^ п. Дискриминант неприводимых многочлнов есть целое число, отличное от нуля. С другой стороны, дискриминант выражается через произведение разностей корней. Это означает, что корни не могут быть слишком близкими и приводит к оценкам сверху для кц, Ц, шц, 2 ^ і ^ п. Данные количественные оценки можно найти в [27]. Поэтому число таких векторов (я, г, б) конечно (и зависит только от п, р и Т'). Многочлены Р Є Рп(Н) с одним и тем же набором векторов (я, г, б) объединим в подмножество Рп(Н, я, г, б) .
В ходе доказательства теоремы будем оценивать значения многочленов, часто используя разложение в ряд Тейлора. Для получения оценок сверху для членов разложения в ряд Тейлора (и для других целей) будем использовать следующие две леммы (доказанные в [15] и [23]).
Лемма 1. Пусть Р Є Рп.
Тогда
u 1 \a Г 2n\P (u)\\P '(a)\-i,
w — Yi\p Г \P (w)\p\p '(Yi)\-i,
u 1 \a Г min ( 2n-3 \p(u)\\p'(a)\ 2ГзГп \
w — Yi\p Г зЛ \P(w)\p\P'(Yi)\-i
1
з \ j
-i 1
к=2
1
3 \ j
)
’)
к=2
где u = x или u = zúa = ai или а = /31 соответственно.
Лемма 2. Пусть P Е Pn(H, q, r, s). Тогда,
\P(l) (ai)| < c(n)H i-qi+(n-l)£1,
\P (l)(ei)\ < c(n)H i-ri+(n-l)£1,
\P{l)(Yi)\p < c(n)H-Sl+(n-l)£1,
где 1 Г l Г n — 1, и
\P'(ai)\ > H1-q1, \P'(Pi)\ > Hi-r1, \P'(yi)\p > H-S1. (16)
Лемма 3. Пусть z Е S(Pi) ■ Тогда,
\z — /3i\ Г n\P(z)\\P(z)\-i,P(z) = 0. (17)
Доказательство. Найдем производную P1 (z) = (an(z — f3i)(z — в2) ■ ■ ■ (z — вп))' много члена P и оценим величину
n\z — ° ¡-i
\P'(z)\\P(z)\i = J2\z — &\i r n\z — ei\
i=i
откуда следует (17). □
Аналогично, в действительном и р-адическом случаях справедливы неравенства:
\х — а^ Г n\P(x)\\P'(x)\ i при x Е S(ai),P(x) = 0, \w — Yi\p Г \P(w)\p\P'(w)\-i при w Е S(yi), P(w) = 0.
Лемма 4. Если корни а3, г = 1п, многочлена Р ЕТП удовлетворяют условию \а\ < с, с> 0, то \ап\ ^ Н (Р).
Доказательство. Во-первых, покажем, что существует множество корней ... ,а>гв, в ^ 1, а3к = , многочлена Р = '^п=0 а3хг, удовлетворяющих
неравенству
к ...аь\» Н(Р)\ап\-1. (19)
Пусть Н(Р) = а] для некоторого 0 ^ ^ п. Из равенства
Р(х) = ап(х — а\)(х — а2)... (х — ап)
выразим коэффициент а] и получим
Н(Р) = (—1)п ]ап(а\а2 ... ап-] + ... + а]+1а]+2 ... ап). (20)
Число слагаемых в (20) равно С^. Если абсолютное значение каждой из сумм меньше чем (С ])-1\ап\-1Н(Р), то получаем противоречие.
Р
(14) и (19) имеем
1 > \аг1 ...а\ > Н (Р )\ап\-1.
Следовательно, \ап\ ^ Н(Р). □
3 Доказательство теоремы 4
Сначала покажем, используя принцип ящиков Дирихле, что при с0 = = с0(п,р,Т) для каждой точки и множества Т существует ненулевой многочлен Р Е Рп(Ц) удовлетворяющий (8.1). Затем докажем существование постоянной 60, что является главной трудностью при доказательстве теоремы.
Определим множество Б2(Ц,Т) как множество точек и Е Т, для которых существует хотя бы один ненулевой многочлен Р Е Рп(Ц), удовлетворяющий системе неравенств (8.1).
Предложение 1. Для любого множества Т в Т0 существует постоянная с0, зависящая толь ко от п, р и Т такая, что для всех достаточно больших Ц имеет место равенство Б2(Ц,Т) = Т.
иЕТ
множество Т ограничено, значения функций ¡г и та производных на Т огра-
р
Тп
многочлена Р^аг1г Е Рп(Ц) точка МР = (Р(х),Р(г),Р(т)) будет принадлежать множеству Т' = (0, Г) , где г' = ((п + 1)с2^, (с2(п + 1))2Ц2,р 1) , с2 > 0 Т
Пусть х Е [—с2, с2] ■ Интервал [— (п + 1)с2Ц, (п + 1)с2Ц] в К можно покрыть [2(п+1)с2Ц/(с0Ц-т1 )] + 1 интервалами длины с0Ц-Ш1. Обозначим эти интервалы через 1Хр1, тогда
1 ^ Ь1 ^ [2(п + 1)с2Ц/(соЦ и>1)] + 1 ^ 3с0 1(п + 1)с2Ц1+т1
при Ц достаточно большом.
Пусть г Е С(0, с2). Круг радиуса (п + 1)с2Я в С содержится в квадрате [—(п + 1)с2Я, (п + 1)с2Я]2 в С. Каждую из сторон этого квадрата можно покрыть отрезками длины с0Я-™2 2-1/2, при этом число отрезков на каждой из сторон не превосходит [2(п + 1)с2Ц(соЦ-™22-1/2)-1] + 1. Разбиение каждой из сторон индуцирует покрытие всего квадрата квадратами, каждый из которых покрывается кругом диаметра с0Я~'Ш2. Обозначим эти круги через ¡г,ь2, тогда Ь2
([2(п + 1)с2Ц(соЦ-™22-1/2)-1 ] + 1)2 ^ 9(п + 1)2с2с-2д2+2™2
при Я достаточно большом.
Далее построим покрытие цилиндра Б радиуса с2 в Qp цилиндрами ¡™,ь3 радиуса с0Я'-™3. Каждое р-адическое число из данного цилиндра удовлетворяет условию \т\р ^ с2 = рХо&рС2, откуда \тр\ ^ р1°, где ¡0 = [^р с2]. Таким образом, т = ’^2°=-10 р) Е {0,1,...,р — 1}. В качестве цилиндров покрытия возьмем цилиндры радиуса с0Я°Ш3 с центрами в точках т' = ^т=-1о >
т0 = [— к^р(с0Я-™3)], и] Е {0,1,... ,р — 1}. По построению для любой точки т = Еи(])р] Е Б точка Е {0,1,... ,р — 1} будет удовлетворять и — и' = ^]=т0+1 и \т — т'\р ^ р-(то+1') < соЯ-™3. Таким образом, число
цилиндров Ь3 в этом покрытии равно
р1о+то+1 <рс2с°-1 Я™3.
Следовательно, набор параллелепипедов ¡х,Ь1 х ¡г,ь2 х ¡т,ь3 образует покрытие
Т
27с-4 (п + 1)3рс2 Я^+™1+2™3 +™3 = 27с-4 (п + 1)3рс42дп+1.
Положим с0 = (27(п + 1)32~(п+1')рс2)Поскольку число различных многочленов #Р = (2Я + 1)п+1, то найдется параллелепипед ¡х,Ь1 х ¡г,ь2 х ¡ш,Ьз,
МР1 МР2
член Р = Р1 — Р2 удовлетворяет системе (8.1). □
Для некоторых 0 < < 1, г = 1, 2, 3, которые будут выбраны позднее,
определим следующие множества:
Ь0(Я,Т) : = {и Е Ь2(Я,Т) : \Р'(х)\ > у^,
\Р'(г)\ > Я»'2, \Р'^)\р > У-"0'3 разрешимы в Р Е Рп(Я) },
ЫЯ,Т) : = {и Е ЫЯ,Т) : Я»1 < \Р'(х)\ < 50Я,
\Р'(г)\ > Я»'2, \Р'^)\р > Я-»3 разрешимы в Р Е Рп(Я) },
Ь2(Я,Т) : = {и Е Ь0(Я,Т) : \Р'(х)\ > Я»1,
Я»2 < \Р'(г)\ < 50Я, \Р'(,ш)\р > Я-»3 разрешимы в Р Е Рп(Я) }, ЫЯ,Т) := {и Е Ь0(Я,Т) : \Р'(х)\ > Я»1,
\Р'(г)\ > д»3, Я-»3 < \Р'(,ш)\р < 50 разрешимы в Р Е Рп(Я) }■
Рассматривая случаи линейности/нелинейности как в работе [18] следует, что ц(Б2(Я,Т) \ Ь0(Я,Т)) ^ 0 при Я ^ то, поэтому при достаточно большом Я мера множества может быть сделана меньше (1 — в)^(Т)/2. По-
вии ц(Ь^(Я,Т)) < (1 — в)^(Т)/6, і = 1,2, 3, получим требуемый результат ¡і(Бі(Я,Т)) ^ в^(Т). Далее покажем, что ¡і(Ьі(Я,Т)) < (1 — в)у(Т)/6, результат для оставшихся двух множеств доказывается аналогично.
Предложение 2. Для любого множества Т с Т0 существует достаточно большое число Яо = Яо(и,Т) такое, что для всех Я > Я0 верна оценка меры
Доказательство. Доказательство достаточно провести для многочленов
Зафиксируем многочлен Р Є Рп(Я) • Пусть а1 - ближайший корень многочлена Р к точке х, - ближайший корень Р к и 7 - ближайший корень
Р к ад, где 7 Є О*. Покажем, что производные многочлена Р в корнях и производные многочлена Р в ближайших к корням точках / (/ = х,2^ соответ-
Р
корней а1 , и • Используя (18), (8.1) и определение множества Ьі(Я,Т), получаем
для 2ь[ > 1 — гш1 (ж ,ш1 ^ — 1), і = 3,..., п и достаточно большого Я. Отсюда следует, что
В р-адическом случае, используя оценки \P(j\ji)\p < С and \(k!) 1\p ^ pk, находим
скольку Ь0(Я,Т) \ Бі(Я,Т) с и‘3=1Ь^(Я,Т) и Б2(Я,Т) = Т, то при уело-
1 — s ^(Li(Q,T)) < —»(T).
P є Pn(Q).
Оценивая каждый член из разложения
n
P(x) = Y^((i - 1)!)-1P(i)(ai)(x - ai)i-1,
i=1
находим
Qv1 \Pf (x)l
^ < \PЫ| < 2\P(x)| < 2SoQ.
(22)
для 2v'3 < w3 (и w3 ^ 0), j = 3,..., n и достаточно большого Q. Заключаем, что \Р'(71)\р = \Р'(w)\p. Таким образом, в комплексном (аналогично как и в действительном случае и используя (21)) и р-адическом случаях, для 2V2 >
1 — w2 (и w2 ^ — 1), 2v3 < w3 (и w3 ^ 0), и достаточно большого Q получаем
Q2 < < \Р (в1)\ < 2\Р'(z)\ (23)
Q-’* < \Р(w)\p =\P(7i)\p.
Все решения и системы множества L1(Q,T), удовлетворяющие (22) и (23), принадлежат параллелепипеду
\x — а^ < 2ncoQ~w1 \Р'(а1)\-1, а(Р): \z — в1\ < 2ncoQ-w2\Р'Ш\-1,
\w — 71\p < coQ-w3\Р'(71)\-1-
Для некоторой постоянной C1 > 0 (условия на которую будут наложены позднее) рассмотрим другой параллелепипед а1(Р), содержащий параллелепипед а(Р ):
\х — а^ < c1Qu1 \Р'(а1)\ 1, а1 (Р): \z — 1З1 \ <C1Qu2\Р'(в1)\-1, (24)
\w — 71\p < C1Q-U3\Р'(71)\-1-
Параллелепипеды а1(Р) и а(Р) корректно определены, если выполняются следующие условия:
V1 > u1 ^ —w1, v'2 > u2 ^ —w2, v'3 < u3 ^ w3, C1 > 2nc0.
Разложим многочлен Р в ряд Тейлора на и1(Р) в окрестности корней а1 ,
вь 71 и оценим его значения сверху. Оценивая каждый член из разложения Р(х) = Р'(а1)(х — а1) + ЕГ=2(*!)-1Р(г')(а1)(х — а1)г, получим
\Р' (а1)\\х — а1\ < CQ1,
c Qui
т-1Р^(а1)\\х — a1\j < c(n,T)(j!)-1(d)jVQ1^1-^ < -Q-
n — 1
u1 < 2v1 — 1 u1 < v1 j = 2, . . . , n Q
образом, находим на а1(Р):
\Р(х)\ < 2C1QU1. (25)
В р-адическом случае, используя оценки \Р(:’\71)\Р < c и \(^!)-1 \р ^ Рк > получаем
\Р' (71)\p\w — 71\p < C1Q-U3,
\(j!)-1Ри)Ы)\р\w — 71\p < c'OVQj(-U3+v/3) <C1Q-U3,
для и3 > 2у'3, у'3 < и3, ] = 2,... , п и достаточно большого Я ■ Следовательно, имеем \Р'^)\р ^ шах^-^, \(]!)-1Р^(тОУад — ъ\р < с1Я-аз ■ Таким образом, в комплексном (по аналогии с действительным случаем) и р-адпческом случаях для и2 < 2^2 — 1, и2 < у'2, и3 > 2у'3, у'3 < и3, и достаточно большого Я находим
Дополнительно оценим Р'(ж) на аі(Р). По формуле Лагранжа имеем равенство
где 91 - точка между ж и а1. Согласно (22), для ь[ > и1 и достаточно большого Я находим
удовлетворяет всем условиям на и^ ] = 1, 2, 3. Принимая во внимание условия 1/2 < у[,у'2 < 1, 0 < у'3 < 1/2, которые следуют из неравенств, связывающих величины ж и^, ] = 1, 2, 3, выберем
Зафиксируем вектор Ь = (ап,..., а5, а4) и обозначим через Рь(Я) подкласс многочленов из Рп(Я) с одним и тем же век тором Ь. Далее будем использовать метод существенных и несущественных областей Спринджука (см. [27]). Параллелепипед аі (Р) будем называть существенным, если для любого другого параллелепипеда а^Р), Р Є Рь (Я) справедливо
В противном случае параллелепипед а1(Р) будем называть несущественным.
Сначала рассмотрим случай существенных параллелепипедов а1(Р). Из определения а(Р) и а1(Р) следует, что
\Р(2)| < 2сіЯи2, \Р(-ш)\р < сіЯ-из
(26)
Р' (ж) = Р' (аі) + Р''(ві)(х — аі),
Р'(аі)\ < 26оЯ,
Р''(Єі)(х — аі)\ < с(п,Т)сіЯі+иі-и'і < 6оЯ.
Тогда имеем
\Р'(ж)\ < 36оЯ, ж Є аі(Р).
(27)
Выбор параметров
и1 = и2 = 0, и3 = 1
(28)
г![ = у2 = 1/2 + 2е, и3 = 2е-
(29)
Р)) = ц(аі(Р) П аі(Р)) ^ 2Маі(Р))-
(30)
£ ^аі(Р)) ^ 23у(Т)
и
5] М<Г(Р)) < 2впз4(с1)-40-п+з/,(Т).
рьр$(Я)
Просуммировав последную оценку по всем векторам Ь, число которых #Ь = (2Я + 1)п-3, находим
£ £ ^{<т{Р)) < 263"-3п3с4(с1 )-4,<(Т).
ь РеРЬ(Я)
Следовательно, мера множества точек, принадлежащих параллелепипам а(Р), содержащихся в соответствующих существенных параллелепипедах, не превосходит /1(Т), если
с1 > (283п-2п34(1 — в)-1)14. (32)
Далее рассмотрим случай несущественных параллелепипедов и покажем, что объединение таких параллелепипедов имеет малую меру. На пересечении а1 (Р, Р) для многочленов Р и Р выполняются неравенства (25), (26) и (27), поэтому для многочлена Я(/) = Р(/) — Р(/) имеем
Я(/) = Ь3 + Ь2/2 + Ь1/ + Ьо, \Ь3 \ ^ 2Я, 0 ^ ^ 3,
и справедливы оценки
\Я(х)\ < 4с1Яа1,
\Я(г)\ < 4с1Яа2 > /ОО)
\Я(т)\р <С1Я-аз, ^
\Я'(х)\ < 66оЯ-
Обозначим через ц2, ¡м3 корни многочлена Я, deg Я1 = 3. Многочлен Я име-
ет действительный и два комплексно сопряженных корня поскольку неравенство (33.1) справедливо, если х близко к ¡11 и неравенство (33.2) справедливо,
если г близко к ^2 или к его сопряженному корню цз. Согласно (12), имеем
\^1 — ^2 \ > $1, \№ — ^2 \ > 2$1 •
По лемме 4, получаем
\Я' (^1)\ = \Ьз\\^1 — 1^2\\^1 — 113 \ > $2М > с2$‘^Н (Я). (34)
Аналогично получим, что \Я(^2)\ > с38‘^Н(Я). Далее покажем, что
Н(Я) < 86о$-2с-1Я (35)
для и1 < 1. В случае, когда Н(Я) ^ Я2а1-1, получаем Н(Я) < 8808-2с-1Я для и1 < 1. Если Н(Я) ^ Я2а'1-1, то сначала докажем, что \Я'(^1)\ < 8$0Я-Используя оценку
\х — /ц\ < 6\Я(х)\\Я(^)\-1 < 24с1С-1д-2Яа1 Н(Я)-1,
и разложение в ряд Тейлора, получаем
Я' (х) = Я1 (/1) + Я''(/1)(х — /1) + Я'''(/1)(х — /1)2,
\Я' (х) \ < 6$оЯ,
\Я''(ц)(х — /л)\ < с(п,Т)Н(Я)24с1С-1$-2Яи1 Н(Я)-1 <
< 80Я для и1 < 1,
\Я'''(/1)(х — /1)2\ < с(п, Т)Н(Я)(24С1 с-18-2Яи1 Н(Я)-1)2 <
< 80Я для Н(Я) ^ Я2и1-1.
Следовательно, \Я'(/1)\ < 880Я для и1 < 1 и Н(Я) ^ Я2и1-1 ■ Поскольку \Я'(/1)\ < 880Я, то го (34) получаем, что Н(Я) < 8808-2с-1Я-
Оценим меру тех и, для которых выполняется система неравенств (33) при условии (35). Получим
\х — /1\ < 2401С-18-2Яи1 Н(Я)-1,
\г — /2\ < 24о1с-18-2Яи2Н(Я)-1, (36)
^ — ъ(Я)\р < С1С4Я-из.
и
ственные области
293з(с1)4С4С-1с-2$-6Я-1 Н (Я)-3.
Просуммируем последнее по всем четырем коэффициентам и, учтя условие (35), получим оценку меры (1 — в)/(Т)/12 при условии
$0 < 2-143-8(1 — в)(с1)-4с-1с2сЗ$8-
□
4 Доказательство теоремы 3
Зафиксируем произвольный параллелепипед Т в Т0. Пусть Я - достаточно большое число. Согласно теореме 4 существует множество В1(Я,Т) С Т, удовлетворяющее условию /(В1 (Я,Т)) ^ в/(Т). Пусть (х,г,ад) Е В1(Я,Т). Покажем, что существует точка (а, в, 7) Е Я го корней многочлена Р, хорошо приближающая точку (х,г,ад), где Р Е Рп(Я) - решение системы (8.1) для данной точки (х,г,ад). Рассмотрим приближения по каждой координате отдельно.
Пусть у Е Е так, что \у — х\ = пс08-1Я-™1-1 ■ Далее, по формуле Тейлора имеем
п1
р (у) = Е ^ р и<*)(у - хУ-
1=о г-
Используя неравенство \Р(г)(х)\ < с(п,Т)Я, убеждаемся, что Р«(х)(у — х) < с(п, Т)Я(псо8-1Я-и>1-1)г < СоЯ-™1 для г ^ 2 и т1 > — 1.
Кроме того, согласно (8.1), имеем \Р(x)\ < coQ wi. Таким образом,
П
Е|| РИ (x)(y - x)‘| < coQ-WiYl 1 < 3coQ~W1 . (37)
i=1 i=0
С другой стороны,
(8.2'
\Р1 (x)(y - x)\ ^ 5oQncoS0-1Q-w1-1 = ncoQ-w1. (38)
Из (37) и (38) следует, что Р(у) имеет разные знаки в точках
у = x ± ncoS0-1Q-w1-1
при условии, что n ^ 3. В силу непрерывности Р, существует корень а1 многочлена Р на отрезке \у — x\ ^ nco5- Q-wi-1, поэтому справедливо неравенство
\x — а1 \ < ncoS-1Q-wi-1. (39)
Обозначим через ..., /Зп комплексные корни многочлена Р, занумерованные таким образом, что /31 ^ближайший к z комплексный корень Р. Поскольку
\Р(-)\ ^ 1 „ n
Е
\Р(-)\ \- — вз\ \- —
то используя (8), получаем
I-' - вА « пЩ < псоК1 Я-"1-1- («)
Поскольку \ImzI ^ ^, то при достаточно большом Я получаем \1шв1\ > $1/2.
Лемма 5 (Гензель). Пусть Р Е 2р[х\, £ = £0 Е ^р и \Р(£)\р < \Р'(£)\р. Тогда при п ^ ж последовательность £п+1 = £п — Р(£п)Р'(£п)-1 сходится к
п — п п
корню а Е Zp многочлена Р и \а — £\р < \Р(С)\р\Р;(С)\-2 < 1-
В р-адическом случае, используя лемму Гензеля и (8), получаем, что существует корень 7 Е Ър многочле на Р, удовлетворяющий условию
\т — 7\р < Со8-2Я-"3. (41)
Далее, положим г = Я- Из неравенств (39), (40) и (41) вытекает, что для любой точки (х,-,ад) Е В1(Я,Т) найдется точка V = (а, в, 7) Е К такая, что К(и) ^ г и
(х,-,т) Е Т(V,с5¿(г)),
где с5 = шах{пс0^-1, С05-^2}. Далее выберем максимальный набор V1,..., Vг Е К
лен, получаем
В1(Я,Т) сиит(V, (С5 + 1)а(г)).
Используя (9), находим
г
8»(Т) ^ ^(В1(Я,Т)) ^ ^ ¿(Т(^, (С5 + 1)а(г))) ^ 23(С5 + 1)4г П^)),
г=1 +
откуда следует, что
г ^ 2-3(с5 + 1)-4^(Т)/П(а(г)) = 2-3(с5 + 1)-4зЯп+1 ¿(Т).
+
Следовательно, (К, к, ¿) - регулярная система в Т0.
Далее покажем, что регулярная система в теореме 3 является оптимальной.
Т
Рп имеет не более п корней, и поскольку число многочленов во множестве Рп(Я) не превосходит (2Я + 1)п+1, то число то чек V в Т те превосходит п3(2Я + 1)п+1^(Т). Тогда Е К П Т : ^ г} ^ Яп+1> следовательно, условие (7)
выполнено и исследуемая регулярная система является оптимальной. □
5 Доказательство теоремы 2
Для каждой точки V = (а, в, 1) Е К определим параллелепипед
( \х — а\ ^ Н(V)—1-1ФЛ1 (Н(V)), ^
P(v, ¿(Н, Ф)) = <и Е § : \- — в\ ^ Н(V)-2-1ФЛ2(Н(V)),.
[ \т — 7\р ^ Н (V )-'€з ФЛз (Н (V))
Обозначим через Ьп(\,А, Ф) множество то чек и Е 8, принадлежащих беско-
нечному числу параллелепипедов Р^, ¿(Н, Ф)).
Сначала покажем, что множество Ьп(\, X, Ф) имеет полную меру в Т0. Следующие четыре леммы будут использоваться при доказательстве теоремы. Первые две леммы являются обобщениями лемм, доказанных в [5] и [28] соответственно, на пространство К х С х 0р, и доказываются аналогично.
Лемма 6. Пусть дано измеримое множество К х С х и открытое множество и с К х С х . Если существует положительная постоянная П < 1 такая, что для любого параллелепипеда В с и выполнено ц(А[)В) > П^(В), то множество А имеет полную меру в и, т.е. ¿(и \ А) = 0.
Лемма 7. Пусть дано множество П, на котором за дана а-аддитивная конечная мера ¡л, и пусть дана последовательность Ег измеримых подмножеств П . Пусть множество Е состоит из точек т Е П, которые попадают в бесконечное число множеств Ег. Тогда, если Е~1 Л(Ег) = Ж, то
л(Е) > 11Шчип (Ег"=1 Л(Ег)? и9)
л(Е) > 11Шбцп^N N / Т-. о ^ Ч* (42)
Ег^Е 3=1 Л(ЕгП Е3 )
Ф
делим, функцию Ф(к) = шт{сН-1, Ф(Н)}, где с> 0 - постоянная. Тогда Ф -невозрастающая, функция, и ряд Ел°=1 Ф(к) расходится.
Ф
равенства ш\п{сК-1, Ф(Нг)} > шш{сК-^^1, Ф(Нг+1)} для Нг < Нг+1. Предположим, что ряд Ел=1 Ф(Н) сходится, тогда в силу монотонности функции Ф, имеем
ГО
гФ(г) ^ ^ Ф(Н) — 0 при г —— ж*
т/2^Ь,<т
Откуда следует, что гФ(г) = шт{с, гФ(г)} — 0 при г — ж. Последнее возможно, если гФ(г) — 0 при г — ж, откуда следует, что Ф(г) = Ф(г) для всех достаточно больших г. Следовательно, получаем, что и ряд Е^=1 Ф(Н)
□
Доказательство следующей леммы можно найти в [5].
Лемма 9. Пусть Ф : К+ — К+ - монотонно убывающая функция. Тогда ряды, Ел=1 Ф(Н) и ЕГ=0 2кФ(2к) сходятся или расходятся одновременно.
Согласно лемме 8, без ограничения общности можем полагать, что для всех Н>0
Ф(Н) ^ к-1/2* (43)
Зафиксируем произвольный параллелепипед Т с Т0, и пусть Я = 21, I Е N и {0}. Все неравенсва, используемые при построении регулярной системы, перепишем в терминах 21. Следовательно, существуют положительные постоянные 10 = 10(п,Т) и с1 = С1(п, Т0) такие, что для любого целого I > 10 существует множество точек
А1(Т) = ^ 1, * * * , VЬг } Е К П Т,
такое, что
Н(^) ^ 21 (44)
для всех Vг Е Аг(Т). Параллелепипеды
\х — а(г)\ ^ 2-(т1+1)1,
Т(у, ¿(/)) := ^ и Е Т : \у — в(г)\ < 2-(™2+1)\(45)
\- — 7(г)\р ^ 2-'шз1
и пусть
не пересекаются ни при каких Vг = Vз, поэтому
С12(п+1)1л(Т) ^ и ^ 2(п+1)1л(Т)* (46)
Для каждого натурального числа I > 10 и т Е {1, ***,1г} определим параллеле-
ПИП6ДЫ
\х — а(т)\ ^ 2-('и1+1)1 ФЛ1 (21), ]
Е\т) := { и Е Т : \г — в(т)\ < 2-('и2+1)г ФЛ2(21),, (47)
\т — 7 т)\р ^ 2-г,з1ФЛз (21)
Е, = и Е(т). (48)
т=1
Согласно (47), имеем
л(Е(т)) = 232-,пФ(21)* (49)
Рассмотрим множество Е(Т) = П^=1о и,==м^ ЕУсловие монотонности функции Ф вместе с условием (44) означают, что Ет с , в(И, Ф)). Поскольку л(Е(т)) — 0 при I — ж и поскольку А,(Т) с Т, то получаем
Е(Т) с (Ьп(ч, X, Ф) и Д П Т*
В силу того, что Я счетно, и следовательно, имеет нулевую меру, имеем
¿(Ьп(^,А, Ф) П Т) > л(Е(Т))* (50)
Из (43) и (45) следует, что
Е(г) р| Е(3) = 0
для г = ], 1 ^ г,] ^ . Следовательно, находим ¿(Е,) = ^ь= 1 ¿(Е^). Далее,
используя (46) и (47), получаем
2321слФ(21)л(Т) ^ л(Е,) ^ 232гФ(2г )л(Т)* (51)
Определим последовательность фг = 21 Ф(2г), тогда последнее неравенство примет вид
23С1ф,л(Т) ^ ¿(Е,) ^ 23ф,¿(Т)* (52)
Поскольку ряд Ф(Н) расходится, то применяя лемму 9, находим
ГО
= ж* (53)
1=0
Из (52) и (53) следует, что '^2<1=10 ¿(Е,) = ж. Поскольку множество Т ограничено и все множества Ег содержатся в Т, то применим лемму 7 к последова-Е,
При L > l0 неравенство (52) означает, что
L L
ME0 ^ 23сф{Т) ^ Фг- (54)
l=lo l=l
Далее оценим меру множества Ег П Eq. Пусть l0 ^ l < q ^ L, где L > l0. Из (48) вытекает равенство
ч
Eq П Е(г) = ^ Ej П Ef>. (55)
j=l
Для заданных V и А в теореме 2 построим регулярную систему, где тг =
Vг + Аг, г = 1, 2, 3 .
Используя (49), получаем ¿(Е3ПЕ(^) ^ 23Ф(29)2-пд. Следовательно, имеем
Аг)\ о3\
± (2 )2 inoyq, l, i),
АЛ г, т^(г)
n(Eq П Е(г)) ^ 23Ф(2q)2-nqno(q, l, г), (56)
где n0(q, l, i) - число различных индексов j таких, что E( ) П E() = 0. Легко проверить, что
* vl)
, 2
n0(q, l, г) ^ (2 + 2-(vi+1)l ■ ФЛ1 (2l) ■ 2(wi+l)q) ■
■ (2 + 2-(v2+l)l ■ ФЛ2(2l) ■ 2(w2+l)q)2 ■ (2 + 2-Vsl ■ ФЛз(2l) ■ 2w3q) .
Пусть vl = v2 = , v3 = 4, Al = \2 = A3 = 4. Тогда получаем, что число
n0(q,l,i) не превосходит
nl _ 1 , 7- (n + 1)? , 4 ,
(2 + 2-т Ф 4 (2l )2^~ )4. (57)
Воспользовавшись неравенством
(a + b)s ^ max{2s-1,1}(as + bs), a,b ^ 0, s> 0,
получим
no(q, l,i) ^ 27 + 23-ral+(ra+l)qФ(21). (58)
Из (56) и (58) вытекает, что
fi(Eq П E^) ^ 23Ф(2q)2-nq(27 + 23-nl+(n+l)qФ(21)). (59)
Поскольку число различных множеств E\%i те превосходит tl, то находим
n(Eq П El) ^ tl ■ max ¡i(Eq П E^).
Ыг-^ti
Используя (46), (59) и последнее неравенство, оценка для меры пересечения при любых различных q, l таких, что l0 ^ q,l ^ L, может быть записана в виде
fi(Eq П El) ^ 2(n+l)l^(T)23Ф(2q)2-nq(27 + 232-nlФ(21)2(п+l)q) , .
= + 26Ф1 фq )р(Т). ^
Из условия (53) следует, что найдется достаточно большое число V такое, что для всех натуральных чисел Ь > V, справедливо неравенство
ь
Фг > 1* (61)
г=,о
Пусть Ь > V. Применяя (52), (60) и (61), находим
£ £ ¿(Е, П Е,) ^ 26МР) £ £ ф,ф, + 210^(Т) £ £ 2-(п+1)(,-,)фд
д=,о г=,о ,=,о г=,о ,=,о г=,о
Ь Ь Ь го
< 26МТ) £ фд^ ф, + 210МТ) £ ф^ 2-(п+1)(-
я=,о ,=,о Я=,о ,= 1
2
= 26МТ)( £ ф) + 2102-(п+1)/(1 — 2-(п+1))^(Т) £ ф,
V ,=,о / я=,о
« ¿(Т)( ь ф) ,
ХШо /
где неявная постоянная не зависит ни от ^^от Ь. Комбинируя последнюю оценку вместе с (54), получаем
(£ МЕ})
о 7 > ¿(Т)
£ £ /‘(Е, П Е
Я=,о ,=,о
при Ь > V.
По лемме 7, мера множества Е(Т), состоящего из точек и, принадлежащих бесконечному числу множеств Е,, то крайней мере ¿(Т). Согласно (50), имеем ¿(Ьп^, X, Ф) П Т) > ¿(Т) для любого параллелепипеда Т с Т0.
Согласно лемме 6, множество Ьп^, X, Ф) имеет полную меру в Т0.
Далее покажем, что множество Ьп^, X, Ф) имеет полную меру в Т0. Для й > 1 определим функцию Ф(Н) = Ф(Н)/й. Тогда функция Ф(Н) также монотонно убывает и ряд ^ГОГО=1 Ф(Н) расходится. Согласно доказанному выше, множество Ьп^, X, Ф) имеет полную меру в Т0. Для V = (а,в,т) Е Я определим параллелепипед аТо ^ (V) как множество точек и Е Т0, удовлетворяющих системе неравенств
\х — а\ < И(V)-^1-1ФЛ1 (И(V)),
\г — в\ < И(V)-^-1ФЛ2(И(V)),
\т — 1\р < И(V)-ЬзФЛз(И(V))*
Тогда выполняется равенство
Ьп^, X, Ф) П Т0 = Пк=1 иV£Я: П(и)>к аТо,Ф (У)*
2
Далее, пусть V = (а,в,т) Е Я ж и Е аТо ф(V). Рассмотрим квазиминималь-ный многочлен Ри для V; его можно представить в виде
п1
РV(/) = (/ — к Р?Ч/ — в)1-',
к=1 ’
где / = {х,г,ад} и 8 = {а,в,т} соответственно. Поскольку и Е ат ф(V) и и Е Т0, то справедлива система неравенств
Р(х)\ < СИ(V)\х — а\,
\РV(г)\ < СИ(V)\г — в\,
Р^)\р < С\т — 7\р,
где С = С(Т0) > 1. Положим Л = С. Тогда, дая каждого V =
(а,в,т) Е Я такого, что аТо ф(V) = 0, для любого и Е аТо ф(V) верно
\Ри (х) \ < СИ^И^)-01 -1ФЛ1 (И(V)) < Ир)-г>1 ФЛ1 (И(Pv)),
Р(г)\ < CИ(v)И(v)-V2-1ФЛ2 (И(V)) < И(Р„)-°2ФЛ2(иР)),
Р (ад)\р < СИ^)-^ ФЛз (И (V)) < ИР)-°з ФЛз (ИР))*
Поэтому, если и Е аТо ф (V), то Ри является решением системы неравенств (1).
Следовательно, если и Е Ьп^, X, Ф) ПТ0, т.е. принадлежит бесконечному числу параллелепипедов аТо ф (V), то система неравенств (1) имеет бесконечное число решений, что означает и Е Ьп^, X, Ф) П Т0. Тогда, верно включение
Ьп^, X, Ф) П Т0 с Ьп^, X, Ф) П Т0,
откуда следует, что множество Ьп^, X, Ф) имеет полную меру в Т0. Теорема 2
ДОКЭЗШГсХ. П
6 Доказательство теоремы 6
В основе доказательства теоремы 6 лежит два метода: метод повсеместных систем [11] и построение множеств близких сопряженных алгебраических чисел [13]. Конструкция в [13] видоизменена, чтобы соответствовать нашей задаче. На протяжении всей работы мы имеем дело с алгебраическими числами в С. Пусть п > 2. Напомним, что комплексные алгебраические числа называются сопряженными (над Q), если они являются корнями одного и того же неприводимого (над О) многочлена с целыми рациональными коэффициентами. Здесь и далее, через И (а) обозначим высоту мгебраического числа а, определяемую как высоту минимального многочлена для а над Z.
Мы начнем доказательство с формулировки важного вспомогательного утверждения, установленного в лемме 4 в [13]. В дальнейшем, числа £0, * * * ,£п Е
Е R+ будут удовлетворять условиям
£i ^ 1 для 0 ^ i ^ m — 1,
£i ^ 1 для m ^ i ^ и, (62)
для некоторого 0 < т ^ п и £ > 0, где подразумеваемые постоянные зависят только от п. Предположим также, что
П& =1- (63)
i=0
Лемма 10. Для, каждого п ^ 2 существуют положительные постоянные 90 и т0, зависящие толь ко от п и удовлетворяющие следующему свойству. Для любого интервала, 3 С [— 2, 2] существует достаточно малое число £ = £(п,3) > 0 такое, что для, любого набора чисел, £0,...,£п, удовлетворяющих (62) и (63), существует измеримое множество С] С 3 меры
3
№) ^ 4 31 (64)
такое, что для, каждой точки х Е С] существует п +1 линейно независим,ы,х примитивных неприводимых многочленов Р Е Ъ[х] степени п таких, что
^ \Р (i)(x)| ^ т0^ для в сех I = 0,... ,п. (65)
Далее, пусть 0 < V < 1, Я > 1, и через Ап,и(Я) обозначим множество алгебраических чисел а1 Е М. степейи п и высоты Н(«1), удовлетворяющей условию
vQ ^ Н(а1) ^ V-1Я, (66)
v ^ q_1—— Q) ^ v 1 для некотоporo а2 Е R сопряженного к а1. (67)
Следующая лемма обобщает [13, теорема 2] и является существенным шагом при доказательстве теоремы.
Лемма 11. Пусть п ^ 2 - целое число, и пусть Ф2 : R+ ^ R+ удовле-
_^ + 2
творяет неравенствам, Q^ ^2(Q) < k0Q для всех Q Е N и некоторой постоянной k0 > 0. Тогда существует постоянная, v > 0, зависящая, только от п, такая, что для, любого интервала, J С [— 1, |] и для, всех достаточно
больших Q справедливо неравенство
3
ц | U B(ai,Q_n+1 /^2(Q)) П J I ^ 4\J\- (68)
(Q)
Доказательство. Доказательство проводится по аналогичной схеме как и в [13, Теорема 2]. Пусть постоянные 90 и т0 те же, что и в лемме 10. Определим следующие параметры:
где 0 < п < 1 - достаточно малый фиксированный параметр, зависящий только от п, и который будет определен позднее. Зафиксируем интервал 3 С [— 1, 2], и пусть постоянная £ = £(п, 3) выбрана так же, как в лемме 10. Тогда, (62) выполняется для т Е {1, 2} и для достаточно большого Я- Из (69) следует справедливость тождества (63). Пусть С] - множество, описанное в лемме 10, их Е С]. Тогда, согласно лемме 10, существует примитивный неприводимый многочлен Р Е ^[х] степени п, удовлетворяющий (65).
Поиск а1. Пусть у Е М. такой, что \у — х\ = Я-п+1 Ф-2(Я). Используя факт, что
_^ + 2
Ф2(Я) ^ Я з ; получим \у — х\ < 1. Далее, по формуле Тейлора имеем
Кроме того, согласно (65) и (69), имеем \Р(х)\ ^ пт0Я п+1 Ф2 1(Я)- Таким образом,
Из (72) и (73) следует, что Р(у) имеет разные знаки в концах отрезка \у —
£о = пЯ “+1Ф21((й. 6 = П '“Ф2ІХЙ. С. = ПЯ (2 в г в п), (69)
(ТО)
і=0
Используя неравенства \х — у\ < 1, Ф2(Я) ^ Я з , (65) и (69), убеждаемся, что
Р(\х)(у — х). в Пт0Я ”+1Ф21(Я) для г ^ 2. (71)
П
Е І1Р{і,(х)ІУ — х). в >ГоЯ-п+'Ф-1 (Я) £ 1 < 3птоЯ-'+1Ф21(Я). (72)
і=1
і=0
х\ в Я п+1Ф- 2(Я) ПРИ условии, что п в 2@о/2т0 1 • В силу непрерывности Р существует корень а1 многочлена Р в этом интервале, т.е.
1 «1/2 -1/2
\х — а1 \ <Я-п+1Ф-2(Я).
(74)
Поиск а2. Пусть ур = х + рЯ 1 Ф2(Я)> гДе 2 в \р\ < Я1/2Ф-1/2(Я) • Следует
наложить условие
Ф2(Я) < Я/4,
(75)
которое обеспечивает существование р. Снова воспользуемся (70), на этот раз взяв у = ур. Используя неравенства \х — у\ < 1, \р\ < Я1/2Ф-1/2(Я), (65), и (69) получаем, что
Рм(х)(ур — х)г < п\р\тоЯ-1^2(Я) для г ^ 3. (76)
_^ + 2
Согласно (65), (69) и фактам, что Ф2(Я) ^ Я з и \р\ ^ 2, имеем \Р(х)\ ^ птоЯ-п+1Ф-1(Я) ^ \р\птоЯ-1ШЯ)
и
\Р'(х)(ур — х)\ ^ П-ПтоФ2(Я)\р\Я-1Ф2(Я) = П-Пто\р\Я-1Ф2(Я)-Последние две оценки вместе с (76) дают следующее
п
Е |гРи(х)(ур — х)‘| « п-пЕ1 < 3’Г',Ір\тоQ~l'l¡(Q). (77)
г=2 г=0
С другой стороны,
(65)&(69) 1 1
\ 2 Р"(х)(ур — х)2\ ^ - 0опЯ\р\2Я"2Ф2(Я) = 2 вопр^-1^). (78)
Из (77) и (78) следует, что Р(у) имеет один и тот же знак в точках у±Р0 (тот же, что Р"(х)), где р0 = 7т0п-п-1в-1. Очевидно, что р0 должен удовлетворять неравенству р0 < Я1/2Ф2 1/2(Я) ■ Это накладывает еще одно условие на Ф2. Вместе с оценкой (75) это дает
Ф2(Я) <коЯ, где ко = ш1п|1■
С другой стороны, рассуждая так же как в процедуре “Поиск а1”, легко убе-
диться, что Р(у2) и Р(у-2) имеют разные знаки. Таким образом, Р(у) меняет знак на одном из отрезков
[—роЯ-1 Ф2(Я), —2Я-1 Ф2(Я)] или [2Я-1Ф2 (Я),РоЯ-1Ф2(Я)].
Р а2 Р
т.е.
2Я-1Ф2(Я) ^ \х — а2\ < РоЯ-1Ф2(Я) ■ (79)
Объединяя (74) и (79), получаем Я-1Ф2(Я) ^ \а1 — а2\ ^ (р0 + 1)Я-1Ф2(Я),
установив тем самым (67).
Оценка высоты. Используя (65), (69) и факт, что \х\ ^ 2, получаем
\ап\ = \ 1Р{п)(х)\~ Я,
\ап-1\ = \(-у.Р(п-1)(х) — папх\ < Я,
\ак\ = \1 Р(к)(х) — ТЦ=к+1 Щ-у.агх’г-к\ < 0 ^ к < п — 2
Следовательно, Н(«1) х Я. Это доказывает (66) и завершает доказательство леммы 11. □
Замечание 2. Из хорошо известного свойства, что \а3\ « Н(а3)/\ап\ (см. [27]), и факта, что \ап\ х Я, следует, что любой корень сопряженный к а1 огра-
ничен постоянной, зависящей только от п.
Далее будем использовать технику повсеместных систем, которую сейчас опишем в упрощенной форме (см. [11] для более подробной информации и
[7] для определения регулярных систем, тесно связанных с повсеместными системами). Пусть I - интервал в К и Я := (та)аеJ - множество точек га Е I, занумерованных элементами счетного множества ^. Пусть функция в : ¿Г м К+ : а м /За задана на ^ и определяет ’вес’ /За точек га. Для Ь Е N пусть ^(Ь) := {а Е ^ : За ^ 2*}, и будем всегда полагать, что множество ^(Ь) конечно.
Функцию р : К+ м К+, удовлетворяющую условию Иш—ГО) р(Ь) = 0, назовем повсеместной функцией. Система (Я; в) называется локально повсеместной в
I относительно р, если существует абсолютная постоянная т0 > 0 такая, что для любого интервала 3 С I справедливо неравенство
^Ш-СЛ К У В(га,р(2*)) П ^ то 3\. (80)
а£J (*)
Для функции ф : К+ м К+ определим множество Лк(ф) := {х Е I : \х — га\ < ф(ва) для бесконечного числа а Е ¿} . Переформулируем теорему 1 из [11] в следующем виде.
Лемма 12. Пусть (Я, в) -локально повсеместная систем,а в 30 относительно р. Пусть функция ф или функция р является, 2-регулярной. Тогда
Ч(кп(Ф)) = \М, если ^2^=1 = го-
Рассмотрим функцию Ф3(Л) = Ф 1(^)Ф2(^), которая является невозрастающей. Монотонность функции Ф3 следует из неравенства
ш1п{Ф1(^1)Ф2(^1); Ь\-п} ^ шт{Ф1(Л,2)Ф2(Л,2); Л12~п}
для всех Л2 ^ Л1 и факта, что Ф1Ф2 - убывающая функция.
Далее покажем, что ряд
ГО
]>>п-2Фз(Л) (81)
Н=1
расходится. Предположим, что ряд (81) сходится. Тогда, в силу монотонности Фз
1п-1Фз(1) « X Лп-2Фз(Л) м 0 аз I мго.
1/2^Н<1
Отсюда следует, что /п-1Ф3(/) = ш1п{/га-1Ф1(/)Ф2(1); 1} ^ 0 при I ^ то. Это возможно только тогда, когда 1п-1Ф1(1)Ф2(1) ^ 0 при I ^ то>. Откуда следует, что Ф3(I) = Ф1(/)Ф2(/) для всех достаточно больших I. Таким образом, ряд кп-2Ф 1(к)Ф 2(к) сходится, что противоречит тому, что этот ряд расходится.
Используя монотонность Ф3, получим следующее двойное неравенство
2(*+1)(п-1)фз(2*+1) < ^ Кп-2Ф3(к) < 21(п-1)Ф3(21).
2г4Л<2г+1
Суммирование по всем Ь Е N приводит к тому, что ряды
^п-2Ф3(Ь)ш ^(п-1)Ф3(2<) (82)
н=1 г=о
сходятся или расходятся одновременно.
Повсеместная система. Определим функции Ф 1(д) := и Ф2(д) := ,
где д ^ Ф2(д) < к0д ж К = (3^-1)п-1с1и (см. ниже).
Пусть п ^ 2. Обозначим через Я множество алгебраических чисел а1 Е К степени п таких, что
\а1 — а2\ ^ и-1И(а1)-1Ф2(Н(а1)) для некоторого а2 Е К, сопряженного к а1
(83)
и
\аг\ ^ V-1 для любого а3 Е С, сопряженного к а1, (84)
где подразумеваемые постоянные в символе Виноградова зависят только от п. Отождествим множество ^ с Я, т.е. формально га = а. Далее, пусть ва = vИ(а) и р(д) = д-п+1/Ф2(д). Тогда, согласно лемме 11 и замечания 2, существует постоянная V такая, что система (Я, в) является локально повсеместной в I := [— 1, 2] относительно вышеприведенной функции р. Пусть ф(д) = Ф 1(д)/'ф2(д) ■ Если ^и р является 2-регулярной функцией, то воспользуемся леммой 12. Тогда ^2) = Ф 1(2*)ф2(2ь)2ь(п-1') = К-3Ф3(2*)2*(п-1) и,
следовательно, согласно (82), ряд '^2/=1 ^2) расходится.
Далее покажем, что
Лп(ф) С Рп(тоФ 1,гопФ2) С Рп(Ф 1, Ф2) С Рп(Ф1, Ф2). (85)
Во-первых, покажем, что Л^(ф) С Рп(т0Ф 1,т0п’Ф2). По определению, для каждой точки х Е Лъ('ф) существует бесконечно много действительных алгебраи-а1 п
\х — а1\ < Ф 1^И(а1))/'Ф2(vИ(а1)).
(86)
Пусть ф - квази-монотонная функция, тогда ф^д) ^ С1ф(д) для некоторых С1 ^ 1 и V, 0 < V < 1.
Пусть Р - минимальный многочлен для а1, тогда Р (х) = ап(х — а і)... (х — ап). Используя (83), (84) и (86), находим
|ж — аі\ < і(Н)/ф2(Н),
\х — а2\ ^ \х — аі\ + \аі — а2\ < с1фі(Н)/ф2(И) + V-1Н-1ф2(И),
\х — ак \ ^ \х — а1 \ + \а1 — а2\ + \а2\ + \ак \ < с1ф 1(Н )/ф 2(Н) +
+ v-lH-lф2(Н) + 2v-l для 3 ^ к ^ п. (87)
Используя оценки ф2(Н) ^ К3Нф 1(Н), ф2(Н) < к0Н и факт, что \ап\ ^ И(Р), получаем
\Р(х)\ < Нс1фі(Н)Ф-1(Н^-1 Н-1Ф2(H)(3v-l)n-2 = гофі(Н),
где т0 = 2 • 3п-2С^1-п.
Кроме того,
(х — а1)... (х — ап)
Р'(х) = ап
(х — а*)
г=1
Используя (87), оценим каждое слагаемое в
\х — а2у-\х — ап\ < 2 • 3n-2v 1-пН-1 ф2(Н),
\х — аі\\х — азу • ^\х — ап\ < С{ф і(Н )/ф 2(Н)(3v-l )п-2,
< 2 • 3)n-3v2-ncClф 1(Н)Н-1 дая 3 ^ і ^ п.
\х — аі\ ... \х — ап\ 0 0,п-3,,2-п/ ф /и\и-1
\х — а3 \
Снова, используя предыдущие неравенства, оценки Ф^(И) ^ К3ИФ 1(И), Ф 1(И) ^ Ф2 (И), Ф2 (И) < ко И, и факт, что \^п\ ^ И (Р), получаем, что \Р' (х)\ < топф2(и).
Во-вторых, покажем, что Рп(т0Ф 1,т0п'Ф2) С Рп(Ф ь Ф2). Используя факт, что Ф2(д) = К-1Ф2(д), получаем
\Р'(х)\ < т0пф2(И) = т0пК-1Ф2(И) < Ф2(И) дая К > т0п.
Аналогично получим, что
\Р(х)\ < Ф 1(И) дая К > т^2.
В-третьих, по определению имеем Рп(Фь Ф2) С Рп(Ф1, Ф2). Таким образом, (85) доказано, и доказательство теоремы 6 завершено. □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] В.В. Бересневич, Регулярные системы и линейные диофантовы приближения на многообразиях // Доклады Национальной Академии Наук Беларуси 44(5) (2000) 37-39.
[2] В.В. Бересневич, Э.И. Ковалевская, О диофантовых приближениях зависимых величин в р-адическом случае // Мат. заметки 73(1) (2003) 22-37.
[3] Н.В. Бударина, Метрическая теория совместных диофантовых приближений в Rk х Cl х ff Чебышевский сб. 12(1) (2011) 17-50.
[4] A. Baker and W.М. Schmidt, Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proc. Lond. Math. Soc. 21 (1970) 1-11.
[5] V. Beresnevich, On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 90 (1999) 97 - 112.
[6] V.V. Beresnevich, Application of the consept of regular systems in the Metric theory of numbers // Vestsi Nats. Acad. Navuk Belarusi. Ser. Fiz.-Mat. Navuk 1 (2000) 35-39.
[7] V. Beresnevich, V. I. Bernik, M. M. Dodson, Regular systems, ubiquity and Diophantine approximation //A panorama of number theory or the view from Baker’s garden (Zürich, 1999), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, 260279.
[8] V. V. Beresnevich, V. I. Bernik, D. Y. Kleinbock and G. A. Margulis, Metric Diophantine approximation: the Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J. 2 (2002) 203-225.
[9] V. Beresnevich, On construction of regular system of points with real, complex and p-adic algebraic coordinates // Vesti NAN of Belarus. Ser. Ii/.-mai. Nauk, 1 (2003) 22 - 27.
[10] V. Beresnevich, V. Bernik, E. Kovalevskaya, On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers // Journal of Number Theory 111 (2005) 33 - 56.
[11] V. Beresnevich, D. Dickinson, S. Velani, Measure theoretic laws for lim sup sets // Mem. Amer. Math. Soc. 179 (2006), 91 pp.
[12] V. Beresnevich, D. Dickinson and S. Velani, Diophantine approximation on planar curves and the distribution of rational points // Annals of Mathematics 166 (2007) 367-426.
[13] V. Beresnevich, V. I. Bernik, and F. Götze, The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compositio Math. 146 (2010) 1165-1179.
[14] V. Bernik, On the exact order of approximation of almost all points on the parabola // Mat. Zametki 26 (1979) 657-665.
[15] V. Bernik, The metric theorem on the simultaneous approximation of zero by values of integral polynomials // Izv. Akad. Nauk SSSE, Ser. Mat. 44 (1980) 24-45.
[16] V.I. Bernik and I.L. Morotskaya, Diophantine approximation in Qp and Hausdorff dimension // Vesti Akad. Nauk BSSE Ser. liz-mai. 3 (1986) 3-9.
[17] V. I. Bernik, D. Kleinbock, G. A. Margulis, Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions // Internat. Math. Res. Notices (2001) 453-486.
[18] V. Bernik, N. Budarina and D. Dickinson, Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 149(2) (2010) 193-216.
[19] M.M. Dodson, A note on the Hausdorff-Besicovich dimension of systems of linear forms // Acta Arith. 44 (1985) 87-98.
[20] Dodson, M.M., B.P. Rynne, and J.A.G. Vickers, Diophantine approximation and a lower bound for Hausdorff dimension // Mathematika 37 (1990) 59-73.
[21] A. Khintchine, Einige Sätze über Kettenbrüche mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Math. Ann. 92 (1924) 115— 125.
[22] D. Y. Kleinbock, G. A. Margulis, Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. of Math. 148(2) (1998) 339-360.
[23] E. Kovalevskaya, On the exact order of approximation to zero by values of integral polynomials in Qp // Preprint Institute Math. National Academy Sciences Belarus 8(547), Minsk 1998.
[24] Y.V. Melnichuk, Hausdorff dimension in Diophantine approximation of p-adic numbers // Ukrain. Mat. Zh. 32 (1980) 118-124 (1980).
[25] A. Mohammadi, A. Salehi Golsefidy, Simultaneous Diophantine Approximation
p
[26] B.P. Rynne, Regular and ubiquitous systems, and ^^,-dense sequences // Mathematika, 39 (1992) 234-243.
[27] V. Sprindzuk, Mahler’s problem in the metric theory of numbers, Amer. Math. Soc., Providence, El, vol. 25, 1969. Translations of Mathematical Monographs.
[28] V. Sprindzuk, Metric Theory of Diophantine Approximation, Wiley, New York (1979).
[29] D.V. Vasilyev, Diophantine sets in C and Hausdorff dimension // Papers in honour of V.G. Sprindzuk’s 60th birthday, Inst. Math., Belarus Akad. Sc., 1997, 21-28.
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН Поступило 12.12.2011
