CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 16 Выпуск 3 (2015)
УДК 511.42
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ И ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТЕЙ1
В. И. Берник, А. Г. Гусакова (г. Минск, Беларусь), А. В. Устинов (г. Хабаровск)
Аннотация
Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей.
Пусть I = [a,b] € R - некоторый интервал, y = f (x) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при c2 > с1 > 0 удовлетворяет неравенству
С1 < \f"(x)\ < С2
для всех x € I. Для произвольного у, 0 < у < 1 и достаточно большого Q обозначим через Aj (Q, у) множество рациональных точек Г = aq < p1 < bq, 1 < q < Q, для которых выполняется неравенство
f(”)
Р2
q
< Q-1-Y.
Множество Aj(Q,y) состоит из точек внутри полосы ширины 2Q-Y вдоль кривой y = f (x), x € I. Естественно ожидать, что величина #Aj(Q,y) имеет порядок Q3-Y, что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений.
Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек вида а = (а1,а2) € R2, где а1}а2 — сопряженные действительные алгебраические числа произвольной степени deg а1 = deg а2 = n и высоты
хРабота первого и второго авторов выполнена по гранту БРФФИ Ф14Р-034. Работа третьего автора выполнена по гранту РФФИ 14-01-90002 Бел-а.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 79
H(ai) = H(a2) < Q, в полосе шириной c(n)Q-Y, 0 < 7 < 2, Q > Q0(n) около любой гладкой кривой y = f (x). В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях G малой меры y,G < c2(n)Q-11, 0 < у1 < |.
Ключевые слова: диофантовы приближения, мера Лебега, алгебраические сопряженные числа, высота алгебраического числа.
Библиография: 16 названий.
DISTRIBUTION OF ALGEBRAIC POINTS IN DOMAINS OF SMALL MEASURE AND NEAR
THE SURFACES
V. I. Bernik, A. G. Gusakova (Minsk, Belarus),
A. V. Ustinov
Abstract
Some questions about distribution of the points with rational coordinates are natural generalizations of problems about integer points in convex domains. Upper and lower bounds for the quantity of rational points on the circle were used in the study of Hausdorff dimension of the set of the point on circle which are approximated with a given order of accuracy by the points with rational coordinates. During the last 15 years in the papers of M. Huxley, V. I. Bernik, V. V. Beresnevich, S. Velani, R. Vaughan double sided asymptotic estimates for the quantity of rational points near the smooth curves and surfaces were found.
Let I = [a,b] € R is an interval, y = f (x) is twice continuously differentiable function which satisfies the inequality
ci < \f,f(x)\ < C2
for c2 > c1 > 0 and for all x € I. For arbitrary 7, 0 < 7 < 1 for sufficiently large Q we denote by Aj(Q, 7) the set of rational points Г = (p, , aq < p1 < bq,
1 < q < Q, for witch the following inequality holds
f(5)
P2
q
< Q-1-Y.
The set Aj(Q, 7) consists from points lying inside the strip width of 2Q-Y near the curve y = f (x), x € I .It it natural to expect that #AJ (Q, 7) is a value of the order Q3-1. It was proved using the methods of geometry of numbers and metric theory of Diophantine approximations.
Recently [1] new estimates of the quantity of points a = (a1,a2) € R2, where a1,a2 are conjugate real algebraic numbers of arbitrary degree deg a1 =
80
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
deg a2 = n and of the height H(aa) = H(a2) < Q, in the strip width of c(n)Q-Y, 0 < y < 1, Q > Q0(n) near the smooth curve y = f (x) were obtained. In our paper some new results about distribution of points with conjugate real and complex algebraic coordinates were obtained. In particular generalization of result mentioned above was obtained. The main idea of the proof is based on metric theorem about diophantine approximations in the domains G of small measure pG < c2(n)Q-11, 0 < Yi < 3. Keywords:
Diophantine approximations, Lebesgue measure, conjugate algebraic numbers, height of algebraic number.
Bibliography: 16 titles.
1. Введение
Пусть задано некоторое Q > 1 и цилиндр T = I х K, где I С — |; |] — интервал длины \I\ = c1Q-Y, K С B(0,1) — круг радиуса c2Q-Y в комплексной плоскости, 0 < y < 1. Также считаем, что T П {\Im z\ < Д = 0, где 5 — некоторая малая величина.
Рассмотрим целочисленный неприводимый многочлен
P (x) = anxn + an-1xn-i + ... + a1x + a0
с условием НОД^,... ,an) = 1 степени deg P = n и высоты H(P) < Q, где H(P) = max \aj\. Корни а такого целочисленного многочлена P(x) являют-
0<j<n
ся алгебраическими числами степени deg а = deg P = n и высоты H(а) = = H(P) < Q. Многочлен P(x) называется минимальным многочленом алгебраического числа а.
Здесь и далее Ci,i = 1, 2,... являются величинами, зависящими только от степени многочлена.
Точку (а, в), а £ R, в £ C будем называть алгебраической, если а и в корни одного многочлена P £ Z[x].
Можно доказать, что алгебраические точки всюду плотны в пространстве R х C, однако, если воспользоваться методом Шмидта [2], то меры цилиндров T окажутся значительно больше, чем c3Q-3. В [3] доказано, что действительные алгебраические числа обязательно попадают в интервалы длины c4Q-1 при достаточно большой величине c4. B последнее время было получено несколько новых результатов о распределении алгебраических чисел, их дискриминантов и результантов [4]—[8]. Эти результаты явились естественным обобщением задач о распределении точек с рациональными координатами вблизи гладких кривых [12] [16].
2. Распределение алгебраических точек в R х C
Докажем несколько теорем о распределении алгебраических точек в R х C.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 81
Теорема 1. Для любых натуральных Q и n ^ 3 существует цилиндр Т объема рТ = c5Q-3, внутри которого нет алгебраических точек (а, в) степени deg а = deg в < n и высоты H(а) = H(в) < Q-
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. При любом наборе корней ail,...,ais, 1 ^ s ^ n, многочлена P(x) = anxn + ... + a1x + a0 справедливо неравенство
s
ПК I < (n + 1)2nH (P )\an\-1. j=i
Лемма 1 доказана в [9].
ДоКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим цилиндр T1 = I1 х К1, где I1 — интервал вида (1 — c6Q-1; 1 + c6Q-1), а К1 — круг в комплексной плоскости вида
в( 2+2 i'ciQ-') ■
Пусть существует алгебраическая точка (а, в) £ Т1 с минимальным многочленом P1(x) = akxk + ak-1xk-1 + ... + a1x + a0, k < n. Рассмотрим результант многочленов P1(x) и P2(x) = (4x — 1)(2x2 — 2x + 1). Так как многочлены P1(x) и P2(x) не имеют общих корней, то
1 < |fi(PbP2)|. (1)
С другой стороны
|R(P1,P2)| =8k ■\ak|3
а — 4
k
х
j=2
1
Кз — T
j 4
11 К — I 2+21
fl-(2+2i)
i)|- n
/ 3=1 3 =
j=1,j=3
П
J=1,3=2
Так как (а, в) £ Т1 и k < n имеем следующую оценку
k
2—2') (2—2i)
X
aj l 2 2г
^1^2^ < 8n -a |3 ■ cec?Q-3 ц
j=2
1
aj 7
j4
k
П
j=1,j=2
ч- (2+2i)
X
k
_ (\_1_ \ Kj \ 2 2l)
х
j=1,j=3
Для оценки произведений воспользуемся леммой 1 и получим следующее неравенство
R(P1, P2)| < 8n ■ \ak|3 ■ cPQ-3 ■ (k + 1)3 ■ 26k
H (а)
3
a |
3<
1
82
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
< 29n(n + 1)3 • c6Oj < 1
при c5 = c6c7 = 2-9n-1(n + 1)-3. Данное неравенство противоречит (1). □ Введем класс многочленов
Рз(Я) = {P(x) е Z[x], deg P = 3,H(P) < Q}.
Докажем следующую теорему 2, которая позволяет связать количество алгебраических точек третьей степени и высоты, не превосходящей Q с объемом цилиндра T.
Теорема 2. При достаточно большом Q > Q0 и достаточно больших величинах c8 и c9 любой цилиндр T = I х К, где у1 ^ c8Q-Y, уК ^ c9Q-2y, 0 < Y < 3, содержит не менее, чем c10Q4yT алгебраических точек (а, в) степени deg а = deg в = 3 и высоты H(а) = H(в) < Q.
В ходе доказательства теоремы 2 также будет построена регулярая система алгебраических точек.
Другим интересным вопросом является вопрос о количестве алгебраических точек возле некоторой поверхности. В данном случае можно рассматривать полосу, шириной порядка Q-1. Из теоремы 2 следует, что мы не можем оценить количество алгебраических точек в цилиндрах T, объем которых имеет порядок Q-3y, 1 < Y < 1, однако, доля таких цилиндров мала. Данный факт позволяет нам доказать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть у = f (Imz, Rez), у е R, z е C — некоторая непрерывная функция, заданная на области, D С C. Определим множество L(Q,X) следующим образом
L(Q,X) = {(y,z),z е C,y е R, \у - f (Imz, Rez)\ < cuQ-X}
при 0 < Л < 1. Тогда количество алгебраических точек (а, в) степени deg а = deg в = 3 и высот,ы H(а) = H(в) < Q, принадлежащих L(Q,X), не меньше, чем ci8(f,D)Q4-x.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Для доказательства данной теоремы используем следующую лемму.
Лемма 2. Обозначим через L = L(Q, 60,Т) — множество точек (x, z) е T, для которых система неравенств
f \Рз(х)\ < 2Q-3,
\ \P3(z)\ < 2Q-1, (2)
[ min{\P3(x)\,\P3(z)\} < ^
имеет решение в полиномах P3 е P3(Q). Тогда при достаточно малом 50 и достаточно больших c8 и c9 имеем
6l < 4 ^T
для всех T = I х К с условиями ц1 ^ c8Q-Y, уК ^ c9Q-2y, 0 < у < 1.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 83
Сформулируем вспомогательную лемму. Пусть а\, a2,... , an корни многочлена P (x). С каждым корнем ai будем связывать множество
S(ai) = {x Е R : \x — a^ = min \x — aj|}.
1<j<n
Везде далее полагаем, что i = 1 и корни многочлена P(x) упорядочены относительно a1 :
\ai — a2\ ^ \ai — аз\ ^ ... ^ \ai — аП\.
Лемма 3. Пусть x Е S(a1). Тогда
\P (x)\
\x — a-\\ ^ n \x — a\\ ^ 2'
\P/ (x)\’
-i \P(x)\
\P /Ы\’
(3)
(4)
\x—ai\ ^ 2mnn \ (2n j №—a2 \ • • • \ai—aj \
при условии, что \P'(x) \ = 0, \P/(ai)\ = 0.
Неравенство (3) следует из тождества
P/(x) = 1
P(x)
i=i
x ai
а неравенства (4), (5) доказаны в [10, 11].
Доказательство. Рассмотрим систему неравенств (2) и найдем оценки снизу для производных \P3(a)\ и \P3(,5)\, где a Е R — действительный корень многочлена P3(x), а fii Е C — комплексный корень многочлена P3(x). Воспользуемся леммой 3 и получим следующую оценку
\x-.nm{(2Pa)l\c4—м) .(—aik-ы) |
откуда следует, что
\ x — ai \ < \ P3(x)\1/3\а,3\1/3 < 2Q_i/9.
Аналогично
\x — fa\ < 2Q_i/9.
(7)
что
Из условия \Imz\ > 6, а также из неравенств (6) и (7) при Q > Q0 следует,
АЛА
\ ime \> ^ > \ a — в \> 2 > \ в — в \ > 2.
84
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
Используя данные неравенства находим оценки
S2
\P3(а)\ = Ы • \а - в| • \а - Р\ > j\а3\,
52
\р3(в)\ = Ы •№ - а\-\в - Р\ > \аз\-
От (2) переходим к рассмотрению системы неравенств
\Рз(х)\ < 2Q-3, \P3(z)\ < 2Q-3,
4\аз\ < Р(а)\ < 2cnQ, 2\аз\ < P(в)\ < 2ci2Q, min{cn ,012} = 80.
Из системы (8) следует, что
\аз\ ^ 48q8 2Q.
Воспользуемся леммой 3 и рассмотрим цилиндры
с(Р) = {
x - а\ < §2Q 3 \аз\ 1,
Z - в \< §2 Q-3
(8)
(9)
(10)
где Р Е P3(Q). Отметим, что объем цилиндра цо(Р) < 54^^-6Q-1 \а3\— 3 < csc9Q-3Y < liT, при достаточно большой величине cs • 09.
Вычислим количество многочленов P3(x) = a3x3+a2x2+a1x+a0, для которых существует точка (x, z) Е T, удовлетворяющая системе (8). Для этого при фиксированном значении а3 вычислим количество возможных троек #(а2,а1,а0) коэффициентов многочлена P3(x).
Пусть d1 — центр интервала I, а d2 — центр круга K. Оценим значение многочлена P3(x) в точках d1 и d2.
Так как d1 — центр интервала I, то любую точку x Е I можно представить, как x = d1 + в1 • csQ-Y, \01\ < 1 и
\P3(x)\ = \ P3 (d1) + 01 • csQ-Y (7aзd2 + 3a2dl + а1)\.
Тогда, используя систему неравенств (8), имеем
\P3(d1)\ < \P3(x)\ + \а3\osQ 7 • 013\01 \ < 0в\а3\Q 7\ф (x)\, (11)
где ф (x) — некоторая ограниченная функция, зависящая только от x.
Аналогично, так как d2 — центр круга K, то для любую точку z Е K можно представить, как z = d2 + 02 • c9Q-Y, \02\ < 1, то используя неравенства (8), имеем
\P3(d2)\ < c^Q-\^2(z)\
(12)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 85
где £2(z) — некоторая ограниченная функция, зависящая только от z. Неравенства (11) и (12) приводят нас к системе уравнений
Г аэ^3 + а2^2 + ad + ao = li(x), (13)
\ ad + а2^2 + ad + ao = h(z), ^ '
где \li(x)\ < c8\a3\Q-Y|£i(x)|, |b(z)| < cgdQ-|&(z)|.
При фиксированном a3 рассмотрим систему (13) для двух различных наборов коэффициентов (a2;i, ai;i, ao>i) и (a2,2,a1,2,a0,2), тогда
( (a2,i — a2,2)d2 + (ai,i — ai^)di + (ao,i — ao,2) = li(xi) — li(x2) = Ki(xi,x2),
\ (a2,i — a2,2)d2 + (ai,i — a^d + (ao,i — ao,2) = l2(zi) — I2Z) = «2 4, Z2).
Применим метод Крамера. Для этого представим систему в следующем виде
(a2,i — a2,2)di + (ai,i — ai,2)di + (ao,i — ao,2) = Ki (xi , x2) ,
(a2,i — a2,2)(Re2d2 — Im2d2) + (aM — ai^)Red2 + (ao,i — ao,2) = Re^zi, Z2), (a2,i — a2,2)2Red2Imd2 + (aM — ai^)Imd2 = ImK2(zi,Z2).
Вычислим определитель системы
d2i di 1
А = Re2d2 — Im2d2 Red2 1
2Red2 Imd2 Imd2 0
5 ■ |di — d2|2 > 53.
Аналогичным образом, используя оценки
|Ki(xi, x2)\ < 2cs|a3|Q 7|Ci(x)| < |a3|Q i
и
|K2(zi,Z2)| < 2cg|a3|Q i4(z)| < |a3|Q
)-Y
имеем
А < ci4|a3|Q-7, i = 0,1, 2.
Тогда — a^ < ci45-3|a3|Q-7, i = 0,1,2 и при фиксированном a3 количе-
ство троек (a2,ai,ao) можно оценить как
#(a2,ai,ao) < | °14 Оценим суммарную меру множеств (10
45 9|a3|3^T, |a31 ^ QY,
ci5, |a31 < QY.
Y d°(p) < Y №(р)-
P ePs(q) ®3>®2>®1>®0
Воспользуемся оценками (9) и (14) и рассмотрим два случая.
1) 45-25oQ ^ |a31 ^ QY,
14)
86
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
тогда
Y Ца(Р) < Y Y 54n$~6Q-1\a3\-1 <
a,3,a,2,ai,ao \a3\'^QY a2,a\,ao
< 54nc\A5-15Q-1 »T Y М3Ы-3 < 220пГ1745a^T < - цT (15)
\a3\>QY
при 50 = 2-10417c-43n-1.
2) \аз\ <QY,
тогда
У MP) < У У 54ii-6Q-1\a3i-1 <
a3,a2,ai,ao \a3\<QY a2,ai,ao
< 54nc158-&Q-1 Y^ \a3\-3 < 27n5-6Q-1 < -цТ (16)
\a3\<QY
при c8c9 > 210nc154-6 и 0 < y < 3.
Таким образом, используя оценки (15) и (16) имеем
Y ц°(р) <-цТ+-цТ = 4цТ-
PвРз(я)
□
Прежде, чем мы перейдем к доказательству теоремы 2 введем понятие ре-гулярой системы для точек с одной комплексной и одной действительной координатами.
Определение 1. Пусть Г — счетное множество точек (i1,i2) G R х C и N : Г ^ R — положительная функция. Пару (Г, N) назовём регулярной системой, если существует постоянная c16 = c16(r, N) > 0, такая что для любого цилиндра Т С R х C найдется достаточно большое число М0 = М0(Г^,Т) > 0, что при любом М > М0 можно выбрать точки (71,1,71,2), • • • , (it,1, It,2) G Г П Т с условиями
1) N(ii,1,ii,2) < М, - ^ i ^ t,
2) цилиндры
{ \х - 7щ\ < М-3,
I \Z - ii,2\ < М- 3 , где - ^ i ^ t не пересекаются,
3) t > о16МцТ.
3. Доказательство теоремы 2
Воспользуемся результатами леммы 2. Рассмотрим множество В = Т \ L. Из леммы 2 следует, что
3
цВ > - цТ (17)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 87
при Q > Q0. Рассмотим точку (x\,zi) Е В. Существует многочлен P\(x) Е P3(Q), удовлетворяющий системе неравенств
I
|Pi(xi)| < §Q-1, |Pi(zi)| < §Q-1,
Pi(xi)| ^ 5qQ, Pi(zl)| ^ 5qQ,
Рассмотрим корни ai,fti многочлена Pi(x). По лемме 3 имеем
!
|xi - ai| < §50 iQ 3, |zi - ei| < §SQ-iQ~3•
(18)
Выберем максимальную систему точек Г = ((Yi,i,Yi,2), • • • , (Yt,ь Yt,2)), удовлетворяющих условиям
H(Yi,i) = H(1г,2) < Q,
|xi - ai | > 3S0 iQ 3 или |zi - ei | > 35q iQ 3,
1 <i<t•
Из неравенства (18) и определения Г следует, что для любой точки (xi, zi) Е B найдется такая точка (Yi,i,Yi,2) Е Г, что
Г |xi - YiA < 3S0 iQ 3, I |zi - YiA < 35-iQ-3 •
Тогда имеем
t
B ^J{(xi,zi) Е T : |xi
i=i
1 4
liA < 35-iQ-3
4
|zi- iiA < 3S-iQ~3},
и из неравенства (17) следует, что
3
t ■ 27n5-3Q-4 ^ рВ ^ 4pT •
Таким образом, имеем
t ^ cwQ4pT •
□
Из данных рассуждений также следует, что алгебраические точки образуют регулярную систему в R х C c функцией N (а, в) = H (a)4 = H (в )4.
В задаче, которую будем решать далее, диапазон изменения у расширим до
0 < y < 1.
Исследуем вопрос о распределении алгебраических точек (а, в) вблизи поверхностей и докажем теорему 3 об оценке снизу количества алгебраических точек около гладкой поверхности. Для доказательства данной теоремы используем следующий вспомогательный результат.
88
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
Рассмотрим цилиндры T = I х K, ц1 = cl9Q-Y , fiK = c20Q-2y, 1 < Y < 1, не содержащие точек (x, z) £ R х C, для которых существует многочлен P3 £ £ P3(Q), удовлетворяющий системе
Г |Ps(x)| < §q- 1,
l lP3(z)l < 3q-3,
{ Ы < W•
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4. Обозначим через Li = Ll(Q,80,T) — множество точек (x,z) £ £ T, для которых система неравенств
Г |Рз(х)| < §Q-1, |P3(z)| < §Q-1,
I min{|P3(P)l P(z)[} <8oQ, (19)
[ |аз| > 5oQy
имеет решение в полиномах P3 £ P3(Q). Тогда при достаточно малом 80 и достаточно больших с19 и с20 имеем
6l < 4 UT
для всех Т = I х K с условиями ц1 ^ c19Q-1 , fuK ^ c20Q-2y, 1 < y < 1.
Доказательство. Проводя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 2, сводим систему неравенств (19) к следующей
Г |P3(x)| < §Q-1, |P3(z)| < §Q-1,
I §2|fl3| < (a)| < 2c§iQ, §-|fl31 < (в)| < 2c§§Q, (20)
I Ы >SoQY, 1 '
[ min{c§i,C2§} = ^
Из системы (20) следует, что
|«31 ^ 46о8 2Q•
(21)
Воспользуемся леммой 3 и рассмотрим цилиндры
c(P) = |
x - а\ < §2Q 31«3| 1, z - в К §2 Q-3 |«3|-i,
(22)
где P £ P3(Q). Заметим также, что объемы цилиндров a(P) не превышают объем цилиндра T
Ua(P) < 63^4-6Q-l|a3|-3 < fuT
при Q > Qo.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 89
По аналогии с доказательством леммы 2 вычислим количество троек (a2,ai;a0) коэффициентов многочлена P3(x) = a3x3 + a2x2 + aix + a0, удовлетворяющего системе (20), при фиксированном a3.
Пусть di — центр интервала I, а d2 — центр круга K. Из системы (20) получим следующие оценки
|Р3(Ф)| < С19|a3|Q_TЫх)\, (23)
|P3(d2)|< С20 faQ-'|^2(^)|, ()
где ^(x) и £2(z) — некоторые ограниченные функции.
Используя неравенства (23) запишем систему уравнений
Г a3d3 + a2d2 + aidi + ao = li(x),
\ a3d3 + a2d2 + aid2 + ao = h(z),
где |li(x)| < cs19|a3|Q-7|£i(x)|, |p(z)| < C20MQ-7|&(z)|.
При фиксированном a3 рассмотрим систему (23) для двух различных наборов коэффициентов (a2)i, ai,i, a0;i) и (a2,2,ai,2,a0,2), тогда
{(a2,i - a2,2)d2 + (ai,i - ai,2)di + (a0,i - a0,2) = Ki(xi, x2),
(a2,i - a2,2)(Re2d2 - Im2d2) + (aM - a^)Red2 + (a0,i - a0,2) = ReK2(zi, z2), (a2,i - a2,2)2Red2Imd2 + (aM - ai^)Imd2 = Im^zi^),
где Ki(xi,x2) = li(xi) - li(x2) и K2(zi,z2) = p(zi) - l2(z2).
Решая данную систему методом Крамера получим, что при фиксированном a3 количество троек
#(a2,ai,ac) < c23^-9|a3|3^T. (24)
Оценим суммарную меру множеств (22) и из оценок (21) и (24) имеем
Y Ua(P) < Y Ua(P) < 44£-i7^T < 4fiT
P €Рз(я) 0,3,02,0,1,0,0
при 50 = 2-54i7c-33ci9c20. □
Лемма 5. При достаточно большом Q > Q0 и достаточно больших величинах ci9 и с20 любой цилиндр T = I х K, где ц1 ^ ci9Q-Y, fuK ^ c20Q-2y, i <Y < 1, содержит не менее, чем c24Q4^T алгебраических точек (а, в) степени deg а = deg в = 3 и высоты H(а) = H(в) < Q.
Доказательство. Для доказательства леммы 5 используем результат леммы 4. Рассмотрим множество Bi = T/Li. Из определения цилиндра T и леммы 4 следует, что
3
UBi р 4UT (25)
при Q > Q0.
90
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
Рассмотрим точку (x1,z1) Е В1. Существует многочлен P1(x) Е P3(Q), удовлетворяющий системе
|Pa(xi)| < 2Q-3, |Ps(zx)| < 3Q-3,
mm{\p[(xi)l \р1 (zi)\ > 50Q, (26)
|«з | > ^oQ7•
Из леммы 3 следует, что
\xi - a11 < 2S0 1Q 3, |z i - 0i1 < 2So 1Q-3,
(27)
где a1 — действительный корень многочлена P1(x), 01 — комплексный корень многочлена P1(x) .
Через Т1 обозначим множество точек, удовлетворяющих неравенствам (27), тогда
Т < 538-3nQ-4 •
Аналогичным образом рассмотрим точку (x2,z2) Е B2 = В1 /Т1. Для нее существует многочлен P2(x) Е P3(Q), удовлетворяющий системе (26), и строим множество
Т2
(x, z)
I а г_ 1 4
x - a2| < 2 ^0 Q 3, z - 021 < a80-1Q-3,
I
где a2 Е R, 02 Е C — корни многочлена P2(x) и цТ2 < 538-3nQ-4.
Построение точек (ai, 00) можно продолжить до тех пор, пока множества Т), 1 < i < t не покроют все множество В1. Отсюда и из неравества (25) следуют оценки
3 t
4цТ < цВ1 < fiTi < 538-3tnQ-4
i=1
и
t 0 024О^уТ^
□
Проведем доказательство теоремы 3, используя результаты теоремы 2 и леммы 5.
4. Доказательство теоремы 3
Рассмотрим два случая.
1) 0 < А < 3
Покроем область D кругами Ki = В(zi,Q Л), 1 < i < t таким образом, чтобы ^ - zj| = 2Q-Л, Wi,j. В этом случае количество таких кругов можно оценить,
как
t 0 nD ■ 2-1Q2Л.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 91
Рассмотрим цилиндры
Ti = {(x,z) : \z - Zi\ < C25(f )Q-X, \x - f (Imzi, Rezi)| < C2a(/)Q-X} , 1 < i < t,
такие, что Ti полностью содержатся в L(Q,A). Так как /iTi < c37(f)Q-3X, 0 < < A < 3, то из теоремы 2 следует, что каждый цилиндр Ti содержит не менее, чем c10Q4yTi = c38(f)QA-3X алгебраических точек. Тогда с учетом неравенства (28) имеем, что количество алгебраических точек, принадлежащих L(Q, A) при 0 < A < 3 не менее, чем c18(f,D)Q4-X.
2) 3 < A < 1
Аналогично первому случаю покроем область D кругами Ki и рассмотрим цилиндры Ti, 0 < i < t. Вычислим количество цилиндров, которые содержат точки (x',y') Е R х C, для которых существует многочлен P3 Е P3(Q), удовлетворяющий системе неравенств
Рз(х')\ < 3Q-3,
P3(z')\ < §Q-1, (29)
аз\ < 5qQx.
Используя лемму 3 и неравенство \Imz\ < 5 имеем, что при фиксированом многочлене P3(x) = a3x3+a2x2+a1x+a0 все точки (x',y'), удовлетворяющие системе (29), содежатся в цилиндре
°(р > ={x
а\ < 2Q 3\аз\ 1
в\ < 3Q-3\а§\-1
1
1
где а Е R, в Е C - корни многочлена P3(x).
Оценим количество цилиндров Ti, 1 < i < t, которые пересекаются с цилиндром а(Р). Несложно заметить, что ширина полосы L(Q,A) намного меньше высоты цилиндра а(Р). В связи с этим каждый цилиндр а(Р) пересекает не более, чем 4Q2X-2/3\a3\-2 цилиндров Ti.
Отсюда следует, что общее количество цилиндров Ti, содержащие точку (x , z ) можно оценить, как
Y, 4Q3X-3/3\a3\-3 < 4Q3X-3/3 И-3 <
Р&Тз(д) ®з,®2,®ъ®о
< 4Q3X-3/3 \a3\-3 < 24Q2X-3/3- (30)
|«3|<^oQA
Из оценки (30) следует, что количество m цилиндров Ti, 1 < i < t, удовлетворяющих условию леммы 5 не менее,чем
m ^ c(D)Q3X - 2AQ2X-3/3 > 1 c(D)Q3X (31)
92
В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
при Q > Qo.
Тогда из леммы 5 и оценки (31) следует, что количество алгебраических точек, принадлежащих L(Q, Л) при | < Л < 1 не менее, чем
2c(D)Q2>- ■ 02,(1 №~зх = cu(f, D)Qi~x.
□
5. Заключение
Основные теоремы, полученые в статье, могут быть обобщены в различных направлениях. Конечно, хорошо бы доказать аналог теоремы 3 для точки с произвольным количеством действительных и комплексных сопряженных координат. Однако, такая теорема еще не доказана для точек только с действительными или только с комплекными координатами. В этих случаях в совместных диофантовых приближениях не удается перейти к приближениям с неприводимыми многочленами, что легко делается в одномерном случае. Решение указанных проблем позволит получить обобщение теоремы 3.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bernik V., Goetze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lith. Math. Journal. 2014. Vol. 54, № 3. P. 231-251.
2. Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. P. 3-26.
3. Бударина Н. В., Берник В. И., О’Доннелл Х. Действительные алгебраические числа третьей степени в коротких интервалах // Докл. НАН Беларуси. 2012. Т. 57, № 4. С. 23-26.
4. Beresnevich V., Bernik V., Goetze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, № 5. P. 1165-1179.
5. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. О распределении значений результантов целочисленных полиномов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 5. С. 21-23.
6. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 2. С. 26—27.
7. Beresnevich V. Rational points ear manifolds and metric Diophantine approximation // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, № 1. P. 187-235.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ... 93
8. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.
9. Фельдман Н. И. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. I. Аппроксимация логарифмов алгебраических чисел // Изв. АН СССР. 1951. Т. 15, № 1. С. 53-74.
10. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 с.
11. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arith. 1983. Vol. 42, № 3. P. 219-253.
12. Beresnevich V. V., Vaughan R. C., Velani S. L. Inhomogeneous Diophantine approximation on planar curves // Math. Ann. 2011. Vol. 349, № 4. P. 929-942.
13. Beresnevich V., Dickinson D., Velani S. Diophantine approximation on planar curves and the distribution of rational points // Ann. of Math. 2007. Vol. 166, № 2. P. 367-426.
14. Bernik V., Beresnevich V., Goetze F., Kukso O. Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation. Limit theorems in probability, statistics and number theory // Springer Proc. Math. Stat. 42, Springer, Heidelberg. 2013. P. 23-48.
15. Beresnevich V., Zorin E. Explizit bounds for rational points near planar curves and metric Diophantine approximation // Adv. Math. 2010. Vol. 225, № 6. P. 3064-3087.
16. Budarina N. V. The Mahler problem with nonmonotone right-hand side in field of complex numbers // Math. Notes. 2013. Vol. 93, № 5-6, P. 812-820.
REFERENCES
1. Bernik, V., Goetze, F. & Kukso, O. 2014, „On algebraic points in the plane near smooth curves“ Lith. Math. Journal., vol. 54, no. 3, pp. 231-251.
2. Schmidt, W. 1970, „T-numbers do exist“, Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/1969), pp. 3-26.
3. Budarina, N. V., Bernik, V. I. & O’Donnell, H. 2012, „Real algebraic numbers of the third degree in a short intervals“, Doklady NAN Belarusi, vol. 57, no. 4, pp. 23-26.
4. Beresnevich, V., Bernik, V. & Goetze, F. 2010, „The distribution of close conjugate algebraic numbers“, Compos. Math., vol. 146, no. 5, pp. 1165 - 1179.
94 В. И. БЕРНИК, А. Г. ГУСАКОВА, А. В. УСТИНОВ
5. Beresnevich, V. V., Bernik, V. I. & Goetze, F. 2010, „On distribution of the values of resultants of integer polynomials", Doklady NAN Belarusi, vol. 54, no.
5, pp. 21 - 23.
6. Beresnevich, V. V., Bernik, V. I. & Goetze, F. 2010, „Conjugate approximations of zero by integer polynomial, its derivative and small values of discriminants“, Doklady NAN Belarusi, vol. 54, no. 2, pp. 26—27.
7. Beresnevich, V. 2012, „Rational points ear manifolds and metric Diophantine approximation", Ann. of Math., vol. 175, no. 1, pp. 187-235.
8. Bugeaud, Y. 2004, „Approximation by algebraic numbers" Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 pp.
9. Feldman, N. I. 1951, „Approximation of some transcendental numbers. I. Approximation of logarithms of algebraic numbers", Izv. AN SSSR, vol. 15, no. 1, pp. 53-74.
10. Sprindzhuk, V. G. 1967, „Problema Malera v metricheskoy toerii chisel" (Russian)[Mahlers’s problem in metric number theory], Minsk: Nauka i tehnika, 184 pp.
11. Bernik, V. I. 1983, „Using Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximation", Acta Arith., vol. 42, no. 3, pp. 219-253.
12. Beresnevich, V. V., Vaughan, R. C. & Velani, S. L. 2011, „Inhomogeneous Diophantine approximation on planar curves", Math. Ann., vol. 349, no. 4, pp. 929-942.
13. Beresnevich, V., Dickinson, D. & Velani, S. 2007, „Diophantine approximation on planar curves and the distribution of rational points", Ann. of Math., vol. 166, no. 2, pp. 367-426.
14. Bernik, V., Beresnevich, V., Goetze, F. & Kukso, O. 2013, „Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation. Limit theorems in probability, statistics and number theory", Springer Proc. Math. Stat. 42, Springer, Heidelberg, pp. 23-48.
15. Beresnevich, V. & Zorin, E. 2010, „Explizit bounds for rational points near planar curves and metric Diophantine approximation", Adv. Math., vol. 225, no.
6, pp. 3064-3087.
16. Budarina, N. V. 2013, „The Mahler problem with nonmonotone right-hand side in field of complex numbers", Mathematical Notes, vol. 93, no. 5-6, pp. 812-820.
Институт математики НАН Беларуси.
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДО РАН Поступило 08.07.2015
