Регулярная гиперповерхность пространства проективно-метрической связности и её двойственный образ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 6 (1), с. 183-187

УДК 514.764

РЕГУЛЯРНАЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ И ЕЁ ДВОЙСТВЕННЫЙ ОБРАЗ

© 2011 г.

Е.А. Голубева Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Посеурила в надакцию 12.11.2010

Исследуются вопросы дифференциальной геометрии регулярной гиперповерхности Уп1, погружённой в пространство проективно-метрической связности Кпп. Доказано, что:

1. С V . с К ассоциируются двойственные пространства Р , и Р , , являющиеся проектив-

п-1 п,п ^ ^ .г .г п-1,п п-1,п 5 г

ными лишь одновременно (теорема 1).

2. Уп1 индуцирует двойственное многообразие Кп-1 и двойственные поля гиперквадрик, соприкасающихся с Уп1 и её образом Кп-1 (теорема 2).

Ключевые слова: регулярная гиперповерхность, пространство проективно-метрической связности, пространство проективной связности, проективное пространство, двойственное пространство, двойственное многообразие, соприкасающаяся гиперквадрика.

На протяжетии всего изложения индексы часть отображения соседнего слоя Рп (и + du) на

исходный слой Рп (и) при помощи следующего отображения реперов:

А-г (и + du )-^ Л-г (и, du ) = Л-г (и )+ юК АК (и) +

(3)

пробегают следующие значения:

1,1,К = 0П ; 1,1,К,L,5,Т = Щ; г,і,к,1,5 і = 1, п -1.

Пространство проективно-метрической связности

+ ре 1АК (иХ

где

р^(®0)2 +(©0)2+...+(©п)2,

Нш є К = 0.

р^0 1

Рассмотрим пространство проективной связ- Структурные уравнения (1) обеспечивают инва-ности Рпп, базой которого служит п -мерное риантность главной части отображения (3) относительно преобразования семейства реперов.

многообразие Вп, слоями - проективные пространства Рп размерности п . Формы связности пространства Рпп подчинены [1, 2] струк-

турным уравнениям

и линеиному соотношению

юК = 0

(1)

(2)

,1

В уравнениях (1) функции Я^т кососимметричны по индексам 5 и Т, они являются компонентами тензора кривизны-кручения пространства Рп п:

V -А^т + 2К1?тл0 = 0 , где 8 - символ дифференцирования по параметрам центропроективной группы фиксиро-

ванного слоя,

то

есть

при

ю1 = 0.

юК =0

Между компонентами тензора кривизны-кручения существует линейная зависимость

при этом независимые первые интегралы и

2 п ^

и ,..., и вполне интегрируемой системы линейно независимых уравнений ©0 = 0 являются локальными координатами точки А (и) базы

В . С текущей точкой А (и )є В связывается п -

ч / п которая является результатом замыкания урав-

мерное проективное пространство Рп (слой), нения (2).

отнесённое к точечному реперу {А1(и)}, причём Заметим, что в случае Я3ЗТ = 0 пространство

А0 (и) = А(и). Формы ю1 определяют главную Рпп представляет собой п -мерное проективное

а

пространство Рп; при этом формы ю1 определяют инфинитезимальное перемещение проек-

тивного репера

и подчинены

Dю1 = юк л юК ,

структурным уравнениям

юК = о .

Пространством проективно-метрической связности Кпп называется [2, с. 339] пространство

проективной связности Рпп, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик Qn-1 (локальных абсолютов):

Х = 0 , 8л = 8ц. (4)

Определение. Гиперквадрика Qn-1 поля локальных абсолютов пространства Кпп называется невырожденной (вырожденной), если определитель, составленный из коэффициентов уравнения (4), отличен от нуля (равен нулю):

йеП 8 =

Ле/\

8 = Ял

= 0

§8“ — 8—— 8—= 08-- , &и &кУ і &ік 1

С

8і0 = 80і , С = const ф 0,

^і0 — 8к0Ю і — СЮ і = аікЮ: ,

<іаи — аыЮ1 — aIкЮJ = (аік8і0 + азк8і0 К ,

где

а и = 8 и -

при этом форма ю° является главной:

о 1 К

ю0 = §К0ю0 .

с

Выполнение уравнений (7), (9) есть [3] критерий того, что пространство проективной связности Рпп является пространством проективнометрической связности Кпп с полем локальных абсолютов (6), отличных от сдвоенных гиперплоскостей.

Известно [3], что наличие инвариантного поля локальных гиперквадрик (6) приводит к конечным соотношениям для компонент тензора кривизны-кручения пространства Кп п:

п0 +18 пК = о

Л0вт "г" &Копохт ~ и5

с

gK о Я15т + а1КПоБт + сЯШ = о, (1о)

а1КП1Бт + аК1Яшт (а1К8л о + alкgI о )Яохт = °.

Отметим, что в случае невырожденности гиперквадрики Qn-1 ранг матрицы G = ) равен

п +1, а в случае вырожденности - меньше п +1.

Согласно [2], при фиксированных главных параметрах (т.е. при юо = о) условием инвариантности гиперквадрики поля (4) является выполнение дифференциальных уравнений

(5)

где 0 - некоторая форма Пфаффа и

£>0 = 0 л ©о.

Считая 8оо ф о (это равносильно тому, что

Ао € Qn-1), за счёт нормировки коэффициентов

8ц гиперквадрики и вершин репера Я = \А-1}

уравнение (4) локальных абсолютов и условие инвариантности (5) поля этих гиперквадрик можно записать [3] соответственно в видах:

ацх'х1 + - (81 ох1 + сх0 )2 = ° аи = ал, (6)

(7)

Одновременное выполнение соотношений (Ю) есть условие полной интегрируемости объединённой системы дифференциальных уравнений (7), (9).

Двойственные пространства проективной связности на регулярной гиперповерхности

V- с Кп,п

Как и в пространстве проективной связности Рп,п , дифференциальные уравнения гиперповерхности ¥п_х с Кпп в репере Я = {Л1} первого

порядка ( Ао еVn-1, А е тп-1(A0), где тп-1(Ао) -

касательная гиперплоскость гиперповерхности Уп_х в точке Ао) записываются в виде [4]

юо = о, | %Уо ]лю'о = о. (11)

Из второго соотношения формулы (8) следует, что текущая точка А = Ао гиперповерхности ¥п-1 не лежит на абсолюте Qn-1. Тогда в выбранном репере первого порядка Я = А } уравнение поля локальных абсолютов и условия его инвариантности запишутся в видах (6), (7) соответственно.

Троекратное продолжение первого уравнения формулы (11) с использованием (1), (9) приводит к следующим дифференциальным уравнениям компонент полей фундаментальных

объектов второго {Л.”} и третьего к. л»} порядков гиперповерхности ¥п-1 в Кпп:

©п = А©0, VAn, = А* ю0, VAn,k +А\ ©0 +Апц ©0 —

(9)

— (А Ак +Апа А\ +Апь Ап1к )©п = А"уЫ ©0,

(12)

С

где

2лп, ] = -Я(пы,

2

2%,]= ^ л%8,]о +ЛпХ, - Я1,

2ЛП,[л] = ^лплл,]о - лп,я:, + лпЯ + ЛплЯ;»л +

+ Л-Х*,.

Из уравнений (12) видно, что функции {л”.}

являются компонентами тензора (вообще говоря, несимметричного) второго порядка гиперповерхности ¥п-1 с Кпп. Им охватывается сим-

метричный тензор а..:

1

а” = +Ап.г).

В силу уравнений (12) имеем

Х“7 п пі

Vaіі = аіlЮ0,

где

а^і, = -2(Ап/-і + Апігі).

Vа.к + а.к ю? + а; ю? —

— (ап АпЛ + ап Аік + аЩ АпЛ К = а>'о,

где

ляются из соотношений

ік п

гк п о г апакі =8.

Van/ =—аХа>?.

(9), (19) есть относительный инвариант первого порядка:

2

d 1пл+(п+1)ю” = А»^ А» = л;л.+-8»о.

с

Продолжая последнее уравнение, имеем

= А» юо

VAг. — (п + 1)А>п = Ал ю? , (20)

где

(14)

(15)

(16)

2

2А[^'] = С^8,]о + АкЯ°*‘ - (п + 1)Я'п^/.

Уравнения (2о) говорят о том, что функции {А,, Л} являются компонентами геометрического объекта третьего порядка на регулярной гиперповерхности ¥п-1 с Кпп.

В работе [7] доказано, что с регулярной гиперповерхностью ¥п-1 с Кпп ассоциируются два

пространства проективной связности Рп-1п и

Рп-1 п с общей базой Гп-1, двойственные [4] относительно инволютивного преобразования структурных форм по закону

Из последних соотношений с использованием уравнений (13) получаем, что функции а.» удовлетворяют дифференциальным уравнениям

7Т0 — ^0 і I &к0 Ю„ = Ю„ +

©Г =©п +

(17)

к0

п +1

к

Ю„

Ю1 =Ю

С п + 1

о ттп „п /л

„, ю? = юп = о

(21)

аіікі = 2 (А!к + Аік) .

Будем считать, что тензор аі невырожден. Таким образом, можно рассматривать обращён- ^ ный тензор аї, компоненты которого опреде-

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

(18)

Предполагая гиперповерхность ¥п-1 с Кпп

регулярной [4] (Л = Л”.| ф о), введём обращённый тензор л.:

Л'Х =лкплп» =8' , (19)

компоненты которого подчинены дифференциальным уравнениям

ул; =-л” ЛпЛпш ю*.

Заметим, что предположение Л ф о исключает из рассмотрения тангенциально вырожденные гиперповерхности [5, 6] (при п = 3 исключаются из рассмотрения развертывающиеся гиперповерхности V ).

Функция л в силу первого уравнения формулы (11), уравнения (12) и соотношений (2),

ю0 =л»ю”, ю =-л»юко, ю =-Лкюк, ю =юо, ю =ю; + (лп лп,» - 8; —)ю^.

п + 1

Компоненты тензора кривизны-кручения Я1, пространства Рп-1п имеют [7] следующее строение:

Я0 =— я” Яп = 1 _ пк

^о*, - пз^ пз, ~&коПо

п

ЁГо _ г>о ~Бп _ Г>п _ Л А

Япз, = Япз, , Яо*, = Яоз, = -2Л[з,] ,

Я0 = л” пк Яп ________ _ лп пк

,з, И пэ,? 1*, к о*,’

ЁМ _ Л ;к О о ЁМ _ \,кг>п

Япз, = Л п ^^кэ, , Яо з, =л п ^^кэ, ,

Я* = -Л” лА.

Из последних соотношений непосредственно следует, что Я,, = о ^ Я,, = о, то есть пространства Рп-1 п и Рп-1 п могут быть проективными

лишь одновременно; при этом формы (21) служат формами инфинитезимального перемещения тан-

генциального репера

І}: Ъ, і: ,

где

^0 п+/А[А0 А1...Ап—1 1 ^ п+уА^п^.^п—1 ^

1 п—1 Г 1

і = [А0 А1...А—1 АпАІ+1...Ап—1 1

к

С

к

СО

0

Таким образом, справедлива

Теорема 1. С регулярной гиперповерхностью Уп-1, погружённой в пространство проективно-метрической связности Кп,п , ассоциируются двойственные пространства Рп-1 п и Рп-1 п, являющиеся проективными лишь одновременно; при этом формы связности юл пространства Рп-1п

(см. (21)) служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера (22).

Двойственный образ регулярной гиперповерхности Уп_1 с Кпп и поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик

Относительно тангенциального репера (22) образ Уп-1, двойственный Уп-1 с Кпп, описывается уравнениями, аналогичными (11):

ю = о, ^юп+2 К. ю ^люо = о. (23)

Замечая, что тангенциальный репер (22) определяется во второй окрестности текущей точки поверхности Уп-1, заключаем, что регулярная гиперповерхность Уп-1, погружённая в пространство проективно-метрической связности Кп,п , индуцирует во второй дифференциальной

окрестности многообразие Уп-1 с Рп-1 п, двойственное исходной гиперповерхности Уп-1.

В силу (12), (21) компоненты полей фундаментальных геометрических объектов на многообразии Уп-1 имеют следующее строение:

(24)

(25)

А = -Aj,

ля _ ля л« ля _ ля

= ЛkiЛяЛ1д Лjil ,

'я + 1

l:

I = ц10, D0 = 0 л 00

l< = О,

Точка Ао } принадлежит гиперквадрике Q--1 при выполнении соотношения

Ьоо = о. (28)

Требование касания Q--1 с гиперповерхностью Уп-1 в точке Ао приводит к равенствам

2b,.,

®0 +Ьую0ю0 =0,

откуда, отбрасывая бесконечно малые второго порядка, получим

Ь,о = о. (29)

Нетрудно проверить, что гиперквадрика Q--1 является соприкасающейся с любой кривой (26), принадлежащей гиперповерхности, тогда и только тогда, когда справедливы соотношения

ьпо а1+ь. = о.

Предполагая Ьпо ф о, за счёт нормировки коэффициентов гиперквадрики можно добиться, чтобы

b 0 =-1, b.. = o'1.

яО ’ ij ij

Определение [4]. Гиперквадрика Qn-1, касающаяся гиперповерхности Уп-1 в точке Ао, называется соприкасающейся, если с любой кривой

(3о)

В силу выражений (28)-(3о) уравнение соприкасающейся гиперквадрики (27) запишется в виде

а.ХХ + 2Ьых‘хп + Ьт (хп )2 = 2х0хп. (31)

Согласно работе [2] критерием инвариантности гиперквадрики поля (27) является выполнение дифференциальных уравнений, аналогичных (5):

8Ьл - Ьк1 *К - Ь1К* 1 = 0Ь11, £0 = 0л©о. (32)

Условия (32) для нулевых коэффициентов (28), (29) удовлетворяются тождественно. Для остальных коэффициентов гиперквадрики (31) после исключения формы 0 = -*п условия (32) запишутся в виде системы уравнений

(зза)

(ззб)

Sbj -bjij -bikij+bj< = 0;

Sbin - bjnTj - bij< + 1 = 0

Sb - b i" - 2b. i + 2i0 = 0.

ПП яя Я —trt rt rt •

(26)

принадлежащей гиперповерхности, она имеет касание второго порядка, то есть Д ,, A0 + ^ ,

A0 + dA0 + d 2 A0 e Q-1(mod l) .

Пусть в репере первого порядка уравнение гиперквадрики Ql_x имеет вид

ь1жХ1ХК = 0 , bK = bKi. (27)

Заметим, что в силу уравнений (15) и соотношений (3о) уравнения (33а) удовлетворены. Остальные коэффициенты Ьп, Ьпп соприкасающейся гиперквадрики поля (31) можно охватить компонентами последовательности полей фундаментальных геометрических объектов гиперповерхности Уп-1.

В третьей и четвёртой дифференциальных окрестностях имеем охваты, удовлетворяющие в силу (7), (17), (18) уравнениям (33б):

с

с

К = -

я + 1

b = S ,

яя я

где

p = aJkan, - gi0

■T i я ijk

с

(

S. =-

я -1

PiPj gj 0

—г - Pi —

я + 1 с

a"x‘xJ + —pLx‘xn + S (хя )2 = 2x0Xя. (36)

j я + 1

a; = -л;, pt = -p, Sя = s,-ля

PiPj 11 (n+1)',

а в общем случае (л-. ф 0), в частности, имеем

К =-j

, Pi = -2л-о-(л;.л,+л-j,л-ni,)+gk

(34)

а функции р. входят в дифференциальные уравнения

ур,+(”+1)[ю о - а1ю п]=р» ю о. (35)

Таким образом, в четвёртой дифференциальной окрестности текущей точки Ао гиперповерхности Уп-1 с Кпп внутренним образом определяется поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик, уравнения которых записываются в виде

Образ, двойственный соприкасающейся ги-пеквадрике (36), есть тангенциальная гиперквадрика, уравнение которой относительно тангенциального репера (22) имеет вид

ахх + -2р-х,хп+ 5 (хп)2 = 2х0хп. (37)

п + 1

В этом уравнении х1 представляют собой координаты гиперплоскостей Е относительно

тангенциального репера (22): Е = х1 Е ; функции

ая, р,, 5п имеют строение, аналогичное (14),

(34). При Л'[..] = о согласно (16), (21), (24), (25),

(35) справедливо

Таким образом, доказана

Теорема 2. Гиперповерхность Уп-1, погружённая в пространство проективно-метрической связности Кп,п , внутренним образом порождает во второй дифференциальной окрестности многообразие Уп-1 (см.(23)), двойственное исходной гиперповерхности, в четвёртой дифференциальной окрестности - двойственные поля инвариантных гиперквадрик (36) и (37), соприкасающихся с гиперповерхностью Уп-1 и

её двойственным образом Уп-1 с Рп-1 п соответственно.

Список литературы

1. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. 21о с.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275-382.

3. Столяров А.В. Пространство проективнометрической связности // Известия вузов. Матем. 2оо3. № 11. С. 7о-76.

4. Столяров А.В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. Чебоксары: Чувашский госпедун-т им. И.Я. Яковлева, 1994. 29о с.

5. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. № 3. С. 515-518.

6. Рыжков В.В. О тангенциально вырожденных поверхностях // Докл. АН СССР. 196о. Т. 135. С. 2о-22.

7. Голубева Е.А. Двойственный образ регулярной гиперповерхности пространства проективнометрической связности // Научное обозрение. 2о1о. № 1. С. 31-35.

1

a

я

REGULAR HYPERSURFACE OF A SPACE WITH A PROJECTIVE-METRIC CONNECTIVITY AND ITS DUAL IMAGE

E.A. Golubeva

Differential geometry of a regular hypersurface Vn1 immersed into the space with projective-metric connectivity Knn is studied. It is proved that:

1) The dual spaces Pn1 n and Pn1 n, being projective spaces only simultaneously, are associated with the regular hypersurface Vn1 c Knn (Theorem 1).

2) Vn1 induces the dual manifold Vn1 c Pn1 n and the dual spaces of hyperquadrics osculating with Vn1 and with its image Vn1 (Theorem 2).

Keywords: regular hypersurface, space of projective-metric connectivity, space of projective connectivity, projective space, dual space, dual manifold, adjoining hyperquadric.