CC BY
11
УДК 514.75
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ СЕТЕЙ, ЗАДАННЫХ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
SOME CLASSES OF THE NETWORKS ON A REGULAR HYPERSURFACE OF PROJECTIVE SPACE
Н. В. Кондратьева N. V. Kondratyeva
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. В настоящей работе изучается двойственная геометрия сопряженных сетей Sn-1, заданных на регулярной гиперповерхности Vn-1 n-мерного проективного пространства Pn . В частности, рассмотрены сопряженные сети, являющиеся чебышевскими первого и второго рода одновременно, а также голономная сопряженная сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофо-кальными гиперплоскостями.
Abstract. This paper deals with dual geometry of conjugate networks S n-1 on a regular hypersurface of n-dimensional projective space Pn . In particular, conjugate Chebyshev networks of the first and second type simultaneously, as well as a holonomic conjugate network with the coincided pseudo-focuses and pseudo-focal hyperplanes, are described.
Ключевые слова: гиперповерхность, сеть, нормализация, псевдофокус, псевдофокальная гиперплоскость, двойственность.
Keywords: hypersurface, network, normalization, pseudo-focus, pseudo-focal hyperplane, duality.
Актуальность исследуемой проблемы. Следует заметить, что практически все исследования по теории сетей проведены без привлечения теории двойственности. Исключение составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова - по многомерным. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей на неголономных подмногообразиях, погруженных в пространства проективной структуры. Все это говорит об актуальности темы исследования.
Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом внешних форм Э. Картана [5], методом нормализации А. П. Нордена [3], методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].
Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными, они были доложены на I Международной научнопрактической конференции «Наука и современность - 2010».
На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:
I, К, Ь = 0, п; і, ], к, 1, 5, ґ = 1, п -1.
1. Отнесем гиперповерхность Уп_х п-мерного проективного пространства Рп к точечному реперу первого порядка Я = [Л1}, т. е. вершину А0 репера совместим с текущей точкой гиперповерхности и вершины Л расположим в касательной гиперплоскости. Бесконечно малые перемещения этого репера определяются уравнениями:
<яЛ0 = «0Л0 + о^Лі, (1,а)
йАг =«Ло +«кЛк + «Ап, (1,б)
dA = < A + ХПА + wX, (1,в)
где формы К удовлетворяют структурным уравнениям пространства [5]
DXf =W л К, W = 0. (2)
Дифференциальное уравнение гиперповерхности Vn-1 в выбранном репере имеет
вид:
К = 0. (3)
Продолжая уравнение (3), имеем
w =AnlkW, Lik] = 0; (4)
продолжая последние уравнения, получим
dKk + К* (х0+<)- КА - Кк\ = КА, (5)
где функции Lnkl симметричны по любой паре нижних индексов.
Предположим, что гиперповерхность Vn-1 с Pn является регулярной, т. е. тензор Лпш невырожден: Л = \K‘ik | ^ 0 , следовательно, можно рассматривать обращенный тензор
A ik
Л n , компоненты которого определяются соотношениями
К Kk =K лпк1 =d (6)
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dK„ -К (а +а )+ л:а+лА; = -К лп лпмх . (7)
Функция Л есть относительный инвариант второго порядка:
dlnЛ + (n + 1)А° + К )= ЛА, Лl = КПKj . (8)
С регулярной гиперповерхностью Vn-1 с Pn ассоциируются два проективных пространства Pn (Vn-1) и Pn (Vn-1) с общей базой Vn-1 [4], двойственные относительно инво-
лютивного преобразования I: X ® Щк структурных форм по закону
тгп ^,п п. —i -тт0 n Л l ,J
W0 = W0 = 0, W0 = W0, W0 = W0--------X,
n + 1
tt0 ^,0 — n ,,n Л; — i kil r,0
Wn = Wn , Wn = -----7X , = -KnWl , (9)
n + 1
щп = , щ = КА, щ =щ+^КК« _ % ;
заметим, что согласно [4] инволютивность преобразования I означает, что I ° I_1.
Формы ЩК служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера {£}: ё%1 = ЦК£К , где
Хо = п+Ул[Ао А.. .А"-1 ]Х" = "Ш ^А"А.. .А"-1 ]
„-1 (10)
1 п-1
х = ^ ^ [Ао А1...Ак_1 АЛ+1...Лп_1 ]
Относительно тангенциального репера (10) образ Уп-1, двойственный Уп-1, определяется уравнением, аналогичным (3):
Щп = 0. (11)
В четвертой дифференциальной окрестности точки А0 е Уп-1 с Рп определяется поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [4]
Кпшхгхк + хгхп + 8П (хп )2 = 2х0х", (12)
п + 1
где
^ =-Г-,*к(Лік _^+7
п _ 1 ^ п +1
функции Лік входят в дифференциальные уравнения
ёЛ_Л« + ЛА +(п +1)(«0-Л1«п)= Л«0,Л[а] = 0. (13)
Предположим, что гиперповерхность Уп-1 с Рп нормализована [3] полями квазитензоров у'п, у0:
ёУп _« +пкп«к +«п = УпА , (14)
У +к>0° -П0«к +«0 =У0«0. (15)
Следуя [4], можно доказать, что нормализация одной из регулярной гиперповерхностей Уп-1 с Рп и Уп-1 с Рп равносильна нормализации другой; при этом компоненты
полей оснащающих объектов {у, у0}, У, У°} связаны соотношениями
У =-ЛУ0,Уі0 =ЛпУп;
ёуп-уп«пп +УЩ +«п =пм у =-Лу0; (16)
ё у0 + у0«00 _ у«] + «0 = у0 «0, у0 = Лп1Уп];
при этом индуцируются две двойственные [4] аффинные связности V, V без кручения, которые определяются системами форм {00, в'к } 00, 01} соответственно:
в0 = w0 ,qk = Wk _ v>: _ Sk (wo0 _ vi°w0)+ v>0,
eo=eo, ві=ek +vim+Sk Vw: _Vs4)+ (17)
Vat +SkVW 'W
+л: (л:іь _ v0 л:і Wo+(лпуП _ v0 Wo.
n /k ,
Формы (17) удовлетворяют структурным уравнениям Картана-Лаптева [2]:
Dw0 = К а 01, D0j = в* а 01 +1 R'X а А,
_ _ _ _ 2i (18)
Dw0 = А а0 , D0j =0j а0 + ^ Цк1 а w0.
Тензоры кривизны R’kst, Rist соответствующих пространств аффинной связности
An-1,n-1 и Ап-1,п-1 имеют вид:
RL = 2(^k0[sd -Пп[sKik|t] -V‘nKK\SK\l\t] -
-VkVdj-v^ ]dk +vly:Knk[sS't]),
Rkst = 2(KkVn[sSt] -Kl[sv\n\t -Knvl[sKt]k -Лnvl v[sKt]k -
1 1 (20)
-Knlkvyn Kj[ S-v^Si ЛП ]k).
Аналитические условия параллельного перенесения допустимого [3] направления AqM , где M = 1 (y° A0 + Ai), в аффинных связностях V и V вдоль кривой
l с Vn-1 (к = ms0, К = 0) записываются соответственно в виде
dl + l0'k =W1 (mod l), (21)
dl +101 = (mod l). (22)
2. Пусть на гиперповерхности Vn-1 задана сеть Sn-1 . Касательные к линиям сети в
точке A0 примем за ребра ДД репера R = {AI}, в силу чего в уравнениях (1) формы
1с • 7
W , i Ф k становятся главными:
X = aX0, i Ф k . (23)
Продолжая уравнения (23), имеем
dal + ah К0 + X -X - К)- S\K + ЛпК = aX, i Ф k , (24)
где
a
iit = 4 + X aisas _ Z aipapt, i * k, (25)
s*t p*i,k
~k i[lt]
amt] = 0, i * k. (2б)
Из соотношений (9), (23) следует
Щ = аЩО, г Ф к ; (27)
соотношения (27) представляют собой уравнения «тангенциальной сети» Еп-1 с Уп-1, двойственной исходной £п-1 с Уп-1, где, в частности, имеем:
ак = ак +лк:л:а, г Ф к. (28)
Согласно (17), (21)-(23), (28) условия параллельного перенесения направления А0А{ касательной к г-ой линии сети £п-1 с Уп-1 вдоль ее линии Щ0 в аффинных связностях V и V имеют соответственно вид:
ак -укп лп +У0д! = 0, к Ф г, (29)
ак + ЛкЛп,а + ЗкЛпуп - Лкп ЛХ = 0, к Ф г. (30)
Если на гиперповерхности Уп-1 с Рп задано поле инвариантных нормалей первого
рода у'п, то точки Кгк (г Ф к) на касательных А0Аг к линиям сети £п-1 с Уп-1 с Рп , определяемые по формуле
Кк =(лпгкУкп - акк А + Аг, к Ф г, (31)
являются инвариантными (дРк = ®Кк). Эти точки В. Т. Базылевым [1] названы псевдофокусами касательных к линиям сети.
Точка К = " х 77’к
1~:^к (32)
п - 2 кФг
называется гармоническим полюсом [6] точки А0 относительно псевдофокусов Кгк ; (п - 2) -мерная плоскость К ] называется гармонической плоскостью сети £п-1 или, согласно терминологии А. П. Нордена [3], ее гармонической гиперпрямой.
Приведем построение образов Г]к, двойственных Кк и определяемых сетью £п-1 с Уп-1 с Рп . Если на гиперповерхности Уп-1 с Рп задано поле инвариантных нормалей второго рода, определяемое полем квазитензора У 0 , то для тангенциальной сети
Еп-1 с Уп-1 с Рп каждую из инвариантных гиперплоскостей Г]к пучка X п Х0 , определяемую по формуле
Л ={Л’Х -акX+х, к Фг, _
назовем псевдофокальной; в силу соотношений (161), (28), Лпк = -Лпк (см. (9)) последние выражения примут вид:
Г иперплоскость
Л =(л; ЛкХ - ак-ЛХ X +х, I ф к . (33)
л=-Ц хл (34)
п - 2 кФг
назовем гармоническим полюсом второго рода сети £п-1 с Уп-1, а прямую пересечения гармонических полюсов второго рода - гармонической прямой сети.
3. Рассмотрим сеть £п-1 с Уп-1, сопряженную относительно поля асимптотического
тензора второго порядка Лпа : Лпк = 0, г Ф к; из дифференциальных уравнений (5) для
компонента Лпк = 0, г Ф к с использованием (23) находим
Лпш =-(лпккак +ЛпЛФк . (35)
Согласно (31), (33), (35) псевдофокусы и псевдофокальные гиперплоскости сопряженной сети Еп-1 с Уп-1 не зависят от нормализации гиперповерхности и определяются формулами
Кк =-аккА0 + А,, г Ф к, (36)
лк =ЛккЛпиаккХ0 +Хг, г Ф к ; (37)
следовательно, поля ее гармонических гиперпрямых К] и прямых [л] определяются
соответственно полями квазитензоров
ч0 = —-2 Еак, йч0+ч, (а0- а\)+ а0=Ч °О0 , (3 8)
п - 2 кФг
Ч'п =-“ЧЕЛ“"»,+ ч\,{а:-а;)+а>„ = чК . (39)
п - 2 кФг
Если соотношения (29) или (30) справедливы при I = г для любого г (для любых г ФI), то сеть Еп-1 с Уп-1 с Рп называется геодезической (чебышевской) соответственно первого или второго рода относительно данной нормализации гиперповерхности Уп-1 .
Для сети Еп-1 с Уп-1, сопряженной относительно поля тензора Л, в силу (29), (30), (35) условием ее геодезичности первого или второго рода является выполнение соотношений соответственно
ак-УкпЛпн = 0, г Ф к, (40)
У0 + ак = 0, г Ф к . (41)
Аналогично рассматриваемая сеть является чебышевской первого или второго рода тогда и только тогда, когда справедливы соотношения соответственно:
ак +У0Зк = 0, г Ф к,г, (42)
акЛкк-УЗк = 0, г Ф к,г. (43)
Из равенств (40), (41) с учетом выражений псевдофокусов Кгк (см. (36)) и псевдо-фокальных гиперплоскостей лк (см. (37)) для сопряженной сети Еп-1 с Уп-1 с Рп следует Теорема 1. Сопряженная сеть на регулярной гиперповерхности Уп-1 с Рп является
сетью с совпавшими псевдофокусами Кгк (псевдофокальными гиперплоскостями Г]к) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых) данная сеть является геодезической второго (первого) рода.
Замечание. Согласно (42), (43), к классу сетей Еп-1 с Уп-1 с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) принадлежит сопряженная чебышевская сеть первого (второго) рода.
Пусть регулярная гиперповерхность Уп-1 с Рп , п > 3, несущая сопряженную сеть Еп-1 с Уп-1, являющуюся чебышевской первого и второго родов одновременно, нормализована полями гармонических гиперпрямых и прямых сети. В репере а, ° К (чг0 = 0), [А Ап ]°Ы (чп = 0) тензор кривизны Ягы (см. (19)) аффинной связности V имеет вид:
К* = Ч0З - Ч0З - ч'тЛк+чгтЛк = 0. (44)
Так как в выбранном репере имеют место равенства Л” = ч0 = ч'п]- = 0, , Ф у , то компоненты тензора кривизны (44) имеют строение
Я'ш = 0, к, I, г - дадгйа ёшаёпй ;
Замыкая уравнение со] = 0, і Ф у (аУ = а]и = аг]1 = 0, все индексы различны), находим
Последние равенства вместе с (45) доказывают, что связность V - плоская, т. е. пространство аффинной связности Ап-1,п-1 вырождается (локально) в аффинное пространство Ап-1 . Доказана
Теорема 2. Внутренняя геометрия пространства аффинной связности Ап-1п-1 без кручения, индуцируемого нормализацией регулярной гиперповерхности Уп-1 с Рп , п > 3 полями гармонических гиперпрямых и прямых сопряженной сети Еп-1 с Уп-1, являющейся чебышевской первого и второго родов одновременно, есть аффинная (локально).
Следствие. В условиях теоремы 2 внутренняя геометрия двойственного пространства аффинной связности без кручения Ап-1 п-1, п > 3 также является аффинной (локально).
4. Рассмотрим голономную сопряженную сеть Еп-1 с Уп-1 с Рп с совпавшими псевдофокусами Кгк и псевдофокальными гиперплоскостями 1]к. Известно [1], что критерием голономности сети (т. е. вполне интегрируемости любого из уравнений а0к = 0) является
Согласно теореме 1 рассматриваемая сеть является геодезической первого и второго рода относительно полей ее гармонических прямых и гиперпрямых, т. е. справедливы равенства (40), (41).
Из соотношений (41) доказывается, что
Аналогичным образом доказывается (исходя из равенств (40)), что в случае рассматриваемой сети Еп-1 с Уп-1 с Рп при п > 3 справедливо
К-ья = 0 їде ёрайд і, к, 5; Кгш = 0, і, к Ф ґ; Я’ш = д°к + д’пі А"кк, і Ф к, и і іад поггёдгааг ёу.
(45)
а^] = 0, к Ф і,I.
(46)
(47)
(48)
Из выражений (19), (20) получим
где , Яг тензоры Риччи двойственных аффинных связностей V и V.
Таким образом, в силу (47)-(49) справедлива
Теорема 3. Если гиперповерхность Vn-1 с Pn, n > 3, несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности V и V являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.
Резюме. Установлено, что сопряженная сеть на регулярной гиперповерхности является сетью с совпавшими псевдофокусами (псевдофокальными гиперплоскостями) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых) данная сеть является геодезической второго (первого) рода.
Доказано, что если гиперповерхность, несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.
ЛИТЕРАТУРА
1. Базылев, В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.
2. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
3. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.
4. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.
5. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
6. Casanova, G. La notion de pole harmonique / G. Casanova // Rev. math. spec. - 1955. - № 6. - Р. 437-440.
