Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера и ее приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

14. Сумин В.И. Дифференцирование функционалов оптимального управления / "Материалы итоговой научной конф. радиофиз. ф-та ГГУ за 1982 г., Горький 1-2 февр. 1983. Ч. 2. Деп. в ВИНИТИ: № 6035-83 ДЕИ. С. 84-91.

15. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

16. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация. Сб. научн. тр.. Новосибирск, 1993. № 52 (69). С. 74-94.

17. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 70-80.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 годы) (проект НК-13П-13) и АЦВП «Развитие потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер проекта 2.1.1/3927).

Sumin V.I. Strong degeneration of singular controls in the sense of the maximum principle in distributed optimization problems. It is proved that for distributed optimization problems a sufficiently typical situation is strong degeneration of the singular controls in the sence of the maximum principle, when together with the maximum princile (which is a first order necessary optimality condition in the case of spike-shaped variation) all necessary optimality conditions through order n are degenerate. A derivation of constructive necessary optimality conditions for singular controls is suggested.

Key words: distributed optimization problems; Volterra functional equations; pointwise maximum principle; singular controls.

Сумин Владимир Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, e-mail: v [email protected].

УДК 519.853, 517.983

РЕГУЛЯРИЗОВАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

© М.И. Сумин

Ключевые слова: выпуклое программирование; параметрическая задача; теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме; двойственная регуляризация; оптимальное управление; некорректные задачи.

Обсуждаются т. н. регуляризованная теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве и возможности ее приложения при решении задач оптимизации, оптимального управления и некорректных задач.

Постановка задачи. Рассматривается параметрическая задача выпуклого программирования

(Pp,r) f (z) ^ min, Az = h + p, g(z) ^ r, z gDc Z,

где p G H, r = (ri,rm) G Rm — параметры, f : D ^ R1 — непрерывный сильно выпуклый функционал, A : Z ^ H — линейный ограниченный оператор,

g(z) = (gi(z),gm(z)) , gi : D ^ R1 , i = , — непрерывные выпуклые функциона-

лы, D — выпуклое замкнутое множество, Z, H — гильбертовы пространства. Обозначим через z0r решение задачи (PPrr) в случае его существования, а через в — ее S -функцию, т. е. e(p,r) = {f (z0rr)^ли z0,r существует; +ж в противном случае} . Введем необходимые обозначения:

Lpr (z,\,v) = f (z) + (\,Az - h - p) + (p,g(z) - r),

Dp,r = {z G D : \\Az - h - p\\ ^ e, gi(z) ^ ri + e, i = 1,..., m}, e ^ 0.

Определим минимизирующее приближенное решение (МПР) в смысле Дж. Варги для задачи (Ppr ) как последовательность zk G D, к = 1, 2,... , такую, что f (zk) ^ e(p,r) ,

zk G Dp,r, ek ^ 0, к . Определим также двойственную задачу:

Vp,r(\,ц) ^ sup, (\,ц.) G H х R+m, Vp, r(\,Ц-) = inf Lp r(z,\,^).

’ ’ z£V ’

Регуляризованная теорема Куна—Таккера. Формулируемая ниже для случая точ-

Pp r

де двойственной регуляризации [1, 2], представляет собой утверждение в терминах минимизирующих последовательностей о возможности аппроксимации решения задачи выпуклого программирования точками минимума ее регулярной функции Лагранжа без каких-либо предположений регулярности самой оптимизационной задачи. Подчеркнем, что аппроксимирующие решение задачи точки конструктивно указываются, т. к. они генерируются с помощью цитированного выше алгоритма двойственной регуляризации.

Теорема!.. Пусть f : D R1 — непрерывный сильно выпуклый субдифференци-

руемый функционал. Для существования ограниченного МПР в задаче (Pprr) ( и, значит,, одновременно сходящегося сильно к z0r при к -^-ж ), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (Хк,ц,к) G H х Rm, к = 1, 2,..., такая, что

Lpr(z[\k,ц.к],Хк,^к) = Vp,r(Хк,^к) ^ sup Vp,r(\,р),

(A ,^)eHxRrm

z[\к,^к] = argmin{Lpr(z,\,^к), z gD}g Dpkr, ек ^ 0, к -^ж,

((Хк, цк), (Az[\lc, цк] - h - p, g(z[,\к,ц,к]) - r)) > 0,

а последовательность z\, цк ], к = 1, 2,... , была ограничена. При этом она является искомым МПР и z\, ц,к] ^ z0r, к ж . В качестве указанной последовательности (\к ,^к) G H х Rm, к = 1, 2,... , может быть взята последовательность, генерируемая алгоритмом двойственной регуляризации [1, 2] , в соответствии с которым (\к,ц,к) = = &Ygm&x{Vp , r (\,ц.) - ак ||(\, ц)\\2, (\,Ц-) G H х Rm} , ак, к = 1, 2,... , — произвольная последовательность сходящихся к нулю положительных чисел.

Сформулированная теорема содержит в себе свой классический аналог и отличается от него двумя важными обстоятельствами: 1) она справедлива без каких-либо предположений регулярности (существования вектора Куна-Таккера) задачи (Pp , r ); 2) она «устойчива» по отношению к ошибкам исходных данных.

Свойства сходимости в теореме 1 неразрывно связаны со свойствами субдифференцируемости выпуклой функции значений в задачи (Pp,r ). Она обобщается на случай задачи (Pp,r) с выпуклым функционалом цели, а также и на случай нелинейных задач математического программирования, когда роль классических функций Лагранжа берут на себя их модифицированные аналоги, конструкции которых являются следствиями дифференци-S

Приложения ре гул я р 11:50 nai I i I о й теоремы Куна—1Танжера. Теорема 1 является инструментом практического решения задач математического программирования, оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами, различных некорректных задач, в частности задач решения операторных уравнений первого рода. Для всех этих задач характерными свойствами являются их неустойчивость по отношению к ошибкам исходных данных и отсутствие априорной информации о разрешимости соответствующих двойственных К НИМ ЗЭ.ДЭ.Ч.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.

2. Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов. И. Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2009.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (проекты 2.1.1/3927, 2.1.1/13303) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П-13).

Sumin M.I. The regularized parametric Kuhn-Tucker theorem and its applications. So-called regularized Kuhn-Tucker theorem in nondifferential form for parametric convex programming problem in a Hilbert space and possibilities of its applications for solving problems of optimiz-tion, optimal control and ill-posed problems are discussed.

Key words: convex programming, parametric problem, Kuhn-Tucker theorem in nondifferential form, dual regularization, optimal control, ill-posed problems.

Сумин Михаил Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Россия, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций, e-mail: [email protected].